四年级下册奥数全册教案 40页

- 1 - 四年级奥数下册四年级奥数下册四年级奥数下册四年级奥数下册 班级： 姓名： 桂林泓文实验学校 四年级奥数下 第一讲 定义新运算 - 2 - 第一讲 定义新运算 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、 符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。 这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对 于开拓思路及今后的学习都大有益处。 第一课时 例 1 ：对于任意数 a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。 求 12*4 的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。 例题 2：设 a、b 都表示数，规定是 a△b 表示 a 的 3 倍减去 b 的 2 倍，a△b=a×3-b×2。试计算： ①5△6 ②6△5 【思路导航】解这类题的关键是抓住定义的本质，这道题规定的运算本质是： 运算符号前面的 3 3 3 3 倍减 去运算符号后面的数的 2 2 2 2 倍。 解：5555△6=5×3-6×2=3 6△5=6×3-5×2=8 显然，本例题定义和运算不满足交换律，计算时不能将△前后的数交换。 例题 3：对于两个数 a、b，规定 a☆b=a×b+a+b。试计算 6☆2。 【思路导航】这道题规定的运算本质是：将运算符号的前后两个数的积加上这两个数。 解：6☆2=6×2+6+2=20 疯狂操练 1、设 a、b 都表示数，规定 a○b=6×a-2×b。试计算 3○4。 2、设 a、b 都表示数，规定 a＃b=3×a+2×b。试计算①（5＃6）＃7 ②5＃（6＃7） 3、有两个整数是 A、B，A@B 表示 A 与 B 的平均数。已知 A@6=17，求 A。 4、对于两个数 a、b，规定 a☆b=a×b-（a+b）。试计算 3☆5。 5、对于两个数 A 与 B，规定 A※B=A×B÷2。试算 6※4。 四年级奥数下 第一讲 定义新运算 - 3 - 6、对于两个数 a、b，规定 a＆b=a×b+a+b。试计算 5＆x=29，求 x。 7、对于两个数 a、b，规定 a☆b=a×b-a-b。试计算 4☆3☆2。 第二课时 例题 4444：如果 2△3=2+3+4，5△4=5+6+7+8，按此规则计算：3△5 【思路导航】这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起，每次加的数都比前面的数前一个数 多 1111，加数的个数为运算符号后面的数。 解：3△5=3+4+5+6+7=25 例题 5： 【思路导航】从已知的三式来看，运算“ ”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面 的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第 1 个数是 1 位数，第 2 个数是 2 位数， 第 3 个数是 3 位数……按此规定，得 3 5=3+33+333+3333+33333=37035。 例题 6666：对于两个数 a 与 b，规定 a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1)。已知 x□6=27，求 x。 【思路导航】经过仔细分析，可以发现这道题规定运算的本质仍然是： 从运算符号前面的数加起。每 次加的数都比它相邻的前一个数多 1111，加数的个数为运算符号后面的数。 解：原式=x+(x+1)+(x+2)+…+（x+5)=27 即 6x+15=27 x=2 练习 1、如果 5 2=5×6,2 3=2×3×4，按此规则计算：3 4。 2、如果 2 4=24÷（2+4），3 6=36÷（3+6)，按此规则计算：8 4。 四年级奥数下 第一讲 定义新运算 - 4 - 3、如果 2△3=2+3+4,5△4=5+6+7+8，且 1△x=15，求 x。 4、如果 2□3=2+3+4=9，6□5=6+7+8+9+10=40。已知 x□3=5973，求 x。 5、对于两个数 a 与 b，规定 a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b-1)，已知 95□x=585，求 x。 6、如果 1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6,……按此规则计算 5！ 第三课时 例题 7777：如果 1 =1,2 =4,3 =9。依次规律，计算 10 =？ 【思路导航】经过仔细分析，可以发现这道题规定运算的本质是：a =a×a。 例题 8888：有一个数学符号 “ ”使下列算式成立： 2 4=8,5 3=13,3 5=11,9 7=25。按此规则计算 ： 7 3。 【思路导航】经过仔细分析，可以发现这道题规定运算的本质是：a b=2a+b。依次规律，易求 7 3。 解：7 3=2×7+3=17. 练习 1、如果 6※2=12，4※3=13,3※4=15，5※1=8。按此规律计算：8※4。 2、已知 2 3=9 7 2=15 3 5=25。按此规律计算：16 4。 3、已知 5◇2=60 7◇3=861 4◇4=4936，按此规律计算：1◇5。 4、已知#1=1 #2=8 #3=27，按此规律计算#6=？ 四年级奥数下 第二讲 图形计数 - 5 - 第二讲 图形计数 我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时， 就构成了复杂的几何图形，要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就要仔细地 观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。 第一课时 例题 1111：数出下列图形中有多少条线段。 方法一：“基本线段”有 3 条：AB，BC，CD； 由两条基本线段连成的线段有 2 条：AC，BD； 由三条基本线段连成的线段有 1 条：AD。 因此图中共有线段有 3+2+1=6（条） 方法二：以 A 为左端点的线段为：AB，AC，AD 以 B 为左端点的线段为：BC，BD 以 C 为左端点的线段为：CD 因此图中共有线段有 3+2+1=6（条） 经进一步观察，分析不难发现，算式中最大的数等于线段上的总的点数减 1，线段的总数等于从 1 开始 的若干个连续自然数的和。即：1+2+3+…+（总点数-1），这个规律也适用于其他一些图形。 疯狂操练 1111 数出下列图中有多少条线段。 (1) (2) （3） （4） 例题 2222：数一数图中有多少个锐角。 【思路导航】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求 图中有多少个锐角，可根据公式 1+2+3+…+（总射线数-1）求得： 1+2+3+4=10（个） 四年级奥数下 第二讲 图形计数 - 6 - 所以，图中有 10 个锐角。 疯狂操练 2222 下列各图中分别有多少个锐角。 （1） （2） （3） 思考题： （1） （2）将下面的角内添上一些线段，使得角的个数为 10 个。 第二课时 例题 3333：数一数下图中有多少个三角形。 【思路导航】图中 AD 边上的每一条线段与顶点 O 构成一个三角形，也就是说，AD 边上有几条线段， 有几条线段，就构成了几个三角形，因为 AD 上有 4 个点，共有 1+2+3=6（条）线段，所以图中有 6 个三角形。 答：图中共有 6 个三角形。 疯狂练习 3333 （1） （2） （3） 例题 4444：数一数图中有多少个三角形。 【思路导航】与前一例题相比，图中多了一条线段 A'D'，因此，三角形的个数应该是 AD 和 A'D'上面 四年级奥数下 第二讲 图形计数 - 7 - 的线段与点 O 所围成的三角形个数的和。显然，以 AD 上的线段为底边的三角形也是 1+2+3=6（个） 三角形。 （1+2+3）×2=12（个） 答：图中共有 12 个三角形。 疯狂练习 4444 数一数下面各图中各有多少个三角形。 （1） （2） （3） 思考题：数出有多少个三角形 第三课时 课前热身：数一数下图中有多少个长方形。 【思路导航】数长方形与数线段的方法类似。可以这样思考，图中的长方形的个数取决于 AB 或 CD 边上的线段，AB 边上的线段条数是 1+2+3=6（条），所以，图中有 1+2+3=6（个） 故图中有 6 个长方形。 即时热身： 例题 1111： 数一数图中有多少个长方形？ 四年级奥数下 第二讲 图形计数 - 8 - 【思路导航】图中的 AB 边上有线段 1+2+3=6（条），把 AB 边上的每一条线段作为长， AD 边上的每 一条作为宽，每一个长配一个宽，就组成了一个长方形，所以图中共有 6×3=18（个） 答：图中有 18 个长方形。 数长方形可以用下面的公式： 长边上的线段×宽边上的线段=长方形的个数 疯狂操练 1111 数一数，下面各图中分别有几个长方形？ 例题 2222：数一数下面有多少个正方形？（每个小方格都是边长为 1 的正方形） 【思路导航】图中边长为 1 个长度单位的正方形有 3×3=9（个），边长为 2 个长度单位的正方形有 2 ×2=4（个），边长为 3 个长度单位的正方形有 1×1=1（个）。 所以图中的正方形总数为：1×1+2×2+3×3=1+4+9=14（个）。 答：图中有 14 个正方形。 经进一步分析可以发现，由相同的 n×n 个小方格组成的 n 行 n 列的正方形其中所含的正方形总数为： 1×1+2×2+3×3+……+n×n 疯狂练习 2222 数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是 1 的小正方形） 第四课时 例题 3333：数一数下图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形） 四年级奥数下 第二讲 图形计数 - 9 - 【思路导航】边长是 1 个长度单位的正方形有 3×2=6（个），边长是 2 个单位的正方形有 2×1=2 个， 所以，图中正方形的总数为：6+2=8（个）。 答：图中有 8 个正方形。 疯狂练习 3333 （1）数一数下列各图中分别有多少个正方形。 （2）下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？（说明：正方形也算长方形） 第五课时 综合 例题 4444： 从桂林到南宁的某次快车中途停靠 6 个大站，铁路局要为这次快车准备的车票中有多少种不同的 票价？ 【思路导航】这道题是数线段的方法在实际生活中的的应用，连同桂林、南宁在内，这条铁路上共有 8 个站，共有 1+2+3+5+6+7=28（条）线段，因此要准备 28 种不同的车票。（注意：同一趟车两个车站往 返车票一样）。 疯狂练习 4444 （1）从上海到武汉的航运线上，有 9 个停靠码头，航运公司要准备多少种不同的船票？ （2）从上海至青岛的某次直快列车，中途停靠 6 个大站，这次列车有几种不同的票价？ （3）从成都到南京的快车，中途要停靠 9 个站，有几种不同的票价？ 例题 5555： 求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米） 【思路导航】要求图中的线段的长的总和，可以这样计算： AB+AC+AD+AE+BC+BD＋BE+CD+CE+DE =1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）+3=52（厘米） 四年级奥数下 第三讲 归一问题 - 10 - 从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长 1 厘米的基本线段（我们把不能再划分的线段称为 基本线段）出现了 4 次，长 4 厘米的线段出现了（3×2）次，长 2 厘米的线段出现了（2×3）次，长 3 厘米的线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和还可以这样算： 1×4+4×（3×2）+2×（2×3）+3×（1×4） =1×（5-1）+4×（5-2）×2+2×（5-3）×3+3×（5-4）×4+（5-4）×4=52（厘米） 答：所有的线段总和是 52 厘米。 上式中的5是线段上的5 个端点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为 )1(321 ,, −… naaaa ，， 。 以上各线段的长的总和为 L，那么 )1(13)3(2)2(1)1( )1(321 −××+…+×−×+×−×+×−×= − nanananaL n 。 疯狂练习 5 （1）求下图中所有线段的总和。（单位：米） （2）求下图中所有线段的总和。（单位：厘米） （3）一条线段上有 21 个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是 4 厘米，所有线段长度的总和是多 少？ 第三讲 归一问题 第一课时 例题 1111 王师傅 2 小时加工了 62 个零件，照这样计算，他每天工作 8 小时可以加工多少个零件？如果要加工 372 个零件需要几个小时？ 解：王师傅 1 小时加工零件：62÷2=31（个） 8 小时加工零件： 31×8=248（个） 加工 372 个零件： 372÷31=12（小时） 答：他每天 8 小时可以加工 248 个零件。如果要加工 372 个零件需要 12 个小时。 练习 四年级奥数下 第三讲 归一问题 - 11 - 1、一个人骑自行车 4 小时行 44 千米，照这样的速度，他骑自行车从家去 55 千米的姑姑家需要多少小 时？ 2、一个装订小组 3 小时装订 1800 本书，照这样计算，装订 4800 本书需要多少小时？ 例题 2222 一个粮食加工厂加工大米 5000 千克，3 小时加工了 1500 千克，照这样计算，加工完剩下的大米还要几 小时？ 解：每小时加工：1500÷3=500（千克） 还剩下：5000-1500=3500（千克） 还要的时间：3500÷500=7（小时） 答：加工完剩下的大米还要几小时。 练习 1、一个车间加工 48 个零件，4 小时加工了 24 个，照这样计算，加工完剩下的零件还要多少小时？ 2、一个米粉厂加工面粉 2000 千克，3 小时加工了 1200 千克，照这样计算，加工完所有的面粉需要多 少个小时？ 提高 某人用 25 秒将一根木料锯成 6 段，照这样计算，把 9 根同样的木料每根锯成 9 段需要多少分钟？ 四年级奥数下 第三讲 归一问题 - 12 - 课堂小结 总数÷份数=一份数 一份数×份数=总数 总数÷一份数=份数 第二课时 例题 3333 加工一批零件，8 人 3 天可以完成 96 个，照这样计算，15 人 8 天可以加工零件多少个？ 解：1 人 1 天做：96÷8÷3 =12÷3 =4（个） 15 人 8 天做： 4×15×8 =60×8 =480（个） 答：15 人 8 天可以加工零件 480 个。 田老师温馨提示：田老师温馨提示：田老师温馨提示：田老师温馨提示：先归一，即求出每人每天做几个，然后再解决问题。 练习 1、4 个工人 5 小时生产机器零件 100 个，照这样计算，6 个工人 8 小时生产零件多少个？ 2、王家村农民 12 人 7 天植树 1680 棵，照这样计算，28 人要植树 5600 棵需要多少天？ 例题 4444：东新饲养场原来喂了 20 匹马，7 天用精饲料 280 千克，照这样计算，增加 5 匹马，450 千克 精饲料能喂几天？ 解：（两次归一）每匹马每天用精饲料：280÷20÷7 =14÷7 =2（千克） 现在有马：20+5=25（匹） 现在每天用精饲料：25×2=50（千克） 450 千克需要的天数：450÷50=9（天） 答：450 千克精饲料能喂几天。 练习 1、4 台吊车 7 小时卸煤 1428 吨，如果增加 5 台同样的吊车，工作 8 小时，可以卸煤多少吨？ 四年级奥数下 第三讲 归一问题 - 13 - 2、苏兴织布机用了 3 台同样的织布机 4 小时织布 1140 米，现在增加到 5 台织布机，织布 1900 米需要 多少个小时？ 提高：三个和尚吃三个馒头用 3 分钟，照这样计算，九个和尚吃 9 个馒头，要多少分钟？ 第三课时 例题 5555：加工一批零件，9 个工人 20 天可以完成，如果增加 6 个工人，每个工人的工作效率相同，可 以提前几天完成任务？ 解：假设每个工人每天完成一件，则 9 个工人 20 天做：1×9×20=180（件） 现在有工人 9+6=15（人），做 180 件需要的天数是：180÷15=12（天） 可以提前天数 20-12=8（天） 答：可以提前 8 天完成任务。 田老师温馨提示：田老师温馨提示：田老师温馨提示：田老师温馨提示：不明确每人每天做多少个零件的时候，先假设每人每天做 1 个。 1、煤厂计划 24 天完成一批供煤任务，每天应生产 45 吨煤。改进技术后，每天比原计划多生产 15 吨， 这样提前几天完成任务？ 2、一件零件，5 人每天工作 8 小时用 6 天可以完成，照这样计算，增加 5 人每天少工作 2 小时，提前 几天完成任务？ 3、某服装厂接受了一批服装的加工任务，25 个工人 12 天可以完成，工作 6 天后，又增加了 5 个工人， 还要几天才能完成任务？ 例题 6666：一条长 1200 米的水渠计划 30 人用 20 天的时间做完，为了提前 8 天修完，照这样的速度， 需要增加多少人？ 解：每人每天修：1200÷30÷20 现在需要修的天数：20-8=12（天） =40÷20 一天修的长度：1200÷12=100（米） =2（米） 现在的人数：100÷2=50（人） 要增加的人：50-30=20（人） 答：需要增加 20 人。 四年级奥数下 第三讲 归一问题 - 14 - 练习 1、某工厂生产一批农具，25 个工人用 28 天完成，因生产需要提前 8 天完成，应增加多少工人？ 2、3 台织布机 4 小时能织布 144 米，照这样计算，要在 5 小时内再多织 336 米，需增加同样的织布机 多少台？ 提高 某车间原计划 15 人 6 天生产 1800 个零件，在开工时，又增加了任务，在每人的工作效率不变的情况 下，需 18 人做 8 天才能完成，增加了多少个零件的任务？ 第四课时 例题 7777：甲、乙、丙三人买了 8 个面包，平分着吃，甲付了 5 个面包的钱，乙付了 3 个面包的钱，丙 没有付钱，等吃完后一算，丙应该付出 3 元 2 角。问甲、乙应各收回多少钱？ 解：由于每个人吃的份量一样多，所以每人付的钱都应该是 3 元 2 角，则三人吃的面包钱总和为 3 元 2 角×3＝9 元 6 角。即 8 个面包 练习 1、甲、乙、丙外出旅游，甲带了 5 个蛋糕，乙带了 3 个蛋糕，丙没带，中午 3 人平分吃蛋糕，吃完后， 丙拿出 1 元 6 角，那么甲、乙各应收回多少钱？ 例题 8888 如果买 6 个书包和 3 盒水彩笔需要 294 元，而如果买 2 个书包和 3 盒水彩笔只需 154 元，求一个书包 和一盒水彩笔各多少钱？ 练习 1、小明买了 4 本练习本盒 3 支圆珠笔，一共用去 10 元钱，小红买了 4 本练习本和 5 支圆珠笔，共用 去了 14 元钱。求一本练习本和一支圆珠笔各多少钱？ 四年级奥数下 第四讲 盈亏问题 - 15 - 第四讲 盈亏问题 第一课时 教学内容：一盈一亏类型的盈亏问题 例 1111：幼儿园把一些糖果分给小朋友，如果每人分 2 个，则剩下 20 个；如果每人分 3 个，则差 40 个。 幼儿园有多少个小朋友？一共有多少块糖果？ 解： 第一种分配方案：每人 2 个，多 20 个……盈 第二种分配方案：每人 3 个，少 40 个……亏 分配对象：小朋友 被分配的是（物品）：糖果 根据一盈一亏的公式：（盈＋亏）÷两次分配之差=分配对象数 人数： （20＋40）÷（3－2）=60（人） 糖果： 60×2＋20=140（块） 或 60×3－40=140（块） 答：幼儿园一共有 60 个小朋友，一共有 140 块糖果。 课堂练习 1、一个植树小组植树。如果每人载 5 棵，还剩 14 棵；如果每人载 7 棵，就缺 4 棵。这个植树小组多 少人？共植树多少棵？ 2、学校组织同学们去划船，如果每船坐 3 个人，就多出 23 人，如果每船坐 5 个人，则空出了 3 条船， 问有多少同学，多少只船？ 3、有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人，如果减少一条船， 正好每条船坐 9 人。问：这个班一共有多少个同学？ 4、用绳子测一口井的深度，绳子对折时，超出井口 5 米；如果绳子四折，离井口还差 2 米，求井深和 绳长。 四年级奥数下 第四讲 盈亏问题 - 16 - 5、小强从家里去学校，如果每分钟走 50 米，就要迟到 3 分钟，如果每分钟走 60 米，可以提前 2 分钟 到校，小强家离学校多远？ 课后作业： 1、大队辅导员请即将入队的同学每 3 人一排，发现多了 20 人，他又将这些学生改成 5 人一排，人数 正好不多不少，入队的同学有多少人？ 2、用一根绳子测量桥的高对，如果绳子两折时，多 6 米；如果绳子 3 折时，差 2 米，求绳子长和桥高 分别是多少米？ 3、有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加 1 条船，正好每船坐 5 人；如果减少 1 条船，正 好每船坐 7 人，这个班有多少人？ 第二课时 教学内容：两盈、两亏、一盈一足、一亏一足类型的盈亏问题 例 2222：少先队员去植树，如果每人种 3 棵，还有 12 棵没有种，如果每人种 4 棵，还有 5 棵没有种，问 有多少个少先队员参加植树，一共要种多少树苗？ 解：第一种分配方案：每人 3 棵，多 12 棵……盈 第二种分配方案：每人 4 棵，多 5 棵……盈 分配对象：少先队员 物品：树 根据两盈公式：（大盈－小盈）÷两次分配差=分配对象数 人数：（12－5）÷（4－3）=7（个） 树：7×3＋12=33（棵）或 7×4＋5=33（棵） 答：有 7 个少先队员参加植树，一共要种 33 棵树苗。 练习二 1、田老师将一批钢笔笔奖给五（1）班本次月考成绩平均分上 90 分的同学。如果每人奖 5 支，则缺 8 支；如果每人奖 7 支，则缺 32 支。问四（1）班有多少人可以得李老师的奖励？李老师一共准备了多 少支钢笔？ 四年级奥数下 第四讲 盈亏问题 - 17 - 2、廖老师给美术兴趣小组的同学分若干支水彩笔。如果每人 5 支则多 12 支；如果每人分 8 支还多 3 支。请问每人分多少支刚好把水彩笔分完？ 3、学校安排四（1）学生到多媒体教室听安全教育讲座，如果每排坐 6 人，则空出 6 排；如果每排坐 9 人，则空出 8 排。四（1）班共有多少人？多媒体教室共有多少排座位？ 例 3 唐老师将棒棒糖分给 A 组同学，如果每人分 2 根还多 7 根，如果每人分 3 根正好分完，问 A 组 有多少个学生，李老师有多少根棒棒糖？ 解：第一种分配方案：每人 2 根，多 7 根……盈 第二种分配方案：每人 3 根，正好分完（0）……足 参加分配的量：同学 被分配的量：棒棒糖 根据一盈一尽公式：盈÷两次分配之差=参加分配的量 学生数：7÷（3－2）=7（个） 糖：7×2＋7=21（根） 或 7×3=21（根）……此种求法更简单 答：A 组共有 7 个同学，李老师有 21 根棒棒糖。 练习 1、生活老师为五年级全体女生分宿舍，如果每个房间住 12 人，房间刚刚好，如果每间房住 16 人，则 有 3 个房间空着，有多少个房间？有多少名女生？ 2、学校给新生安排宿舍，若 8 人一间则多 23 人，若 10 人一间则多 3 人，问有新生多少人？宿舍多少 间？ 3、老师将一些练习本分给班上的同学，如果每人发 10 本，则有两个学生没分到，如果每人分 8 个， 则正好发完，有多少个学生？多少个练习本？ 4、有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果每条船坐 8 人，多了 3 条船，如果每条船坐 5 人，正 好坐完，有多少名同学？多少条船 四年级奥数下 第四讲 盈亏问题 - 18 - 第三课时 教学内容：含有一级和两级转换类型的盈亏问题 例 4：动物园为猴山的猴子买来桃，这些桃如果每只猴分 5 个，还剩 32 个；如果其中 10 只小猴分 4 个，其余的猴分 8 个，就恰好分完。问：猴山有猴子多少只？共买来多少个桃？ 分析与讲解：根据观察对应数量关系的变化寻求答案的解题思路，首先需要把条件“如果其中 10 只小 猴分 4 个，其余的猴分 8 个，就恰好分完。”转化成：如果每只猴都分 8 个，就少了（8－4）×10=40 （个），然后按盈亏问题来求解。 解：第一种分配方案：每只猴子分 5 个，就多 32 个……盈 第二种分配方案：每只猴子都分 8 个，就缺（8－4）×10=40（个）…亏 分配对象：猴子 物品：桃 猴子：（40＋32）÷（8－5）=24（只） 桃子：5×24＋32=152（个） 答：猴山有猴 24 只，共买来桃子 152 个。 练习四 1、老师给幼儿园的小朋友分苹果，如果每位小朋友分 2 个，还多 30 个；如果其中的 12 位小朋友每人 分 3 个，剩下的每人分 4 个，正好分完。一共有多少位小朋友？有多少个苹果？ 2、少先队员去植树，如果每人挖 5 个树坑，还有 3 个树坑没人挖；如果其中 2 人各挖 8 个，其余的人 各挖 4 个树坑，就恰好挖完所有的树坑。少先队员一共挖多少树坑？ 3、在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中 2 人各擦 4 块，其余每人擦 5 块，则余 22 块； 如果每人擦 7 块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。 4、小红买来一筐橘子分给全家人。如果其中 2 人每人分 4 个，其余每人分 2 个，则多出 4 个；如果其 中 1 人分 6 个，其余每人分 4 个，则缺 12 个。小红买来多少个橘子？小红家共有多少人？ 5、农民种树，其中有 3 人分得树苗各 4 棵，其余的每人分得 3 棵，这样最后余下树苗 11 棵；如果 1 人先分得 3 棵，其余的每人分得 5 棵，则树苗恰好分尽。求人数和树苗的总数。 四年级奥数下 第五讲 鸡兔同笼问题（假设法解题） - 19 - 第五讲 鸡兔同笼问题 第一课时 教学内容：已知总头数、脚数之和 例题 1：今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共 35 个，鸡脚与兔脚共 94 只，问鸡、兔各有多少只？ 解：假设 35 只全是鸡，则共有脚 35×2=70（只） 比实际少 94-70=24（只） 我们把每只兔看做鸡少算 4-2=2（只）脚 则兔子只数：24÷2=12（只） 鸡数：35-12=23（只） 验算：鸡的脚数：23×2=46（只），兔的脚数：12×4=48（只） 脚的总和：46+48=94（只） 正确 答：鸡有 23 只，兔有 12 只。 田老师特别说明田老师特别说明田老师特别说明田老师特别说明：也可以假设 35 只全部是兔，自己试一试。 小结论： 随堂练习 1、鸡与兔共 30 只，共有脚 70 只，鸡与兔各有多少只？ 2、鸡与兔共有 20 只，共有脚 50 只，鸡和兔各有多少只？ 3、面值是 2 元、5 元的人民币共 27 张，合计 99 元，面值是 2 元、5 元的人民币各有多少 张？ 4、50 名同学去划船，一共乘坐 11 只船，其中每条大船坐 6 人，每条小船坐 4 人，问大船和小船各几 只？ 1、假设全是鸡： 兔数=（实际脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数） 2、假设全是兔： 鸡数=（每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数） 四年级奥数下 第五讲 鸡兔同笼问题（假设法解题） - 20 - 课后练习 1、龟、鹤共有 100 只脚，35 个头，龟、鹤各有多少只？ 2、孙佳有 2 分、5 分的硬币共 40 枚，一共是 1 元 7 角，两种硬币各有多少枚? 3、44 名学生去划船，一共乘坐 10 只船，其中大船坐 6 人，小船坐 4 人，问大船和小船各几只？ 第二课时 教学内容：已知总头数、脚数之差 例 2 鸡与兔共 100 只,鸡的脚数比兔的脚数少 28.问鸡与兔各几只 方法一：假设 100 只全是兔 则有兔脚 100×4=400（只） 假设中的兔脚，此时鸡脚为 0，少 400 只脚 400-28=372（只） 实际鸡脚比兔脚少 28 只，相差 372 只脚 思考：减少这 372 只脚的差距？？？？ 让一些兔子回归“本来面目”回到鸡的模样 2+4=6 一只兔子变成一只鸡，鸡脚增加 2 条，兔脚 减少 4 条，两者差距缩小 6 只，我们把这样 的一个过程称为“交换” 372÷6=62 需要变换 62 次，说明有鸡 62 只 100-62=38 只即为兔子数 方法二:假如再补上 28 只鸡脚,也就是再有鸡 28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚 4÷ 2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍.兔的只数是 (100+28÷2)÷(2+1)=38(只). 鸡是 100-38=62(只). 答:鸡 62 只,兔 38 只. 当然也可以去掉兔 28÷4=7(只).兔的只数是 (100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只). 解法三、也可以采用减去 28 只兔脚，自己不妨试下 随堂练习： 1、鸡兔共 45 只，鸡脚比兔脚多 60 只，鸡兔各几只？ 四年级奥数下 第五讲 鸡兔同笼问题（假设法解题） - 21 - 2、鸡兔共 100 只，鸡脚比兔脚多 80 只，鸡兔各几只？ 3、鸡兔共 200 只，鸡的脚比兔的脚少 56 只，则鸡兔各几只？ 第三课时 教学内容：头数之差，脚数之和 例 3 鸡兔共笼，鸡比兔多 30 只，共有脚 168 只，鸡兔各几只？ 方法一：假设法 假设全是鸡，共有 168÷2=84（只），这时兔为 0 只，鸡比兔多 84 只。 而题是鸡比兔多 30 只，相差 54 只，所以要换。为保持总脚数不变，必须用两只鸡换一只兔，换一次， 鸡少两只兔多一只，相差三只，共换：54÷（2+1）=18 次，即兔为 18 只，鸡就是 48 只 方法二：“减” 因为鸡比免多 30 只，如果把 30 只鸡拿走，那总脚数就变成：168-60=108 只，这时鸡兔一样多，都是： 108÷（2+4）=18 只，原来鸡就有 48 只 方法三：补” 因为兔比鸡少 30 只，如果补上 30 只兔，这时鸡兔数目一样多，而总脚数就变成了：168+30*4=288 只，288÷（2+4）=48 只，48-30=18 只。 练习 1、鸡兔同笼，鸡比兔多 19 只，共有腿 230，鸡兔各几只？ 2、杯子和热水瓶共 170 元，单价分别为 2 元和 15 元，杯子比热水瓶多 34 只，它们各多少只 3、买甲、乙两种戏票，甲票每张 4 元，乙票每张 3 元，乙票比甲票多买了 9 张，共用去 97 元，两种 票各几张？ 四年级奥数下 第五讲 鸡兔同笼问题（假设法解题） - 22 - 4、100 个和尚 140 个馍，大和尚 1 人分 3 个，小和尚 1 人 1 个，问大小和尚各几人？ 5、有龟和鹤两种动物，其中鹤比龟多 26 只，共有脚 178 只，则龟和鹤各有多少只？ 6、现有大小油瓶共 50 个，每个大瓶可装油 4 千克，每个小瓶可装油 2 千克，大瓶比小瓶共多装 20 千 克，问，大小瓶各有多少千克? 第四课时 教学内容：杂题 例题 4：猴子妈妈摘桃子，晴天每天可以摘 20 个，雨天每天只能摘 12 个，它一连几天摘了 112 个桃子， 平均每天 14 个。这几天当中有几天是雨天？ 分析与讲解：题目中没有直接给出总共的天数，但是 可以求：天数=总数÷平均数=112÷14=8（天） 假设这 8 天都是晴天，那么摘的桃子数是 20×8=160 （个）。比实际的多 160－112=48（个）。晴天比雨 天每天多摘 20－12=8（个），有多少天可以摘 48 个？48÷8=6（天）——雨天。 假设全是雨天，该怎样解答？ 课堂练习 1、一辆汽车运矿石，晴天每天可运 14 次，雨天每天只能运 3 次。这辆汽车运了 17 天，共运了 139 次。 这些天有多少天下雨？ 2、某中学利用暑假进行军训活动，晴天每日行 35 里，雨天每日行 22 里，13 天共行 403 里，这期间雨 天有多少天？ 四年级奥数下 第五讲 鸡兔同笼问题（假设法解题） - 23 - 例题 5：一批水泥，用小车装载，要用 45 辆，用大车装载，只要 36 辆，每辆大车比小车多装 4 吨，这 批水泥有多少吨？ 分析与讲解：假设用 36 辆小车运，则多剩下 4×36=144（吨），只需要 45－36=9（辆）小车来运，这 样可以求出每辆小车的装载量 144÷9=16（吨），所以这批水泥有 16×45=720（吨）。 想一想：如果只用 45 辆大车来运，该怎样解答？ 及时练习 1、一批货物用大卡车装运 16 辆，如果用小卡车装要 48 辆，已知大卡车比小卡车每辆多装 4 吨，问这 批货物有多少吨？ 2、有一堆黄沙，用大汽车运需运 50 次，如果用小汽车运，要运 80 次，每辆大汽车比小汽车多运 3 吨， 这堆黄沙有多少吨？ 3、一批货物，用小车装载，要用 15 辆，用大车装载，只要 12 辆，每辆大车比小车多装 10 吨，这批 货物有多少吨？ 4、一批钢材，用小车装，要用 35 辆，用大车装只用 30 辆，每辆小车比大车少装 3 吨，这批钢材有多 少吨？ 第五课时 教学内容：杂题 例题 6：一次数学竞赛共有 20 道题，做对一题得 5 分，做错一题扣 3 分，刘冬考了 52 分，求刘冬做 对几题？ 分析与讲解：假设 20 道题全部做对，那么刘冬就得了 100 分，比实际多了 100－52=48 分，每题相差 了 5＋3=8 分，做错几题会相差 48 分？48÷8=6（道），刘冬做对 20－6=14（道）题。 四年级奥数下 第五讲 鸡兔同笼问题（假设法解题） - 24 - 练习 1、“未来杯”数学竞赛共有 20 道题，评分标准是做对一题得 5 分，做错或没做一题倒扣 2 分。李宏得 了 72 分，她做对了几道题？ 2、小红参加数学竞赛，共做 25 道题，得 78 分，已知做对一题得 4 分，不做得 0 分，错一题扣 1 分， 问小红做对几道题？ 例题 7：某场乒乓球比赛售出 30 元、40 元、50 元的门票共 200 张，收入 7800 元，其中 40 元和 50 元 的张数相等，每种票各售出多少张？ 分析与讲解：因为“40 元和 50 元的张数相等”，所以可把 40 元和 50 元的门票都看作 45 元的门票。假 设这 200 张门票都是 45 元，应付 45×200=9000（元），这样就比实际少付了 9000－7800=1200（元）。 这是因为把 30 元的门票都看成了 45 元的门票，因此 30 元的门票有 1200÷（45－30）=80（张）。由 此可以求出 40 元和 50 元的门票张数各是（200－80）÷2=60（张）。 练习 1、某场羽毛球比赛售出 40 元、30 元、50 元的门票共 400 张，收入 15600 元，其中 40 元和 50 元的张 数相等。每种票各售出多少张？ 2、老师买了每支价格分别是 8 元、5 元和 3 元的三种签字笔共 52 支，共付了 256 元，买 5 元、3 元的 签字笔数量相等。问：三种签字笔各买了多少支？ 四年级奥数下 第六讲 相遇问题 - 25 - 第六讲 相遇问题 第一课时 田老师建议：在学习本章时一定要主动画图。善于画图。 例 1111、小强和小明两人同时从家中出发相向而行，小强每分钟走 50 米，小明每分钟走 70 米，经过 20 分钟两人相遇。 问 （1）他们两家相距多少米？ （2）3 分钟时，他们还相距多少米？ （3）30 分钟时，他们相距多少米？ 解：(1)两家的距离=小强走的路程+小明走的总路程=50×20+70×20=1000+1400=2400（米） 或者 （50+70）×20=120×20=2400（米） （2）三分钟走了：2400-（50+70）×3 =2400-120×3 =2040（米） （3） (50+70)×30-2400 =120×30-2400 =1200（米） 答：他们两家相距 2400 米；3 分钟时，他们还相距 2040 米；30 分钟时，他们相距 1200 米。 小结： 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 练习 1、甲、乙两艘轮船分别从 A、B 两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶 18 千米，乙船每小时行驶 15 千米，经过 6 小时两艘轮船途中相遇，两地间的水路长多少千米？ 2、一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地相背而行，甲每分钟走 66 米，乙每分钟走 59 米，经过几分钟才能相遇？ 3、一辆汽车和一辆摩托车同时从相距 860 千米的两地出发，相向而行，汽车每小时行 45 千米，摩托 车每小时行 70 千米，6 小时后两车相距多少千米？ 4、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距 450 千米的两地相向而行，公共汽车每小时行 40 千米，小 轿车每小时行 50 千米，问几小时后两车相距 90 千米？ 四年级奥数下 第六讲 相遇问题 - 26 - 动脑筋 东西两镇相距 20 千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时行的路程是乙的 2 倍，3 小时后两人相距 56 千米，两人的速度各是多少？ 作业 1、两艘舰艇同时从甲港口出发相背而行，其中一艘每小时行 52 千米，另一艘每小时行 42 千米。经过 16 小时，他们相距多少千米？ 2、小明和小红家相距 600 米，两人同时从家相向出发，小明每分钟走 60 米，小红每分钟走 40 米，4 分钟后两人相距多少米？几分钟后两人相遇？ 3、汽车和货车同时从相距 506 千米的两地相向开出，汽车每小时行 52 千米，货车每小时行 40 千米， 那么几小时后两车相距 138 千米？ 第二课时 例 2222：甲、乙两地相距 300 米，小明和小军各从甲、乙两地相背而行，7 分钟后相距 860 米。小明每分 钟走 37 米，小军每分钟走多少米？ 解：两人 7 分钟共走的路程：860-300=560（米） 则两人一分钟共走的路程（即为速度和）：560÷7=80（米） 小军的速度：80-37=43（米/分） 答：小军每分钟走 80 米。 练习 1、小明和小勇家相距 1400 米，一个在学校东边，一个在学校西边。两人到学校都要走 8 分钟，已知 小明每分钟走 75 米，那么小勇每分钟走多少米？ 2、甲、乙两港口相距 3000 千米，两艘舰艇同时从甲、乙港口出发，相背而行，10 小时后两舰艇相距 4020 千米。其中一艘每小时行 52 千米，另一艘每小时行多少千米？ 四年级奥数下 第六讲 相遇问题 - 27 - 例 3333：甲、乙两列火车从相距 770 千米的两地相向而行，甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 41 千米， 乙车先出发 2 小时后，甲车才出发。甲车几小时后与乙车相遇？ 解：乙两小时走的路程：41×2=82（米） 甲乙的相遇路程：770-82=688（米） 甲乙相遇时间：688÷（41+45） =688÷86 =8（小时） 答：甲车 8 小时后与乙车相遇。 练习 1、甲、乙二人从相距 36 千米的两地相向而行。甲的速度为每小时 3 千米，乙的速度是每小时 4 千米， 若乙先出发 2 小时，甲才出发，则甲经过几小时后与乙相遇？ 2、甲、乙两地相距 340 千米，客车从甲地开往乙地，每小时行 40 千米，1 小时后，货车从乙地开往甲 地，每小时行 60 千米。货车出发几小时后与客车相遇？ 3、甲、乙两地相距 180 米，红红和芳芳分别从甲、乙两地同时相向而行，2 分钟后相距 20 米，红红每 分钟走 45 米，问芳芳每分钟走多少米？ 4、甲、乙两船分别从 550 千米的 A、B 两港相向开出，甲船每小时行 30 千米，出发 2 小时后，乙船 才从 B 港开出，速度为每小时 40 千米，求乙船开出后几小时与甲船相遇？ 第三课时 例 4444：客车和货车同时从 A、B 两地相向开出，客车每小时行 60 千米，货车每小时行 80 千米，两车在 距中点 30 千米处相遇，求 A、B 两地相距多少千米？ 解：货车比客车多走：30×2=60（千米） 两车相遇时间：60÷（80-60） =60÷20 =3（小时） AB 距离：（80+60）×3 =140×3 =420（千米） 答：A、B 两地相距 420 千米。 四年级奥数下 第六讲 相遇问题 - 28 - 练习 1、甲、乙两辆车同时从两地出发，相向而行。甲汽车每小时行 50 千米，乙汽车每小时行 55 千米。两 车在距中点 15 千米处相遇。求两地之间的路程是多少千米？ 2、下午放学时，小红从学校回家，每分钟走 100 米，同时妈妈也从家中出发到学校去接小红，每分钟 走 120 米，两人在距中点 50 米的地方相遇。求小红家到学校之间的路程。 第四课时 例 5555：两地相距 900 米，甲、乙二人同时、同地向同一个方向行走，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 100 米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？ 解：甲乙两人共走了 900×2=1800（米） 每小时速度和：100+80=180（米） 相遇时间：1800÷180=10（分钟） 答：从出发到相遇共经过 10 分钟。 练习 、两地相距 1900 米，甲、乙二人同时同地向同一个方向走，甲每分钟走 90 米，乙每分钟走 100 米， 当乙到达目标后，立即返回与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？ 2、兄妹二人同时离家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米，哥哥到校门时，发现忘带课本， 立即沿原路回家去取，行至学校 180 米处与妹妹相遇，他们家离学校多远？ 第五课时 例 6666：王欣和陆亮两人从相距 2000 米的两地相向而行，王欣每分钟行 110 米，陆亮每分钟行 90 米，如 果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟 500 米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去，遇到王欣再向陆 亮跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？ 解：狗走的时间与人一样，人的相遇时间为：2000÷（110+90） =2000÷200 =10（分钟） 狗跑的路程：500×10=5000（米） 答：狗共行了 5000 米。 练习 1、A、B 两地相距 400 千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行 38 千米，乙车每小时行 42 千米，一只燕子以每小时 50 千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车又折回去向甲车飞 去。这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？ 四年级奥数下 第六讲 相遇问题 - 29 - 2、甲乙两队学生从相隔 18 千米的两地同时出发，相向而行。一个同学骑自行车以 15 千米的速度在两 队间不停往返联络。甲队每小时行 5 千米，乙队每小时行 4 千米，两队相遇时，骑自行车的同学共行 了多少千米？ 第六课时 例 7777：甲乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两人同时从同地相背而行，乙跑 4 分钟后两 人第一次相遇，甲跑一周要 6 分钟，乙跑一周要多少分钟？ 解：甲乙相遇时间为 4 分钟 因为甲跑完一圈要 6 分钟，则甲跑乙跑的路程只要 6-4=2（分钟），即跑同样的路程（虚线部分）， 乙要的时间是乙的 2 倍。可以得出整个一圈，乙跑 的时间均是甲的 2 倍。所以乙跑一圈要 6×2=12（分钟） 答：乙跑一周要 12 分钟。 练习 1、小冬和小刚两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果同时从同地相背而行，小刚 6 分钟后两 人第一次相遇，小冬跑一周要 8 分钟，小刚跑一周要多少分钟？ 2、甲、乙两车从 A、B 两地相对开出，6 小时后相遇。甲车从 A 地到 B 地要 9 小时，乙车从 A 地到 B 地要几小时？ 第七课时 例 8888：甲乙两人骑车同时从东西两地相向而行，8 小时相遇。如果甲每小时少行 1 千米，乙每小时多行 3 千米，这样过了 7 小时就可以相遇。东、西两地相距多少千米? 解：甲乙现在的“速度和”比原来的“速度和”多 3-1=2（千米/小时） 假设按照以前的速度走 7 小时：则少走 2×7=14（千米） 则余下的 14 千米需要 1 小时走完，即以前的速度和为：14÷1=14（千米/小时） 所以东西两地相距：14×8=112（千米） 练习 1、小明和小军分别从甲乙两地同时出发，相向而行。如果按原定速度前进，则 4 小时相遇，如果两人 各自比原定速度每小时多走 1 千米，则 3 小时相遇。甲乙两地相距多少千米？ 甲 乙 4 分 钟 4 分 钟 四年级奥数下 第七讲 追及问题 - 30 - 2、小明和小军分别从甲乙两地同时出发，相向而行。如果按原定速度前进，则 4 小时相遇，如果两人 各自比原定速度每小时少走 1 千米，则 5 小时相遇。甲乙两地相距多少千米？ 第七讲 追及问题 第一课时 课前热身：兔子在狗前面 150 米，一步跳 2 米，狗更快，一步跳 3 米，狗追上兔子需要几步？ 解： 3－2=1（米） 150÷1=150（步） 答：狗追上兔子需要跳 150 步。 几个概念几个概念几个概念几个概念 速度差：快车比慢车单位时间内多行的路程，即快车每小时或每分钟比慢车多行的路程。 追及时间：快车追上慢车相差的时间。 追及距离（路程差）：快车开始和慢车相差的路程。 例 1111：骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面 450 米处，行人每分钟步行 60 米， 两人同时出发，3 分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？ 解：速度差：450÷3=150（米/分） 汽车人速度：150+60=210（米/分） 答：骑自行车的人每分钟行 210 米。 例 2222：两艘渡船从南岸开往北岸，第一艘船以每小时 30 千米的速度先开，第二艘船晚开 2 小时，速度 为每小时 40 千米，结果两船同时到达，求南、北两岸相距多远？ 解：第一艘船 2 小时走：30×2=60（千米） 第二艘船的行驶时间为：60÷（40-30） =60÷10 =6（小时） 南北距离：40×6=240（千米） 答：南北距离为 240 千米。 练习 1、下午放学后，小雨以每分钟 50 米的速度从学校步行回家，12 分钟以后，小豪从学校出发，以每分 钟 125 米的速度骑自行车去追小雨。问：小豪多少时间才能追上小雨？ 2、两辆汽车从 A 地到 B 地，第一辆汽车每小时行 54 千米，第二辆汽车每小时行 63 千米，第一辆汽 车先行 2 小时后，第二辆汽车才出发，问第二辆汽车出发后几小时追上第一辆汽车？ 四年级奥数下 第七讲 追及问题 - 31 - 3、哥哥步行速度是每分钟 75 米，妹妹步行速度是每分钟 50 米，妹妹先出发 30 分钟后哥哥去追赶妹 妹。问：哥哥多少分钟追上妹妹？这时离出发地多少米？ 4、姐妹两人在同一小学上学，妹妹以每分钟 50 米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚 10 分钟出发， 为了不迟到，她以每分钟 150 米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到校的距离有 多远？ 第二课时 例 3 3 3 3 在一环形下水道中，一只老鼠在猫前面 200 米处，当猫看到老鼠之后，以 6 米/秒的速度捕捉，此 时老鼠以 4 米/秒的速度逃跑，问：多少秒后，猫能捉到老鼠，此时，老鼠和猫各跑了多少米？ 解：追及时间：200÷（6-4） =200÷2 =100（秒） 猫跑的路程：6×100=600（米） 老鼠跑的路程：4×100=400（米） 答：100 秒后猫捉到老鼠；此时，老鼠跑了 400 米，猫跑了 600 米。 练习 1、甲、乙两人沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑 290 米，乙每分钟跑 270 米，跑道一圈长 400 米。如 果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多少时间才能第一次追上乙？ 2、一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车平均每分钟骑 300 米，乙跑步，平均每分钟跑 250 米，两人同 时同地同向出发，经过多少分钟两人第一次相遇？ 3、光明小学有一条长 200 米长的环形跑道，亮亮和晶晶同时从起跑线起跑。亮亮每秒跑 6 米，晶晶每 秒跑 4 米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？ 第三课时 例 4：在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 3 分钟 20 秒相遇，如果背向 而行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？ 解：3 分 20 秒=200 秒 速度差：400÷200=2（米/秒） 速度和：400÷40=10（米/秒） 四年级奥数下 第八讲 流水行船问题 - 32 - 由和差问题得：甲速度：（10+2）÷2 乙速度：10-6=4（米/秒） =12÷2 =6（米/秒） 答：甲的速度是 6 米/秒，乙的速度是 4 米/秒。 练习 1、一环形跑道周长 300 米，甲、乙两人同时同地出发，若反向而行 1 分钟相遇，若同向而行 5 分钟， 甲可追上乙，求甲、乙两人的速度。 2、甲、乙两人在环形跑道上练长跑，两人从同一地点同时同向出发，已知甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米，经过 20 分钟两人共同相遇 6 次，问这个跑道有多长？ 3、两名运动员在湖周围环形道上练习长跑， 甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 200 米，两人同时同 地同向出发，经过 45 分钟甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？ 4、甲、乙两人从湖边同一地点同方向竞走，甲每分钟走 60 米，乙的速度比甲的 2 倍少 30 米，环湖一 周是 1200 米，问多少时间后两人相遇？ 5、甲、乙两人环绕周长 400 米的跑道跑，如果他们从同一地点背向而行，经过 2 分钟相遇，如果从同 一点同向而行，经过 20 分钟甲追上乙，求甲、乙两人每分钟的速度是多少？ 第八讲 流水行船问题 第一课时 基本概念： 船速：船在静水中的速度。 水速：水的流动速度。 顺水速度：船顺水航行的实际速度。也就是船速与水速的和。 逆水速度：船逆水航行的实际速度。也就是船速与水速之差。 公式： 顺水速度=船速＋水速 逆水速度=船速－水速 顺水速度=路程÷顺水时间 逆水速度=路程÷逆水时间 四年级奥数下 第八讲 流水行船问题 - 33 - 例 1 1 1 1 一艘船在静水中的速度是每小时 35 千米，水流速度是每小时 5 千米，逆水而行的速度是每小时多 少千米？ 解：逆水速度=船速-水速=35-5=30（千米/小时） 答：逆水而行的速度是每小时 30 千米。 练习 1、一艘船在静水中的航行速度是每小时 35 千米，逆水上行 4 小时行 120 千米，水流速度是每小时多 少千米？ 2、一艘船在静水中的航行速度是每小时 17 千米，河水流速为每小时 3 千米，那么这艘船顺水航行 240 千米需多少小时？ 3、一艘船在静水中航行每小时行 28 千米，水速为每小时 4 千米，它逆水航行 120 千米需用多少小时？ 1、一艘船在静水中的航行速度是每小时 35 千米，水流速度是每小时 5 千米，逆水而行的速度是每小 时多少千米？ 2、一艘船在静水中每小时行 28 千米，逆流 2 小时行 50 千米，求水速。 3、一种货船在静水中的速度是每小时 15 千米，它逆水航行 11 小时走了 88 千米，这艘船返回需多少 小时？ 第二课时 例 2222 一艘船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流每小时 15 千米，这艘船逆水每小时行多少千米？这艘船 逆水行这段路程，需用几个小时？ 解：顺水速度=320÷8=40（千米/小时） 船速=40-15=25（千米/小时） 逆水速度=25-15=10（千米/小时） 逆水时间=320÷10=32（小时） 四年级奥数下 第八讲 流水行船问题 - 34 - 答：这艘船逆水每小时行 10 千米；这艘船逆水行这段路程，需用 32 个小时。 练习 1、某船在静水中的速度是每小时 15 千米，它从上游甲地开往下游乙地共花了 8 小时，水速每小时 3 千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 2、一只小船以每小时 30 千米的速度在 176 千米长的河中逆水而行，用了 11 小时，求返回原处要用几 个小时？ 例 3333 两个码头相距 432 千米，轮船顺水行这段路程需用 16 小时，逆水每小时比顺水少行 9 千米，逆水 比顺水多用几个小时？ 解：顺水速度=432÷16=27（千米/小时） 逆水速度=顺水速度-9=27-9=18（千米/小时） 逆水时间=432÷18=24（小时） 逆水比顺水多的时间：24-18=6（小时） 答：逆水比顺水多用 6 小时。 练习 1、A、B 两港相距 300 千米，一艘轮船逆水行完全程需要 6 小时，逆水每小时比顺水少行 10 千米，逆 水比顺水多用多少个小时？ 2、一艘货船在相距 360 千米的两码头间顺水而行每小时航行 60 千米，顺水每小时比逆水每小时多 行 20 千米，问：逆水航行这段路程需要几小时？ 第三课时 例 4444：甲乙两港相距 208 千米，某船从甲开往乙，顺水 8 小时到达，从乙开往甲，逆水 13 小时到达， 求船在静水中的速度和水流速度。 解：顺水速度=208÷8=26（千米/小时） 逆水速度=208÷13=16（千米/小时） 静水速度=（26+16）÷2=21（千米/小时） 水流速度=（26-16）÷2=5（千米/小时） 答：船在静水中的速度是 21 千米/小时，水流速度是 5 千米/小时。 公式： 船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速=（顺水速度－逆水速度）÷2 四年级奥数下 第八讲 流水行船问题 - 35 - 练习 1、两地相距 280 千米，一艘轮船在期间航行，顺流用去了 14 小时，逆流用去 20 小时，求这艘轮船在 静水中的速度。 2、一艘船在河里顺流而下航行，每小时行 18 千米，船顺水行 2 小时与逆水行 3 小时的路程相等，那 么船速是多少？水速是多少？ 3、一段水路长 80 千米，甲船顺流而下需 4 小时，逆流而上需要 10 小时。如乙船顺流而下需 5 小时， 问乙船逆流而上需要多少小时？ 4、一艘船航行于 120 千米的长江两港口间，逆流而上用 10 小时，顺流而下用 6 小时，求水速和船速 分别是多少？ 5、乙船顺水航行 2 小时，行了 120 千米，返回原地用了 4 小时，甲船顺水航行同段水路，用了 3 小时， 求甲船在静水中的速度。 第四课时 例 5555： 甲、乙两船在相距 90 千米的河上航行，若相向而行 3 小时相遇，若同向而行则 15 小时甲船追 上乙船，求甲、乙两船在静水中的速度。 解：甲船速+乙船速=90÷3=30（千米/小时） 甲船速-乙船速=90÷15=6（千米/小时） 答：甲的船速是 30 千米/小时，乙的船速是 6 千米/小时。 练习 1、甲乙两船在静水中的速度分别是每小时 24 千米和每小时 32 千米，两船从某河相距 560 千米的两 港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？ 四年级奥数下 第九讲 逻辑推理问题 - 36 - 2、静水中甲、乙两船的速度分别为每小时 22 千米和每小时 18 千米，两船先后从某港口顺水开出，乙 船比甲船早出发 2 小时，若水速是每小时 4 千米，问甲船开出几小时后可追上乙船？ 例 6666 甲、乙两个码头相距 560 千米，一艘船从甲码头顺水航行 20 小时到达乙码头，已知船在静水中 每小时行驶 24 千米，问这船返回甲码头需几小时？ 解：顺水速度=560÷20=28（千米/小时） 水速=顺水速度-船速=28-24=4（千米/小时） 逆水速度=船速-水速=24-4=20（千米/小时） 逆水时间=560÷20=28（小时） 答：这船返回甲码头需 28 小时。 练习 1、甲、乙两港相距 360 千米，一轮船往返两港需 35 小时，逆流航行比顺流航行多花了 5 小时，现在 有一机帆船，静水中的速度是每小时 12 千米，这只机帆船往返两港要多少小时？ 思考题 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并掉过船头时，水壶与船已 经相距 2 千米，假定小船的速度是每小时 4 千米，水流的速度是每小时 2 千米，那么他们追上水壶需 要多少时间？ 第九讲 逻辑推理 第一课时 例 1111 有三个小朋友在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静多。” 静静说：“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？谁做的好事最少？ 【思路导航】我们用“>”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系。 兰兰>静静 冬冬>静静 冬冬>兰兰 所以，冬冬>兰兰>静静，冬冬做的好事最多，静静做的好事最少。 答：冬冬做的最多，静静做的最少。 练习 1、卢刚，丁飞和陈瑜三人，一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在知道： 卢刚和医生不同岁；医生比丁飞年龄小；陈瑜比飞行员年龄大。请问，谁是工程师，谁是医生，谁是 飞行员？ 四年级奥数下 第九讲 逻辑推理问题 - 37 - 2、小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了老师，数学家和工程师。 小张年龄比工程师大；小李和数学家不同岁；数学家比小徐年龄小。 想一想，谁是教师，谁是数学家，谁是工程师。 3、江波、刘晓、吴萌三位老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知： 江波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学。请问：三位老师分别教 什么科目？ 例 2：有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。 问这个正方体的每个汉字的对面是什么字？ 从图（1）中可知，“奥”的对面不是“林”“匹”，从图（2）中可知，“奥”的对面不是“数”、“学” 所以，“奥”的对面一定是“克” 从图（2）中可知：“数”的对面不是“奥”、“学”，从图（3）中可知，“数”的对面不是“克”“林”， 所以“数”的对面一定是“匹”。剩下的“学”的对面一定是“林”。 答：“奥”的对面是“克”，数的对面是“匹”，“学”的对面是“林”。 练习 1、下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红黄蓝绿白黑六种色。请判断黄色的对面是什么颜 色？白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色？ （A） （B） （C） 2、一个正方体，六个面分别写上 ABCDEF，你能根据这个正方体不同的摆法，求出相对的两个面的字 母是什么？ 林 奥 匹 学 奥 数 数 克 林 （1） （2） （3） 白 黑 黄 绿 白 红 黄 蓝 红 F A D B C A E D C 四年级奥数下 第九讲 逻辑推理问题 - 38 - 3、五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字 1～6，把木块叠成右图，那么，2 的对面是 几？4 的对面是几？5 的对面是几？ 第二课时 例 3333：甲乙丙三个孩子踢球打碎了玻璃窗，甲说：“是丙打碎的”。乙说：“我没有打碎玻璃窗”，丙说： “是乙打碎的。”他们当中只有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃窗？ 【思路导航】必须符合他们当中只有一人说了谎，推理时可以先假设，看结论和条件是否矛盾。 如果是甲打碎的，那么是甲说谎话，乙说真话，丙说谎话，这样两人说的话是谎话，与他们中只 有一人说谎矛盾，所以不是甲打碎的。 如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是谎话，丙说的是实话，也与他们 中只有一个说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。 如果是丙打碎的，那么甲说的是实话，乙说的是实话，二丙说的是谎话。这样有两个人说的是实 话，符合条件他们中只有一个说的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。 练习 1、已知甲乙丙三个中，只有一个人会开汽车。 甲说：“我会开汽车”。乙说：“我不会开”。丙说：“甲不会开汽车。”如果三个人中有一个讲的是真 话，那么谁会开汽车？ 2、某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了 ABC 三个学生，A 说：“是 B 做的”。B 说：“不是我 做的”。C 说：“不是我做的”。这三个人中只有一个人说了实话，这件事是谁做的？ 3、ABCD 四个孩子踢球打碎了玻璃。 A 说：“是 C 或 D 打碎的”。B 说：“是 D 打碎的”。C 说：“我没有打碎玻璃”。D 说：“不是我打碎的。” 他们中只有一个人说了谎，到底是谁打碎了玻璃窗？ 例题 4：甲乙丙丁四个人同时参加数学竞赛。赛后， 甲说：“丙是第一名，我是第三名。”乙说：“我是第一名，丁是第四名”。丙说：“丁是第二名，我是第 三名”。丁没有说话。成绩揭晓时，大家发现甲乙丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名词吗？ 【思路导航】推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析，我们可以借助图表分 析。 5 5 4 6 3 6 3 2 4 5 6 5 四年级奥数下 第九讲 逻辑推理问题 - 39 - 第一名 第二名 第三名 第四名 甲 × 乙 × 丙 √ √ 丁 × √ （1）假如甲说丙是第一名是对的，那么甲说“我第三名”是错的，乙说“我是第一名”也是错的，而 乙说的“丁是第四名”是对的。 （2）由丁是第四名推出丙说丁是第二名是错的，根据条件，丙说“我第三名”是对的。 （3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。 重新推理： 第一名 第二名 第三名 第四名 甲 √ 乙 √ 丙 × × 丁 √ × （1）假设甲说“我是第一名”是对的，那么“丙是第一名”错的，由丙说“我是第三名”是错的，“丁 是第二名”是对的。 （2）由“丁第二名”推出乙说“丁是第四名”是错的，从而乙说“我是第一名”是对的。 （3）从表中可以看出：乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。 练习 1、甲乙丙丁四个人进行游泳比赛，赛前名次众说纷纭。有的说：“甲是第二名，丁是第三名。”有的说： “甲是第一名，丁是第二名。”有的说：“丙是第二名，丁第四名。”实际上，上面三种说法各说对了一 半。问甲乙丙丁各是第几名？ 2、红黄蓝白紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排，甲乙丙丁戊五个人猜各包里面珠子 的颜色。 甲猜：第二包紫色，第三包黄色。乙猜：第二包蓝色，第四包红色。丙猜：第一包红色，第五包白色。 丁猜：第三包蓝色，第四包白色。戊猜：第二包黄色，第五包紫色。 结果每个人各猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？ 3、张老师要五个同学给鄱阳湖、洞庭湖、太湖和巢湖和洪泽湖每个湖泊上写上号码，这五个同学只对 了一半，他们是这样回答的： 名次 名次 四年级奥数下 第九讲 逻辑推理问题 - 40 - 甲：2 是巢湖，3 是洞庭湖；乙：4 是鄱阳湖，2 是洪泽湖；丙：1 是鄱阳湖，5 是太湖；4 是太湖，3 是洪泽湖；戊：2 是洞庭湖，5 是巢湖。请写出各个号码所代表的湖泊。 例题 5：ABCD 与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两个都赛一场，比赛一段时间统计， A 赛了 4 盘，B 赛了 3 盘，C 赛了 2 盘，D 赛了 1 盘，问小强已经赛了几盘？ 【思路导航】用 5 个点表示这 5 个人，如果某两个人之间已经进行了比赛，就在表示两个人的点之间 画一条线，现在 A 赛 4 盘，所以 A 应该与其余 4 个点都连线。B 赛了 3 盘，由于 D 只赛了 1 盘，是和 A 赛的，所以 B 应该与 C 连。（B、A 已经连接）C 已经连了两条线。小强也连了 2 条线，即小强已经 赛了 2 场。 练习 1、上海、辽宁、北京、山东四个省足球队进行循环赛，到现在为止，上海队赛了 3 场，辽宁队赛了 2 场，山东队赛了 1 场，问北京队赛了几场？ 2、明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两人都要握一次手，明明已经 握了 5 次手，冬冬握了 4 次手，兰兰握了 3 次手，静静握了 2 次手，思思握了 1 次手。问：毛毛握了 几次手？ 3、甲乙丙丁比赛乒乓球，每两人要塞一场，结果甲胜了丁，并且甲乙丙三人的场数相同。问丁胜了几 场？ 思考题 传说古代有个“说谎国”和一个“老实国”。说谎国里的人全说谎话，老实国里的人全说实话。有两个 说谎国的人想跟着一个老实国的人混进老实国。进城时哨兵问 ：“你们是哪一国人？”甲说：“我是老 实国人。”乙说得很轻，哨兵没有听见，于是指着乙问丙：“他是哪国人？你又是哪国人？”丙说：“他 说他是老实国人，我也是。”请你判断，谁是老实国的人？