小学数学精讲教案5_4_3 约数与倍数（三） 教师版 11页

‎5-4-3‎‎.约数与倍数（三）‎ 教学目标 1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。‎ 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，‎ 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；‎ ‎（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为的结构，而且表达形式唯一”‎ 知识点拨 一、 约数、公约数与最大公约数概念 ‎(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数；‎ ‎(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；‎ ‎(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；‎ ‎(4)0被排除在约数与倍数之外 ‎1． 求最大公约数的方法 ‎①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．‎ 例如：，，所以；‎ ‎②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：，所以；‎ ‎③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．‎ 例如，求600和1515的最大公约数：；；；；；所以1515和600的最大公约数是15．‎ ‎2． 最大公约数的性质 ‎①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；‎ ‎②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；‎ ‎③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以．‎ ‎3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求．‎ ‎4． 约数、公约数最大公约数的关系 ‎（1）约数是对一个数说的；‎ ‎（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数 二、倍数的概念与最小公倍数 ‎(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 ‎(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 ‎(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。‎ ‎1. 求最小公倍数的方法 ‎①分解质因数的方法；‎ 例如：，，所以；‎ ‎②短除法求最小公倍数；‎ 例如： ，所以；‎ ‎③．‎ ‎2. 最小公倍数的性质 ‎①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．‎ ‎②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．‎ ‎③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．‎ ‎3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求．例如： ‎ 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：‎ ‎4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系 ‎（1）倍数是对一个数说的；‎ ‎（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 ‎1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。‎ 如果为、的最大公约数，且，，那么互质，所以、的最小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：‎ ‎①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；‎ ‎②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数．‎ ‎2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。‎ 即，此性质比较简单，学生比较容易掌握。‎ ‎3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：，210就是567的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：，而6,7,8的最小公倍数为 性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。‎ 四、求约数个数与所有约数的和 ‎1． 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。‎ 如:1400严格分解质因数之后为，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)‎ 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。‎ ‎2． 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。‎ 如：，所以21000所有约数的和为 此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。‎ 例题精讲 模块一、运用大公约和小公倍的模型解题 如果为、的最大公约数，根据模型知道：‎ ‎（1）且，‎ ‎（2）那么互质 ‎（3）所以、的最大公约数为，最小公倍数为 ‎（4）最大公约数与最小公倍数的成绩为与的成绩 【例 1】 甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？ ‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 法1：根据两个自然数的积两数的最大公约数两数的最小公倍数，有：甲数乙数，所以，乙数；‎ 法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数，设乙数，则．因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则，得．所以，乙数．‎ ‎【答案】32‎ 【巩固】 已知A、B两数的最小公倍数是180，最大公约数是30，若A=90，则B= 。‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，六年级，二试，第5题，5分 【解析】 根据最小公倍数最大公约数，知道，‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数． ‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于两个自然数的积两数的最大公约数两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是，设这两个数分别为、，那么，且，所以和可以取1和15 或 3和5 ，所以这两个数是4和60 或12和20．‎ ‎【答案】这两个数是4和60 或12和20‎ 【例 2】 两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设这两个自然数为：，其中与互质，，，经检验，容易得到两组符合条件的数：9与1或者7与3．于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5，35与15．它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求这两个数的差是40或者20．‎ ‎【答案】这两个数的差是40或者20‎ 【巩固】 两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数． ‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎，，两数可以为25、100或者50、75．‎ ‎【答案】两数可以为25、100或者50、75‎ 【例 3】 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ ‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设这两个数是和，易得，所以，由和互质，那么就有两种情况．所以甲、乙是：，或，两种情况．它们的和是147或105．‎ ‎【答案】和是147或105‎ 【巩固】 已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数． ‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，，将30分解成两个互质的数之积：1和30，2和15，3和10，5和6，所以这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24．‎ ‎【答案】两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24‎ 【例 4】 甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是.乙数是_____.‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 由(甲，乙) ，且甲：乙，由于8与9互质，所以乙数.‎ ‎【答案】56‎ 【例 5】 已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是多少？ ‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设，有，又设，，，，且，则，有，所以．因为，所以是120的约数．‎ ‎①若，，则，不符合；‎ ‎②若，，则，不符合；‎ ‎③若，，则，不符合；‎ ‎④若，，则，符合条件．‎ 由，得，从而a、b中较大的数．‎ ‎【答案】225‎ 【例 6】 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数．‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设这两个自然数分别是、，其中为它们的最大公约数，与互质(不妨设)，根据题意有：‎ 所以可以得到 是54和114的公约数，所以是的约数．，2，3或6．‎ 如果，由，有；又由，有．‎ ‎，但是，，所以.‎ 如果，由，有；又由，有．‎ ‎，但是，，所以．‎ 如果，由，有；又由，有．‎ ‎，但是，，所以．‎ 如果，由，有；又由，有．‎ ‎20表示成两个互质的数的乘积有两种形式：，虽然，但是有，所以取是合适的，此时，，这两个数分别为24和30．‎ ‎【答案】两个数分别为24和30‎ 【例 1】 有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693，这两个自然数的差是 ． ‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 两个自然数的最大公约数是它们的和的约数，也是它们的最小公倍数的约数，所以是它们的最大公约数与最小公倍数的和的约数，也就是297和693的公约数，也就是的约数．99的约数共有6个，此时可以逐一分情况进行讨论，但较繁琐．‎ 设这两个数分别为和，其中，，是它们的最大公约数．那么 ‎，，相比得 ‎，所以，即，可得 ‎．‎ 由于和都是40的约数且除以3余2，只能为 或者，可得或．‎ 由于，所以是297的约数，不符合，所以只能为，此时，这两个数的差为．‎ ‎【答案】33‎ 【例 2】 已知自然数A、B满足以下2个性质：（1）A、B不互质；（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么A+B的最小值是多少？‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设，那么，其中a,b分别表示A,B的独有因数。那么，即有，因为A,B不互质，所以，而根据上面的式子M是35的因数，所以M只可能为5或7.‎ ‎1）当M=5时，ab=6,此时有 ‎，或 ‎2）当M=7时，ab=4,此时有（舍）因为 ‎，或（舍）‎ 所以A+B的最小值是25。‎ ‎【答案】25‎ 【例 1】 两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？ ‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 最大公约数C，当然是D最小公倍数的约数，因此C是187的约数，187=11×17，C不等于1，只能是C=11或者C=17．如果C=11，那么D=187-11=176．A和B都是176的约数，A和B不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出C不能是11．现在考虑C=17，那么D=187-17=170，A和B是170的约数，又要是17的倍数，有34，85，170三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，A和B分别是34和85，A+B=34+85=119．‎ ‎【答案】119‎ 【例 2】 若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大值为 ，最小公倍数的最小值为 ，最小公倍数的最大值为 ．‎ ‎【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，6年级，决赛，第8题，10分 【解析】 由于a + b + c = 1155，而1155=3×5×7×11。令a=mp，b=mq，c=ms.m为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7。此时m=165.‎ 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m尽量大，并且使A，B，C的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，A=1，B=2，C=4，此时三个数分别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660。‎ 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。‎ ‎【答案】最大公约数的最大值为，最小公倍数的最小值为，最小公倍数的最大值为 模块二、约数的个数与约数的和 【例 3】 ‎2008的约数有（ ）个。‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】走美杯，四年级，初赛，第4题 【解析】 因为2008=2×2×2×251，所以约数有（3+1）×（1+1）=8（个）‎ ‎【答案】个 【巩固】 ‎2008006共有(　)个质因数。 （A）4　　（B)5　　(C)6　　(D)7‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】选择 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第2题 【解析】 因为2008006=2006×1000+2006=2006×1001=（2×17×59）×（7×11×13），共有个。‎ ‎【答案】个 【巩固】 ‎105的约数共有几个?‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第3题 【解析】 ‎105＝3×5×7，共有(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8个约数，即1，3，5，7，15，21，35，105。‎ ‎【答案】个 【巩固】 已知300=2×2×3×5×5，则300一共有 个不同的约数。‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，5年级，初赛，第5题，6分 【解析】 个 ‎【答案】‎ 【例 1】 筐中有60个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同。问：有多少种分法？‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第8题 【解析】 方法一：偶数60的约数中，偶数有8个，即：2，4，6，10，12，20，30，60因此有8种分法.‎ 方法二：偶数个约数，即的所有约数，，所以共有个约数。‎ ‎【答案】个约数 【例 2】 数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=××5；360的约数可以且只能是××,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3, ,它们的和为(1+3+),所以所有360约数的和为(1+3+)××；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,,,它们的和为(1+2++)，所以所有360约数的和为(1+3+)×(1+2++)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+)×(1+2++)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．‎ ‎【答案】约数有24个，和为1170‎ 【例 3】 ‎,均为自然数．有____________种不同的取值．‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，五年级，初赛，第8题 【解析】 由可知，+6=2008，=2002。又因为2002=2×7×11×13，而且>6，所以的取值有：3++1=14（种）‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 ‎2010除以正整数N，余数是15，那么N的所有可能值的个数是 。‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，6年级，1试，第5题 【解析】 ‎，，1995的约数有16个，其中小于等于15的有5个，所以满足条件的N有11个。‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 自然数N有45个正约数。N的最小值为 。‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，6年级，决赛，第5题，8分 【解析】 由于，根据约数个数公式，自然数N可能分解成、、、等形式，在以上各种形式下，N的最小值分别为、、、，比较这些数的大小，可知，所以最小值是．‎ ‎【答案】3600‎ 【巩固】 自然数有个正约数，的最小值为 。‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，5年级，决赛，第1题，8分 【解析】 因为约数的个数是指数加1再相乘，所以先将20分解质因数，，若想N最小：，那么指数为4、1、1，经试算，最小值为。‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 恰有20 个因数的最小自然数是（ ）。 （A）120 （B）240 （C）360 （D）432‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】选择 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第5题 【解析】 B，20=20=2×10=4×5=2×2×5，四种情况下的最小自然数分别为：、、、，其中最小的是最后一个，为240。‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？ ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 本题考查对约数个数计算公式的灵活应用 由公式的结果倒推，A有9个约数，那么符合公式的要求有，，或者，若要求A的值尽可能小，则A不可能为某个质数的8次方的形式，那么说明A的形式为的形式，为最终满足三个数的乘积最小的要求，那么A最小为，类似的可以知道,同时为满足最小要求。‎ C为8个约数情况可能有两种， ，其中当时数字最小，同时三个数任意2个都不整除，所以此时三个数的乘积为 ‎【答案】17280‎ 【例 2】 在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？ ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ‎，故6只能表示为或，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：‎ 所以符合条件的自然数一共有个．‎ ‎【答案】16个 【巩固】 恰有8个约数的两位数有________个． ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 根据约数个数公式，先将8进行分解：，所以恰有8个约数的数至多有3个不同的质因数，分解质因数后的形式可能为，，．其中由于，所以形式的没有符合条件的两位数；形式中，B不能超过3，即可能为2或3，有、、、、，共5个；形式的有、、、、，共5个．所以共有个符合条件的数．‎ ‎【答案】10个 【巩固】 在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？ ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 由于，根据约数个数公式，可知9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有符合条件，后者中符合条件有、、、、、，所以符合条件的有7个．‎ ‎【答案】7个 【例 3】 能被2145整除且恰有2145个约数的数有 个． ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，6年级，第6题 【解析】 先将2145分解质因数：‎ ‎，所以能被2145整除的数必定含有3，5，11，13这4个质因数；由于这样的数恰有2145个约数，所以它至多只有4个质因数，否则至少有5个质因数，根据约数个数的计算公式，则有5个大于1的整数的乘积等于2145，而2145只能分解成3，5，11，13的乘积，矛盾．所以所求的数恰好只有3，5，11，13这4个质因数．‎ 对于这样的每一个数，分解质因数后3，5，11，13这4个因子的幂次都恰好是，，，的一个排列，所以共有种 ‎【答案】24个 【巩固】 能被210整除且恰有210个约数的数有 个． ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ‎，所以原数肯定含有2，3，5，7这四个质因子，而且幂次一定按照某种顺序是1，2，4，6，可以任意排列，所以有个．‎ ‎【答案】24个 【巩固】 ‎1001的倍数中，共有 个数恰有1001个约数． ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】填空 ‎【关键词】仁华学校 【解析】 ‎1001的倍数可以表示为，由于，如果k有不同于7，11，13的质因数，那么至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为，其中．如果这个数恰有1001个约数，则，但是1001不能分解成4个大于1的数的乘积，所以时不合题意，即k不能有不同于7，11，13的质因数．那么只有7，11，13这3个质因数．设，则，、、分别为7，11，13，共有种选择，每种选择对应一个，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个约数．‎ ‎【答案】6个 【巩固】 如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？ ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】解答 【解析】 设这个自然数是，，将分解质因数，设，其中x，y，z可以是0或正整数，其余的系数都是正整数，则这个数的约数的个数 ‎．‎ 因为这个自然数的2004倍恰有2004个约数，所以 ‎．‎ 可得，‎ 要想使最小，需要使最大，‎ 而，，，‎ 所以，得到．‎ 要想使等号成立，必须，，，即此数为一个不是2，3，167的质数的166次方，此时这个数的约数有167个．故这个自然数最少有167个约数．‎ ‎【答案】167个 【例 1】 已知偶数A不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求‎4A的约数的个数. ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于A是偶数但不是4的倍数，所以A只含有1个因子2，可将A分解成，其中B是奇数，根据约数个数公式，它的约数的个数为 (其中N为B的约数个数)，则，它的约数个数为个．‎ ‎【答案】24个 【例 1】 已知两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知有12个约数，有10个约数，求与的和． ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 因为，如果设，，那么中较小的数是1，中较小的数是2．由于一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的次数加1的乘积．所以，．又，，由于，所以，那么，，得到，．那么，得到，所以，，．‎ ‎【答案】2550‎ 【例 2】 已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数，则 ． ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】101中学 【解析】 ‎，由于A数有7个约数，而7为质数，所以A为某个质数的6次方，由于1728只有2和3这两个质因数，如果A为，那么1728不是A的倍数，不符题意，所以，那么为B的约数，设，则，得，所以．‎ ‎【答案】108‎ 【例 3】 一个自然数恰好有18个约数，那么它最多有 个约数的个位是3.‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，五年级，初赛，第14题 【解析】 ‎，根据求一个数约数个数公式知，不同的质因数可能有一至三个。但是如果个位是3的约数尽可能多，可以构造出：，即一个质因数的个位是3，这个质因数只有1次方，另一个质因数的个位是1，这个质因数有8次方。这样得到的不同的个位是3的约数有共有9个。‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 一个分子是1的分数，化成小数后是一个混循环小数，且循环节为两位，不循环也有两位，那么这种分数共有多少个？‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】解答 【解析】 假设该混循环小数是，那么其中，11，22，33，44，55，66，77，88，99，且≠，所以不是和的倍数．令，，则，那么，而所以是的约数，且不是和的倍数． 的约数中的倍数有，的约数中的倍数有（个），的倍数有（个），即是也是的倍数有个，显然对任意值，和都有以内的符合条件自然数解，所以符合条件的解有（个），对应的也有个，即这样的分数有个．‎ ‎【答案】15个 【例 5】 中，共有_ __个最简分数。‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，6年级，第5题 【解析】 由于分子和分母相差7，所以当分子是7的倍数时，该分数就不是最简分数，1到2002中7的倍数的数共有286个，故最简分数有2002-286=1716个。‎ ‎【答案】1716个 【例 1】 设，b，c是的数字（允许相同），将循环小数化成最简分数后，分子有 种不同情况． ‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】填空 【解析】 ‎,显然只要与999互质，就构成了最简分数，所以最简分数的分子可以是所有小于999且与999互质的数，这样的数一共有（个）．如果与999不互质，那么的质因数当中，如果质因数3不多于3个，质因数37不多于1个，那么约分后是分子还是与999互质的数（已被统计过）；如果的质因数当中，如果质因数3多于3个，质因数37多于1个（这种情况肯定没有因为37的平方大于999）, 质因数3多于3个，那么约分过程当中，分子分母至少约掉27，所剩下的分子不会大于，所以凡是不大于37的分子都可能有它的27倍约分而来，其中的3、6、9、、36这12个数都是可能的分子．所以一共有（个）．‎ ‎【答案】660‎ 【例 2】 在循环小数中类似于，等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分位）就开始的小数，叫做纯循环小数，包括和在内，共有 个正整数，其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。‎ ‎【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，6年级，1试 【解析】 根据容斥原理，因为六位纯循环小数表示成分数为，题目需要的正整数是能够约分后分子是1的分数的分母，所以分子是999999的约数的数都有可能是答案，有，所求的的个数为（个）。‎ ‎【考点】计数问题、数论、循环小数化分数等知识点的综合 ‎【答案】53个