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  • 2022-02-10 发布

2020年小学数学五年级奥数经典题库及答案(含专题训练+强化训练)

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2020 年小学数学五年级奥数经典题库及答案 一、专题训练 一般应用题的解法(二) 一般应用题的解法(三) 一般应用题的解法(四) 一般应用题的解法(五) 分数数图形问题 长方形与正方形面积计算(二) 长方形与正方形面积计算(三) 长方形与正方形面积计算(四) 长方形与正方形面积计算(五) 小数的运算(一) 小数的运算(二) 小数乘法的计算 小数除法的计算(一) 小数除法的计算(二) 小数除法的计算(三) 二、强化训练题 1、甲乙两车同时从 AB 两地相对开出。甲行驶了全程的 5/11,如果甲 每小时行驶 4.5 千米,乙行了 5 小时。求 AB 两地相距多少千米 ? 解:AB 距离=(4.5×5)/(5/11)=49.5 千米 2、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。货车的速度 是客车的五分之四,货车行了全程的四分之一后,再行 28 千米与客 车相遇。甲乙两地相距多少千米? 解:客车和货车的速度之比为 5:4 那么相遇时的路程比=5:4 相遇时货车行全程的 4/9 此时货车行了全程的 1/4 距离相遇点还有 4/9-1/4=7/36 那么全程=28/(7/36)=144 千米 3、甲乙两人绕城而行,甲每小时行 8 千米,乙每小时行 6 千米。现 在两人同时从同一地点相背出发,乙遇到甲后,再行 4 小时回到原出 发点。求乙绕城一周所需要的时间? 解:甲乙速度比=8:6=4:3 相遇时乙行了全程的 3/7 那么 4 小时就是行全程的 4/7 所以乙行一周用的时间=4/(4/7)=7 小时 4、甲乙两人同时从 A 地步行走向 B 地,当甲走了全程的 14 时,乙 离 B 地还有 640 米,当甲走余下的 56 时,乙走完全程的 710,求 AB 两地距离是多少米? 解:甲走完 1/4 后余下 1-1/4=3/4 那么余下的 5/6 是 3/4×5/6=5/8 此时甲一共走了 1/4+5/8=7/8 那么甲乙的路程比=7/8:7/10=5:4 所以甲走全程的 1/4 时,乙走了全程的 1/4×4/5=1/5 那么 AB 距离=640/(1-1/5)=800 米 5、甲,乙两辆汽车同时从 A,B 两地相对开出,相向而行。甲车每小 时行 75 千米,乙车行完全程需 7 小时。两车开出 3 小时后相距 15 千 米,A,B 两地相距多少千米? 解:一种情况:此时甲乙还没有相遇 乙车 3 小时行全程的 3/7 甲 3 小时行 75×3=225 千米 AB 距离=(225+15)/(1-3/7)=240/(4/7)=420 千米 一种情况:甲乙已经相遇 (225-15)/(1-3/7)=210/(4/7)=367.5 千米 6、甲,已两人要走完这条路,甲要走 30 分,已要走 20 分,走 3 分 后,甲发现有东西没拿,拿东西耽误 3 分,甲再走几分钟跟已相遇? 解:甲相当于比乙晚出发 3+3+3=9 分钟 将全部路程看作单位 1 那么甲的速度=1/30 乙的速度=1/20 甲拿完东西出发时,乙已经走了 1/20×9=9/20 那么甲乙合走的距离 1-9/20=11/20 甲乙的速度和=1/20+1/30=1/12 那么再有(11/20)/(1/12)=6.6 分钟相遇 7、甲,乙两辆汽车从 A 地出发,同向而行,甲每小时走 36 千米,乙 每小时走 48 千米,若甲车比乙车早出发 2 小时,则乙车经过多少时 间才追上甲车? 解:路程差=36×2=72 千米 速度差=48-36=12 千米/小时 乙车需要 72/12=6 小时追上甲 8、甲乙两人分别从相距 36 千米的 ab 两地同时出发,相向而行,甲从 a 地出发至 1 千米时,发现有物品以往在 a 地,便立即返回,去了物 品又立即从 a 地向 b 地行进,这样甲、乙两人恰好在 a,b 两地的终 点处相遇,又知甲每小时比乙多走 0.5 千米,求甲、乙两人的速度? 解: 甲在相遇时实际走了 36×1/2+1×2=20 千米 乙走了 36×1/2=18 千米 那么甲比乙多走 20-18=2 千米 那么相遇时用的时间=2/0.5=4 小时 所以甲的速度=20/4=5 千米/小时 乙的速度=5-0.5=4.5 千米/小时 9、两列火车同时从相距 400 千米两地相向而行,客车每小时行 60 千 米,货车小时行 40 千米,两列火车行驶几小时后,相遇有相距 100 千米? 解:速度和=60+40=100 千米/小时 分两种情况, 没有相遇 那么需要时间=(400-100)/100=3 小时 已经相遇 那么需要时间=(400+100)/100=5 小时 10、甲每小时行驶 9 千米,乙每小时行驶 7 千米。两者在相距 6 千米 的两地同时向背而行,几小时后相距 150 千米? 解:速度和=9+7=16 千米/小时 那么经过(150-6)/16=144/16=9 小时相距 150 千米 11、甲乙两车从相距 600 千米的两地同时相向而行已知甲车每小时行 42 千米,乙车每小时行 58 千米两车相遇时乙车行了多少千米? 解: 速度和=42+58=100 千米/小时 相遇时间=600/100=6 小时 相遇时乙车行了 58×6=148 千米 或者 甲乙两车的速度比=42:58=21:29 所以相遇时乙车行了 600×29/(21+29)=348 千米 12、两车相向,6 小时相遇,后经 4 小时,客车到达,货车还有 188 千米, 问两地相距? 解:将两车看作一个整体 两车每小时行全程的 1/6 4 小时行 1/6×4=2/3 那么全程=188/(1-2/3)=188×3=564 千米 13、甲乙两地相距 600 千米,客车和货车从两地相向而行,6 小时相遇, 已知货车的速度是客车的 3 分之 2 ,求二车的速度? 解:二车的速度和=600/6=100 千米/小时 客车的速度=100/(1+2/3)=100×3/5=60 千米/小时 货车速度=100-60=40 千米/小时 14、小兔和小猫分别从相距 40 千米的 A、B 两地同时相向而行,经过 4 小时候相聚 4 千米,再经过多长时间相遇? 解:速度和=(40-4)/4=9 千米/小时 那么还需要 4/9 小时相遇 15、甲、乙两车分别从 a b 两地开出 甲车每小时行 50 千米 乙车每 小时行 40 千米 甲车比乙车早 1 小时到 两地相距多少? 甲车到达终点时,乙车距离终点 40×1=40 千米 甲车比乙车多行 40 千米 那么甲车到达终点用的时间=40/(50-40)=4 小时 两地距离=40×5=200 千米 16、两辆车从甲乙两地同时相对开出,4 时相遇。慢车是快车速度的 五分之三,相遇时快车比慢车多行 80 千米,两地相距多少? 解:快车和慢车的速度比=1:3/5=5:3 相遇时快车行了全程的 5/8 慢车行了全程的 3/8 那么全程=80/(5/8-3/8)=320 千米 17、甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发,相向而行,甲每分钟行 100 米,乙每分钟行 120 米,2 小时后两人相距 150 米。A、B 两地的最短 距离多少米?最长距离多少米? 解:最短距离是已经相遇,最长距离是还未相遇 速度和=100+120=220 米/分 2 小时=120 分 最短距离=220×120-150=26400-150=26250 米 最长距离=220×120+150=26400+150=26550 米 18、甲乙两地相距 180 千米,一辆汽车从甲地开往乙地计划 4 小时到 达,实际每小时比原计划多行 5 千米,这样可以比原计划提前几小时 到达? 解: 原来速度=180/4=45 千米/小时 实际速度=45+5=50 千米/小时 实际用的时间=180/50=3.6 小时 提前 4-3.6=0.4 小时 19、甲、乙两车同时从 AB 两地相对开出,相遇时,甲、乙两车所行 路程是 4:3,相遇后,乙每小时比甲快 12 千米,甲车仍按原速前进, 结果两车同时到达目的地,已知乙车一共行了 12 小时,AB 两地相距 多少千米? 解:设甲乙的速度分别为 4a 千米/小时,3a 千米/小时 那么 4a×12×(3/7)/(3a)+4a×12×(4/7)/(4a+12)=12 4/7+16a/7(4a+12)=1 16a+48+16a=28a+84 4a=36 a=9 甲的速度=4×9=36 千米/小时 AB 距离=36×12=432 千米 算术法: 相遇后的时间=12×3/7=36/7 小时 每小时快 12 千米,乙多行 12×36/7=432/7 千米 相遇时甲比乙多行 1/7 那么全程=(432/7)/(1/7)=432 千米 20、甲乙两汽车同时从相距 325 千米的两地相向而行,甲车每小时行 52 千米,乙车的速度是甲车的 1.5 倍,车开出几时相遇? 解:乙的速度=52×1.5=78 千米/小时 开出 325/(52+78)=325/130=2.5 相遇 21、甲乙两车分别从 A,B 两地同时出发相向而行,甲每小时行 80 千 米,乙每小时行全程的百分之十,当乙行到全程的 5/8 时,甲再行全 程的 1/6 可到达 B 地。求 A,B 两地相距多少千米? 解:乙行全程 5/8 用的时间=(5/8)/(1/10)=25/4 小时 AB 距离=(80×25/4)/(1-1/6)=500×6/5=600 千米 22、甲乙两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行驶 40 千米,乙 车每小时行驶 45 千米。两车相遇时,乙车离中点 20 千米。两地相距 多少千米? 解:甲乙速度比=40:45=8:9 甲乙路程比=8:9 相遇时乙行了全程的 9/17 那么两地距离=20/(9/17-1/2)=20/(1/34)=680 千米 23、甲乙两人分别在 A、B 两地同时相向而行,与 E 处相遇,甲继续 向 B 地行走,乙则休息了 14 分钟,再继续向 A 地行走,甲和乙分别 到达 B 和 A 后立即折返,仍在 E 处相遇。已知甲每分钟走 60 米,乙 每分钟走 80 米,则 A 和 B 两地相距多少米? 解:把全程看作单位 1 甲乙的速度比=60:80=3:4 E 点的位置距离 A 是全程的 3/7 二次相遇一共是 3 个全程 乙休息的 14 分钟,甲走了 60×14=840 米 乙在第一次相遇之后,走的路程是 3/7×2=6/7 那么甲走的路程是 6/7×3/4=9/14 实际甲走了 4/7×2=8/7 那么乙休息的时候甲走了 8/7-9/14=1/2 那么全程=840/(1/2)=1680 米 24、甲乙两列火车同时从 AB 两地相对开出,相遇时,甲.乙两车未行 的路程比为 4:5,已知乙车每小时行 72 千米,甲车行完全程要 10 小时,问 AB 两地相距多少千米? 解:相遇时未行的路程比为 4:5 那么已行的路程比为 5:4 时间比等于路程比的反比 甲乙路程比=5:4 时间比为 4:5 那么乙行完全程需要 10×5/4=12.5 小时 那么 AB 距离=72×12.5=900 千米 25、甲乙两人分别以每小时 4 千米和每小时 5 千米的速度从 A、B 两 地相向而行,相遇后二人继续往前走,如果甲从相遇点到达 B 地又行 2 小时,A、B 两地相距多少千米? 解:甲乙的相遇时的路程比=速度比=4:5 那么相遇时,甲距离目的地还有全程的 5/9 所以 AB 距离=4×2/(5/9)=72/5=14.4 千米 2、一项工作,甲 5 小时先完成 4 分之 1,乙 6 小时又完成剩下任务 的一半,最后余下的工作有甲乙合作,还需要多长时间能完成? 解:甲的工作效率=(1/4)/5=1/20 乙完成(1-1/4)×1/2=3/8 乙的工作效率=(3/8)/6=1/16 甲乙的工作效率和=1/20+1/16=9/80 此时还有 1-1/4-3/8=3/8 没有完成 还需要(3/8)/(9/80)=10/3 小时 3、工程队 30 天完成一项工程,先由 18 人做,12 天完成了工程的 3/1, 如果按时完成还要增加多少人? 解:每个人的工作效率=(1/3)/(12×18)=1/648 按时完成,还需要做 30-12=18 天 按时完成需要的人员(1-1/3)/(1/648×18)=24 人 需要增加 24-18=6 人 4、甲乙两人加工一批零件,甲先加工 1.5 小时,乙再加工,完成任务时, 甲完成这批零件的八分之五.已知甲乙的共效比是 3:2.问:甲单独加 工完成着批零件需多少小时? 解:甲乙工效比=3:2 也就是工作量之比=3:2 乙完成的是甲的 2/3 乙完成(1-5/8)=3/8 那么甲和乙一起工作时,完成的工作量=(3/8)/(2/3)=9/16 所以甲单独完成需要 1.5/(5/8-9/16)=1.5/(1/16)=24 小时 5、一项工程,甲、乙、丙三人合作需要 13 天,如果丙休息 2 天,乙 要多做 4 天,或者由甲、乙合作多做 1 天。问:这项工程由甲单独做 需要多少天? 解:丙做 2 天,乙要做 4 天 也就是说并做 1 天乙要做 2 天 那么丙 13 天的工作量乙要 2×13=26 天完成 乙做 4 天相当于甲乙合作 1 天 也就是乙做 3 天等于甲做 1 天 设甲单独完成需要 a 天 那么乙单独做需要 3a 天 丙单独做需要 3a/2 天 根据题意 1/a+1/3a+1/(3a/2)=1/13 1/a(1+1/3+2/3)=1/13 1/a×2=1/13 a=26 甲单独做需要 26 天 算术法:丙做 13 天相当于乙做 26 天 乙做 13+26=39 天相当于甲做 39/3=13 天 所以甲单独完成需要 13+13=26 天 6、解:乙做 60 套,甲做 60/(4/5)=75 套 甲三天做 165-75=90 套 甲的工作效率=90/3=30 套 乙每天加工 30×4/5=24 套 7、甲、乙两人生产一批零件,甲、乙工作效率的比是 2:1,两人共同 生产了 3 天后,剩下的由乙单独生产 2 天就全部完成了生产任务,这 时甲比乙多生产了 14 个零件,这批零件共有多少个? 解:将乙的工作效率看作单位 1 那么甲的工作效率为 2 乙 2 天完成 1×2=2 乙一共生产 1×(3+2)=5 甲一共生产 2×3=6 所以乙的工作效率=14/(6-5)=14 个/天 甲的工作效率=14×2=28 个/天 一共有零件 28×3+14×5=154 个 或者设甲乙的工作效率分别为 2a 个/天,a 个/天 2a×3-(3+2)a=14 6a-5a=14 a=14 一共有零件 28×3+14×5=154 个 8、一个工程项目,乙单独完成工程的时间是甲队的 2 倍;甲乙两队 合作完成工程需要 20 天;甲队每天工作费用为 1000 元,乙每天为 550 元,从以上信息,从节约资金角度,公司应选择哪个?应付工程 队费用多少? 解:甲乙的工作效率和=1/20 甲乙的工作时间比=1:2 那么甲乙的工作效率比=2:1 所以甲的工作效率=1/20×2/3=1/30 乙的工作效率=1/20×1/3=1/60 甲单独完成需要 1/(1/30)=30 天 乙单独完成需要 1/(1/60)=60 天 甲单独完成需要 1000×30=30000 元 乙单独完成需要 550×60=33000 元 甲乙合作完成需要(1000+550)×20=31000 元 很明显 甲单独完成需要的钱数最少 选择甲,需要付 30000 元工程费。 9、一批零件,甲乙两人合做 5.5 天可以超额完成这批零件的 0.1, 现在先由甲做 2 天,后由后由甲乙合作两天,最后再由乙接着做 4 天 完成任务,这批零件如果由乙单独做几天可以完成? 解:将全部零件看作单位 1 那么甲乙的工作效率和=(1+0.1)/5.5=1/5 整个过程是甲工作 2+2=4 天 乙工作 2+4=6 天 相当于甲乙合作 4 天,完成 1/5×4=4/5 那么乙单独做 6-4=2 天完成 1-4/5=1/5 所以乙单独完成需要 2/(1/5)=10 天 10、有一项工程要在规定日期内完成,如果甲工程队单独做正好如期 完成,如果乙工程队单独做就要超过 5 天才能完成。现由甲、乙两队 合作 3 天,余下的工程由乙队单独做正好按期完成,问规定日期是多 少天? 解:甲做 3 天相当于乙做 5 天 甲乙的工作效率之比=5:3 那么甲乙完成时间之比=3:5 所以甲完成用的时间是乙的 3/5 所以乙单独完成需要 5/(1-3/5)=5/(2/5)=12.5 天 规定时间=12.5-5=7.5 天 11、一项工程,甲队单独做 20 天完成,乙队单独做 30 天完成,现在 乙队先做 5 天后,剩下的由甲、乙两队合作,还需要多少天完成? 解:乙 5 天完成 5×1/30=1/6 甲乙合作的工作效率=1/20+1/30=1/6 那么还需要(1-1/6)/(1/6)=(5/6)/(1/6)=5 天 12、一项工程 甲独完成要 10 天,乙独做需 15 天,丙队要 20 天,3 队 一起干,甲队因事走了,结果共用了六天,甲队实际干了多少天? 解:乙丙的工作效率和=1/15+1/20=7/60 乙丙都做 6 天,完成 7/60×6=7/10 甲完成全部的 1-7/10=3/10 那么甲实际干了(3/10)/(1/10)=3 天 12、加工一个零件,甲需要 4 小时,乙需要 2.5 小时,丙需要 5 小时。 现在有 187 个零件需要加工,如果规定三人用同样多的时间完成,那 么各应该加工多少个? 解:甲乙丙加工 1 个零件分别需要 1/4 小时,2/5 小时,1/5 小时 那么完成的时间=187/(1/4+2/5+1/5)=187/0.85=220 小时 那么甲加工 1/4×220=55 个 乙加工 2/5×220=88 个 丙加工 1/5×220=44 个 13、一项工程,由甲先做 5/1,再由甲乙两队合作,又做了 16 天完 成。已知甲乙两队的工效比是 2:3,甲乙两队独立完成这项工程各 需多少天? 解:甲乙的工作效率和=(1-1/5)/16=(4/5)/16=1/20 甲的工作效率=1/20×2/(2+3)=1/50 乙的工作效率=1/20-1/50=3/100 那么甲单独完成需要 1/(1/50)=50 天 乙单独完成需要 1/(3/100)=100/3 天=33 又 1/33 天 14、一项工程,甲队 20 人单独做要 25 天,如果要 20 天完成,还需 再加多少人? 解:将每个人的工作量看作单位 1 还需要增加 1×25×20/(1×20)-20=25-20=5 人 15、一项工程,甲先做 3 天,然后乙加入,4 天后完成的这项工程的 3 分之 1,10 天后完成的这项工程的 4 分之 3。甲因有事调走,剩余全 都让乙做。一共做了多少天? 解:根据题意 甲乙合作开始是 4 天完成 1/3,后来是 10 天完成 3/4 所以甲乙合作 10-4=6 天完成 3/4-1/3=5/12 所以甲乙的工作效率和=(5/12)/6=5/72 那么甲的工作效率=(1/3-5/72×4)/3=(1/3-5/18)/3=1/54 乙的工作效率=5/72-1/54=11/216 那么乙完成剩下的需要(1-3/4)/(11/216)=54/11 天 一共做了 3+10+54/11=17 又 10/11 天 16、甲乙做相同零件各做了 16 天后甲还需 64 个乙还需 384 个才能完 成乙比甲的工作效率少百分之 40,求甲的效率? 解:设甲的工作效率为 a 个/天,则乙为(1-40%)a=0.6a 个/天 根据题意 16a+64=0.6a×16+384 16×0.4a=320 0.4a=20 a=50 个/天 甲的工作效率为 50 个/天 算术法: 乙比甲每天少做 40% 那么 16 天少做 384-64=320 个 每天少做 320/16=20 个 那么甲的工作效率=20/40%=50 个/天 17、张师傅每工作 6 天休息 1 天,王师傅每工作 5 天休息 2 天。现有 一项工程,张师傅独做需 97 天,李师傅需 75 天,如果两人合作,一 共需多少天? 解: 97 除以 7 等于 13 余 6,13*6=78,78+6=84 个工作日 75 除以 7 等于 10 余 5,10*5=50,50+5=55 个工作日 张师傅每工作日完成 1/84,每周完成 6/84=1/14 王师傅每工作日完成 1/55,每周完成 5/55=1/11 两人合作每工作日完成 139/4620,每周完成 25/154 6 周完成 150/154,还剩 4/154 (4/154)/(139/4620)=120/139 所以,6 周零一天,43 天 18、甲乙丙三人共同完成一项工程,3 天完成了全部的 1/5,然后甲 休息了 3 天,乙休息了 2 天,丙没休息,如果甲一天的工作量是丙一 天工作量的 3 倍,乙一天的工作量是丙一天工作量的 4 倍,那么这项 工作从开始算起多少天完成? 解:甲乙丙的工作效率和=(1/5)/3=1/15 丙的工作效率=(1/15)/(3+4+1)=1/120 甲的工作效率=1/120×3=1/40 乙的工作效率=1/120×4=1/30 这里把丙的工作效率看作 1 倍数 甲休息 3 天,乙休息 2 天这段时间一共完成 1/30+1/120×3=7/120 那么剩下的还需要(1-1/5-7/120)/(1/15)=89/8 天 一共需要 3+3+89/8=17 又 1/8 天 19、一项工程,甲独做 30 天,乙独做 20 天完成,甲先做了若干天后, 由乙接替,甲乙共做 22 天,甲乙各做几天? 解:乙的工作效率=1/20 乙 22 天完成 1/20×22=11/10 多完成 11/10-1=1/10 乙的工作效率和甲的工作效率之差=1/20-1/30=1/60 所以甲做了(1/10)/(1/60)=6 天 乙做了 22-6=12 天 按照鸡兔同笼问题考虑 20、一项工程甲乙合做需 12 天完成,若甲先做 3 天后,再由乙工作 8 天,共完成这项工作的 5/12,如果这件工作由甲单独做,需()天完 成? 解:甲 3 天乙 8 天看作甲乙合作 3 天,乙独做 8-3=5 天 这是解决问题的关键 乙独做 5 天完成 5/12-1/12×3=1/6 乙的工作效率=(1/6)/5=1/30 甲的工作效率=1/12-1/30=1/20 甲单独完成需要 1/(1/20)=20 天 21、一项工作,甲乙要 4 小时完成,乙丙要 6 小时完成。现在甲丙合 作 2 小时,剩下的乙 7 小时完成。甲乙丙单独要多久完成? 解:甲丙合作 2 小时,乙独做 7 小时 相当于甲乙可做 2 小时,乙丙合作 2 小时,乙独做 7-2-2=3 小时 那么乙独做完成 1-1/4×2-1/6×2=1-1/2-1/3=1/6 乙的工作效率=(1/6)/3=1/18 甲的工作效率=1/4-1/18=7/36 丙的工作效率=1/6-1/18=1/9 甲单独完成需要 1/(7/36)=36/7 天=5 又 1/7 天 乙单独完成需要 1/(1/18)=18 天 丙单独完成需要 1/(1/9)=9 天 22、一项工程,甲队单独完成需 12 天,乙队单独完成需 18 天,现要 求在 10 天内完成,则甲乙两队至少合作多少天? 解:此题考虑 至少一个队工作 10 天,另一个队作为补充 假如甲工作 10 天,完成 1/12×10=5/6 那么乙需要帮助(1-5/6)/(1/18)=(1/6)/(1/18)=3 天 假如乙工作 10 天,完成 1/18×10=5/9 甲需要帮助(1-5/9)/(1/12)=(4/9)/(1/12)=48/9 天=5 又 1/3 天 由此,很明显甲乙至少合作 3 天就可以了。 23、某市日产垃圾 700 吨,甲乙合作要 7 小时,两厂合作 2.5 小时后, 乙厂单独处理要 10 小时,已知甲每小时 550 元,乙每小时 495 元, 要求费用不得超过 7370 元,那么甲至少处理多少小时? 解:甲乙的工作效率和=1/7 甲乙合作 2.5 小时完成 1/7×5/2=5/14 乙的工作效率=(1-5/14)/10=9/140 甲的工作效率=1/7-9/140=11/140 设甲至少处理 a 小时 那么甲完成 a×11/140=11a/140 还剩下 1-11a/140 需要乙完成 则乙工作的时间=(1-11a/140)/(9/140)=(140-11a)/9 小时 根据题意 550a+495×(140-11a)/9≤7370 4950a+69300-5445a≤66330 495a≥2970 a≥6 甲至少要工作 6 小时 24、正在修建中的高速公路要招标,现有甲、乙两个工程队,若甲、 乙两队合作,24 天可以完成;需费用 120 万元;若甲单独做 20 天后, 剩下的工程由乙做,还需 40 天才能完成,这样需费用 110 万元。问: (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天? (2)甲、乙两队单独完成此项工程,各需费用多少万元? 解:甲乙的工作效率和=1/24 20 天完成 1/24×20=5/6 乙的工作效率=(1-5/6)/(40-20)=1/120 乙单独完成需要 1/(1/20)=120 天 甲的工作效率=1/24-1/120=1/30 甲单独完成需要 1/(1/30)=30 天 (2)甲乙工作一天需要费用 120/24=5 万元 合作 20 天需要 5×20=100 万元 乙单独工作 20 天需要 110-100=10 万元 乙工作一天需要 10/20=0.5 万元 那么甲工作一天需要 5-0.5=4.5 万元 甲单独完成需要 4.5×30=135 万元 乙单独完成需要 0.5×120=60 万元 25、生产一批零件,甲每小时可做 18 个,乙单独做要 12 小时成。现 在由甲乙二人合做,完成任务时,甲乙生产的数量之比是 3:5,甲 一共生产零件多少个? 解:乙的工作效率=1/12 完成任务时乙工作了(5/8)/(1/12)=15/2 小时 那么甲一共生产 18×15/2=135 个 26、一项工程,甲独做 10 天完成,乙独做 20 完成,现在甲乙合作, 甲休息一天,乙休息 5 天,完成这项工程要多少天? 解:甲休息 1 天,乙休息 5 天,相当于甲乙休息 1 天后,乙又休息 4 天 那么甲 4 天完成 4/10=2/5 甲乙的工作效率和=1/10+1/20=3/20 那么剩下的需要(1-2/5)/(3/20)=(3/5)/(3/20)=4 天 完成全部工程需要 4+5=9 天 27、一条长 1200M 的小巷进行路面修理,计划由甲乙共同完成,若甲、 乙合做 24 天可完成,若甲乙合做 16 天后,剩下由乙独做 20 天完成, 求甲乙每天修路多少 M?若每天用 70 元,乙每天用 40 元,要使工程 费用不超过 2500 元,问:甲队至多施工几天? 解: 甲乙的工作效率和=1/24 16 天完成 1/24×16=2/3 那么乙的工作效率=(1-2/3)/20=1/60 甲的工作效率=1/24-1/60=1/40 甲单独完成需要 1/(1/40)=40 天 乙单独完成需要 1/(1/60)=60 天 甲每天修 1200/40=30 米 乙每天修 1200/60=20 米 设甲至多施工 a 天 那么乙工作(1200-30a)/20=60-3a/2 天 70a+(60-3a/2)×40≤2500 70a+2400-60a≤2500 10a≤100 a≤10 天 甲至多工作 10 天 三、强化训练题(二) 一、工程问题 1.甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别需要 20 小时, 16 小时.丙水管单独开,排一池水要 10 小时,若水池没水, 同时打开甲乙两水管,5 小时后,再打开排水管丙,问水池 注满还需要多少小时? 2.修一条水渠,单独修,甲队需要 20 天完成,乙队需要 30 天完成。如果两队合作,由于彼此施工有影响,他们的工作 效率就要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工 作效率只有原来的十分之九。现在计划 16 天修完这条水渠, 且要求两队合作的天数尽可能少,那么两队要合作几天? 3.一件工作,甲、乙合做需 4 小时完成,乙、丙合做需 5 小时完成。现在先请甲、丙合做 2 小时后,余下的乙还需做 6 小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时? 4.一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第 四天乙做,这样交替轮流做,那么恰好用整数天完工;如果 第一天乙做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做,这样 交替轮流做,那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独 做这项工程需 17 天完成,甲单独做这项工程要多少天完成? 5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 1/2 时,徒 弟完成了 120 个。当师傅完成了任务时,徒弟完成了 4/5 这 批零件共有多少个? 6.一批树苗,如果分给男女生栽,平均每人栽 6 棵;如果 单份给女生栽,平均每人栽 10 棵。单份给男生栽,平均每 人栽几棵? 7.一个池上装有 3 根水管。甲管为进水管,乙管为出水管, 20 分钟可将满池水放完,丙管也是出水管,30 分钟可将满 池水放完。现在先打开甲管,当水池水刚溢出时,打开乙, 丙两管用了 18 分钟放完,当打开甲管注满水是,再打开乙 管,而不开丙管,多少分钟将水放完? 8.某工程队需要在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好 如期完成,若乙队去做,要超过规定日期三天完成,若先由 甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规定日 期为几天? 9.两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要 2 小时,而点完 一根细蜡烛要 1 小时,一天晚上停电,小芳同时点燃了这两 根蜡烛看书,若干分钟后来点了,小芳将两支蜡烛同时熄灭, 发现粗蜡烛的长是细蜡烛的 2 倍,问:停电多少分钟? 二.鸡兔同笼问题 1.鸡与兔共 100 只,鸡的腿数比兔的腿数少 28 条,,问鸡 与兔各有几只? 三.数字数位问题 1.把 1 至 2005 这 2005 个自然数依次写下来得到一个多位 数 123456789.....2005,这个多位数除以 9 余数是多少? 2.A 和 B 是小于 100 的两个非零的不同自然数。求 A+B 分之 A-B 的最小值... 3.已知 A.B.C 都是非 0 自然数,A/2 + B/4 + C/16 的近似值 市 6.4,那么它的准确值是多少? 4.一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位 数字大 1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得 到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大 198,求原 数. 5.一个两位数,在它的前面写上 3,所组成的三位数比原两位 数的 7 倍多 24,求原来的两位数. 6.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新 数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多 少? 7.一个六位数的末位数字是 2,如果把 2 移到首位,原数就是 新数的 3 倍,求原数. 8.有一个四位数,个位数字与百位数字的和是 12,十位数字 与千位数字的和是 9,如果个位数字与百位数字互换,千位数 字与十位数字互换,新数就比原数增加 2376,求原数. 9.有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为 9 余数为 6, 如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为 5 余数为 3,求这个两位数. 10 . 如 果 现 在 是 上 午 的 10 点 21 分 , 那 么 在 经 过 28799...99(一共有 20 个 9)分钟之后的时间将是几点几分? 四.排列组合问题 1.有五对夫妇围成一圈,使每一对夫妇的夫妻二人都相邻 的排法有( ) A 768 种 B 32 种 C 24 种 D 2 的 10 次方中 2 若把英语单词 hello 的字母写错了,则可能出现的错误共 有 ( ) A 119 种 B 36 种 C 59 种 D 48 种 五.容斥原理问题 1.有 100 种赤贫.其中含钙的有 68 种,含铁的有 43 种,那么, 同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校 25 名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有 解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人 数的 2 倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一 题的人数多 1 人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解 出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A,5 B,6 C,7 D,8 3.一次考试共有 5 道试题。做对第 1、2、3、、4、5 题的分 别占参加考试人数的 95%、80%、79%、74%、85%。如果做对 三道或三道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多 少? 六.抽屉原理、奇偶性问题 1.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、 红、蓝、黄四种,问最少要摸出几只手套才能保证有 3 副同 色的? 2.有四种颜色的积木若干,每人可任取 1-2 件,至少有几 个人去取,才能保证有 3 人能取得完全一样? 3.某盒子内装 50 只球,其中 10 只是红色,10 只是绿色, 10 只是黄色,10 只是蓝色,其余是白球和黑球,为了确保 取出的球中至少包含有 7 只同色的球,问:最少必须从袋中 取出多少只球? 4.地上有四堆石子,石子数分别是 1、9、15、31 如果每次 从其中的三堆同时各取出 1 个,然后都放入第四堆中,那么, 能否经过若干次操作,使得这四堆石子的个数都相同?(如 果能请说明具体操作,不能则要说明理由) 七.路程问题 1.狗跑 5 步的时间马跑 3 步,马跑 4 步的距离狗跑 7 步, 现在狗已跑出 30 米,马开始追它。问:狗再跑多远,马可 以追上它? 2.甲乙辆车同时从 a b 两地相对开出,几小时后再距中点 40 千米处相遇?已知,甲车行完全程要 8 小时,乙车行完全 程要 10 小时,求 a b 两地相距多少千米? 3.在一个 600 米的环形跑道上,兄两人同时从同一个起点 按顺时针方向跑步,两人每隔 12 分钟相遇一次,若两个人 速度不变,还是在原来出发点同时出发,哥哥改为按逆时针 方向跑,则两人每隔 4 分钟相遇一次,两人跑一圈各要多少 分钟? 4.慢车车长 125 米,车速每秒行 17 米,快车车长 140 米, 车速每秒行 22 米,慢车在前面行驶,快车从后面追上来, 那么,快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时 间? 5.在 300 米长的环形跑道上,甲乙两个人同时同向并排起 跑,甲平均速度是每秒 5 米,乙平均速度是每秒 4.4 米,两 人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米? 6.一个人在铁道边,听见远处传来的火车汽笛声后,在经 过 57 秒火车经过她前面,已知火车鸣笛时离他 1360 米,(轨 道是直的),声音每秒传 340 米,求火车的速度(得出保留整 数) 7.猎犬发现在离它 10 米远的前方有一只奔跑着的野兔,马 上紧追上去,猎犬的步子大,它跑 5 步的路程,兔子要跑 9 步,但是兔子的动作快,猎犬跑 2 步的时间,兔子却能跑 3 步,问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。 8.AB 两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是 4:5, 如果甲乙二人分别同时从 AB 两地相对行使,40 分钟后两人相 遇,相遇后各自继续前行,这样,乙到达 A 地比甲到达 B 地要 晚多少分钟? 9.甲乙两车同时从 AB 两地相对开出。第一次相遇后两车继 续行驶,各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离 B 地的距离是 AB 全程的 1/5。已知甲车在第一次相遇时行了 120 千米。AB 两地相距多少千米? 10.一船以同样速度往返于两地之间,它顺流需要 6 小时; 逆流 8 小时。如果水流速度是每小时 2 千米,求两地间的距 离? 11.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,快车每小时行 33 千米,相遇是已行了全程的七分之四,已知慢车行完全程需 要 8 小时,求甲乙两地的路程。 12.小华从甲地到乙地,3 分之 1 骑车,3 分之 2 乘车;从乙地 返回甲地,5 分之 3 骑车,5 分之 2 乘车,结果慢了半小时.已 知,骑车每小时 12 千米,乘车每小时 30 千米,问:甲乙两地相 距多少千米? 八.比例问题 1.甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃, 有一个人请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为 了表示感谢,过路人留下 10 元,甲、乙怎么分? 2.一种商品,今年的成本比去年增加了 10 分之 1,但仍保 持原售价,因此,每份利润下降了 5 分之 2,那么,今年这 种商品的成本占售价的几分之几? 3.甲乙两车分别从 A.B 两地出发,相向而行,出发时,甲.乙 的速度比是 5:4,相遇后,甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%,这样,当甲到达 B 地时,乙离 A 地还有 10 千米,那么 A.B 两地相距多少千米? 4.一个圆柱的底面周长减少 25%,要使体积增加 1/3,现在 的高和原来的高度比是多少? 5、某市举行小学数学竞赛,结果不低于 80 分的人数比 80 分以下的人数的 4 倍还多 2 人,及格的人数比不低于 80 分 的人数多 22 人,恰是不及格人数的 6 倍,求参赛的总人数? 6、有 7 个数,它们的平均数是 18。去掉一个数后,剩下 6 个数的平均数是 19;再去掉一个数后,剩下的 5 个数的平均 数是 20。求去掉的两个数的乘积。 7、小明参加了六次测验,第三、第四次的平均分比前两次 的平均分多 2 分,比后两次的平均分少 2 分。如果后三次平 均分比前三次平均分多 3 分,那么第四次比第三次多得几 分? 某工车间共有 77 个工人,已知每天每个工人平均可加工甲 种部件 5 个,或者乙种部件 4 个,或丙种部件 3 个。但加工 3 个甲种部件,一个乙种部件和 9 个丙种部件才恰好配成一 套。问应安排甲、乙、丙种部件工人各多少人时,才能使生 产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套? 8、哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的三倍,哥哥当年的年 龄与弟弟现在的年龄相同,哥哥与弟弟现在的年龄和为 30 岁,问哥哥、弟弟现在多少岁? 小学五年级奥数题答案 一、工程问题 1、解:1/20+1/16=9/80 表示甲乙的工作效率 9/80×5=45/80 表示 5 小时后进水量 1-45/80=35/80 表示还要的进水量 35/80÷(9/80-1/10)=35 表示还要 35 小时注满 答:5 小时后还要 35 小时就能将水池注满。 2、解:由题意得,甲的工效为 1/20,乙的工效为 1/30,甲 乙的合作工效为 1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合 作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为,要求“两队合作的天数尽可能少”,所以应该让做 的快的甲多做,16 天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。 只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为 x 天,则甲独做时间为(16-x)天 1/20*(16-x)+7/100*x=1 x=10 答:甲乙最短合作 10 天 3、由题意知,1/4 表示甲乙合作 1 小时的工作量,1/5 表示 乙丙合作 1 小时的工作量 (1/4+1/5)×2=9/10 表示甲做了 2 小时、乙做了 4 小时、 丙做了 2 小时的工作量。 根据“甲、丙合做 2 小时后,余下的乙还需做 6 小时完成” 可知甲做 2 小时、乙做 6 小时、丙做 2 小时一共的工作量为 1。 所以 1-9/10=1/10 表示乙做 6-4=2 小时的工作量。 1/10÷2=1/20 表示乙的工作效率。 1÷1/20=20 小时表示乙单独完成需要 20 小时。 答:乙单独完成需要 20 小时。 4、解:由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5=1 (1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率,最后结 束必须如上所示,否则第二种做法就不比第一种多 0.5 天) 1/甲=1/乙+1/甲×0.5(因为前面的工作量都相等) 得到 1/甲=1/乙×2 又因为 1/乙=1/17 所以 1/甲=2/17,甲等于 17÷2=8.5 天 5、答案为 300 个 120÷(4/5÷2)=300 个 可以这样想:师傅第一次完成了 1/2,第二次也是 1/2,两 次一共全部完工,那么徒弟第二次后共完成了 4/5,可以推 算出第一次完成了 4/5 的一半是 2/5,刚好是 120 个。 6、答案是 15 棵 算式:1÷(1/6-1/10)=15 棵 7、答案 45 分钟。 1÷(1/20+1/30)=12 表示乙丙合作将满池水放完需要的 分钟数。 1/12*(18-12)=1/12*6=1/2 表示乙丙合作将漫池水放完 后,还多放了 6 分钟的水,也就是甲 18 分钟进的水。 1/2÷18=1/36 表示甲每分钟进水 最后就是 1÷(1/20-1/36)=45 分钟。 8、答案为 6 天 解:由“若乙队去做,要超过规定日期三天完成,若先由甲 乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,”可知: 乙做 3 天的工作量=甲 2 天的工作量 即:甲乙的工作效率比是 3:2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是 2:3 时间比的差是 1 份 实际时间的差是 3 天 所以 3÷(3-2)×2=6 天,就是甲的时间,也就是规定日 期 方程方法: [1/x+1/(x+2)]×2+1/(x+2)×(x-2)=1 解得 x=6 9、答案为 40 分钟。 解:设停电了 x 分钟 根据题意列方程 1-1/120*x=(1-1/60*x)*2 解得 x=40 二.鸡兔同笼问题 1、解:4*100=400,400-0=400 假设都是兔子,一共有 400 只兔子的脚,那么鸡的脚为 0 只,鸡的脚比兔子的脚少 400 只。 400-28=372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少 28 只,相差 372 只,这是为什么? 4+2=6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡,兔子的总脚 数就会减少 4 只(从 400 只变为 396 只),鸡的总脚数就会 增加 2 只(从 0 只到 2 只),它们的相差数就会少 4+2=6 只 (也就是原来的相差数是 400-0=400,现在的相差数为 396-2=394,相差数少了 400-394=6) 372÷6=62 表示鸡的只数,也就是说因为假设中的 100 只 兔子中有 62 只改为了鸡,所以脚的相差数从 400 改为 28, 一共改了 372 只 100-62=38 表示兔的只数 三.数字数位问题 1、解:首先研究能被 9 整除的数的特点:如果各个数位上 的数字之和能被 9 整除,那么这个数也能被 9 整除;如果各 个位数字之和不能被 9 整除,那么得的余数就是这个数除以 9 得的余数。 解题:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;45 能被 9 整除 依次类推:1~1999 这些数的个位上的数字之和可以被 9 整除 10~19,20~29……90~99 这些数中十位上的数字都出现了 10 次,那么十位上的数字之和就是 10+20+30+……+90=450 它 有能被 9 整除 同样的道理,100~900 百位上的数字之和为 4500 同样被 9 整除 也就是说 1~999 这些连续的自然数的各个位上的数字之和可 以被 9 整除; 同样的道理:1000~1999 这些连续的自然数中百位、十位、 个位 上的数字之和可以被 9 整除(这里千位上的“1”还没 考虑,同时这里我们少 200020012002200320042005 从 1000~1999 千位上一共 999 个“1”的和是 999,也能整除; 200020012002200320042005 的各位数字之和是 27,也刚好 整除。 最后答案为余数为 0。 2、解:(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B) 前 面 的 1 不 会 变 了 , 只 需 求 后 面 的 最 小 值 , 此 时 (A-B)/(A+B) 最大。 对于 B / (A+B) 取最小时,(A+B)/B 取最大, 问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。 (A+B)/B = 1 + A/B ,最大的可能性是 A/B = 99/1 (A+B)/B = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是: 98 / 100 3、解:因为 A/2 + B/4 + C/16=8A+4B+C/16≈6.4, 所以 8A+4B+C≈102.4,由于 A、B、C 为非 0 自然数,因此 8A+4B+C 为一个整数,可能是 102,也有可能是 103。 当是 102 时,102/16=6.375 当是 103 时,103/16=6.4375 4、解:设原数个位为 a,则十位为 a+1,百位为 16-2a 根据题意列方程 100a+10a+16-2a-100(16-2a)-10a-a=198 解得 a=6,则 a+1=7 16-2a=4 答:原数为 476。 5、解:设该两位数为 a,则该三位数为 300+a 7a+24=300+a a=24 答:该两位数为 24。 6、解:设原两位数为 10a+b,则新两位数为 10b+a 它们的和就是 10a+b+10b+a=11(a+b) 因为这个和是一个平方数,可以确定 a+b=11 因此这个和就是 11×11=121 答:它们的和为 121。 7、解:设原六位数为 abcde2,则新六位数为 2abcde(字母 上无法加横线,请将整个看成一个六位数) 再设 abcde(五位数)为 x,则原六位数就是 10x+2,新六位 数就是 200000+x 根据题意得,(200000+x)×3=10x+2 解得 x=85714 所以原数就是 857142 8、答案为 3963 解:设原四位数为 abcd,则新数为 cdab,且 d+b=12,a+c =9 根据“新数就比原数增加 2376”可知 abcd+2376=cdab,列竖 式便于观察 abcd 2376 cdab 根据 d+b=12,可知 d、b 可能是 3、9;4、8;5、7;6、6。 再观察竖式中的个位,便可以知道只有当 d=3,b=9;或 d =8,b=4 时成立。 先取 d=3,b=9 代入竖式的百位,可以确定十位上有进位。 根据 a+c=9,可知 a、c 可能是 1、8;2、7;3、6;4、5。 再观察竖式中的十位,便可知只有当 c=6,a=3 时成立。 再代入竖式的千位,成立。 得到:abcd=3963 再取 d=8,b=4 代入竖式的十位,无法找到竖式的十位合 适的数,所以不成立。 9、解:设这个两位数为 ab 10a+b=9b+6 10a+b=5(a+b)+3 化简得到一样:5a+4b=3 由于 a、b 均为一位整数 得到 a=3 或 7,b=3 或 8 原数为 33 或 78 均可以 10、解:(28799……9(20 个 9)+1)/60/24 整除,表示正 好过了整数天,时间仍然还是 10:21,因为事先计算时加了 1 分钟,所以现在时间是 10:20 四.排列组合问题 1、解:根据乘法原理,分两步: 第一步是把 5 对夫妻看作 5 个整体,进行排列有 5×4×3×2 ×1=120 种不同的排法,但是因为是围成一个首尾相接的圈, 就会产生 5 个 5 个重复,因此实际排法只有 120÷5=24 种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置,也就是说每一对 夫妻均有 2 种排法,总共又 2×2×2×2×2=32 种 综合两步,就有 24×32=768 种。 2、解:5 全排列 5*4*3*2*1=120 有两个 l 所以 120/2=60 原来有一种正确的所以 60-1=59 五.容斥原理问题 1、解:根据容斥原理最小值 68+43-100=11 最大值就是含铁的有 43 种 2、解:根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题 情况分为 7 类:只答第 1 题,只答第 2 题,只答第 3 题,只 答第 1、2 题,只答第 1、3 题,只答 2、3 题,答 1、2、3 题。 分别设各类的人数为 a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…① 由(2)知:a2+a23=(a3+ a23)×2……② 由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③ 由(4)知:a1=a2+a3……④ 再由②得 a23=a2-a3×2……⑤ 再由③④得 a12+a13+a123=a2+a3-1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中,整理得到 a2×4+a3=26 由于 a2、a3 均表示人数,可以求出它们的整数解: 当 a2=6、5、4、3、2、1 时,a3=2、6、10、14、18、22 又根据 a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3 因此,符合条件的只有 a2=6,a3=2。 然后可以推出 a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数= 8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数 a2=6 人。 3、答案:及格率至少为 71%。 假设一共有 100 人考试 100-95=5 100-80=20 100-79=21 100-74=26 100-85=15 5+20+21+26+15=87(表示 5 题中有 1 题做错的最多人数) 87÷3=29(表示 5 题中有 3 题做错的最多人数,即不及格 的人数最多为 29 人) 100-29=71(及格的最少人数,其实都是全对的) 及格率至少为 71% 六.抽屉原理、奇偶性问题 1、解:可以把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉,把手套看 成是元素,要保证有一副同色的,就是 1 个抽屉里至少有 2 只手套,根据抽屉原理,最少要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后 4 个抽屉中还剩 3 只手套。再根据抽屉原理,只 要再摸出 2 只手套,又能保证有一副手套是同色的,以此类 推。 把四种颜色看做 4 个抽屉,要保证有 3 副同色的,先考虑保 证有 1 副就要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后,4 个 抽屉中还剩下 3 只手套。根据抽屉原理,只要再摸出 2 只手 套,又能保证有 1 副是同色的。以此类推,要保证有 3 副同 色的,共摸出的手套有:5+2+2=9(只) 答:最少要摸出 9 只手套,才能保证有 3 副同色的。 2、解:每人取 1 件时有 4 种不同的取法,每人取 2 件时,有 6 种不同的取法. 当有 11 人时,能保证至少有 2 人取得完全一样: 当有 21 人时,才能保证到少有 3 人取得完全一样. 3、解:需要分情况讨论,因为无法确定其中黑球与白球的 个数。 当黑球或白球其中没有大于或等于 7 个的,那么就是: 6*4+10+1=35(个) 如果黑球或白球其中有等于 7 个的,那么就是: 6*5+3+1=34(个) 如果黑球或白球其中有等于 8 个的,那么就是: 6*5+2+1=33 如果黑球或白球其中有等于 9 个的,那么就是: 6*5+1+1=32 4、解:不可能。 因为总数为 1+9+15+31=56 56/4=14。14 是一个偶数,而原来 1、9、15、31 都是奇数, 取出 1 个和放入 3 个也都是奇数,奇数加减若干次奇数后, 结果一定还是奇数,不可能得到偶数(14 个)。 七.路程问题 1、解:根据“马跑 4 步的距离狗跑 7 步”,可以设马每步长 为 7x 米,则狗每步长为 4x 米。 根据“狗跑 5 步的时间马跑 3 步”,可知同一时间马跑 3*7x 米=21x 米,则狗跑 5*4x=20 米。 可以得出马与狗的速度比是 21x:20x=21:20 根据“现在狗已跑出 30 米”,可以知道狗与马相差的路程是 30 米,他们相差的份数是 21-20=1,现在求马的 21 份是多 少路程,就是 30÷(21-20)×21=630 米 2、解:由“甲车行完全程要 8 小时,乙车行完全程要 10 小 时”可知,相遇时甲行了 10 份,乙行了 8 份(总路程为 18 份),两车相差 2 份。又因为两车在中点 40 千米处相遇,说 明两车的路程差是(40+40)千米。所以算式是(40+40)÷ (10-8)×(10+8)=720 千米。 3、解:600÷12=50,表示哥哥、弟弟的速度差 600÷4=150,表示哥哥、弟弟的速度和 (50+150)÷2=100,表示较快的速度,方法是求和差问题 中的较大数 (150-50)/2=50,表示较慢的速度,方法是求和差问题中 的较小数 600÷100=6 分钟,表示跑的快者用的时间 600/50=12 分钟,表示跑得慢者用的时间 4、解:算式是(140+125)÷(22-17)=53 秒 可以这样理解:“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车” 就是快车车尾上的点追及慢车车头的点,因此追及的路程应 该为两个车长的和。 5、解:300÷(5-4.4)=500 秒,表示追及时间 5×500=2500 米,表示甲追到乙时所行的路程 2500÷300=8 圈……100 米,表示甲追及总路程为 8 圈还多 100 米,就是在原来起跑线的前方 100 米处相遇。 6、解:算式:1360÷(1360÷340+57)≈22 米/秒 关键理解:人在听到声音后 57 秒才车到,说明人听到声音 时车已经从发声音的地方行出 1360÷340=4 秒的路程。也 就是 1360 米一共用了 4+57=61 秒。 7、答案是猎犬至少跑 60 米才能追上。 解:由“猎犬跑 5 步的路程,兔子要跑 9 步”可知当猎犬每 步 a 米,则兔子每步 5/9 米。由“猎犬跑 2 步的时间,兔子 却能跑 3 步”可知同一时间,猎犬跑 2a 米,兔子可跑 5/9a*3 =5/3a 米。从而可知猎犬与兔子的速度比是 2a:5/3a=6: 5,也就是说当猎犬跑 60 米时候,兔子跑 50 米,本来相差 的 10 米刚好追完 8、解:设全程为 1,甲的速度为 x 乙的速度为 y 列式 40x+40y=1 x:y=5:4 得 x=1/72 y=1/90 走完全程甲需 72 分钟,乙需 90 分钟 故得解答案:18 分 9、解:通过画线段图可知,两个人第一次相遇时一共行了 1 个 AB 的路程,从开始到第二次相遇,一共又行了 3 个 AB 的 路程,可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相 遇前各自所走的路程的 3 倍。即甲共走的路程是 120*3=360 千米,从线段图可以看出,甲一共走了全程的(1+1/5)。 因此 360÷(1+1/5)=300 千米 10、解:(1/6-1/8)÷2=1/48 表示水速的分率 2÷1/48=96 千米表示总路程 11、解:相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是 4:3 时间比为 3:4 所以快车行全程的时间为 8/4*3=6 小时 6*33=198 千米 12、解:把路程看成 1,得到时间系数 去时时间系数:1/3÷12+2/3÷30 返回时间系数:3/5÷12+2/5÷30 两者之差:(3/5÷12+2/5÷30)-(1/3÷12+2/3÷30)=1/75 相当于 1/2 小时 去时时间:1/2×(1/3÷12)÷1/75 和 1/2×(2/3÷30) 1/75 路程:12×〔1/2×(1/3÷12)÷1/75〕+30×〔1/2×(2/3 ÷30)1/75〕=37.5(千米) 八.比例问题 1、解:“三人将五条鱼平分,客人拿出 10 元”,可以理解为 五条鱼总价值为 30 元,那么每条鱼价值 6 元。 又因为“甲钓了三条”,相当于甲吃之前已经出资 3*6=18 元,“乙钓了两条”,相当于乙吃之前已经出资 2*6=12 元。 而甲乙两人吃了的价值都是 10 元,所以 甲还可以收回 18-10=8 元 乙还可以收回 12-10=2 元 刚好就是客人出的钱。 2、解:最好画线段图思考:把去年原来成本看成 20 份,利 润看成 5 份,则今年的成本提高 1/10,就是 22 份,利润下 降了 2/5,今年的利润只有 3 份。增加的成本 2 份刚好是下 降利润的 2 份。售价都是 25 份。所以,今年的成本占售价 的 22/25。 3、解:原来甲.乙的速度比是 5:4 现在的甲:5×(1-20%)=4 现在的乙:4×(1+20%)4.8 甲到 B 后,乙离 A 还有:5-4.8=0.2 总路程:10÷0.2×(4+5)=450 千米 4、答案为 64:27 解:根据“周长减少 25%”,可知周长是原来的 3/4,那么 半径也是原来的 3/4,则面积是原来的 9/16。 根据“体积增加 1/3”,可知体积是原来的 4/3。 体积÷底面积=高 现在的高是 4/3÷9/16=64/27,也就是说现在的高是原来的 高的 64/27 或者现在的高:原来的高=64/27:1=64:27 5、解:设不低于 80 分的为 A 人,则 80 分以下的人数是(A-2) /4,及格的就是 A+22,不及格的就是 A+(A-2)/4-(A+22) =(A-90)/4,而 6*(A-90)/4=A+22,则 A=314,80 分以下 的人数是(A-2)/4,也即是 78,参赛的总人数 314+78=392 6、解: 7*18-6*19=126-114=12 6*19-5*20=114-100=14 去掉的两个数是 12 和 14 它们的乘积是 12*14=168 解:第三、四次的成绩和比前两次的成绩和多 4 分,比后两 次的成绩和少 4 分,推知后两次的成绩和比前两次的成绩和 多 8 分。因为后三次的成绩和比前三次的成绩和多 9 分,所 以第四次比第三次多 9-8=1(分)。 8、算式:这道题可以用方程解:解:设加工后乙种部件有 x 个。 3/5X + 1/4X + 9/3X=77 x=20 甲:0.6×20=12(人) 乙: 0.25×20=5(人) 丙: 3 ×20==60(人) 答:甲 12 人,乙 5 人,丙 60 人。 9、算式:这道题可以用方程解:解:设哥哥现在的年龄为 x 岁。 x-(30-x)=(30-x)-x/3 x=18 弟弟 30-18=12(岁) 答:哥哥 18 岁,弟弟 12 岁。