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- 2022-02-11 发布
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第三十二周 逻辑推理(二)
专题简析:
解数学题,从已知条件到未知的结果需要推理,也需要计算,通常是计算与推理交替进行,而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理,而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生,也是小学数学竞赛中比较流行的题型。
解答综合推理问题,要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论,而又一时难以肯定或否定其中任何一个时,这就要善于运用排除法、反证法逐一试验。
当感到题中条件不够时,要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。
例题1:
小华和甲、乙、丙、丁四个同学参加象棋比赛。每两人要比赛一盘。到现在为止,小华已经比赛了4盘。甲赛了3盘,乙赛了2盘,丁赛了1盘。丙赛了几盘?
这道题可以利用画图的方法进行推理,如图32-1所示,用5个点分别表示小华、甲、乙、丙、丁。如果两人之间已经进行了比赛,就在表示两人的点之间连一条线。现在小华赛4盘,所以小华应与其余4个点都连线……
甲赛了3盘。由于丁只赛了一盘,所以甲与丁之间没有比赛。那么,就连接甲、乙和甲、丙。这时,乙已有了两条线,与题中乙赛2盘相结合,就不再连了。所以,从图32-1中可以看出,丙与小华、甲各赛一盘。即丙赛了两盘。
练习1:
1、A,B,C,D,E五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘。到现在为止,A已经比赛了4盘。B赛了3盘,C赛了2盘,D赛了1盘。E赛了几盘?
2、A先生和A太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每两人最多握手一次,但不和自己的妻子握手。握手完毕后,A先生问了每个人(包括他妻子)握手几次?令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那么,A太太握了几次手?
3、五位同学一起打乒乓球,两人之间最多只能打一盘。打完后,甲说:“我打了四盘”。乙说:“我打了一盘”。丙说:“我打了三盘”。丁说:“我打了四盘”。戊说:“我打了三盘”。
你能肯定其中有人说错了吗?为什么?
例题2:
图32-2是同一个标有1,2,3,4,5,6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之积是多少?
用排除法排除不符合条件的情形,最后剩下的情况就是所要的结果。
由(1)、(2)两个图可以看出,1的对面不可能为4,6,2,3,所以1的对面必为5;由(2)、(3)两个图形可以看出,3的对面不可能为1,2,4,5,所以3的对面必为6。由此可知,4的对面必定为2。上面正方体三个朝左一面的数字依次为2,5,6。所以它们的积为2×5×6=60。
练习2:
1、图32-3是同一个标有1,2,3,4,5,6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少?
2、将红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体各面上(每一面只涂一种颜色)。现有涂色方式完全一样的相同的四块小正方体,把它们拼成长方体(如图32-4所示),每个小正房体红色面的对面涂的是什么颜色?黄色对面的?黑色对面呢?
3、如图32-5所示,每个正方体的6个面分别写着数字1~6,并且任意两个相对的面上所写的两个数之和都等于7。把这样的5个正方体一个挨一个连接起来后,金挨着的两个面上的数字之和等于8。图中写?的这个面上的数字是几?
例题3:
某班44人,从A,B,C,D,E五位候选人中选举班长。A得选票23张。B得选票占第二位,C,D得票相同,E的选票最少,只得了4票。那么B得选票多少张?
B,C,D的选票共44—23—4=17(张),C,D的选票至少各5张。如果他们的选票超过5张,那么B,C,D的选票超过6+6+6=18(张),这不可能。所以,C,D各得5票,B得17—5—5=7(张)
练习3:
1、某商品编号是一个三位数,现有5个三位数:874、765、123、364、925。其中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字,这个商品编号是多少?
2、某楼住着4个女孩和两个男孩,他们的年龄各不相同,最大的10岁,最小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁,最大的女孩比最小的男孩大4岁。最大的男孩多少岁?
3、小明将玻璃球放进大、小两种盒子中。大盒装12个玻璃球,小盒装5个玻璃球,正好装完。如果玻璃球总数为99,盒子超过10个,那么两种盒子各有多少个?
例题4:
将1,2,3,4,5,6,7,8八个数字分成两组,每组4个数,并且两组数之和相等。从A组拿一个到B组后,B组五个数之和将是A组剩下三数之和的2倍。从B组拿一个数到A组后,B组剩下的三个数之和A组五个数之和的5/7。这八个数如何分成两组?
八个数的和是1+2+3+4+5+6+7+8=26,所以每组的四个数之和是36÷2=18。从A组取出一个数到B,两组总和不变。现在A组三个数之和是36÷(1+2)=12,原来A组四个数之和是18,说明A组中取6到B组。
同样道理,从B组取一个数到A组后,现在B组三个数之和是36÷(1+5/6)×5/7=15。说明B组中取出的数为18—15=3。
除去6和3,还剩6个数。A组的另外三个数之和应是18—6=12,在剩下的6个数中只有1,4,7三个数,它们的和是12。所以
A组四个数是1,4,6,7。
B组四个数是2,3,5,8。
练习4:
1、某年的8月份有4个星期四,5个星期三。这年8月8日是星期几?
2、甲、一两个小朋友各有一袋糖,每袋糖不到20粒。如果甲给乙一定数量的糖后,甲的糖的粒数是乙的2倍;如果乙给甲同样数量的糖后,甲的糖的粒数就是乙的3倍。甲、乙两个小朋友共有糖多少粒?
3、某各家庭有四个家庭成员。他们的年龄各不相同,总和是129岁,其中有三个人的年龄是平方数。如果倒退15年,这四人中仍有三人的年龄是平方数。你知道他们各自的年龄吗?
例题5:
在一次设计联系中,小张、小王、小李各打4发子弹,全部中靶。命中的情况如下:
(1)每人4发子弹所命中的环数各不相同。(2)每人4发子弹所命中的总环数均为17槐。(3)小王有两法命中的环数分别与小张命中的两法一样;小王另两发命中的环数与小李命中的两法一样。(4)小张和小李只有一发环数相同。(5)每人每发子弹的最好成绩不超过7环。
小张、小李命中相同的环数是几环?
首先,用枚举法找出符合条件(1)、(2)、(5)的所有情况。其次,再用筛选法从这些情况中去掉不符合条件(3)、(4)的情况。剩下的就符合要求了。
(1)1+7+3+6=17(环)
(2)1+7+4+5=17(环)
(3)2+6+4+5=17(环)
(4)2+7+3+5=17(环)
对照条件可知(2)、(1)式和(3)式分别代表王、张、李,所以,小张和小李命中相同的环数是6环,
练习5:
1、甲、乙、丙三人玩转盘(如图32-6所示),转盘上的数字表示应得的分。
甲说:“我转8次得26分”。
乙说:“我转7次得34分”。
丙说:“我转9次得41分”。
其中有一人没说真话,他是谁?
2、将3张数字卡片(均不超过10)分给甲、乙、丙三人,各人记下所得卡片上的数再重新分。分了3次后,每人将各字记下的数相加,甲为13,乙为15,丙为23。你能西饿出三张卡片上的数吗?
3、A,B,C三个足球队进行一次比赛,每两个队赛一场。按规定每升一场得2分,平一场得1分,负一场得0分。现在已知:
(1)B对一球未进,结果得一分;
(2)C队进一球,失2球,并且胜一场;
求A队结果是得几分,并写出每场比赛的具体比分。
答案:
练1
1、 E赛了2盘
2、 A太太握了三次手
3、 肯定有人说错。画图容易得证
练2
1、 5+4+1=10
2、 红色对面为绿色,蓝色对面为黄色,黑色对面为白色
3、 A处所写的是“3”
练3
1、 724
2、 最大的男孩儿是8岁
3、 小盒15个,大盒2个
练4
1、 星期一
2、 24粒
1、 16岁、24岁、25岁、64岁
练5
1、 得分数7、4、1均是3的倍数加1,9次所得的总分应是3的倍数,因此丙没有说真话。
2、 A+B+C=(13+15+23)÷3=17 A、B、C粉笔是3、5、9。 3+3+9=15乙 5+5+3=13甲 9+9+5=23丙
3、 根据条件列表推理
队名
比赛场数
胜
负
平
进球数
失球数
得分
A
2
1
1
2
0
3
B
2
1
1
0
2
1
C
2
1
1
2
2
A队得了3分,A和B的比分是0:0
A与C的比分是2:0
B与C的比分是0:1
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