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  • 2022-02-10 发布

小学数学典型应用题精讲宝典-11

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‎“牛吃草”问题 ‎【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。‎ ‎【数量关系】 草总量=原有草量+草每天生长量×天数 ‎【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。[来源:学,科,网]‎ 例1 一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?‎ 解 草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话,得有多少头牛? 设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:‎ ‎(1)求草每天的生长量 因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以 ‎ 1×10×20=原有草量+20天内生长量 同理 1×15×10=原有草量+10天内生长量 由此可知 (20-10)天内草的生长量为 ‎ ‎1×10×20-1×15×10=50‎ 因此,草每天的生长量为 50÷(20-10)=5‎ ‎(2)求原有草量 原有草量=10天内总草量-10内生长量=1×15×10-5×10=100‎ ‎(3)求5 天内草总量 ‎5 天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125‎ ‎(4)求多少头牛5 天吃完草 因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。‎ 因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5=25(头)‎ 答:需要5头牛5天可以把草吃完。‎ 例2 一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?‎ 解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:‎ ‎(1)求每小时进水量 因为,3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量 ‎10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量 所以,(10-3)小时内的进水量为 1×5×10-1×12×3=14[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 因此,每小时的进水量为 14÷(10-3)=2‎ ‎(2)求淘水前原有水量 原有水量=1×12×3-3小时进水量=36-2×3=30‎ ‎(3)求17人几小时淘完 ‎17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2),所以17人淘完水的时间是 ‎ ‎30÷(17-2)=2(小时)‎ 答:17人2小时可以淘完水。‎ 鸡兔同笼问题 ‎【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。‎ ‎【数量关系】第一鸡兔同笼问题:‎ 假设全都是鸡,则有 ‎ 兔数=(实际脚数-2×鸡兔总数)÷(4-2)‎ 假设全都是兔,则有 ‎ 鸡数=(4×鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)‎ 第二鸡兔同笼问题:‎ 假设全都是鸡,则有[来源:学#科#网]‎ 兔数=(2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷(4+2)‎ 假设全都是兔,则有 鸡数=(4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷(4+2)‎ ‎【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。‎ 例1 长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?‎ 解 假设35只全为兔,则 ‎ 鸡数=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ 兔数=35-23=12(只)‎ 也可以先假设35只全为鸡,则 ‎ 兔数=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)‎ 鸡数=35-12=23(只)‎ 答:有鸡23只,有兔12只。‎ 例2 2亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?‎ 解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1÷2)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(3÷5)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜,则有 白菜亩数=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(亩)‎ 答:白菜地有10亩。‎ 例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本 3 .20元,日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?‎ 解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本,则有 作业本数=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)[来源:Z+xx+k.Com]‎ 日记本数=45-15=30(本)‎ 答:作业本有15本,日记本有30本。[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]‎ 例4 (第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?‎ 解 假设100只全都是鸡,则有 兔数=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)[来源:学科网]‎ 鸡数=100-20=80(只)[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ 答:有鸡80只,有兔20只。[来源:学科网ZXXK]‎ 例5 有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人吃1个馍,问大小和尚各多少人?‎ 解 假设全为大和尚,则共吃馍(3×100)个,比实际多吃(3×100-100)个,这是因为把小和尚也算成了大和尚,因此我们在保证和尚总数100不变的情况下,以“小”换“大”,一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此,共有小和尚 ‎ ‎(3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)‎ 共有大和尚 100-75=25(人)‎ 答:共有大和尚25人,有小和尚75人。‎