合肥一六八中学自主招生数学试题 4页

‎2 0 1 6 年学科素养考核 数 学 卷 ‎【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考核。希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为 150 分，共 21 题；用时 120 分钟。‎ 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分,共 40 分）‎ ‎1．设 a , b, c 均为正数，若 c < a < b ‎，则 a , b, c 三个数的大小关系是( )‎ a + b b + c c + a A． a < b < c C． c < a < b ‎‎ B． b < c < a D． c < b < a ‎2．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点 A 、 B 、 C 均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）．‎ A C B A B C D ‎3． 如图，在半径为 1 的⊙O 中，直径 AB 把⊙O 分成上、下两个半圆，点 C 是上半圆上一个动点（C 与点 A、B 不重合），过点 C 作弦 CD⊥AB，垂足为 E，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P，设 CE＝x，AP＝y，下列图象中，能反映 y 与 x 之间函数关系的是（ ）‎ y y y ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ O1 2 x O 1 2 x O 1 2 x O A B C ‎‎ C A O E B y D P ‎1 2 x D ‎4．如图，在△AOB 中，已知∠AOB ＝90°，AO＝3，BO＝6，将△AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段 A'B'与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，那么线段 B'E 的长度为( ).‎ A．‎ ‎6 5‎ B．‎ ‎7 5‎ C．‎ ‎8 5‎ D．‎ ‎9 5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ 数学卷 第 1 页（共 4 页）‎ ‎5．如图，矩形 ABCD 被分成 8 块，图中的数字是其中 5 块的面积数，则图中阴影部分的 面积为（‎ ‎）‎ A．80‎ B．85‎ C．90‎ D．95‎ A＇‎ A D C ‎50‎ ‎15‎ E O ‎65‎ B ‎20‎ ‎70‎ B＇‎ A B 第 4 题图 第 5 题图 ‎6．已知 a 为实常数，关于 x 的方程 (a2 - 2a)x2 + (4 - 6a)x + 8 = 0 的解都是整数，则 a 的值的个数为(‎ ‎)‎ A．3‎ B．4‎ C．5‎ D．6‎ ‎7．连续 2 次掷立方体骰子得到的点数依次为 m,n，则以点 A(0, 0), B (4, -3), C ( m , n) 为顶 点能构成等腰三角形的概率为(‎ ‎)‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎36‎ ‎36‎ ‎8．已知 n 为正整数，二次方程 x2‎ + (2n +1)x + n2‎ = 0 的两根为an , bn ，则 ‎1‎ + ‎1‎ + + ‎1‎ 的值为(‎ ‎)‎ ‎(a3 + 1)(b3 +1)‎ ‎(a 4‎ +1)(b4‎ +1)‎ ‎(a 20‎ +1)(b20 +1)‎ A．‎ ‎19‎ B．‎ ‎29‎ C．‎ ‎341‎ D．‎ ‎531‎ ‎40‎ ‎40‎ ‎760‎ ‎760‎ 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分）‎ ‎9．如图 1 是长方形纸带，∠DEF＝24°，将纸带沿 EF 折叠成图 2，再沿 BF 折叠成图 3，‎ 则图 3 中的∠CFE 的度数是___________.‎ A E D A E D A E C F B B G F C C B G F 图 1‎ 图 2‎ 图 3‎ D ‎10．已知整数 a1 , a 2 , a 3 , a4 , …满足下列条件： a1 = 0, a 2‎ = - | a1 +1 |, a 3 = - | a2 + 2 |,‎ a 4‎ = - | a3 + 3 | ，…依次类推，则 a2012 的值为___________.‎ 数学卷 第 2 页（共 4 页）‎ ‎11．现有 1～13 共 13 张已按一定顺序正面朝上叠放好的扑克牌，将牌的第 1 张放到第 13 张后面，拿出此时牌的最上面的一张，放在桌子上；再将手中牌的第 1 张放到最后，拿出牌的最上面的一张，放在桌子上，……，如此反复进行，直到手中的牌全部取出．如果取出的牌的顺序正好是 1，2，3，…，11，12，13，则原来扑克牌的顺序为7，1，12，2，8，3，11，4，9，5，13，6，10．若取出的牌的顺序为 13，12，11，…，3，2，1，那么按原来牌的顺序第 10 张牌为 .‎ ‎12．已知三个非负实数 a , b, c 满足： 3a + 2 b + c = 5 和 2 a + b - 3c = 1 ，若 m = 3a + b - 7c ，则 m 的最小值为____________. 13．甲、乙两个机器人同时按匀速进行 1000 米速度测试，自动记录仪表明：当甲距离终 点差 10 米，乙距离终点差 20 米；甲到达终点时，乙距离终点差 10.1 米，经过计算，‎ 这条跑道长度不标准，则这条跑道比 1000 米多______米.‎ ‎14．如图，在 DABC 中， AB = AC = 15, cos ÐBAC = 45 , 点 D 在 边 AB 上，且 AD = 2BD , 点 E 是边 AC 上的一个动点，把 DADE 沿着直线 DE 翻折后，得到 DFDE ,且 EF ^ AC ,那么点 A 到 E 的距离是__________.‎ ‎‎ A D B C ‎15．两个反比例函数 y＝ kx 和 y＝ 1x ( k > 1) 在第一象限内的图象如图所示，点 P 在 y＝ kx 的图象上， PC ⊥x 轴于点 C ，交 y＝ 1x 的图象于点 A ， PD ⊥y 轴于点 D ，交 y＝ 1x 的图象于点 B ，当点 P 在 y＝ kx 的图象上运动时，以下结论：①△ ODB 与△ OCA 的 面积相等；②四边形 PAOB 的面积不会发生变化；③当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点；④ PA × PB 的值不会发生变化；⑤若 k 变化时， PA × PB 的值随 k 的增大而增大.‎ 其中一定正确的是________.（把你认为正确结论 的序号都填上，少填或错填不给分） y D B P y＝‎ k A x ‎1‎ O y＝ x C x 数学卷 第 3 页（共 4 页）‎ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）‎ ‎16．(11 分)解方程： 2[x] = x + 2{x} (x ³ 0)‎ ‎（注：[x] 表示实数 x 的整数部分，{x} 表示 x 的小数部分,[2.13] = 2,{2.13} = 0.13 ）‎ ‎17 ． (12 分 ) 已知实数 a≠b ，且满足 (a ＋ 1)2 ＝ 3 － 3(a ＋ 1) ， 3(b ＋ 1) ＝ 3 － (b ＋ 1)2 ，求 b b + a a 的值．‎ A b a ‎18． (12 分)已知如图，△ABC 中，∠A :∠B :∠C＝1 : 2 : 4，‎ 设 BC＝a，AC＝b，AB＝c，‎ 求证： 1‎ ‎＋‎ ‎1‎ ‎＝‎ ‎1‎ ‎.‎ c b a B C ‎19． (12 分)在两个三角形的六对元素(三对角与三对边)中，即使有五对元素对应相等，这两个三角形也未必全等.‎ ‎(1)试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长；‎ ‎(2)为了把所有这样的反例都构造出来，试探求符合条件的此类三角形三边的一般规律(要求过程完整，述理严密，结论明晰).‎ ‎20．(14 分)已知二次函数 y = x 2 + mx + n ( m , n 为常数).‎ ‎(1)当 m = 2, n = -3 时，若自变量 x 的值满足 0 £ x £ 2 ，求二次函数的最小值；‎ ‎(2)当 n = -3时，若自变量 x 的值满足0 £ x £ 2 ，求二次函数的最小值(可以用m 表示)；‎ ‎(3)当 n = m2 时，若自变量 x 的值满足 m £ x £ m + 3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 21，求此时二次函数的解析式.‎ ‎21．(14 分)如图，已知在 DABC 中， AB = AC = 6 ， AH ^ BC ，垂足为点 H .点 D 在边 AB 上，且 AD =2，连结 CD 交 AH 于点 E .‎ ‎(1)如图 1，如果 AE = AD ，求 AH 的长；‎ ‎(2)如图 2，圆 A 是以点 A 为圆心， AD 为半径的圆，交线段 AH 于点 F .设点 P 为边 BC 上一点，如果以点 P 为圆心， BP 为半径的圆与圆 A 外切，以点 P 为圆心，‎ CP 为半径的圆与圆 A 内切，求边 BC 的长； ‎ ‎(3)如图 3，连结 DF .设 DF = x ， DABC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式.‎ A A A D D F D F E E E B H C B H C B H C 图 1‎ 图 2‎ 图 3‎ 数学卷 第 4 页（共 4 页）‎ ‎ ‎