小学数学精讲教案1_3_4 比较与估算 教师版 20页

比较与估算 教学目标 本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。‎ 知识点拨 一、小数的大小比较常用方法 为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式)‎ 二、分数的大小比较常用方法 ⑴通分母：分子小的分数小.‎ ⑵通分子：分母小的分数大.‎ ⑶比倒数：倒数大的分数小.‎ ⑷与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．(适用于真分数)‎ ⑸重要结论：‎ ‎①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；‎ ‎②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大．‎ ⑹放缩法 在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！‎ 三、数的估算时常用方法 ‎（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果．‎ ‎（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．‎ 例题精讲 模块一、两个数的大小比较 【例 1】 如果a ，b ，那么a，b中较大的数是 ‎ ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】 方法一：<与1相减比较法>‎ ‎1 ；1 ．因为 ，所以b较大；‎ 方法二：<比倒数法>因为，所以，进而，即；‎ 方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以b大 ‎【答案】‎ 【巩固】 试比较和的大小 ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 ‎>‎ ‎【答案】>‎ 【巩固】 比较和的大小 ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 因为，，显然，根据被减数一定，减数越大差越小的道理， 有：‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 如果A，B,A与B中哪个数较大？‎ ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，决赛 【解析】 方法一：观察可以发现A、B都很接近，且比它小．我们不防与比较．‎ A,B,BA，即B比A更接近，换句话说 BA .‎ 方法二： ，即.‎ 方法三：，显然，则 ‎【答案】‎ 【巩固】 如果，那么A和B中较大的数是 .‎ ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】祖冲之杯 【解析】 ‎，即大 ‎【答案】‎ 【巩固】 试比较和的大小 ‎ ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的10倍多1．对于这样的分数，可以利用它们的倒数比较大小．的倒数是1 ，的倒数是１ ，我们很容易看出10 10 ，所以 ；‎ 方法二：，两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大，所以即 ‎【答案】‎ 【例 1】 在 a=20032003×2002和 b=20022003×2003中，较大的数是______ ，比较小的数大______ 。 ‎ ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 b-a=20022003×2003-20032003×2002=20020000×2003+2003×2003-20030000×2002-2003×2002=2003×(2003-2002)=2003‎ 所以a比b大2003‎ ‎【答案】a比b大2003‎ 【例 2】 设a= ，b= ,则在a与b中，较大的数是______。‎ ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 可采用放缩法。因为= + ＞+ ，＞。所以＞，即a是较大的数。当然这道题目我们也可采用通分求结果的一般方法。‎ ‎【答案】a 【例 3】 比较与的大小．‎ ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 如果直接放缩：‎ ‎，‎ 但是，所以不能确定与的大小关系，‎ 同样如果如下进行放缩：‎ ‎，也不能确定．‎ 但是如果保留，将进行放缩，则有：‎ ‎，‎ 可见两者中较大．‎ ‎【答案】较大 【巩固】 与相比，哪个更大，为什么？‎ ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 记，显然有： ，‎ 而，有，所以原分式比小 .‎ ‎【答案】更大 【例 1】 试比较: 与哪一个大? ‎ ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ‎296=37×8，185=37×5，因为 所以＞‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位：厘米)．黑色的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由．‎ ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛，口试 【解析】 此题利用到平方差公式：‎ ‎19971996(19971996)(19971996)199719963993‎ ‎19931992199319923985‎ 所以1997199619931992‎ 即1997199219961993，两个白色正方形的面积大．‎ ‎【答案】两个白色正方形的面积大 【例 3】 在中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数?‎ ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ‎ 为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数．‎ ‎ 有依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择．‎ ‎ 有 而 所以最少选择11个即可使它们的和大于3.‎ ‎【答案】11个 【例 4】 已知：，那么与中 比较大，说明原因；‎ ‎【考点】两个数的大小比较 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,即比大 ‎【答案】比较大 模块二、多个数的大小比较 【例 1】 ⑴比较以下小数，找到最大的数：，， ，，‎ ⑵比较以下5个数，排列大小：1 ，，，.‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ⑴题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数，如下所示：‎ ‎→ ‎‎1.12112112l ‎ → 1.121000000‎ ‎ →1.121212121‎ ‎→1.121210000‎ ‎ →1.120000000‎ 于是可以得出结果，是最大的数．对于循环小数的问题，首先考虑的就是将其展开，从中获得足够的信息，然后按照小数比较原则判断，不处理而一味的观察是没有意义的．‎ ⑵题目中出现了整数、小数、假分数，可以先把数分为两个部分，一部分为小于1的数，一部分为大于等于1的数，然后两部分内部比较，无须两部分间重复比较．‎ ‎①小于l的部分为和，将小数展开，并把化为小数得：，显然，即；‎ ‎②大于等于1的部分中，有整数、小数、假分数：1，1.667，，先将假分数化为带分数，比较三数整数部分，发现都为1，然后比较其他部分：1.666666…<1.667，所以得到1< <1.667． 即得： 1 1.667 .‎ ‎【答案】⑴ ⑵ 1 1.667 .‎ 【巩固】 在，，中，最小的数是______。‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】 所以最小的是 ‎【答案】‎ 【巩固】 在、、四个小数中，第二小的数是____‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，五年级，初赛 【解析】 由于，，可以看出，其中第二小的数为。‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 分数中最大的一个是 。‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 ‎【答案】‎ 【巩固】 有8个数，，, , , 是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数? ‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ‎, , , ，显然有，即，8个数从小到大排列第4个是，‎ 所以有．(“□”表示未知的那2个数).所以，这8个数从大到小排列第4个数是．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 在，，中，最小的分数是__________.‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】数学爱好者夏令营 【解析】 因为，，根据重要结论——对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；而且：‎ ‎，所以，最小的是．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 ‎（1）把下列各数按照从小到大的顺序排列：，，，‎ ‎（2）(幼苗杯数学邀请赛)把下列分数用“”号连接起来： ，，，，‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ⑴我们可以用通分子的方法，可得：‎ ‎，‎ 分母大的反而小，所以．‎ ⑵这五个分数的分母都不相同，要通分变成同分母的分数比较麻烦．再看分子，60正好是10、12、15、20、60五个数的公倍数．利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子都是60的分数．我们称之为“通分子比大小”的方法．‎ ‎，，，，；可见 ；‎ 也就是 .‎ ‎【答案】⑴ ⑵‎ 【巩固】 ‎ 将、、、、从小到大排列，第三个数是________.‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛，六年级，决赛 【解析】 ‎， 所以：，第三小的数是 ‎【答案】‎ 【巩固】 这里有五个分数： 如果按大小顺序排列，排在中间的是哪个数?‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ‎【答案】‎ 【巩固】 将下列乘式结果按从小到大排序：，，，，．‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 看式子前两位相同，于是我们想到可不可以变成“前面部分一样一个简单算式”的形式．‎ 看，我们的目标是把十位和百位的6提取出来，转化算式：‎ 可以看到，这5个乘式的前两项结果是一样的，即我们只要比较，，，，的大小，就可以得出：＜＜＜＜．‎ ‎【答案】＜＜＜＜‎ 【巩固】 编号为1、2、3的三只蚂蚁分别举起重量为，，克的重物．问：金、银、铜牌应分别发给几号蚂蚁? ‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 所以，‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 请把这4个数从大到小排列。‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 将1与这四个分数依次做差，得、、、,显然有,被减数相同,差小的数反而大,所以.‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 ‎，在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少?‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 将不等式中的三个数同时除以80，不等号的方向不改变，有，而、的倒数分别为、，而□应该在之间，即在103.33～102.86之间(在计算循环小数时，将其小数点后保留2位数字)，其中的整数只有103，所以□内所填的整数为103．‎ ‎【答案】103‎ 【巩固】 ⑴比大比小的分数有无数多个，则分子为27的分数是_________.(写出一个即可)‎ ⑵右面方框里填什么自然数时，不等式成立? １‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ⑴设比大比小的分数为，则：，即，，所以，不妨取，那么，满足题意．再比如等也满足题意．‎ ⑵分子549，可以把1看成，利用加成分数原理得□13.‎ ‎【答案】⑴ ⑵13‎ 【巩固】 比大，比小的分数有无穷多个，请写出三个： 。‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】 ‎，， ‎ ‎【答案】，，‎ 【巩固】 ⑴找出一个比大，比小的分数。‎ ⑵满足下式的括号里的数字有多少个自然数：‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ⑴方法一：任意两个分数，把分子和分子相加，分母和分母相加，所得的分数叫做加成分数．加 ‎ 成分数的值介于原来两个分数之间．根据加成分数原理，是介于和之间的一个分数．‎ 方法二：如果通分母，可以得到同分母分数和．把这两个分数的分子、分母扩大2倍，可以找出一个比大，比小的分数；如果把这两个分数扩大3倍，可以再得到两个中间的分数等等．‎ ‎ 我们也可以用类似的方法，通过通分子去找比大、比小的分数．同学们可以自己试一试． ‎ ⑵首先判断第一个不等号两边的关系，，因此( )35，再判断第二个不等号两边的关系，，因此( )15．根据以上分析，可以确定( )中能填入19个自然数．‎ 根据分数基本性质等值放缩分数是处理分数问题最常用的方法．‎ ‎【答案】⑴ ⑵19‎ 【巩固】 下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些分母的和最小是多少？‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 由于要求分母的和最小，则从最小的自然数开始考虑，1是不符合最简真分数要求的分母，因此可选择的最小自然数为2，2只能放在第一个分数上做分母．后面要找比小的最简分数：3、4依次被淘汰，5被选中放入第二个分数中．依次规律， 可得结果： .‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 在下面9个算式中:‎ ‎①，②,③,④,⑤，⑥，⑦，⑧,⑨,第几个算式的答数最小，这个答数是多少?‎ ‎【考点】多个数的大小比较 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：‎ ‎①-②=,即①>②； ‎ ‎②-③=，即②>③；‎ ‎③-④=，即③>④；‎ ‎④-⑤=，即④<⑤；‎ ‎⑤-⑥，⑥-⑦，⑦-⑧，⑧-⑨所得的差依次为，,均小于0,所以⑤<⑥，⑥<⑦，⑦<⑧，⑧<⑨，那么这些算式中最小的为④，有④为 方法二：注意到每组内两个分数的乘积相等，均为．‎ 因为当两个数的乘积相等时，这两个数越接近，和越小．其中第4个算式中、最接近，所以第4个算式最小·‎ ‎【答案】第4个，‎ 【巩固】 若a=，b=，c=，则有（ ）。‎ ‎ （A）a>b>c （B）a>c>b （C）a