小学数学精讲教案6_1_4 还原问题（二） 教师版 11页

‎6-1-2.还原问题（二）‎ 教学目标 本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题．‎ ‎1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．‎ ‎2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．‎ ‎3. 培养学生“倒推”的思想．‎ 知识点拨 一、还原问题 已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．‎ 还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．‎ 二、解还原问题的方法 在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．‎ 方法：倒推法。‎ 口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．‎ 关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.‎ 例题精讲 模块一、单个变量的还原问题 【例 1】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的．此时瓶子里还剩‎0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？‎ ‎【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 最开始瓶子里有矿泉水：（升）．‎ ‎【答案】升 【例 1】 李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（    ）斗酒。‎ ‎【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】可逆思想方法，走美杯，六年级 【解析】 设李白壶中原有斗酒，则三次经过店和花之后变为 即壶中原有斗酒.‎ ‎【答案】斗 【例 2】 有60名学生，男生、女生各30名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放开手，可以分成18个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了_ _个小组．‎ ‎【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，四年级，初赛，3题 【解析】 方法一：男生和女生放手分成个组，说明有男生被计算次，男生与男生放开手后分成的组数和男生数相同，但是因为是围成了一圈，所以刚刚计算人数会被算成了两次，所以按照逆推的原则，原来有男生人，被计算（次），所以（次）分成了组。‎ 方法二：名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有对牵着的手，其中男生与女生牵手的有对，假设男生与男生牵手的有人，那么，参与围圈的男生一共有人，所以，．那么原来牵手的男生和男生放手，分成了个小组．‎ ‎【答案】个小组 模块二、多个变量的还原问题 【例 3】 甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。这时四个组的书一样多。这说明甲组原来有书______ 本。‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 甲得到4本，乙失去1本，丙失去2本，丁失去1本后，四个人书一样多，为280÷4=70，所以甲原来有70-4=66本书 ‎【答案】本书 【例 4】 一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有140只沙袋．如果甲组先给乙组5只，乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只?‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 甲乙两组的沙袋经历了两次交换．第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为140只，所以这时两组各有沙袋70只．解答时可以从开始倒推．列表倒推如下：‎ 解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推．因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所以应从两组各有沙袋70只开始倒推．‎ ‎【答案】甲，乙 【巩固】 甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树（棵），乙班有（棵），如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树（棵），甲班原有树（棵）．列表倒推如下:‎ ‎【答案】甲班原有树棵，乙班原有树棵 【例 1】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 我们从最后一步倒着分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有(个)棋子，而甲堆的棋子数是(个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子．‎ 采用列表法非常清楚．‎ ‎【答案】甲乙两堆棋子原来各有个和个 【巩固】 有一个两层书架，一共摆放224本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从下层现有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进行了一轮调整．若如此共进行了两轮调整后，两层摆放书的本数相等，上层书架原来摆放________本书,下层书架原来摆放________本书．‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，3年级，第8题，可逆思想方法 【解析】 还原法 ‎ 结果：上层 112 本；下层 112 本 ‎ 上层 本；下层 本 ‎ 上层 140 本；下层 84 本 ‎ 上层 70 本；下层 154 本 ‎ 上层 147 本；下层 77 本 ‎【答案】上层本，下层本 【例 1】 三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 甲：（元）； 乙：（元）；丙：．‎ ‎【答案】甲元， 乙元，丙元 【巩固】 小巧、小亚、小红共有个玻璃球，小巧给小亚个，小亚给小红个，小红给小巧个，他们的玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 由已知条件可知，小巧比原来多了个，小亚比原来多了个，小红少了个，三人一样多时，都是（个），所以小巧原来有（个），小亚原来有（个），小红原来有（个）．‎ ‎【答案】所以小巧原来有个，小亚原来有个，小红原来有个．‎ 【例 2】 三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟?‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是（只），第一棵树上的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：现在一样多的：（只），第一棵树上的小鸟只数：（只）或 （只），第二棵树上的小鸟只数：（只）或（只），第三棵树上的小鸟只数：（只）或（只）原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟．‎ ‎【答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟 【巩固】 三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 三棵树上的鸟同样多的只数：（只），第一棵数上鸟的只数：（只），第二棵数上鸟的只数：（只），第三棵数上鸟的只数：（只），第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟．‎ ‎【答案】第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟 【巩固】 ‎3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 ‎3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出现在每个笼里的是（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，得出第个笼子里有：（只），第3个笼子里原有（只）．‎ ‎【答案】第1个笼子里原来养了只，第个笼子里有只，第3个笼子里原有只。‎ 【巩固】 ‎3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多．求3个笼子里原来各养了多少只兔子？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 ‎3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出现在每个笼里的兔子是（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，所以第3个笼子里原有：（只），第个笼子里原有：(只)．‎ ‎【答案】第1个笼子里原来养了只，第个笼子里原有只，第3个笼子里原有只。‎ 【例 1】 张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本．这时4个人的本数相等．他们原来各有多少本？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物200本，经过互相交换后，这200本书的总数没有变化，仍然是200本．后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是(本)．‎ 用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本数减去，就得到各人原有课外读物的本数．‎ ‎⑴张原有读物的本数：(本)‎ ‎⑵王原有读物的本数：(本)‎ ‎⑶李原有读物的本数：(本)‎ ‎⑷赵原有读物的本数：(本)‎ ‎【答案】张原有读物本，王原有读物本，李原有读物本，赵原有读物本。‎ 【例 2】 解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 由条件“后来又调进人”和“这时第一队还有人”，可知不调进人有(人)．由“又抽调剩下的一半支援第四队”后还有人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有(人)；由“抽调人支援第三队”后还有人，可知之前有(人)；由“从第一队抽调一半人支援第二队”后还有人，可知第一队原有(人)．‎ 列式为：(人)‎ 还原问题有一个基本方法：列表法，教师可以再用列表法重新理一下题目。‎ ‎【答案】人 【例 3】 科学课上，老师说：“土星直径比地球直径的9倍多‎4800千米，土星直径除以24等于水星直径，水星直径加上‎2000千米是火星直径，火星直径除以2减去‎500千米等于月亮的直径，月亮直径是‎3000千米.”请你算一算，地球的直径是多少？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 先求土星直径：(千米)‎ 再求地球直径：(千米)，即：地球的直径是‎12800千米.‎ ‎【答案】千米 【例 4】 有18块砖，哥哥和弟弟争着去搬．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟搬得太多，就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半少2块，从弟弟那儿拿走一半多2块，结果是爸爸比哥哥多搬了3块，哥哥比弟弟多搬了3块．问最初弟弟准备搬多少块?‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 先来看看最后爸爸、哥哥、弟弟各搬了多少块砖．如果爸爸给弟弟块，那么3个人搬的砖数就一样多了，都等于哥哥搬的砖数，所以最后哥哥搬了(块)，弟弟搬了(块)，爸爸搬了(块)．爸爸从弟弟处搬了一半多2块，所以，爸爸从弟弟处搬之前，弟弟的砖数是(块)，哥哥的砖数是(块)；弟弟从哥哥处搬了一半，这“一半”应与哥哥剩下的砖数一样，是8块，所以，弟弟从哥哥处搬之前，哥哥的砖数是(块)，那时，弟弟的砖数是(块)；哥哥从弟弟处搬了一半，这“一半”应与弟弟剩下的砖数一样，是2块．所以，哥哥从弟弟处搬之前，弟弟处的砖数是(块)，那时，哥哥的砖数是(块)．所以，最初，弟弟准备搬4块砖．即：‎ ‎⑴最后，爸爸、哥哥和弟弟分别搬了多少块砖：哥哥：(块)，爸爸：(块)，弟弟：(块)‎ ‎⑵爸爸从哥哥、弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：(块)， ‎ 弟弟：(块)‎ ‎⑶弟弟从哥哥处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：(块)，弟弟：(块)‎ ‎⑷哥哥从弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：弟弟：(块)，哥哥：(块)‎ ‎【答案】块 【巩固】 有砖26块，兄弟二人争着去挑．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块．问最初弟弟准备挑多少块？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是（块），弟弟是（块），然后来还原：⑴ 哥哥还给弟弟5块：哥哥是（块），弟弟是（块）；⑵ 弟弟把抢走的一半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是（块），弟弟是（块）；⑶ 哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是（块）．‎ ‎【答案】块 【例 1】 口渴的三个和尚分别捧着一个水罐．最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝．于是，老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚．就这样，三人轮流谦让了一阵．结果太阳落山时，老和尚的水罐里有‎10升水，小和尚的水罐则装着‎20升水．请问：最初大和尚的水罐里有多少升水？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 首先，因为每次分水都是全部平分给另外两个人，所以每次分完水以后分水的人自己一定没有水了．于是太阳落山时老和尚、大和尚和小和尚分别有水10、0、20升．列表分析如下：‎ 回到最后的状态，于是发现三个人的水量是循环变化的，一共只有这三种状态．又因为已知最初老和尚水最多，所以最初的状态与倒数第二次分水前相同．所以大和尚的水罐里最初有‎10升水．‎ ‎【答案】升 【例 2】 兄弟三人分24‎ 个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数.如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同.问：兄弟三人的年龄各多少岁？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有(个)桔子.由此列表逆推如下表：‎ 由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁.‎ 逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2；另两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半 ‎【答案】三个人的年龄依次为16，10，7岁 【例 1】 甲、乙、丙3人共有192张邮票．从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数相同，即3人各有邮票：（张）．第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票（张），丙有邮票：（张），依此类推，就可以推出答案了．最后相等时各有（张），列表倒推如下：‎ ‎【答案】甲、乙、丙原有邮票数依次为，，张 【巩固】 有甲、乙、丙三堆苹果共96个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果放入乙堆；第二次再从乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆；第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果数相同的苹果放入甲堆中，这时三堆苹果数相等．原来甲堆有 个苹果，乙堆有 个苹果，丙对有 个苹果．‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，2年级，第12题，可逆思想方法 【解析】 如下表：‎ ‎【答案】甲，乙，丙 【例 2】 七个人都各有一些珠子。从开始依序进行以下操作，每次都分给其他六个人与他们当时手中现有珠子数量一样多的珠子。当操作后，每个人手中都恰好各有颗珠子，请问原先有多少颗珠子？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法，2008年，台湾，小学数学竞赛 【解析】 本题应该采用倒推法，我们用表格形象的表示、‎ 于是之前的珠子个数是颗。本题没有要求求出全部七个人之前的珠子个数，所以也可以简化一下求解过程，因为最终结果有颗珠子，所以在操作之前，的珠子个数应该减半为颗，在操作前应该再减半为颗，在操作前应该再减半到颗，在操作前，其余所有人的珠子应该都只有操作后的一半，也就是其他所有人的珠子数目应该减半，也就是，这些都是分给他们的，所以在操作前，应该有颗珠子，于是在操作前，的珠子应该减半到，于是在操作前，的珠子数应该减半到，于是在操作前，的珠子数目应该减半到颗。也就是说之前的珠子数目是颗。‎ ‎【答案】颗 【例 1】 一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三个班的图书数目都是48本．求三个班原来各有图书多少本？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理．在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目．依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班．其余各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：‎ ‎【答案】三个班原来各有图书本，本，本 【巩固】 ‎3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌．第一局，甲输给了乙和丙，使他们每人的钱数都翻了一番．第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍．第三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍．结果，这3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的．细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100元．你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，利用倒推法．‎ 从开始到最后甲的份数少了份，说明每份是元． 所以刚开始时，甲有(元)，乙有(元)，丙有(元)．‎ ‎【答案】刚开始时甲有元，乙有元，丙有元．‎ 【巩固】 A、B、C三个油桶各盛油若干千克．第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为‎16千克．问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法，第四届，小数报 【解析】 用“倒推法”列出下表，从表中可以看出：原来A桶有油‎26千克，B桶有油‎14千克，C桶有油‎8千克．‎ ‎【答案】原来A桶有油‎26千克，B桶有油‎14千克，C桶有油‎8千克．‎ 【巩固】 乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍．现在三人的糖豆一样多．如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，实际上甲原来有51粒，，那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始有糖豆（粒）．‎ ‎【答案】粒 【巩固】 甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙，使乙、丙的铜板数各增加了1倍；乙把自己的铜板拿出一部分给甲、丙，使甲、丙的铜板数各增加了1倍；丙把自己的铜板拿出一部分给乙、甲，使乙、甲的铜板数各增加了1倍，这时三人铜板数都是8枚，原来每人各有几枚？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 甲13枚，乙7枚，丙枚．‎ ‎【答案】甲13枚，乙7枚，丙枚 【例 1】 三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原来的2倍与3倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们的水分别增加到3倍与2倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到2倍，这时三个容器中的水都为96毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 可以列一个表，使每一步之间的关系一目了然，下列的表是从后面向前倒推的，具体的填法见下面的解答。‎ 先在第一行填上三个96，第二行的前2个数是，第3个数是，第三行的第1个数是，第3个数是，第2个数是，第四行第2个数是，第3个数是，‎ 第1个数是，三个容器原来有水168毫升、88毫升、32毫升。‎ ‎【答案】三个容器原来分别有水168毫升、88毫升、32毫升 【例 1】 某工厂有、、、、五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把车间工人的调入车间，车间工人的调入车间，车间工人的调入车间，车间工人的调入车间．现在五个车间都是30人．原来每个车间各有多少人？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法，列表如下 所以原来、、、、车间分别有11、38、33、32、36个工人．解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．‎ ‎【答案】原来、、、、车间分别有11、38、33、32、36个工人 【例 2】 老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159．如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数．请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 由于最后写到黑板上的数是其前两个数的平均数，且黑板上最后留下的这三个数之和为159，所以写到黑板上的最后一个数是．‎ 假设剩下的两个数中靠前的一个是，靠后的一个是，那么可以依次推出：‎ 第7个被擦掉的数是，‎ 第6个被擦掉的数是，‎ 类似地，可以求出第5、4、3、2个被擦掉的数分别为、、、，‎ 最先被擦掉的数是，‎ 由题意，以上这些数均为正整数．‎ 由及为整数可以推出，‎ 由及为整数可以推出，‎ 另一方面，如果，有，与条件中最初三个整数不同这一条件矛盾，所以应该有．‎ 此时最开始写在黑板上的第一个数为．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋子？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 本题的数量关系更加隐蔽、复杂，应如何解答呢?根据“最后将剩下的棋子三等份还是剩一枚”，可知解题的关键是确定在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是几枚棋子?再根据提问“原来至少有多少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子．‎ ‎ 采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分析推理．‎ ‎【答案】枚 【巩固】 有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩个；然后再取其中两份，将这两份三等分后还剩个．问：这筐苹果至少有几个？‎ ‎【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】可逆思想方法 【解析】 方法一：如果增加个苹果，那么第一次恰好三等分(每份多出个)；第二次取出其中份(总共多出个)，也恰好三等分(每份又多出个)；最后取份(共多出个)，也恰好三等分．而且最后一次分总数一定是偶数，因为是取份来分的，所以每份也是偶数，且比原来每份多个，所以现在每份至少是个．从而上一次每份为 (个)，再上次每份为(个)，那么开始时共有(个)苹果，但是我们假设增加了个，所以这筐苹果至少有(个)．列表法是还原问题的一个基本方法，教师可以再用列表法重新理一下题目。‎ 方法二：从最后的状态往前还原，假设最后一次三等分后，每一份的个数为个，那么最后一次三等分之前的苹果个数是个，这些苹果是第二次三等分中的两份，所以其中每一份的个数是个，这个数应该是一个整数；第二次三等分前，苹果的个数是个，同样的这些苹果是第一次三等分中的两份，所以每一份的个数为个，这个数也应该是一个整数；所以这筐苹果的总数为个．显然越小，这筐苹果的个数最少，但是有和是整数的约束条件．满足这两个约束条件的必须被4除余2，所以满足该条件的的最小值为2，代入得到这筐苹果最少有23个．‎ ‎【答案】个