六年级下册数学试题-奥数：几何之圆与扇形（解析版）全国通用 10页

第二讲 几何之圆与扇形 教学目标 组合图形的面积计算，除了直线型面积计算“五大模型”，跟圆有关的曲线型面积也是得别重要的 组成部分。其中，尤以结合情境的曲线形面积计算为最常见考点。 教师版答案提示：纸的厚度为： (20 6) 2 7   （厘米），那么有7 0.04 175  圈纸，中心的卷轴到纸 用完时大约会转 175 圈；圆环的面积为： 2 210 3 91 （ - ）= ，因为纸的厚度为 0.4毫米，即 0.04厘米， 所以纸展开后的长度约为：91 0.04 2275 7143.5    厘米. 利用“加、减”思想解答问题 【例 1】 如图，一个“月牙”形屏幕在屏幕上随意平行移动（不许发生转动也不越过屏 幕边界），已知线段 AB 是月牙外半圆弧的直径，长为 2 厘米。初始时，A、B 两点在矩形 屏幕的一条边上。屏幕的长和宽分别为 30 厘米和 20 厘米。问：屏幕上“月牙”擦不到 的部分的面积是多少平方厘米？（ 取 3） 分析：由于“月牙”形屏幕在屏幕上只能平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），所 以它擦不到的地方只是屏幕的右上角和右下角两部分，如右下图中斜线所示区域，其面积 为 0.5 平方厘米。 想 挑 战 吗 ？ 卷筒软纸中的数学 右图为一圈“心相印”圈纸的截面图，纸卷直径 为 20 厘米，中间有一直径为 6 厘米的卷轴，若纸的 厚度为 0.4 毫米，问：中心的卷轴到纸用完时大约会 转多少圈？这卷纸展开后大约有多长？（ 取 3.14） ［前铺］如右图所示，等腰直角三角形 ABC 的高 AD=4 厘米，以 AD 为直 径作圆分别交 AB、AC 与 E、F，求阴影部分的面积。（ 取 3） 分析：连接 EF，那么有 BED ABD EODS S S 阴影 三角形 扇形 ，计算可得阴影 部分面积为 6 平方厘米。 ［巩固］一个长方形的长为 9，宽为 6，一个半径为 l 的圆在这个长方形内任意运 动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是多少？( 取 3) 分析：圆无法运动到的部分是右下图中角处的阴影部分面积的 4 倍， 1 1 4 1 1 1      ［拓展］如右图所示，用一块面积为 36 平方厘米铝板下料，可裁出七个同样大小 的圆铝板。问余下的边角料的总面积是多少平方厘米？ 分析：由图可知大圆直径是小圆直径的 3倍，所以每个小圆面积是大圆面积的 1 9 ， 即 4 平方厘米，所以余下的边角料的总面积是 8平方厘米. 【例 2】 如右图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为 1040 平方厘 米，空白部分是 6个半径为 10 厘米的小扇形。（ 取 3） 分析：所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积，正六边形 的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，只要知道扇形的圆心角，问题就 解决了。 n边形的内角和为： - 2 180n  （ ） ，正多边形的每条边相等，每个内 角也相等。所以正六边形每个内角为 120°，这样就可求出扇形的面积，进而得到阴影面积为： 210 1201040 6 440 360       [巩固] 如右图，求阴影部分的面积，其中 OABC 是正方形. （ 取 3 关键在于 求出正方形的面积，我们知道正方形是特殊的菱形，菱形面积为对角线乘积的 一半，所以正方形面积为 18，阴影面积为 1 4 圆的面积减去正方形面积为 9。也 可以这样想，连接 OB，将上半部分移至下面，可形成一个扇形减去三角形的阴 影面积，这样也非常容易得到答案，其实有许多图形通过“割、移、补“简化 计算，下面让我们来看看吧！ [巩固] 右图是一个等腰直角三角形，直角边长 2 厘米．图中阴影部分面积是多少平方厘米？（π取 3） 分析：如右下图添加辅助线，那么原图阴影部分可转化为下图中的阴影部分， 21 1= 2 2 2=1 4 2     阴影面积 ，过度到下一专题。 [拓展] 求右图中阴影部分的面积．（ 取 3） 分析：法 1：我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分 面积和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是 ①部分的直角边 AB 的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分 平移至一起，如下右图所示，则①、②部分变为一个以 AC 为直角边的等腰直角三角形，而 AC 为四分之 一圆的半径，所以有 AC=10．两个四分之一圆的面积和为 150，而①、②部分的面积和为 1/2×10×10=50， 所以阴影部分的面积为 150-50=100(平方厘米)． 法 2：欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转 180°，使 A 与 C 重合，从而构成如右图 （2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直 角三角形的面积. 利用“割、补、移”思想解答问题 【例 3】 如图，已知正方形 ABCD的边长为 10厘米，过它的四个顶点作一个大圆， 过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连结起来．那么，图中阴影部分的 面积为多少平方厘米？( 取 3．14) 分析：由移补知，阴影部分面积等于两圆之间的半个圆环面积．大圆的半径为: 2 25 5 50  ,所求面积为： 250 5 2 37.5  （ - ） (平方厘米)． [前铺] 算图 6—26 中阴影部分的面积(单位：分米)。（ 取 3） 分析：将右边的扇形向左平移，如图所示。两个阴影部分拼成—个直角梯形。 (5+10)×5÷2=75÷2=37．5(平方分米) [前铺] 如右图所示，三个同心圆的半径分别是 2、6、10，求图中阴影部分占大 圆面积的百分之几？ 分析：把 3个阴影旋转到一个方位，我们不难发现 3个阴影的面积和是大圆面积的 1/4. 【例 4】 下图中阴影部分的面积(单位：厘米)。（ 取 3） 分析：（1）将图中左半叶阴影部分向右翻折，与右上部分的阴影合拼成斜边为 4 厘米的等腰直角 三角形。如右图（１附）所示，即得：4×4÷4=4(平方厘米) （2）如右图（２附），我们添加两条辅助线，而后发现可将圆内弓形割补 到上部，那么阴影部分面积=1/4大圆-正方形=1/4×3×5×5-1/2×5×5=25/4。 注：正方形也是菱形，菱形面积是对角线乘积的一半。 （3）把阴影部分下端的一块割下，补在上面的空白部分， 这样阴影部分面积=1/4大圆 – 1/4小圆 = 71/4 。 （4）采用“补”的思想。三角形内角和是 180度，所以阴影部分面积=半圆面积=3/2 。 【例 5】 平面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是 10， 那么阴影部分的面积是多少? （ 取 3） 分析：题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与 6 个 阴影部分的面积和．而 图形①可以通过割补得到图形② ，而图形②是一个圆心角为 60 度 的扇形，即 1/6 圆．所以，原题图中阴影部分面积为 1 个完整圆与 6 个 1/6 圆，即 2 个圆的面积．即原 题图中阴影部分面积为 2×10=20． [巩固]右图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中 心．如果每个圆的半径都是 1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米? （ 取 3） 分析：法 1：如图所示， 可以将每个圆内 的阴影部分拼成一个正 方形，而这个正方形与图中的正方形形状、大小相同． 每个正方形的面积为(1×1÷2) ×4=0.5×4=2平方厘米，所以阴影部分的总面积为2×4=8． 法 2：我们可以将图中空白部分分成 8 个形状相同、面积相等的小图形 ，原题图中的整个图形的面积为四个圆的面积减去公共的 4 个 的面积，即 8个 的面积，而阴影部分面积又是整个图 形面积减去 4个 的面积，即 8个 的面积.那么，原题图 中阴影部分面积为 4 个圆面积减去 16 个 的面积．所以，原题图中阴影部分总面积为： 4×1×1×3-16×0.25=8(平方厘米)． 奇思妙解 【例 6】 如图，阴影部分的面积是 25平方厘米，试求圆环的面积。 ( 取 3) 分析：设大圆、小圆半径分别为 ,R r ，阴影面积为 25平方厘米， 则有 2 2 2 21 1 25 50 2 2 S R r R r    阴影 ， ， 所以 2 2 2 2 50 150S R r R r        圆环 （ ） （平方厘米） [巩固] 大圆半径为 R，小圆半径为 r，两个同心圆构成一个环形。以圆心 O 为顶 点，半径 R 为边长作一个正方形：再以 O 为顶点，以 r 为边长作一个小正方形。 图中阴影部分的面积为 50 平方厘米，求环形面积。 分析：环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积 显然不可能。题中已知阴影部分的面积，也就是 50rR 22  平方厘米，那么环形的面积 为: 50)rR(rR 2222   =157(平方厘米)。 【例 7】 如右图所示，求阴影部分的面积。 （ 取 3） 分析：利用“包含与排除”的思路解答， 2 2 21 3 1 1S S +S -S 3 3 5.625 2 2 4 2           阴影 半圆 扇形 等腰直角三角形 （ ） [巩固]如右图所示，正方形的边长为 10，以各边为直径在正方形内画半圆，则所构成 的阴影面积为多少？（ 取 3） 分析：利用“包含与排除”的思路解答，阴影面积＝4 个半圆面积－正方形面积＝50 [拓展]如右图，ABCD 是平行四边形，AD=8 厘米，AB=10 厘米，∠DAB=30°， 高 CH=4 厘米，弧 BE、DF 分别以 AB、CD 为半径，弧 DM、BN 分别以 AD、 CB 为半径，则阴影部分的面积是多少？ （ 取 3.14,精确到 0.01） 分析： 2 30 2510 360 3EAD FCDS S      扇形 扇形 2 30 168 360 3 10 4 40 DAM BCN ABCD S S S          扇形 扇形 平行四边形 DFBE DMBN 2 2 25 162 40 5.83 3 3 EAD ABCD ABCD DAM S S S S S S S          阴影 曲边四边形 曲边四边形 扇形 平行四边形 平行四边形 扇形（ - ）-（ - ） （ + ） 旋转构图 【例 8】 一只狗被拴在底座为边长 3 米的等边三角形建筑物的墙角上（如右图）， 绳长是 4 米，求狗所能到的地方的总面积。 （ 取 3.14） 分析：如右图所示，羊活动的范围是一个半径 4m，圆心角 300°的扇形与两个半径 1m，圆心角 120°的扇形之和。所以答案是 43.96m2。 【例 9】 如右图，一条直线上放着一个长和宽分别为 4cm 和 3cm 的长方形Ⅰ。它的对角线长恰好是 5cm。让这个 长方形绕顶点 B顺时针旋转 90°后到达长方形Ⅱ的位置， 这样连续做三次，A 点到达 E 点的位置。求 A 点走过的 路程的长。（ 取 3） 分析：如右下图，A点走过的总路程等于三个半径分别为 4cm，5cm，3cm的 1/4弧长之和 18 cm。 【例 10】 如图，ABCD 是一个长为 4，宽为 3.对角线长为 5 的正方形，他绕 C 点按顺时针方向 旋转 90 0 ，分别求出四边扫过图形的面积。（ 取 3） 分析：（1）容易发现，DC 边和 BC 边旋转后扫过的图形都是以线段长 度为半径的圆的 4 1 ，如下图：因此 DC 边扫过图形的面积 为 4 ，BC 边扫过图形的面积为 4 9 ； （2）研究 AB 边的情况。在整个 AB 边上，距离 C 点最近的点是 B 点，最远的点是 A 点，因此整条线段所扫过部分应该介 于这两个点所扫过弧线之间，见右图中阴影部分： 下面来求这部分的面积。观察图形可以发现，所求阴影 部分的面积实际上是：扇形 ACA 面积+三角形 ABC 面积一 三角形 ABC 面积一扇形 BCB 面积＝扇形 ACA 面积 一扇形 BCB 面积 2 25 3 4 4 4        ； （3）研究 AD 边扫过的图形。由于在整条线段上距离 C 点最远的 点是 A，最近的点是 D，所以我们可以画出 AD 边扫过的图形， 如下图阴影部分所示：用与前面同样的方法可以求出面积 为： 2 25 4 9 4 4 4        [前铺] 右图是一个直径为 3cm 的半圆，让这个半圆以 A 点为轴沿逆时针 方 向旋转 60°，此时 B点移动到 B′点，求阴影部分的面积。（图中长度单位为 cm，圆周率按 3计算） 分析：面积等于=圆心角为 60°的扇形面积+半圆-空白部分面积（也是半圆） =圆心角为 60°的扇形面积= 5.4 2 33 360 60 2   cm 2 [巩固]如右图，一个半径为 1厘米的小圆盘沿着一个半径为 4 厘米的大圆盘外侧 做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动 90 度后，小圆盘运动过程 中扫过的面积是多少平方厘米？（ 取 3） 分析：小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成：第一部分：半径为 6 厘米， 中心角为 90 度的扇形减去半径为 4 厘米，中心角为 90 度的扇形，面积为： 2 26 4 4 5 15     （ - ） = ；第二部分是半径为 1 厘米的 2 个半圆，总面积是 3，所以扫过的面积为 18 平方厘米. 【例 11】 右图是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形。当三角形绕 C 点顺时针 旋转 90。时，斜边 AB 扫过的图形面积是多少? （ 取 3） 分析：如右下图，从 C向 AB作垂线交 AB于 D。AB距 C点最近的点是 D点，最 远的点是 A点与 B点，所以当ACB绕 C点顺时针旋转 90度时，A点转到 A点 与 B ' 点重合，B点转到 B ' 点。AB扫过的图形就是上图中阴影部分。Ⅲ，Ⅳ 两部分的面积和等于半径为 1 的半圆减去ABB ' 的面积，等于（π/2-1)。I， Ⅱ两部分的面积等于正方形 CDBD ' 减去扇形 CDD ' 的面积。因为正方形 CDBD ' 与三角形 ABC 的面积相等，所以 CD 2 = 1 2 。扇形 CDD ' 的面积是 CD 2 × 4  = 8  。I，Ⅱ两部分 的面积和等于（ 1 2 - 8  ），阴影部分的面积为：（ 2  -1）+（ 1 2 - 8  ）= 3 8  - 1 2 =5/8。 专题展望 熟练掌握本节内容，寒假班将学习等积变形、旋转平移、借来还去（踩凳子、差等原理）、整体考虑。 练习二 1．如右图，图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为 10厘米的正五边形，求 五边形内阴影部分的面积．（ 取 3.14） 分析：正五边形的内角为：180 5 - 2 5 108   （ ） ，所求阴影面积是 5个半径为 5 厘米、圆心角为 108的扇形面积之和，即 25 108 360 5 117.75S      阴影 （ ） . 2．如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中 阴影部分面积为 1S ，空白部分面积为 2S ，那么这两个部分的面积之比是多少？ （ 取 3） 分析：如右下图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就 是一个圆的内接正方形。设大圆半径为 r，则 2 2 2rS  ， 22 1 2rrS   ，所以 1S ： 2S = （3.14－2）：2=57：100 3． 如右图所示，最外面是正方形为 4米，图中阴影部分的面积为 5平方厘米，那么 最里面正方形的边长是多少？ 分析：将图形的阴影进行适当移动，可得右下图，我们可以得到阴影部分最顶端的小 三角形为：5 4 4 4 1    ，所以最小的正方形面积为 4，那么其边长为 2。 4． 如右图所示，平行四边形 ABCD 的面积是 40cm2，求图中阴影部分的 面积。 分析：平行四边形面积=底×高=直径×高=2r×高=40，所以 r×高=20，所 以阴影面积=10cm2. 5． 如右图，将边长为 1的正三角形放在一条直线上，让三角形绕顶 点 C 顺时针转动到达位置Ⅱ，再继续这样转动到达位置Ⅲ。求 A 点 走过的路程的长（ 取 3）。 分析：A走的总路程等于半径为 1的圆的周长的 2/3，即 4。 6． 如右图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米，∠ABC=60 ， 此时 BC 长 5 厘米。以点 B 为中心，将△ABC 顺时针旋转 120 ，点 A，C 分别到达点 E，D 的位置。求 AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积。（ 取 3） 分析：如右下图所示，将图形 l 移补到图形 II 的位置，则阴影部分为一 圆 环 的 1 3 。 面 积 为 ： (AB 2 一 BC 2 )  ÷3=(10 2 一 5 2 )  ÷3 =75×3÷3=75(平方厘米)。 成长故事 被玷污的20美元 时刻关注自己的内在价值 在一次讨论会上，一位著名的演说家没讲一句开场白，却高举着一张20美元的钞票。面对会议室里 的200个人，他问：“谁要这20美元?”一只只手举了起来。他接着说：“我打算把这20美元送给你们中 的一位，但在这之前，请准许我做一件事。”他说着将钞票揉成一团，然后问：“谁还要?”仍有人举起 手来。他又说：“那么，假如我这样做又会怎么样呢?” 他把钞票扔到地上，又踏上一只脚，并且用脚碾它。尔后他拾起钞票，钞票已变得又脏又皱。“现在谁 还要?”还是有人举起手来。 演说家最后说：“朋友们，你们已经上了一堂很有意义的课。无论我如何对待那张钞票，你们还是想 要它，因为它并没贬值。它依旧值 20 美元。人生路上，我们会无数次被自己的决定或碰到的逆境击倒、 欺凌甚至碾得粉身碎骨。我们觉得自己似乎一文不值。但无论发生什么，你们永远不会丧失价值。”