2020年小学数学五年级奥数经典题库及答案（含专题训练+强化训练） 77页

2020 年小学数学五年级奥数经典题库及答案 一、专题训练 一般应用题的解法（二） 一般应用题的解法（三） 一般应用题的解法（四） 一般应用题的解法（五） 分数数图形问题 长方形与正方形面积计算（二） 长方形与正方形面积计算（三） 长方形与正方形面积计算（四） 长方形与正方形面积计算（五） 小数的运算（一） 小数的运算（二） 小数乘法的计算 小数除法的计算（一） 小数除法的计算（二） 小数除法的计算（三） 二、强化训练题 1、甲乙两车同时从 AB 两地相对开出。甲行驶了全程的 5/11,如果甲 每小时行驶 4.5 千米，乙行了 5 小时。求 AB 两地相距多少千米 ? 解：AB 距离=（4.5×5）/（5/11）=49.5 千米 2、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。货车的速度 是客车的五分之四，货车行了全程的四分之一后，再行 28 千米与客 车相遇。甲乙两地相距多少千米？ 解：客车和货车的速度之比为 5：4 那么相遇时的路程比=5：4 相遇时货车行全程的 4/9 此时货车行了全程的 1/4 距离相遇点还有 4/9-1/4=7/36 那么全程=28/（7/36）=144 千米 3、甲乙两人绕城而行，甲每小时行 8 千米，乙每小时行 6 千米。现 在两人同时从同一地点相背出发，乙遇到甲后，再行 4 小时回到原出 发点。求乙绕城一周所需要的时间？ 解：甲乙速度比=8：6=4：3 相遇时乙行了全程的 3/7 那么 4 小时就是行全程的 4/7 所以乙行一周用的时间=4/（4/7）=7 小时 4、甲乙两人同时从 A 地步行走向 B 地，当甲走了全程的 14 时，乙 离 B 地还有 640 米，当甲走余下的 56 时，乙走完全程的 710，求 AB 两地距离是多少米？ 解：甲走完 1/4 后余下 1-1/4=3/4 那么余下的 5/6 是 3/4×5/6=5/8 此时甲一共走了 1/4+5/8=7/8 那么甲乙的路程比=7/8：7/10=5：4 所以甲走全程的 1/4 时，乙走了全程的 1/4×4/5=1/5 那么 AB 距离=640/（1-1/5）=800 米 5、甲，乙两辆汽车同时从 A，B 两地相对开出,相向而行。甲车每小 时行 75 千米，乙车行完全程需 7 小时。两车开出 3 小时后相距 15 千 米，A,B 两地相距多少千米？ 解：一种情况：此时甲乙还没有相遇 乙车 3 小时行全程的 3/7 甲 3 小时行 75×3=225 千米 AB 距离=（225+15）/（1-3/7）=240/（4/7）=420 千米 一种情况：甲乙已经相遇 （225-15）/（1-3/7）=210/（4/7）=367.5 千米 6、甲，已两人要走完这条路，甲要走 30 分，已要走 20 分，走 3 分 后，甲发现有东西没拿，拿东西耽误 3 分，甲再走几分钟跟已相遇? 解：甲相当于比乙晚出发 3+3+3=9 分钟 将全部路程看作单位 1 那么甲的速度=1/30 乙的速度=1/20 甲拿完东西出发时，乙已经走了 1/20×9=9/20 那么甲乙合走的距离 1-9/20=11/20 甲乙的速度和=1/20+1/30=1/12 那么再有（11/20）/（1/12）=6.6 分钟相遇 7、甲，乙两辆汽车从 A 地出发，同向而行，甲每小时走 36 千米，乙 每小时走 48 千米，若甲车比乙车早出发 2 小时，则乙车经过多少时 间才追上甲车？ 解：路程差=36×2=72 千米 速度差=48-36=12 千米/小时 乙车需要 72/12=6 小时追上甲 8、甲乙两人分别从相距 36 千米的 ab 两地同时出发,相向而行,甲从 a 地出发至 1 千米时,发现有物品以往在 a 地，便立即返回，去了物 品又立即从 a 地向 b 地行进，这样甲、乙两人恰好在 a，b 两地的终 点处相遇，又知甲每小时比乙多走 0.5 千米，求甲、乙两人的速度? 解： 甲在相遇时实际走了 36×1/2+1×2=20 千米 乙走了 36×1/2=18 千米 那么甲比乙多走 20-18=2 千米 那么相遇时用的时间=2/0.5=4 小时 所以甲的速度=20/4=5 千米/小时 乙的速度=5-0.5=4.5 千米/小时 9、两列火车同时从相距 400 千米两地相向而行,客车每小时行 60 千 米，货车小时行 40 千米，两列火车行驶几小时后，相遇有相距 100 千米？ 解：速度和=60+40=100 千米/小时 分两种情况， 没有相遇 那么需要时间=（400-100）/100=3 小时 已经相遇 那么需要时间=（400+100）/100=5 小时 10、甲每小时行驶 9 千米，乙每小时行驶 7 千米。两者在相距 6 千米 的两地同时向背而行，几小时后相距 150 千米? 解：速度和=9+7=16 千米/小时 那么经过（150-6）/16=144/16=9 小时相距 150 千米 11、甲乙两车从相距 600 千米的两地同时相向而行已知甲车每小时行 42 千米，乙车每小时行 58 千米两车相遇时乙车行了多少千米？ 解： 速度和=42+58=100 千米/小时 相遇时间=600/100=6 小时 相遇时乙车行了 58×6=148 千米 或者 甲乙两车的速度比=42：58=21：29 所以相遇时乙车行了 600×29/（21+29）=348 千米 12、两车相向,6 小时相遇,后经 4 小时,客车到达,货车还有 188 千米, 问两地相距？ 解：将两车看作一个整体 两车每小时行全程的 1/6 4 小时行 1/6×4=2/3 那么全程=188/（1-2/3）=188×3=564 千米 13、甲乙两地相距 600 千米,客车和货车从两地相向而行,6 小时相遇, 已知货车的速度是客车的 3 分之 2 ，求二车的速度？ 解：二车的速度和=600/6=100 千米/小时 客车的速度=100/（1+2/3）=100×3/5=60 千米/小时 货车速度=100-60=40 千米/小时 14、小兔和小猫分别从相距 40 千米的 A、B 两地同时相向而行，经过 4 小时候相聚 4 千米，再经过多长时间相遇？ 解：速度和=（40-4）/4=9 千米/小时 那么还需要 4/9 小时相遇 15、甲、乙两车分别从 a b 两地开出 甲车每小时行 50 千米 乙车每 小时行 40 千米 甲车比乙车早 1 小时到 两地相距多少？ 甲车到达终点时，乙车距离终点 40×1=40 千米 甲车比乙车多行 40 千米 那么甲车到达终点用的时间=40/（50-40）=4 小时 两地距离=40×5=200 千米 16、两辆车从甲乙两地同时相对开出,4 时相遇。慢车是快车速度的 五分之三,相遇时快车比慢车多行 80 千米，两地相距多少? 解：快车和慢车的速度比=1：3/5=5：3 相遇时快车行了全程的 5/8 慢车行了全程的 3/8 那么全程=80/（5/8-3/8）=320 千米 17、甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲每分钟行 100 米，乙每分钟行 120 米，2 小时后两人相距 150 米。A、B 两地的最短 距离多少米？最长距离多少米？ 解：最短距离是已经相遇，最长距离是还未相遇 速度和=100+120=220 米/分 2 小时=120 分 最短距离=220×120-150=26400-150=26250 米 最长距离=220×120+150=26400+150=26550 米 18、甲乙两地相距 180 千米，一辆汽车从甲地开往乙地计划 4 小时到 达，实际每小时比原计划多行 5 千米，这样可以比原计划提前几小时 到达？ 解： 原来速度=180/4=45 千米/小时 实际速度=45+5=50 千米/小时 实际用的时间=180/50=3.6 小时 提前 4-3.6=0.4 小时 19、甲、乙两车同时从 AB 两地相对开出，相遇时，甲、乙两车所行 路程是 4：3，相遇后，乙每小时比甲快 12 千米，甲车仍按原速前进， 结果两车同时到达目的地，已知乙车一共行了 12 小时，AB 两地相距 多少千米？ 解：设甲乙的速度分别为 4a 千米/小时，3a 千米/小时 那么 4a×12×（3/7）/（3a）+4a×12×（4/7）/（4a+12）=12 4/7+16a/7（4a+12）=1 16a+48+16a=28a+84 4a=36 a=9 甲的速度=4×9=36 千米/小时 AB 距离=36×12=432 千米 算术法： 相遇后的时间=12×3/7=36/7 小时 每小时快 12 千米，乙多行 12×36/7=432/7 千米 相遇时甲比乙多行 1/7 那么全程=（432/7）/（1/7）=432 千米 20、甲乙两汽车同时从相距 325 千米的两地相向而行,甲车每小时行 52 千米,乙车的速度是甲车的 1.5 倍,车开出几时相遇? 解：乙的速度=52×1.5=78 千米/小时 开出 325/（52+78）=325/130=2.5 相遇 21、甲乙两车分别从 A，B 两地同时出发相向而行，甲每小时行 80 千 米，乙每小时行全程的百分之十，当乙行到全程的 5/8 时，甲再行全 程的 1/6 可到达 B 地。求 A,B 两地相距多少千米？ 解：乙行全程 5/8 用的时间=（5/8）/（1/10）=25/4 小时 AB 距离=（80×25/4）/（1-1/6）=500×6/5=600 千米 22、甲乙两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行驶 40 千米，乙 车每小时行驶 45 千米。两车相遇时，乙车离中点 20 千米。两地相距 多少千米？ 解：甲乙速度比=40：45=8：9 甲乙路程比=8：9 相遇时乙行了全程的 9/17 那么两地距离=20/（9/17-1/2）=20/（1/34）=680 千米 23、甲乙两人分别在 A、B 两地同时相向而行，与 E 处相遇，甲继续 向 B 地行走，乙则休息了 14 分钟，再继续向 A 地行走，甲和乙分别 到达 B 和 A 后立即折返，仍在 E 处相遇。已知甲每分钟走 60 米，乙 每分钟走 80 米，则 A 和 B 两地相距多少米？ 解：把全程看作单位 1 甲乙的速度比=60：80=3：4 E 点的位置距离 A 是全程的 3/7 二次相遇一共是 3 个全程 乙休息的 14 分钟，甲走了 60×14=840 米 乙在第一次相遇之后，走的路程是 3/7×2=6/7 那么甲走的路程是 6/7×3/4=9/14 实际甲走了 4/7×2=8/7 那么乙休息的时候甲走了 8/7-9/14=1/2 那么全程=840/（1/2）=1680 米 24、甲乙两列火车同时从 AB 两地相对开出，相遇时，甲.乙两车未行 的路程比为 4：5，已知乙车每小时行 72 千米，甲车行完全程要 10 小时，问 AB 两地相距多少千米？ 解：相遇时未行的路程比为 4：5 那么已行的路程比为 5：4 时间比等于路程比的反比 甲乙路程比=5：4 时间比为 4：5 那么乙行完全程需要 10×5/4=12.5 小时 那么 AB 距离=72×12.5=900 千米 25、甲乙两人分别以每小时 4 千米和每小时 5 千米的速度从 A、B 两 地相向而行，相遇后二人继续往前走，如果甲从相遇点到达 B 地又行 2 小时，A、B 两地相距多少千米？ 解：甲乙的相遇时的路程比=速度比=4：5 那么相遇时，甲距离目的地还有全程的 5/9 所以 AB 距离=4×2/（5/9）=72/5=14.4 千米 2、一项工作，甲 5 小时先完成 4 分之 1，乙 6 小时又完成剩下任务 的一半，最后余下的工作有甲乙合作，还需要多长时间能完成？ 解：甲的工作效率=（1/4）/5=1/20 乙完成（1-1/4）×1/2=3/8 乙的工作效率=（3/8）/6=1/16 甲乙的工作效率和=1/20+1/16=9/80 此时还有 1-1/4-3/8=3/8 没有完成 还需要（3/8）/（9/80）=10/3 小时 3、工程队 30 天完成一项工程，先由 18 人做，12 天完成了工程的 3/1， 如果按时完成还要增加多少人？ 解：每个人的工作效率=（1/3）/（12×18）=1/648 按时完成，还需要做 30-12=18 天 按时完成需要的人员（1-1/3）/（1/648×18）=24 人 需要增加 24-18=6 人 4、甲乙两人加工一批零件,甲先加工 1.5 小时,乙再加工,完成任务时, 甲完成这批零件的八分之五.已知甲乙的共效比是 3:2.问:甲单独加 工完成着批零件需多少小时? 解：甲乙工效比=3：2 也就是工作量之比=3：2 乙完成的是甲的 2/3 乙完成（1-5/8）=3/8 那么甲和乙一起工作时，完成的工作量=（3/8）/（2/3）=9/16 所以甲单独完成需要 1.5/（5/8-9/16）=1.5/（1/16）=24 小时 5、一项工程，甲、乙、丙三人合作需要 13 天，如果丙休息 2 天，乙 要多做 4 天，或者由甲、乙合作多做 1 天。问：这项工程由甲单独做 需要多少天？ 解：丙做 2 天，乙要做 4 天 也就是说并做 1 天乙要做 2 天 那么丙 13 天的工作量乙要 2×13=26 天完成 乙做 4 天相当于甲乙合作 1 天 也就是乙做 3 天等于甲做 1 天 设甲单独完成需要 a 天 那么乙单独做需要 3a 天 丙单独做需要 3a/2 天 根据题意 1/a+1/3a+1/（3a/2）=1/13 1/a(1+1/3+2/3）=1/13 1/a×2=1/13 a=26 甲单独做需要 26 天 算术法：丙做 13 天相当于乙做 26 天 乙做 13+26=39 天相当于甲做 39/3=13 天 所以甲单独完成需要 13+13=26 天 6、解：乙做 60 套，甲做 60/（4/5）=75 套 甲三天做 165-75=90 套 甲的工作效率=90/3=30 套 乙每天加工 30×4/5=24 套 7、甲、乙两人生产一批零件,甲、乙工作效率的比是 2:1，两人共同 生产了 3 天后，剩下的由乙单独生产 2 天就全部完成了生产任务，这 时甲比乙多生产了 14 个零件，这批零件共有多少个？ 解：将乙的工作效率看作单位 1 那么甲的工作效率为 2 乙 2 天完成 1×2=2 乙一共生产 1×（3+2）=5 甲一共生产 2×3=6 所以乙的工作效率=14/（6-5）=14 个/天 甲的工作效率=14×2=28 个/天 一共有零件 28×3+14×5=154 个 或者设甲乙的工作效率分别为 2a 个/天，a 个/天 2a×3-（3+2）a=14 6a-5a=14 a=14 一共有零件 28×3+14×5=154 个 8、一个工程项目，乙单独完成工程的时间是甲队的 2 倍；甲乙两队 合作完成工程需要 20 天；甲队每天工作费用为 1000 元，乙每天为 550 元，从以上信息，从节约资金角度，公司应选择哪个？应付工程 队费用多少？ 解：甲乙的工作效率和=1/20 甲乙的工作时间比=1：2 那么甲乙的工作效率比=2：1 所以甲的工作效率=1/20×2/3=1/30 乙的工作效率=1/20×1/3=1/60 甲单独完成需要 1/（1/30）=30 天 乙单独完成需要 1/（1/60）=60 天 甲单独完成需要 1000×30=30000 元 乙单独完成需要 550×60=33000 元 甲乙合作完成需要（1000+550）×20=31000 元 很明显 甲单独完成需要的钱数最少 选择甲，需要付 30000 元工程费。 9、一批零件，甲乙两人合做 5.5 天可以超额完成这批零件的 0.1， 现在先由甲做 2 天，后由后由甲乙合作两天，最后再由乙接着做 4 天 完成任务，这批零件如果由乙单独做几天可以完成？ 解：将全部零件看作单位 1 那么甲乙的工作效率和=（1+0.1）/5.5=1/5 整个过程是甲工作 2+2=4 天 乙工作 2+4=6 天 相当于甲乙合作 4 天，完成 1/5×4=4/5 那么乙单独做 6-4=2 天完成 1-4/5=1/5 所以乙单独完成需要 2/（1/5）=10 天 10、有一项工程要在规定日期内完成，如果甲工程队单独做正好如期 完成，如果乙工程队单独做就要超过 5 天才能完成。现由甲、乙两队 合作 3 天，余下的工程由乙队单独做正好按期完成，问规定日期是多 少天？ 解：甲做 3 天相当于乙做 5 天 甲乙的工作效率之比=5：3 那么甲乙完成时间之比=3：5 所以甲完成用的时间是乙的 3/5 所以乙单独完成需要 5/（1-3/5）=5/（2/5）=12.5 天 规定时间=12.5-5=7.5 天 11、一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成，现在 乙队先做 5 天后，剩下的由甲、乙两队合作，还需要多少天完成？ 解：乙 5 天完成 5×1/30=1/6 甲乙合作的工作效率=1/20+1/30=1/6 那么还需要（1-1/6）/（1/6）=（5/6）/（1/6）=5 天 12、一项工程 甲独完成要 10 天,乙独做需 15 天,丙队要 20 天,3 队 一起干，甲队因事走了，结果共用了六天，甲队实际干了多少天? 解：乙丙的工作效率和=1/15+1/20=7/60 乙丙都做 6 天，完成 7/60×6=7/10 甲完成全部的 1-7/10=3/10 那么甲实际干了（3/10）/（1/10）=3 天 12、加工一个零件，甲需要 4 小时，乙需要 2.5 小时，丙需要 5 小时。 现在有 187 个零件需要加工，如果规定三人用同样多的时间完成，那 么各应该加工多少个？ 解：甲乙丙加工 1 个零件分别需要 1/4 小时，2/5 小时，1/5 小时 那么完成的时间=187/（1/4+2/5+1/5）=187/0.85=220 小时 那么甲加工 1/4×220=55 个 乙加工 2/5×220=88 个 丙加工 1/5×220=44 个 13、一项工程，由甲先做 5/1，再由甲乙两队合作，又做了 16 天完 成。已知甲乙两队的工效比是 2：3，甲乙两队独立完成这项工程各 需多少天？ 解：甲乙的工作效率和=（1-1/5）/16=（4/5）/16=1/20 甲的工作效率=1/20×2/（2+3）=1/50 乙的工作效率=1/20-1/50=3/100 那么甲单独完成需要 1/（1/50）=50 天 乙单独完成需要 1/（3/100）=100/3 天=33 又 1/33 天 14、一项工程，甲队 20 人单独做要 25 天，如果要 20 天完成，还需 再加多少人？ 解：将每个人的工作量看作单位 1 还需要增加 1×25×20/（1×20）-20=25-20=5 人 15、一项工程，甲先做 3 天，然后乙加入，4 天后完成的这项工程的 3 分之 1,10 天后完成的这项工程的 4 分之 3。甲因有事调走，剩余全 都让乙做。一共做了多少天？ 解：根据题意 甲乙合作开始是 4 天完成 1/3，后来是 10 天完成 3/4 所以甲乙合作 10-4=6 天完成 3/4-1/3=5/12 所以甲乙的工作效率和=（5/12）/6=5/72 那么甲的工作效率=（1/3-5/72×4）/3=（1/3-5/18）/3=1/54 乙的工作效率=5/72-1/54=11/216 那么乙完成剩下的需要（1-3/4）/（11/216）=54/11 天 一共做了 3+10+54/11=17 又 10/11 天 16、甲乙做相同零件各做了 16 天后甲还需 64 个乙还需 384 个才能完 成乙比甲的工作效率少百分之 40，求甲的效率？ 解：设甲的工作效率为 a 个/天，则乙为（1-40%）a=0.6a 个/天 根据题意 16a+64=0.6a×16+384 16×0.4a=320 0.4a=20 a=50 个/天 甲的工作效率为 50 个/天 算术法： 乙比甲每天少做 40% 那么 16 天少做 384-64=320 个 每天少做 320/16=20 个 那么甲的工作效率=20/40%=50 个/天 17、张师傅每工作 6 天休息 1 天，王师傅每工作 5 天休息 2 天。现有 一项工程，张师傅独做需 97 天，李师傅需 75 天，如果两人合作，一 共需多少天？ 解： 97 除以 7 等于 13 余 6，13*6=78,78+6=84 个工作日 75 除以 7 等于 10 余 5，10*5=50,50+5=55 个工作日 张师傅每工作日完成 1/84，每周完成 6/84=1/14 王师傅每工作日完成 1/55，每周完成 5/55=1/11 两人合作每工作日完成 139/4620，每周完成 25/154 6 周完成 150/154，还剩 4/154 （4/154）/（139/4620）=120/139 所以，6 周零一天，43 天 18、甲乙丙三人共同完成一项工程，3 天完成了全部的 1/5，然后甲 休息了 3 天，乙休息了 2 天，丙没休息，如果甲一天的工作量是丙一 天工作量的 3 倍，乙一天的工作量是丙一天工作量的 4 倍，那么这项 工作从开始算起多少天完成？ 解：甲乙丙的工作效率和=（1/5）/3=1/15 丙的工作效率=（1/15）/（3+4+1）=1/120 甲的工作效率=1/120×3=1/40 乙的工作效率=1/120×4=1/30 这里把丙的工作效率看作 1 倍数 甲休息 3 天，乙休息 2 天这段时间一共完成 1/30+1/120×3=7/120 那么剩下的还需要（1-1/5-7/120）/（1/15）=89/8 天 一共需要 3+3+89/8=17 又 1/8 天 19、一项工程，甲独做 30 天，乙独做 20 天完成，甲先做了若干天后， 由乙接替，甲乙共做 22 天，甲乙各做几天？ 解：乙的工作效率=1/20 乙 22 天完成 1/20×22=11/10 多完成 11/10-1=1/10 乙的工作效率和甲的工作效率之差=1/20-1/30=1/60 所以甲做了（1/10）/（1/60）=6 天 乙做了 22-6=12 天 按照鸡兔同笼问题考虑 20、一项工程甲乙合做需 12 天完成,若甲先做 3 天后,再由乙工作 8 天,共完成这项工作的 5/12,如果这件工作由甲单独做，需（）天完 成? 解：甲 3 天乙 8 天看作甲乙合作 3 天，乙独做 8-3=5 天 这是解决问题的关键 乙独做 5 天完成 5/12-1/12×3=1/6 乙的工作效率=（1/6）/5=1/30 甲的工作效率=1/12-1/30=1/20 甲单独完成需要 1/（1/20）=20 天 21、一项工作，甲乙要 4 小时完成，乙丙要 6 小时完成。现在甲丙合 作 2 小时，剩下的乙 7 小时完成。甲乙丙单独要多久完成？ 解：甲丙合作 2 小时，乙独做 7 小时 相当于甲乙可做 2 小时，乙丙合作 2 小时，乙独做 7-2-2=3 小时 那么乙独做完成 1-1/4×2-1/6×2=1-1/2-1/3=1/6 乙的工作效率=（1/6）/3=1/18 甲的工作效率=1/4-1/18=7/36 丙的工作效率=1/6-1/18=1/9 甲单独完成需要 1/（7/36）=36/7 天=5 又 1/7 天 乙单独完成需要 1/（1/18）=18 天 丙单独完成需要 1/（1/9）=9 天 22、一项工程，甲队单独完成需 12 天，乙队单独完成需 18 天，现要 求在 10 天内完成，则甲乙两队至少合作多少天？ 解：此题考虑 至少一个队工作 10 天，另一个队作为补充 假如甲工作 10 天，完成 1/12×10=5/6 那么乙需要帮助（1-5/6）/（1/18）=（1/6）/（1/18）=3 天 假如乙工作 10 天，完成 1/18×10=5/9 甲需要帮助（1-5/9）/（1/12）=（4/9）/（1/12）=48/9 天=5 又 1/3 天 由此，很明显甲乙至少合作 3 天就可以了。 23、某市日产垃圾 700 吨，甲乙合作要 7 小时，两厂合作 2.5 小时后， 乙厂单独处理要 10 小时，已知甲每小时 550 元，乙每小时 495 元， 要求费用不得超过 7370 元，那么甲至少处理多少小时？ 解：甲乙的工作效率和=1/7 甲乙合作 2.5 小时完成 1/7×5/2=5/14 乙的工作效率=（1-5/14）/10=9/140 甲的工作效率=1/7-9/140=11/140 设甲至少处理 a 小时 那么甲完成 a×11/140=11a/140 还剩下 1-11a/140 需要乙完成 则乙工作的时间=（1-11a/140）/（9/140）=（140-11a）/9 小时 根据题意 550a+495×（140-11a）/9≤7370 4950a+69300-5445a≤66330 495a≥2970 a≥6 甲至少要工作 6 小时 24、正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、 乙两队合作，24 天可以完成；需费用 120 万元；若甲单独做 20 天后， 剩下的工程由乙做，还需 40 天才能完成，这样需费用 110 万元。问： （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？ 解：甲乙的工作效率和=1/24 20 天完成 1/24×20=5/6 乙的工作效率=（1-5/6）/（40-20）=1/120 乙单独完成需要 1/（1/20）=120 天 甲的工作效率=1/24-1/120=1/30 甲单独完成需要 1/（1/30）=30 天 （2）甲乙工作一天需要费用 120/24=5 万元 合作 20 天需要 5×20=100 万元 乙单独工作 20 天需要 110-100=10 万元 乙工作一天需要 10/20=0.5 万元 那么甲工作一天需要 5-0.5=4.5 万元 甲单独完成需要 4.5×30=135 万元 乙单独完成需要 0.5×120=60 万元 25、生产一批零件，甲每小时可做 18 个，乙单独做要 12 小时成。现 在由甲乙二人合做，完成任务时，甲乙生产的数量之比是 3：5，甲 一共生产零件多少个？ 解：乙的工作效率=1/12 完成任务时乙工作了（5/8）/（1/12）=15/2 小时 那么甲一共生产 18×15/2=135 个 26、一项工程，甲独做 10 天完成，乙独做 20 完成，现在甲乙合作， 甲休息一天，乙休息 5 天，完成这项工程要多少天？ 解：甲休息 1 天，乙休息 5 天，相当于甲乙休息 1 天后，乙又休息 4 天 那么甲 4 天完成 4/10=2/5 甲乙的工作效率和=1/10+1/20=3/20 那么剩下的需要（1-2/5）/（3/20）=（3/5）/（3/20）=4 天 完成全部工程需要 4+5=9 天 27、一条长 1200M 的小巷进行路面修理，计划由甲乙共同完成，若甲、 乙合做 24 天可完成，若甲乙合做 16 天后，剩下由乙独做 20 天完成， 求甲乙每天修路多少 M？若每天用 70 元，乙每天用 40 元，要使工程 费用不超过 2500 元，问：甲队至多施工几天？ 解： 甲乙的工作效率和=1/24 16 天完成 1/24×16=2/3 那么乙的工作效率=（1-2/3）/20=1/60 甲的工作效率=1/24-1/60=1/40 甲单独完成需要 1/（1/40）=40 天 乙单独完成需要 1/（1/60）=60 天 甲每天修 1200/40=30 米 乙每天修 1200/60=20 米 设甲至多施工 a 天 那么乙工作（1200-30a）/20=60-3a/2 天 70a+（60-3a/2）×40≤2500 70a+2400-60a≤2500 10a≤100 a≤10 天 甲至多工作 10 天 三、强化训练题（二） 一、工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20 小时， 16 小时.丙水管单独开，排一池水要 10 小时，若水池没水， 同时打开甲乙两水管，5 小时后，再打开排水管丙，问水池 注满还需要多少小时？ 2．修一条水渠，单独修，甲队需要 20 天完成，乙队需要 30 天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作 效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工 作效率只有原来的十分之九。现在计划 16 天修完这条水渠， 且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 3．一件工作，甲、乙合做需 4 小时完成，乙、丙合做需 5 小时完成。现在先请甲、丙合做 2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第 四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果 第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样 交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独 做这项工程需 17 天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 1/2 时，徒 弟完成了 120 个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了 4/5 这 批零件共有多少个？ 6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽 6 棵；如果 单份给女生栽，平均每人栽 10 棵。单份给男生栽，平均每 人栽几棵？ 7．一个池上装有 3 根水管。甲管为进水管，乙管为出水管， 20 分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30 分钟可将满 池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙, 丙两管用了 18 分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙 管，而不开丙管，多少分钟将水放完？ 8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好 如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由 甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日 期为几天？ 9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要 2 小时，而点完 一根细蜡烛要 1 小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两 根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭， 发现粗蜡烛的长是细蜡烛的 2 倍，问：停电多少分钟？ 二．鸡兔同笼问题 1．鸡与兔共 100 只，鸡的腿数比兔的腿数少 28 条，,问鸡 与兔各有几只？ 三．数字数位问题 1．把 1 至 2005 这 2005 个自然数依次写下来得到一个多位 数 123456789.....2005,这个多位数除以 9 余数是多少? 2．A 和 B 是小于 100 的两个非零的不同自然数。求 A+B 分之 A-B 的最小值... 3．已知 A.B.C 都是非 0 自然数,A/2 + B/4 + C/16 的近似值 市 6.4,那么它的准确值是多少? 4．一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位 数字大 1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得 到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大 198,求原 数. 5．一个两位数,在它的前面写上 3,所组成的三位数比原两位 数的 7 倍多 24,求原来的两位数. 6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新 数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多 少? 7．一个六位数的末位数字是 2,如果把 2 移到首位,原数就是 新数的 3 倍,求原数. 8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是 12,十位数字 与千位数字的和是 9,如果个位数字与百位数字互换,千位数 字与十位数字互换,新数就比原数增加 2376,求原数. 9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为 9 余数为 6, 如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为 5 余数为 3,求这个两位数. 10 ． 如 果 现 在 是 上 午 的 10 点 21 分 , 那 么 在 经 过 28799...99(一共有 20 个 9)分钟之后的时间将是几点几分? 四．排列组合问题 1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻 的排法有（ ） A 768 种 B 32 种 C 24 种 D 2 的 10 次方中 2 若把英语单词 hello 的字母写错了,则可能出现的错误共 有 ( ) A 119 种 B 36 种 C 59 种 D 48 种 五．容斥原理问题 1．有 100 种赤贫.其中含钙的有 68 种,含铁的有 43 种,那么, 同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校 25 名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有 解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人 数的 2 倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一 题的人数多 1 人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解 出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( ) A，5 B，6 C，7 D，8 3．一次考试共有 5 道试题。做对第 1、2、3、、4、5 题的分 别占参加考试人数的 95%、80%、79%、74%、85%。如果做对 三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多 少？ 六．抽屉原理、奇偶性问题 1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、 红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有 3 副同 色的？ 2．有四种颜色的积木若干，每人可任取 1-2 件，至少有几 个人去取，才能保证有 3 人能取得完全一样？ 3．某盒子内装 50 只球，其中 10 只是红色，10 只是绿色， 10 只是黄色，10 只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保 取出的球中至少包含有 7 只同色的球，问：最少必须从袋中 取出多少只球？ 4．地上有四堆石子，石子数分别是 1、9、15、31 如果每次 从其中的三堆同时各取出 1 个，然后都放入第四堆中，那么， 能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?（如 果能请说明具体操作，不能则要说明理由） 七．路程问题 1．狗跑 5 步的时间马跑 3 步，马跑 4 步的距离狗跑 7 步， 现在狗已跑出 30 米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可 以追上它？ 2．甲乙辆车同时从 a b 两地相对开出，几小时后再距中点 40 千米处相遇？已知，甲车行完全程要 8 小时，乙车行完全 程要 10 小时，求 a b 两地相距多少千米？ 3．在一个 600 米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点 按顺时针方向跑步，两人每隔 12 分钟相遇一次，若两个人 速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针 方向跑，则两人每隔 4 分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少 分钟？ 4．慢车车长 125 米，车速每秒行 17 米，快车车长 140 米， 车速每秒行 22 米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来， 那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时 间？ 5．在 300 米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起 跑，甲平均速度是每秒 5 米，乙平均速度是每秒 4.4 米，两 人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？ 6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经 过 57 秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他 1360 米，(轨 道是直的),声音每秒传 340 米，求火车的速度（得出保留整 数） 7．猎犬发现在离它 10 米远的前方有一只奔跑着的野兔，马 上紧追上去，猎犬的步子大，它跑 5 步的路程，兔子要跑 9 步，但是兔子的动作快，猎犬跑 2 步的时间，兔子却能跑 3 步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。 8．AB 两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是 4:5, 如果甲乙二人分别同时从 AB 两地相对行使,40 分钟后两人相 遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达 A 地比甲到达 B 地要 晚多少分钟? 9．甲乙两车同时从 AB 两地相对开出。第一次相遇后两车继 续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离 B 地的距离是 AB 全程的 1/5。已知甲车在第一次相遇时行了 120 千米。AB 两地相距多少千米？ 10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要 6 小时; 逆流 8 小时。如果水流速度是每小时 2 千米，求两地间的距 离？ 11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行 33 千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢车行完全程需 要 8 小时，求甲乙两地的路程。 12．小华从甲地到乙地,3 分之 1 骑车,3 分之 2 乘车;从乙地 返回甲地,5 分之 3 骑车,5 分之 2 乘车,结果慢了半小时.已 知,骑车每小时 12 千米,乘车每小时 30 千米,问:甲乙两地相 距多少千米? 八．比例问题 1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃, 有一个人请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为 了表示感谢,过路人留下 10 元,甲、乙怎么分？ 2．一种商品，今年的成本比去年增加了 10 分之 1，但仍保 持原售价，因此，每份利润下降了 5 分之 2，那么，今年这 种商品的成本占售价的几分之几？ 3．甲乙两车分别从 A.B 两地出发,相向而行,出发时,甲.乙 的速度比是 5:4,相遇后,甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%,这样,当甲到达 B 地时,乙离 A 地还有 10 千米,那么 A.B 两地相距多少千米? 4．一个圆柱的底面周长减少 25%，要使体积增加 1/3，现在 的高和原来的高度比是多少？ 5、某市举行小学数学竞赛，结果不低于 80 分的人数比 80 分以下的人数的 4 倍还多 2 人，及格的人数比不低于 80 分 的人数多 22 人，恰是不及格人数的 6 倍，求参赛的总人数？ 6、有 7 个数，它们的平均数是 18。去掉一个数后，剩下 6 个数的平均数是 19；再去掉一个数后，剩下的 5 个数的平均 数是 20。求去掉的两个数的乘积。 7、小明参加了六次测验，第三、第四次的平均分比前两次 的平均分多 2 分，比后两次的平均分少 2 分。如果后三次平 均分比前三次平均分多 3 分，那么第四次比第三次多得几 分？ 某工车间共有 77 个工人，已知每天每个工人平均可加工甲 种部件 5 个，或者乙种部件 4 个，或丙种部件 3 个。但加工 3 个甲种部件，一个乙种部件和 9 个丙种部件才恰好配成一 套。问应安排甲、乙、丙种部件工人各多少人时，才能使生 产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套？ 8、哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的三倍，哥哥当年的年 龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为 30 岁，问哥哥、弟弟现在多少岁？ 小学五年级奥数题答案 一、工程问题 1、解：1/20+1/16＝9/80 表示甲乙的工作效率 9/80×5＝45/80 表示 5 小时后进水量 1-45/80＝35/80 表示还要的进水量 35/80÷（9/80-1/10）＝35 表示还要 35 小时注满 答：5 小时后还要 35 小时就能将水池注满。 2、解：由题意得，甲的工效为 1/20，乙的工效为 1/30，甲 乙的合作工效为 1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合 作工效>甲的工效>乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做 的快的甲多做，16 天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。 只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为 x 天，则甲独做时间为（16-x）天 1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作 10 天 3、由题意知，1/4 表示甲乙合作 1 小时的工作量，1/5 表示 乙丙合作 1 小时的工作量 （1/4+1/5）×2＝9/10 表示甲做了 2 小时、乙做了 4 小时、 丙做了 2 小时的工作量。 根据“甲、丙合做 2 小时后，余下的乙还需做 6 小时完成” 可知甲做 2 小时、乙做 6 小时、丙做 2 小时一共的工作量为 1。 所以 1－9/10＝1/10 表示乙做 6-4＝2 小时的工作量。 1/10÷2＝1/20 表示乙的工作效率。 1÷1/20＝20 小时表示乙单独完成需要 20 小时。 答：乙单独完成需要 20 小时。 4、解：由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1 （1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结 束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多 0.5 天） 1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因为前面的工作量都相等） 得到 1/甲＝1/乙×2 又因为 1/乙＝1/17 所以 1/甲＝2/17，甲等于 17÷2＝8.5 天 5、答案为 300 个 120÷（4/5÷2）＝300 个 可以这样想：师傅第一次完成了 1/2，第二次也是 1/2，两 次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了 4/5，可以推 算出第一次完成了 4/5 的一半是 2/5，刚好是 120 个。 6、答案是 15 棵 算式：1÷（1/6-1/10）＝15 棵 7、答案 45 分钟。 1÷（1/20+1/30）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的 分钟数。 1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2 表示乙丙合作将漫池水放完 后，还多放了 6 分钟的水，也就是甲 18 分钟进的水。 1/2÷18＝1/36 表示甲每分钟进水 最后就是 1÷（1/20-1/36）＝45 分钟。 8、答案为 6 天 解：由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲 乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知： 乙做 3 天的工作量＝甲 2 天的工作量 即：甲乙的工作效率比是 3：2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是 2：3 时间比的差是 1 份 实际时间的差是 3 天 所以 3÷（3-2）×2＝6 天，就是甲的时间，也就是规定日 期 方程方法： [1/x+1/（x+2）]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1 解得 x＝6 9、答案为 40 分钟。 解：设停电了 x 分钟 根据题意列方程 1-1/120*x＝（1-1/60*x）*2 解得 x＝40 二．鸡兔同笼问题 1、解：4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有 400 只兔子的脚，那么鸡的脚为 0 只，鸡的脚比兔子的脚少 400 只。 400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少 28 只，相差 372 只，这是为什么？ 4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚 数就会减少 4 只（从 400 只变为 396 只），鸡的总脚数就会 增加 2 只（从 0 只到 2 只），它们的相差数就会少 4+2＝6 只 （也就是原来的相差数是 400-0＝400，现在的相差数为 396-2＝394，相差数少了 400-394＝6） 372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的 100 只 兔子中有 62 只改为了鸡，所以脚的相差数从 400 改为 28， 一共改了 372 只 100-62＝38 表示兔的只数 三．数字数位问题 1、解：首先研究能被 9 整除的数的特点：如果各个数位上 的数字之和能被 9 整除，那么这个数也能被 9 整除；如果各 个位数字之和不能被 9 整除，那么得的余数就是这个数除以 9 得的余数。 解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45 能被 9 整除 依次类推：1~1999 这些数的个位上的数字之和可以被 9 整除 10~19，20~29……90~99 这些数中十位上的数字都出现了 10 次，那么十位上的数字之和就是 10+20+30+……+90=450 它 有能被 9 整除 同样的道理，100~900 百位上的数字之和为 4500 同样被 9 整除 也就是说 1~999 这些连续的自然数的各个位上的数字之和可 以被 9 整除； 同样的道理：1000~1999 这些连续的自然数中百位、十位、 个位 上的数字之和可以被 9 整除（这里千位上的“1”还没 考虑，同时这里我们少 200020012002200320042005 从 1000~1999 千位上一共 999 个“1”的和是 999，也能整除； 200020012002200320042005 的各位数字之和是 27，也刚好 整除。 最后答案为余数为 0。 2、解：(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B) 前 面 的 1 不 会 变 了 ， 只 需 求 后 面 的 最 小 值 ， 此 时 (A-B)/(A+B) 最大。 对于 B / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大， 问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。 (A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1 (A+B)/B = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100 3、解：因为 A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4， 所以 8A+4B+C≈102.4，由于 A、B、C 为非 0 自然数，因此 8A+4B+C 为一个整数，可能是 102，也有可能是 103。 当是 102 时，102/16＝6.375 当是 103 时，103/16＝6.4375 4、解：设原数个位为 a，则十位为 a+1，百位为 16-2a 根据题意列方程 100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198 解得 a＝6，则 a+1＝7 16-2a＝4 答：原数为 476。 5、解：设该两位数为 a，则该三位数为 300+a 7a+24＝300+a a＝24 答：该两位数为 24。 6、解：设原两位数为 10a+b，则新两位数为 10b+a 它们的和就是 10a+b+10b+a＝11（a+b） 因为这个和是一个平方数，可以确定 a+b＝11 因此这个和就是 11×11＝121 答：它们的和为 121。 7、解：设原六位数为 abcde2，则新六位数为 2abcde（字母 上无法加横线，请将整个看成一个六位数） 再设 abcde（五位数）为 x，则原六位数就是 10x+2，新六位 数就是 200000+x 根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2 解得 x＝85714 所以原数就是 857142 8、答案为 3963 解：设原四位数为 abcd，则新数为 cdab，且 d+b＝12，a+c ＝9 根据“新数就比原数增加 2376”可知 abcd+2376=cdab,列竖 式便于观察 abcd 2376 cdab 根据 d+b＝12，可知 d、b 可能是 3、9；4、8；5、7；6、6。 再观察竖式中的个位，便可以知道只有当 d＝3，b＝9；或 d ＝8，b＝4 时成立。 先取 d＝3，b＝9 代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。 根据 a+c＝9，可知 a、c 可能是 1、8；2、7；3、6；4、5。 再观察竖式中的十位，便可知只有当 c＝6，a＝3 时成立。 再代入竖式的千位，成立。 得到：abcd＝3963 再取 d＝8，b＝4 代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合 适的数，所以不成立。 9、解：设这个两位数为 ab 10a+b＝9b+6 10a+b＝5（a+b）+3 化简得到一样：5a+4b＝3 由于 a、b 均为一位整数 得到 a＝3 或 7，b＝3 或 8 原数为 33 或 78 均可以 10、解：（28799……9（20 个 9）+1）/60/24 整除，表示正 好过了整数天，时间仍然还是 10:21，因为事先计算时加了 1 分钟，所以现在时间是 10:20 四．排列组合问题 1、解：根据乘法原理，分两步： 第一步是把 5 对夫妻看作 5 个整体，进行排列有 5×4×3×2 ×1＝120 种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈， 就会产生 5 个 5 个重复，因此实际排法只有 120÷5＝24 种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对 夫妻均有 2 种排法，总共又 2×2×2×2×2＝32 种 综合两步，就有 24×32＝768 种。 2、解：5 全排列 5*4*3*2*1=120 有两个 l 所以 120/2=60 原来有一种正确的所以 60-1=59 五．容斥原理问题 1、解：根据容斥原理最小值 68+43-100＝11 最大值就是含铁的有 43 种 2、解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题 情况分为 7 类：只答第 1 题，只答第 2 题，只答第 3 题，只 答第 1、2 题，只答第 1、3 题，只答 2、3 题，答 1、2、3 题。 分别设各类的人数为 a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…① 由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……② 由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③ 由（4）知：a1＝a2+a3……④ 再由②得 a23＝a2－a3×2……⑤ 再由③④得 a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥ 然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3＝26 由于 a2、a3 均表示人数，可以求出它们的整数解： 当 a2＝6、5、4、3、2、1 时，a3＝2、6、10、14、18、22 又根据 a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有 a2＝6，a3＝2。 然后可以推出 a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝ 8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数 a2＝6 人。 3、答案：及格率至少为 71％。 假设一共有 100 人考试 100-95＝5 100-80＝20 100-79＝21 100-74＝26 100-85＝15 5+20+21+26+15＝87（表示 5 题中有 1 题做错的最多人数） 87÷3＝29（表示 5 题中有 3 题做错的最多人数，即不及格 的人数最多为 29 人） 100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的） 及格率至少为 71％ 六．抽屉原理、奇偶性问题 1、解：可以把四种不同的颜色看成是 4 个抽屉，把手套看 成是元素，要保证有一副同色的，就是 1 个抽屉里至少有 2 只手套，根据抽屉原理，最少要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后 4 个抽屉中还剩 3 只手套。再根据抽屉原理，只 要再摸出 2 只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类 推。 把四种颜色看做 4 个抽屉，要保证有 3 副同色的，先考虑保 证有 1 副就要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后，4 个 抽屉中还剩下 3 只手套。根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手 套，又能保证有 1 副是同色的。以此类推，要保证有 3 副同 色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只） 答：最少要摸出 9 只手套，才能保证有 3 副同色的。 2、解：每人取 1 件时有 4 种不同的取法,每人取 2 件时,有 6 种不同的取法. 当有 11 人时,能保证至少有 2 人取得完全一样: 当有 21 人时,才能保证到少有 3 人取得完全一样. 3、解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的 个数。 当黑球或白球其中没有大于或等于 7 个的，那么就是： 6*4+10+1=35(个) 如果黑球或白球其中有等于 7 个的，那么就是： 6*5+3+1＝34（个） 如果黑球或白球其中有等于 8 个的，那么就是： 6*5+2+1＝33 如果黑球或白球其中有等于 9 个的，那么就是： 6*5+1+1＝32 4、解：不可能。 因为总数为 1+9+15+31＝56 56/4＝14。14 是一个偶数，而原来 1、9、15、31 都是奇数， 取出 1 个和放入 3 个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后， 结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14 个）。 七．路程问题 1、解：根据“马跑 4 步的距离狗跑 7 步”，可以设马每步长 为 7x 米，则狗每步长为 4x 米。 根据“狗跑 5 步的时间马跑 3 步”，可知同一时间马跑 3*7x 米＝21x 米，则狗跑 5*4x＝20 米。 可以得出马与狗的速度比是 21x：20x＝21：20 根据“现在狗已跑出 30 米”，可以知道狗与马相差的路程是 30 米，他们相差的份数是 21-20＝1，现在求马的 21 份是多 少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630 米 2、解：由“甲车行完全程要 8 小时，乙车行完全程要 10 小 时”可知，相遇时甲行了 10 份，乙行了 8 份（总路程为 18 份），两车相差 2 份。又因为两车在中点 40 千米处相遇，说 明两车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷ （10-8）×（10+8）＝720 千米。 3、解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差 600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和 （50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题 中的较大数 （150-50）/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中 的较小数 600÷100=6 分钟，表示跑的快者用的时间 600/50=12 分钟，表示跑得慢者用的时间 4、解：算式是（140+125)÷(22-17)=53 秒 可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车” 就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应 该为两个车长的和。 5、解：300÷（5-4.4）＝500 秒，表示追及时间 5×500＝2500 米，表示甲追到乙时所行的路程 2500÷300＝8 圈……100 米，表示甲追及总路程为 8 圈还多 100 米，就是在原来起跑线的前方 100 米处相遇。 6、解：算式：1360÷(1360÷340+57）≈22 米/秒 关键理解：人在听到声音后 57 秒才车到，说明人听到声音 时车已经从发声音的地方行出 1360÷340＝4 秒的路程。也 就是 1360 米一共用了 4+57＝61 秒。 7、答案是猎犬至少跑 60 米才能追上。 解：由“猎犬跑 5 步的路程，兔子要跑 9 步”可知当猎犬每 步 a 米，则兔子每步 5/9 米。由“猎犬跑 2 步的时间，兔子 却能跑 3 步”可知同一时间，猎犬跑 2a 米，兔子可跑 5/9a*3 ＝5/3a 米。从而可知猎犬与兔子的速度比是 2a：5/3a＝6： 5，也就是说当猎犬跑 60 米时候，兔子跑 50 米，本来相差 的 10 米刚好追完 8、解：设全程为 1,甲的速度为 x 乙的速度为 y 列式 40x+40y=1 x:y=5:4 得 x=1/72 y=1/90 走完全程甲需 72 分钟,乙需 90 分钟 故得解答案：18 分 9、解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了 1 个 AB 的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了 3 个 AB 的 路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相 遇前各自所走的路程的 3 倍。即甲共走的路程是 120*3＝360 千米，从线段图可以看出，甲一共走了全程的（1+1/5）。 因此 360÷（1+1/5）＝300 千米 10、解：（1/6-1/8）÷2＝1/48 表示水速的分率 2÷1/48＝96 千米表示总路程 11、解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是 4：3 时间比为 3：4 所以快车行全程的时间为 8/4*3＝6 小时 6*33＝198 千米 12、解：把路程看成 1，得到时间系数 去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30 返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30 两者之差：（3/5÷12+2/5÷30）-（1/3÷12+2/3÷30）=1/75 相当于 1/2 小时 去时时间：1/2×（1/3÷12）÷1/75 和 1/2×（2/3÷30） 1/75 路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕+30×〔1/2×（2/3 ÷30）1/75〕=37.5（千米） 八．比例问题 1、解：“三人将五条鱼平分，客人拿出 10 元”，可以理解为 五条鱼总价值为 30 元，那么每条鱼价值 6 元。 又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资 3*6＝18 元，“乙钓了两条”，相当于乙吃之前已经出资 2*6＝12 元。 而甲乙两人吃了的价值都是 10 元，所以 甲还可以收回 18-10＝8 元 乙还可以收回 12-10＝2 元 刚好就是客人出的钱。 2、解：最好画线段图思考：把去年原来成本看成 20 份，利 润看成 5 份，则今年的成本提高 1/10，就是 22 份，利润下 降了 2/5，今年的利润只有 3 份。增加的成本 2 份刚好是下 降利润的 2 份。售价都是 25 份。所以，今年的成本占售价 的 22/25。 3、解：原来甲.乙的速度比是 5:4 现在的甲：5×（1-20％）＝4 现在的乙：4×（1+20％）4.8 甲到 B 后，乙离 A 还有：5-4.8＝0.2 总路程：10÷0.2×（4+5）＝450 千米 4、答案为 64：27 解：根据“周长减少 25％”，可知周长是原来的 3/4，那么 半径也是原来的 3/4，则面积是原来的 9/16。 根据“体积增加 1/3”，可知体积是原来的 4/3。 体积÷底面积＝高 现在的高是 4/3÷9/16＝64/27，也就是说现在的高是原来的 高的 64/27 或者现在的高：原来的高＝64/27：1＝64：27 5、解：设不低于 80 分的为 A 人，则 80 分以下的人数是（A-2） /4，及格的就是 A+22，不及格的就是 A+（A-2）/4-（A+22） =（A-90）/4，而 6*（A-90）/4=A+22，则 A=314，80 分以下 的人数是（A-2）/4，也即是 78，参赛的总人数 314+78=392 6、解： 7*18-6*19=126-114=12 6*19-5*20=114-100=14 去掉的两个数是 12 和 14 它们的乘积是 12*14=168 解：第三、四次的成绩和比前两次的成绩和多 4 分，比后两 次的成绩和少 4 分，推知后两次的成绩和比前两次的成绩和 多 8 分。因为后三次的成绩和比前三次的成绩和多 9 分，所 以第四次比第三次多 9－8=1（分）。 8、算式：这道题可以用方程解：解：设加工后乙种部件有 x 个。 3/5X + 1/4X + 9/3X=77 x=20 甲：0.6×20=12（人） 乙： 0.25×20=5（人） 丙： 3 ×20==60（人） 答：甲 12 人，乙 5 人，丙 60 人。 9、算式：这道题可以用方程解：解：设哥哥现在的年龄为 x 岁。 x-(30-x)=(30-x)-x/3 x=18 弟弟 30-18=12（岁） 答：哥哥 18 岁，弟弟 12 岁。