小学五年级奥数教案：奇数与偶数(讲师版) 16页

奇数与偶数 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大 多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析 层面几乎为 0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力， 培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。 无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来 考察学生综合能力。 有一只蚂蚁停在某个正方体的一个顶角上，每一天，这只蚂蚁都从正方体的一 个顶角爬过一条棱到达另一个端点，那么这只蚂蚁是否有可能在 10 天后恰好到 对顶角？ 分析：不可能，蚂蚁如果要爬到对顶点，必须竖直棱、横向棱、纵向棱都爬奇 数次，而 3 个奇数的和为奇数，所以不可能在 10 天后恰好到达对顶角.也可以 对正方体的 8 个顶点进行相间染色,用染色的方法进行解释. 知识梳理 1.奇数和偶数的定义： 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除 的数叫做奇数。通常偶数可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。 特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。 注： 数论的主流分析和解题方法都与代数法有关，故讲解定义时对“2k”形式的理 解要重点把握，要做到深入浅出。例如可以举出几个偶数的例子，然后进行分 解因数，发现所有的偶数都可以表示成一个“2”乘以其他“一堆东西”的形式， 然后把“一堆东西”作为一个字母即可，至于为什么用 k 只是一个习惯，同样 也可以用 a,b,w,x,y 等任何一个字母。 2.奇数与偶数的运算性质： 性质 1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质 2：偶数±奇数=奇数 注： 性质 1，2 是最简单的运算性质，要求学生必须掌握。 性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数 性质 5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 注： 性质 3，4，5 用途比较广，是常用分析性质。 性质 6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶 性。 性质 7：对于任意 2 个整数 a,b ,有 a+b 与 a-b 同奇或同偶 授课批注： 性质 6，7 是本讲的重点，其中性质 6 是一个重点思想，在判定一些数字相加或 相减结果的奇偶性时非常方便。性质 7 在今后的其他知识点中会经常结合使用。 性质 8：奇数的平方可以写作 4k+1 ，偶数的平方可以写作 4k 3.重点难点解析 （1）奇数与偶数的定义和运算性质 （2）分类讨论的思想和代数的思想 4.竞赛考点挖掘 （1）奇数偶数的操作性问题 （2）奇数偶数的性质与其他知识点的结合 例题精讲 【试题来源】 【题目】 下列算式的得数是奇数还是偶数？ (1) 29＋30＋31＋……＋87＋88 (2) （200＋201＋202＋……＋288）－（151＋152＋153＋……＋233） (3) 35＋37＋39＋41＋……＋97＋99 【答案】（1）偶数；（2）偶数；（3）奇数 【解析】 （1）偶数。原式中共有 60 个连续自然数，奇数开头偶数结尾说明有 30 个奇数，为偶数个。 （2）200 至 288 共 89 个数，其中偶数比奇数多 1，44 个奇数的和是偶数；151 至 233 共 83 个数，奇数比偶数多 1，42 个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。 （3）可以用等差数列求个数；若学生没学过等差数列，可以在 35 后面加上 36，37 后面加 上 38……99 后面加上 100，数列变成 35，36，37，38……99，100 共 66 个数，奇数 33 个， 偶数 33 个，33 个奇数的和还是奇数，所以答案是奇数。 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。 (1) 1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10 【答案】不能 【解析】 不能，很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式 有 5 个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定 性分析后定量计算的题目”(2) 1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27 可以，1+2+3+4+5+6+7+8-9=27 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 能否从、四个 6，三个 10，两个 14 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 44. 【答案】不能 【解析】 可以把题目中的数都除以 2.本题相当于：能否从、四个 3，三个 5，两个 7 中选出 5 个数， 使这 5 个数的和等于 22.因为 3，5，7 都是奇数，而且 5 个奇数的和还是奇数，不可能等于 偶数 22，所以不能. 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 是否存在自然数 a 和 b，使得 ab(a＋b)=115? 【答案】不存在 【解析】 不存在，此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即 2 个自然数在奇偶性的组合上只 有 3 种情况，“2 奇 0 偶，1 奇 1 偶，0 奇 2 偶”，可以分别讨论发现均不成立。 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 是否存在自然数 a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？ 【答案】存在 【解析】 可以分情况来讨论：3 奇 0 偶，2 奇 1 偶，1 奇 2 偶，0 奇 3 偶。比较繁琐，可以根据 45327 是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以 a-b、b-c、a-c 都为奇数，再根据奇偶性 进行判断。 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 你能不能将自然数 1 到 9 分别填入 3×3 的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数? 【答案】不能 【解析】 不能。此题学生容易想到九宫格数阵问题，其实不是。1 到 9 中共有 5 个奇数，分别分成 3 组后会分布在每一行里面，也就是说要想实现每一行都是偶数，就需要每一行都有偶数个 奇数，从而需要三行奇数的和是偶数，但是现在仅有 5 个奇数，所以无法填入。 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等 于 999？ 【答案】不能 【解析】 不能。2 个三位数的和为 999，说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生进位说明 两个三位数的数字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常 用结论。那么 999 的数字之和是 27，而原来的 2 个三位数经调换数字顺序后数字之和是不 会变的，若以 a 记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为 a，则会有 2a=27 的矛盾 式子出现。说明原式不成立。 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于 5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四 个数码调换了位置，两个数的和可能是 7356 吗？为什么？ 【答案】不能。本题为上一例题的拓展练习。 【解析】 不能。本题为上一例题的拓展练习。 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇 数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？ 【答案】偶数 【解析】 偶数。本题可以让学生在草稿纸上画示意草图，即圆圈表示人，线段表示送卡片。按照题 目的要求“大家是礼尚往来的---有送必有回敬”，不论有几个人在送，送奇数张卡片的人 数一定是奇数。 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 是否能存在一个多面体，它的表面由 9 个三角形，4 个四边形，3 个六边形组成？ 【答案】不可能 【解析】 不可能，多面体的每一条棱与两个面相关，所以 9 个三角形，4 个四边形，3 个六边形的所 有边应该能两两配对，但一共有 27+16+18=61 条边所以该多面体是不存在的. 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 在一张 9 行 9 列的方格纸上，把每个方格所在的行数和 列数加起来，填在这个方格中，例 如 a=5+3=8．问：填入的 81 个数字中是奇数多还是偶数多? 【答案】偶数多 【解析】 此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少．然后得出 奇数和偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜．我们应该 从整体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数多 1 个．所以前 8 行 中奇偶数一样，余下第 9 行奇数行，答案可脱口而出．偶数多． 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 桌面上放着 5 个杯子，杯口都向下倒扣在桌面上，如果翻动一次，杯口便朝上，现在如果 翻动 5 个杯子的总数可以为任意偶数次，且一个杯子可以翻动的次数不做限制，那么可否 将 5 个倒扣在桌面上的杯子都杯口朝上呢？ 【答案】不能 【解析】 不能。本题为一个可操作性的互动题目，教师可以与学生做游戏完成。每个杯子需要有奇 数次翻动才可以杯口向上，所以 5 个杯子需要 5 个奇数次，而现在的总次数限定为偶数次， 不论怎么翻动都是实现不了的。 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 沿着河岸长着 8 丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差 1 个．问：8 丛植物上能否一 共结有 225 个浆果?说明理由． 【答案】不能 【解析】 不能。本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题，可以给学生介绍。相邻的两个植物果实数目差 1 个意味着相邻 2 个植物的奇偶性不同，所以一定有 4 棵植物的果实为奇数个，总和一定为 偶数，不能为 225. 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 36 盏灯排成 6×6 的方阵，这 36 盏灯中只有 9 盏灯是亮着的，现在作一些操作，每次操作 拉一下同一行或同一列灯的开关，请问能否经过若干次操作，使这 36 盏灯全部亮. 如果 36 盏灯当中有两盏灯是亮着的，那么是否有可能经过若干次操作，使这 36 盏灯全部亮. 【答案】不能；不能 【解析】 （1）不能，每一次改变 6 盏灯的状态，无论这 6 盏灯原来的状态如何，等只能增加或减少 偶数盏亮着的灯，所以无论拉多少次都不能将这 36 盏灯全部亮. （2）不能，如果两盏灯是亮着，而且经过若干次操作，使这 36 盏灯全部亮的话，那么原 来亮着得灯要拉偶数下，原来不亮的灯要拉奇数下，两盏灯若在同一行（或同一列），那么 该行（或该列）被拉的次数，与这两盏灯所在的列（或行）被拉的次数同奇偶，与其他列 （或行）被拉的次数的奇偶性质相反，那么其他行（或列）被拉的次数无论是奇数还是偶 数，都不能使该行所有灯同熄同亮，若两盏原来两着的灯不同行同列，分析法则雷同. 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 多米诺骨牌是由塑料制成的 1×2 长方形，共 28 张，每张牌上的两个 1×1 正方形中刻有“点”， 点的个数分别为 0，1，2，…，6 个不等，其中 7 张牌两端的点数一样，即两个 0，两个 1，…， 两个 6；其余 21 张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的 点数相同，且以点数相同的端相连，例如： …… …… 现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为 6 点，那么在链的另一端为 多少点?并简述你的理由． 【答案】6 【解析】 由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而 6 点的个数 为 8，所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为 6． 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 一条线段上分布着 n 个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为 n+1 段，已知 线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇 数还是偶数？ 【答案】偶数 【解析】 因为中间的每一个点的两边各有一黑一白，所以所有的点一定是两个黑点、两个白点依次 相邻（除了首尾可能出现一个黑点），所以白点都是成对出现的.所以白点的个数为偶数. 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 一条线段上分布着 n 个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为 n+1 段，已知 线段两端的两个点都是黑的，n+1 段线段中两端的端点为一黑一白的个数是奇数还是偶数？ 【答案】偶数 【解析】 法一：线段有四种：左黑右黑、左白左白、左黑右白、左白右黑，两端的端点一黑一白的 线段有两种，一种左黑右白，一种左白右.对于每一段线段来讲，左黑的线段，左边的线段 右必黑；左白的线段，左边的线段右边白；右黑的线段，右边的线段左必黑；右白的线段， 右边的线段左必黑.所以，因此左黑右白和左白右黑的两种线段必定交替出现（中间只可能 以左黑右黑或左白左白的线段相隔），并且靠左端的一定是左黑右白的线段，靠右边的一定 是左白右黑的险段. 法二：将黑点上标 1，白点上标 0，然后在每段线段上计算端点的和，易知左黑右黑、左白 左白的线段上的端点和为偶数，左黑右白、左白右黑上的端点和为奇数，而这些端点和的 总和为偶数（中间的端点每个都被计算了两次，两端的黑点计算了一次）所以，这些些端 点和中奇数的个数为偶数.所以 n+1 段线段中两端的端点为一黑一白的个数是偶数. 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 有 8 个棱长是 1 的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字 1，第二组相对的面上都写着数字 2，第三组相对的面上都写着数字 3(如图)．现在把这 8 个小正方体拼成一个棱长是 2 的大正方体.。问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一 个面上的 4 个数字之和恰好组成 6 个连续的自然数? 1 2 3 1 3 2 H G F E D C B A 【答案】不可能 【解析】 假设满足条件的大正方体 ABCD－EFGH 可以拼成(见图 2)，即它的每个面上的 4 个数字之和 恰好组成 6 个连续的自然数．那么这个大正方体的六个面上的 24 个数字之和 S 就等于这 6 个连续自然数之和．又因为，6 个连续自然数之中必有三个偶数、三个奇数，所以 6 个连续 自然数之和必是奇数，即 S 是奇数． 另一方面，考虑大正方体的 8 个顶点 A、B、C、D、E、F、G、H，它们分别是一个小正方体 的顶点．由于，交于这些顶点的小正方体的三个面互不相对，因此，在这三个面上所写的 3 个数字分别为 1、2、3．这样大正方体的六个面上的 24 个数之和 S=8×(1＋2＋3)=48． 即 S 又应该是偶数．这是不可能的． 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 圆桌旁坐着 2k 个人，其中有 k 个物理学家和 k 个化学家，并且其中有些人总说真话，有些 人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你 的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：k 为偶数． 【答案】k 是偶数 【解析】 本题为本讲压轴趣题。由题目条件可发现不仅物理学家与化学家总人数相同，其中说真话 与说假话的人数也分别相同，如果有 a 个物理学家说谎，同时也会有 a 个化学家说谎。所 以总共有 2a 个人说谎。而最后发现有 k 个物理学家的身份被说谎的人改变了，每一个人只 能影响有右邻的人，说明有 k 个说谎的人，那么 k=2a，则说明 k 是偶数。 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每次从口袋中取出 3 个球，如果发 现三个球中有两个球的颜色相同，就将第三个球放还回口袋，如果三个球的颜色各不相同， 就往口袋中放一个黄球，已知原来有红球 42 个、黄球 23 个、蓝球 43，那么取到不能再取 的时候，口袋里还有蓝球，那么蓝球有多少个？ 【答案】1 【解析】 一共有 108 个球，每次取 3 还 1，所以取到不能再取的时候还剩下 2 个球，对于每次取 3 个 球，如果 3 个球颜色中有两个相同，那么第三个球还回去后，实际上取走了两个相同的球， 如果每次取 3 个不同颜色的球，那么还回一个黄球，实际上黄球并没有被去掉,所以对于黄 球来说每次都取掉偶数个黄球，到最后剩下的球中只剩下 1 个黄球，那么剩下两个球中另 一个球一定是蓝球.所以蓝球的个数为 1. 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 习题演练 【试题来源】 【题目】是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10＝36 若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。 【答案】不可以。 【解析】不可以 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】能否从 1、3、5、7、9、11、13、15 这 8 个数中选出 3 个数来，使它们的和为 24？ 【答案】不可以。 【解析】不可以 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数 45045 【答案】不可以。 【解析】不可以 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】你能不能将整数数 0 到 8 分别填入 3×3 的方格表中，使得每一行中的三个数之和 都是奇数? 【答案】不可以。 【解析】不可以 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】黑板上写着两个数 1 和 2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数 a 和 b，则增写 a×b＋a＋b 这个数，比如可增写 5（因为 1×2＋1＋2＝5）增写 11（因为 1×5＋1＋5＝11）， 一直写下去，问能否得到 2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？ 【答案】不可以。 【解析】不可以 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】一队小朋友表演球操，每人都拿着一个球，其中拿篮球的人比拿排球的多 1 人， 拿排球的人比拿足球的多 1 人。 （1）如果拿足球的人数是奇数，这队小朋友的人数是奇数还是偶数？ （2）如果拿排球的人数是奇数，这队小朋友的人数是奇数还是偶数？ 【答案】（1）偶数 （2）奇数 【解析】（1）偶数 （2）奇数 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】用代表整数的字母 a、b、c、d 写成等式组： a×b×c×d-a=1991 a×b×c×d-b=1993 a×b×c×d-c=1995 a×b×c×d-d=1997 试说明：符合条件的整数 a、b、c、d 是否存在. 【答案】不存在 【解析】不存在 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】在 ll 张卡片上各写有一个不超过 4 的数字．将这些卡片排成一行，得到一个 1l 位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个 1l 位数．证明：这两个 11 位数的和 至少有一位数字是偶数． 【答案】仍然与例题中的进位原则有关，可以用数字谜的方法分析。 【解析】仍然与例题中的进位原则有关，可以用数字谜的方法分析。 【知识点】奇数与偶数 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4