小升初数学专项训练+典型例题分析-数论篇（教师版） 9页

名校真题 测试卷 数论篇一 时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________‎ ‎1 （13年人大附中考题）‎ 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 ‎ ‎2 （13年101中学考题）‎ 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是＿＿。 ‎ ‎3 （13年首师附中考题）‎ ‎++=＿＿。 ‎ ‎4 （04年人大附中考题）‎ 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。‎ 5 ‎(02年人大附中考题)‎ 下列数不是八进制数的是( )‎ A、125 B、‎126 C、127 D、128 ‎ ‎ ‎ ‎【附答案】‎ ‎1 【解】：6‎ ‎2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：‎100a+b=9×(‎10a+b),所以我们可以知道‎5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。‎ ‎3 【解】：周期性数字，每个数约分后为+++=1‎ ‎4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。‎ ‎5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。‎ 希望考入重点中学？‎ 奥数网是我们成就梦想的地方！‎ ‎ 小升初专项训练 数论篇（一）‎ 一、小升初考试热点及命题方向 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。‎ 二、2012年考点预测 ‎2012年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。‎ 三、基本公式 ‎1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。‎ ‎[讲解练习]：若‎3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）‎ ‎2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。‎ ‎3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1× p2×...×pk（#)‎ 其中p1b>c>d 那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;‎ 从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2‎ 从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；‎ 因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。‎ 这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3‎ 所以这24个四位数中最大的一个是7543。‎ ‎【例2】（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？‎ ‎[思路]：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手 ‎【解】：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。‎ ‎【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？‎ ‎【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28‎ 所以偶数位和奇数位上数字和均为14‎ 为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6‎ 那么第3位一定是5，第5位为1‎ 该数最大为875413。‎ ‎[拓展]：一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？‎ ‎ ‎ ‎【例4】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人？ ‎ ‎【来源】：12年理工附入学测试题 ‎【解】：男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/5～3/7之间，同理可得男生在4/7～3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70～30/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。‎ ‎2 质数与合数（分解质因数）‎ ‎ ‎ ‎【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?‎ ‎【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个。‎ ‎2005=5×401 684=2×2×171‎ ‎ 375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0‎ 应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。因此□里最小是4。‎ ‎[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____‎ ‎【例6】（★★★）03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？‎ ‎【解】：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A，04年的为B，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子B- A=101‎ 此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，‎ 所以B- A=（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成101×1，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人数为51×51=2601。‎ ‎[拓展]：一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）‎ 3 ‎ 约数和倍数 ‎【例7】（★★★）从一张长‎2002毫米，宽‎847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？‎ ‎【解】：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得 （2002,847）=77‎ 所以最后剪得的正方形的边长是‎77毫米。‎ 辗转相除示例：‎ ‎2002÷847=2…308 求2个数的最大公约数，就用大数除以小数 847÷308=2…231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 ‎308÷231=1…77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 ‎231÷77=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数 ‎【例8】（★★★）一根木棍长‎100米，现从左往右每‎6米画一根标记线，从右往左每‎5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差‎4米？‎ ‎【解】：100能被5整除，所以每‎5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们都以从左往右作，可见转化成讨论5，6的最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为‎4米，所以30，60，90里各有2条，但发现最后96和100也是距离‎4米，所以总共2×3+1=7。‎ ‎[拓展]：在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？‎ ‎【例9】（★★★）1、2、3、4…‎ ‎2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？ ‎ ‎【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个2，所以只要看1～2008中2ˇn谁最大，可见2ˇ10=1024，所以为10 个2。‎ ‎【例10】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）‎ ‎【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。‎ 其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。‎ ‎2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数 由于上述十二个数的最小公倍数是60060‎ 因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。‎ 3 ‎ 数论的综合题型 ‎【例11】（★★★★）某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？‎ ‎【解】：‎ 设第一户电话号是x+1,第二户x+2,….第12户电话号x+12‎ 根据条件得x+i是i的倍数(i=1,2,…,12)因此x是1，2，….12的公倍数 ‎[1,2,…..12]=27720‎ 所以x=‎‎27720m ‎27720m‎+9是13的倍数，27720除以13余数为4‎ 所以‎4m+9是13的倍数m=1,14,27….‎ 第一家电话号码是‎27720m+‎1 m取14合适；‎ 因此第一家电话号码是27720*14+1=388081‎ ‎[拓展]：写出连续的11个自然数，要求第1个是2的倍数，第二个是3的倍数…第11个是12的倍数？‎ ‎【例12】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）‎ ‎【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。‎ 其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。‎ ‎2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数 由于上述十二个数的最小公倍数是60060‎ 因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。‎ 小结 本讲主要接触到以下几种典型题型：‎ ‎1）数的整除。 参见例1，2，3，4‎ ‎2）质数与合数（分解质因数）。参见例5，6‎ ‎3）约数和倍数。 参见例7，8，9，10‎ ‎4）数论的综合题型。 参见例11，12‎ ‎【课外知识】‎ 打开另一扇心窗 很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩。 莉蒂雅自小双目失明，但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望。稍稍长大后，她像常人一样劳动，靠卖花自食其力。不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中。浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中。莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖花，对城市的各条道路了如指掌。她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许多市民。 后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中。‎ ‎ 启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富。不要总以为自己是最倒霉的。其实，上苍很公平。有时候，命运向你关闭这一心窗的同时，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快乐 作业题 ‎ ‎ ‎ ‎（注：作业题--例题类型对照表，供参考）‎ 题1，4—类型1；题2，6—类型3；题3，5，8—类型2；题7—类型2‎ ‎1．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？‎ 解：1+2+……+100=5050‎ ‎ 9+18+27+……+99=9×(1+2+……+11)=495‎ 随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555‎ ‎2．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占，得80～89分的人数占，得70～79分得人数占，那么得70分以下的有________人。‎ 解：有、、，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为[7、2、3]＝42的倍数；‎ 又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。‎ 从而70分以下的有：42×＝1人。‎ ‎3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。‎ 解：枚举法：23，37，53，73，，有4个 ‎4. （★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？‎ 解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5）‎ 和的最小值为31。‎ ‎5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？‎ 解：设中间一个数为2x 那么5个数的和为10x=m^2‎ 中间3个数的和为6x=n^3‎ 设x=2^p × 3^q × 5^r 再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3‎ X=36000‎ 因此所求为2x+4=72004‎ ‎6、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？‎ 解：A-B=（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为461。‎ ‎7、（★★★）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至‎1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．‎ ‎【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题 ‎【解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是=1331的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331．‎ ‎8、（★★★）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那么，这样的三个质数可以是 、 、 ．‎ ‎【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意 ‎ 1994+a+b+C=a·b·c．‎ ‎ 取a=3，b=5，得1994+3+5+c=‎15c，解出c=143不是质数；‎ ‎ 取a=3，b=7，得1994+3+7+c=‎21c，解出c=不是整数；‎ ‎ 取a=5，b=7，得1994+5+7+c=‎35C，解出c=59．‎ ‎ 故5、7、59是满足题意的三个质数．‎ ‎ ‎