人教版小升初数学课件 第8章数学广角 33页

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中小学精品教学资源 中小学精品教学资源 中小学精品教学资源 中小学精品教学资源 第八章　数学广角 知识要点梳理 1. 推理常用的推理方法有： 直接推理判断、排除法、假设法、列表法、图解法。 2. 植树问题 (1)非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形 ①路的两端都要植树，那么： 株数＝段数＋1＝全长÷株距＋1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ②路的一端植树，另一端不植树，那么： 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ③如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么： 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) (2)封闭线路上的植树问题的数量关系 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 3. 鸡兔同笼问题 (1)假设全是鸡，则有： 兔的只数＝(总足数－总头数×2)÷2 鸡的只数＝总头数－兔的只数 (2)假设全是兔，则有： 鸡的只数＝(总头数×4－总足数)÷2 兔的只数＝总头数－鸡的只数 4. 优化 (1)烙饼问题一般的解决方法： 公式：烙饼总时间＝每次烙的时间×［(2×烙饼总 数)÷每次烙的饼数］ 如每次可以同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙9张饼 的时间是5×［(2×9)÷3］＝30(分钟) 特殊的解决方法： 如果用公式除不尽的话，就要先算出烙的次数，再乘每 次烙的时间。 如每次可以同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙7张饼 的话，要先算出烙的次数＝(2×7)÷3＝4次……2面， 即4＋1＝5次，共25分钟。 问题本质：烙饼问题其实是统筹方法的一个分支，其实 质是利用好烙锅的容量空间，使每次烙的效率最高。 (2)统筹安排时间问题原则有两个： 其一，“分清先后”——找出事物发生的必然先后顺序； 其二，“同时进行”——在做不需要人照看的事的同时 做其他事，这样就可以节约时间。 (3)排队的学问： 先快后慢，先时间短的再时间长的，这样可以使总的等 待时间最短。 5. 找次品找次品的最优策略： (1)把待测物品分成3份； (2)能够平均分成3份就平均分成三份，尽量平均分，如 9(3,3,3)；如果不能平均分的，也应该使多的一份与少 的一份只相差1，如7(2，2，3)。 6. 鸽巢问题鸽巢问题又称抽屉原理。抽屉原理形式:形 式一：把m个物体任意分放进n个空抽屉里(m＞n，n是非 0自然数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。 形式二：把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里(k是 正整数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少(k+1)个物 体。 形式三：把相同数量的不同物体任意放在同一个抽屉里， 要确保取出两个相同的物体，则至少要取出（颜色种数 +1）个物体。 典例精析及训练 题型一 【例1】星期六，丽丽在家做家务。整理房间要8分钟， 烧开水要20分钟，洗衣服要12分钟，泡茶要1分钟，丽 丽做完这些家务最少需要(　　)分钟。 精析：本题属于优化问题，根据题干，烧开水要20分钟， 烧开水的同时可以完成整理房间和洗衣服两件事情，最 后泡茶1分钟。所以做完这些家务最少需要21分钟。 答案：21 举一反三 1. 妈妈做早饭的过程及时间如下：洗锅(1分钟)、淘米 (1分钟)、熬粥(20分钟)，洗菜切菜(5分钟)、炒菜(3 分钟)、盛粥(1分钟)。妈妈做这顿早饭至少需要(　 　)分钟。 23 2. 小猪、小羊和乌龟要过一座独木桥。每次只允许一 只动物过桥，小猪需要5分钟，乌龟需要8分钟，小羊 需要3分钟。要使三只小动物等候的时间最短，应该 让 (　 　)先过，(　 　)再过，(　 　) 最后过。 小羊 小猪 乌龟 题型二 【例2】园林工人在一条长240米的公路两侧，每隔6米 种一棵树(两端都要种)，一共要种多少棵树？ 精析：这是非封闭线路的植树问题，两端都要种，则根 据棵数＝全长÷株距＋1可得公路一侧要种的树的棵数， 因为两侧都要种，所以还要将所得的数乘以2才能得出 答案。 答案：240÷6＋1＝41(棵)　41×2＝82(棵) 答：一共要种82棵树。 举一反三 3. 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵 白杨树，一共能栽多少棵白杨树？ 400÷4＝100(棵) 答：一共能栽100棵白杨树。 4. 在铁路一旁，每隔45米有一根电线杆，某旅客在行 进的火车里，从经过第1根电线杆到第51根电线杆， 恰好过了3分钟，火车行进的速度是多少千米每小时？ (51－1)×45＝2250(米)＝2.25千米 3分钟＝ 小时 2.25÷ ＝45(千米/小时) 答：火车行进的速度是45千米/小时。 1 201 20 题型三 【例3】9个小球，其中8个一样重，1个比其他的轻是次 品，用天平称，至少称 (　　) 次就可以找出次品。 答案：2 精析：第一步：把9个球分成3份，每份3个，任取两份 放在天平上。若平衡，则取剩下的3个做第二步分析； 若不平衡，则取较轻的3个做第二步分析。第二步：取3 个球分成3份，每份1个，任取两个放在天平两端。若平 衡，则剩下1个为次品；若不平衡，轻一个就是次品。 举一反三 5.有10 瓶钙片，其中一瓶被吃了5片。用天平称，至少 称(　 　)次能保证找出被吃了5片的那瓶。 6. 30个零件中混进一个较轻的，最少称(　 　)次可 以保证找出较轻的那个。 3 4 题型四 【例4】32只鸽子飞回7个鸽舍，至少有(　　)只鸽子要 飞进同一个鸽舍。 答案：5 精析：把7个鸽舍看作7个抽屉，把32个鸽子看作32个元 素，那么每个抽屉需要放32÷7＝4……4(个)，所以每 个抽屉需要放4个，剩下的4个不论怎么放，总有一个抽 屉里至少有4＋1＝5(个)。所以，至少有一个鸽舍要飞 进5只鸽子。 举一反三 7. 从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中至少抽 出( )张，从而能保证一定有一张红桃。 8. 把红、黄、蓝三种颜色的球各8个放到一个袋子里。 至少取（ ）个球，可以保证取到两个颜色相同 的球。 9. 13个在2015年出生的儿童中，至少有( )个是 同一月出生的。 40 4 2 某养殖场里养的鸡和兔共28只，共有78只脚，养殖场里 养了鸡和兔各多少只？ 答案：兔的只数（78-28×2）÷2=11（只）鸡的只数 =28-11=17（只）答：养殖场里养了鸡17只，兔11只。 精析： 这是一个很典型的鸡兔同笼的问题，已知总的 头数和足数，可以先假设全部是鸡，则兔的只数=（总 足数-总头数×2）÷2，鸡的只数=总头数-兔的只数。 题型五 11. 松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天 只能采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天 采14个。这几天当中有几天有雨？ 112÷14×20＝160(个) (160－112)÷(20－12)＝6(天)。 答：这几天当中有6天有雨。 举一反三 11. 鸡兔同笼，鸡头比兔头多20个，兔脚比鸡脚多200 只。鸡、兔各有多少只？ 解：设兔有x只，则鸡有(20＋x)只。 4x－(20＋x)×2＝200 　　　 4x－2x＝240 　　　　　　 x＝120 120＋20＝140(只) 答：鸡有140只，兔有120只。 差错类型及归纳 类型 解决鸡兔同笼问题时，假设的前后两个 数之间的关系容易混淆。 【例】北顺小学举办数学竞赛，试卷共有20道题， 每做对一道得5分，错一道倒扣2分。思远做了所有 的题，共得了79分，他做对了几道题？ 错解：20－(20×5－79)÷(5－2) =20－21÷3 =13(道) 答：他做对了13道题。 正解：20－(20×5－79)÷(5＋2) =20－21÷7 =17(道) 答：他做对了17道题。 分析：此题错在答对一道题和答错一道题相差的 不是(5－2)分，而是5＋2=7(分)。在用假设法解 答鸡兔同笼类型的应用题时，要注意假设前后两 个数之间相差的数，有时相差的数是两数之和。 针对性练习 一、购物大抽奖：一等奖300元，二等奖100元，共 60个中奖名额，奖金总额达10000元，一等奖和二等 奖各有多少个？ 假设全是一等奖。 300×60=18000（元） 与实际相差：18000-10000=8000(元) 300-100=200（元） 二等奖：8000÷200=40（个） 一等奖：60-40=20（个） 答：一等奖有20个，二等奖有40个。 二、百货商店委托搬运站运送500个花瓶，双方商 定每个运费是0.48元，但如果发生损坏，每损坏一 个不仅不给运费，而且要赔偿2.52元，结果搬运站 共得到运费231元。你能算出搬运过程中共损坏了 几个花瓶吗？ （500×0.48－231）÷(0.48＋2.52)=3(个) 答：搬运过程中共损坏了3个花瓶。 三.在一个停车场上，现有汽车和三轮摩托车共24辆， 共有86个轮子，这些车中，汽车和三轮摩托车各有 多少辆？ 假设24辆全是4个轮子的汽车，则三轮摩托车有 （24×4-86）÷（4-3）=10（辆） 24-10=14（辆） 答：汽车有14辆，三轮摩托车有10辆。 小考复习训练 一、选择题。 1. 王东掷一枚正六面体骰子，要保证掷出的骰子点 数至少有两次相同，他最少应掷( )次。 A. 5 B. 6 C. 7 2. 10瓶饮料，其中一瓶变质了（略重一些），用天 平称，至少称( )次一定能找出次品。 A. 3 B. 4 C. 5 3.一根木料锯成3段要8分钟，如果每锯一段所用的 时间相同，那么锯成7段需要( )分钟。 A. 12 B. 14 C. 24 C A C 4. 一个圆形跑道长400米，如果每10米竖一道警示 牌，共需( )道警示牌。 A. 4 B. 40 C. 39 5.4个好朋友聚会，每两个人握一次手，一共要握 ( )次手。 A. 3 B. 4 C. 6 B C 二、填一填。 1. 从家到学校有3条不同的路可走，从学校到书店有4条 不同的路可走。则小明从家经过学校到书店有( )条 不同的路可走。 2. 抽屉里有4支红铅笔和3支蓝铅笔，如果闭着眼睛摸， 一次必须拿( )支，才能保证至少有1支是蓝铅笔。 12 5 3. 园林工人沿公路一侧种树，每隔6米种一棵，一共种 了36棵。第一棵与最后一棵之间的距离有( )米。 4.把15只兔子关进4个笼子，无论怎样总有一个笼子里 至少关进了( )只兔子。 5.盒子里有同样大小的红、黄、蓝三种颜色的球各4个， 要想摸出的球一定有2个不同色，至少要摸出（ ） 个球。 210 4 5 三、解决问题。 1. 从甲地到乙地原来每隔45米要安装一根电线杆， 加上两端的2根一共65根电线杆。现在改成每隔60 米安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中 途还有多少根不必移动？ 45和60的最小公倍数是180 (65－1)×45÷180=16(根) 16-1=15（根） 答：中途还有15根不必移动。 2. 有两袋乒乓球，一袋有28个，另一袋有100个。如果 每次从多的一袋里取出4个放进少的一袋里，拿多少次 才能使两袋乒乓球的个数相等？ (100-28)÷(4×2)=9(次) 答：拿9次才能使两袋乒乓球的个数相等。