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- 2022-02-11 发布
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7-6-2计数之整体法
教学目标
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法,比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等,这里再集中学习一下计数中其他常见的方法,主要有归纳法、整体法、对应法、递推法.对这些计数方法与技巧要做到灵活运用.
例题精讲
解决计数问题时,有时要“化整为零”,使问题变得简单;有时反而要从整体上来考虑,从全局、从整体来研究问题,反而有利于发现其中的数量关系.
【例 1】 一个正方形的内部有1996个点,以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点,将它剪成一些三角形.问:一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀,那么共需剪多少刀?
【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 方法一:归纳法,如下图,采用归纳法,列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数,需剪的刀数.
不难看出,当正方形内部有n个点时,可以剪成2n+2个三角形,需剪3n+l刀,现在内部有1996个点,所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形,需剪3×1996+1=5989刀.
方法二:整体法.我们知道内部一个点贡献360度角,原正方形的四个顶点共贡献了360度角,所以当内部有n个点时,共有360n+360度角,而每个三角形的内角和为180度角,所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形.
2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边,但是其中有4条是原有的正方形的边,所以正方形内部的三角形边有6n+6—4=6n+2条边,又知道每条边被2个三角形共用,即每2条边是重合的,所以只用剪(6n+2)÷2=3n+1刀.
本题中n=1996,所以可剪成3994个三角形,需剪5989刀.
【答案】可剪成3994个三角形,需剪5989刀
【巩固】在三角形内有100个点,以三角形的顶点和这100点为顶点,可把三角形剖分成多少个小三角形?
【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 整体法.100个点每个点周围有360度,三角形本身内角和为180度,所以可以分成个小三角形.
【答案】个小三角形
【例 2】 在一个六边形纸片内有个点,以这个点和六变形的
个顶点为顶点的三角形,最多能剪出_______个.
【考点】计数之整体法 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 设正六边形内有个点,当时有个三角形,每增加一个点,就增加个三角形,
个点最多能剪出个三角形.
时,可剪出个三角形.
注:设最多能剪出个小三角形,则这些小三角形的内角和为.换一个角度看,汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为,故这些小三角形的内角总和为.于是,解得.
【答案】个
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