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- 2022-02-12 发布
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第 5 单元 数学广角—鸽巢问题
第 1 课时 鸽巢问题(1)
【教学目标】
1、知识与技能:了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”
的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
2、过程与方法:经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、
猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观:通过用“鸽巢问题”解决简单的实际
问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
【教学重难点】
重点:引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点:找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。
【教学过程】
一、 情境导入
教师:同学们,你们在一些公共场所或旅游景点见过电脑算命
吗?“电脑算命”看起来很深奥,只要你报出自己的出生年月日和性
别,一按键,屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子。通过今天的学
习,我们掌握了“鸽巢问题”之后,你就不难证明这种“电脑算命”
是非常可笑和荒唐的,是不可相信的鬼把戏了。(板书课题:鸽巢问
题)
教师:通过学习,你想解决哪些问题?
根据学生回答,教师把学生提出的问题归结为:“鸽巢问题”
是怎样的?这里的“鸽巢”是指什么?运用“鸽巢问题”能解决哪
些问题?怎样运用“鸽巢问题”解决问题?
二、探究新知:
1.教学例 1.(课件出示例题 1 情境图)
思考问题:把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中,不管怎么放,总有 1 个
笔筒里至少有 2 支铅笔。为什么呢?“总有”和“至少”是什么意思?
学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识
“鸽巢问题”的学习过程来解决问题。
(1)操作发现规律:通过把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中,可以发现:
不管怎么放,总有 1 个笔筒里至少有 2 支铅笔。
(2)理解关键词的含义:“总有”和“至少”是指把 4 支铅笔放进
3 个笔筒中,不管怎么放,一定有 1 个笔筒里的铅笔数大于或等于 2
支。
(3)探究证明。
方法一:用“枚举法”证明。
方法二:用“分解法”证明。
把 4 分解成 3 个数。
由图可知,把 4 分解成 3 个数,与枚举法相似,也有 4 中情况,
每一种情况分得的 3 个数中,至少有 1 个数是不小于 2 的数。
方法三:用“假设法”证明。
通过以上几种方法证明都可以发现:把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中,
无论怎么放,总有 1 个笔筒里至少放进 2 支铅笔。
(4)认识“鸽巢问题”
像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。在这里,
4 支铅笔是要分放的物体,就相当于 4 只“鸽子”,“3 个笔筒”就相
当于 3 个“鸽巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述
就是把 4 只鸽子放进 3 个笼子,总有 1 个笼子里至少有 2 只鸽子。
这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思;而“至
少”指的是最少,即在所有方法中,放的鸽子最多的那个“笼子”里
鸽子“最少”的个数。
小结:只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有 1 个笔筒里至少
放进 2 支铅笔。
如果放的铅笔数比笔筒的数量多 2,那么总有 1 个笔筒至少放
2 支铅笔;如果放的铅笔比笔筒的数量多 3,那么总有 1 个笔筒里至
少放 2 支铅笔……
小结:只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有 1 个笔筒里至少
放 2 支铅笔。
(5)归纳总结:
鸽巢原理(一):如果把 m 个物体任意放进 n 个抽屉里(m>n,且
n 是非零自然数),那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了 2 个物
体。
2、教学例 2(课件出示例题 2 情境图)
思考问题:(一)把 7 本书放进 3 个抽屉,不管怎么放,总有 1
个抽屉里至少有 3 本书。为什么呢?(二)如果有 8 本书会怎样呢?
10 本书呢?
学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题(一)。
(1)探究证明。
方法一:用数的分解法证明。
把 7 分解成 3 个数的和。把 7 本书放进 3 个抽屉里,共有如下 8
种情况:
由图可知,每种情况分得的 3 个数中,至少有 1 个数不小于 3,
也就是每种分法中最多那个数最小是 3,即总有 1 个抽屉至少放进 3
本书。
方法二:用假设法证明。
把 7 本书平均分成 3 份,7÷3=2(本)......1(本),若每个抽
屉放 2 本,则还剩 1 本。如果把剩下的这 1 本书放进任意 1 个抽屉中,
那么这个抽屉里就有 3 本书。
(2)得出结论。
通过以上两种方法都可以发现:7 本书放进 3 个抽屉中,不管怎
么放,总有 1 个抽屉里至少放进 3 本书。
学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题(二)。
(1)用假设法分析。
8÷3=2(本)......2(本),剩下 2 本,分别放进其中 2 个抽
屉中,使其中 2 个抽屉都变成 3 本,因此把 8 本书放进 3 个抽屉中,
不管怎么放,总有 1 个抽屉里至少放进 3 本书。
10÷3=3(本)......1(本),把 10 本书放进 3 个抽屉中,不
管怎么放,总有 1 个抽屉里至少放进 4 本书。
(2)归纳总结:
综合上面两种情况,要把 a 本书放进 3 个抽屉里,如果 a÷3=b
(本)......1(本)或 a÷3=b(本)......2(本),那么一定有 1
个抽屉里至少放进(b+1)本书。
鸽巢原理(二):我们把多余 kn 个的物体任意分别放进 n 个空
抽屉(k 是正整数,n 是非 0 的自然数),那么一定有一个抽屉中至少
放进了(k+1)个物体。
三、巩固练习
1、完成教材第 70 页的“做一做”第 1 题。
学生独立思考解答问题,集体交流、纠正。
2、完成教材第 71 页练习十三的 1-2 题。
学生独立思考解答问题,集体交流、纠正。
四、课堂总结
今天这节课你有什么收获?能说给大家听听吗?
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