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- 2022-02-12 发布
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4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型
例题精讲
板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式:三角形面积底高
从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积.
如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小);
如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);
这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍,底变为原来的,则三角形面积与原来的一样.这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状.
在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论:
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
如左图
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图;
反之,如果,则可知直线平行于.
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
板块二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在中,分别是上的点如图 ⑴(或在的延长线上,在上),
则
图⑴ 图⑵
【例 1】 如图在中,分别是上的点,且,,平方厘米,求
的面积.
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 连接,,
,所以,设份,则份,平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,的面积是平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 .
【答案】70
【巩固】如图,三角形中,是的5倍,是的3倍,如果三角形的面积等于1,那么三角形的面积是多少?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 连接.
∵
∴
又∵
∴,∴.
【答案】15
【巩固】如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,,,,乙部分面积是甲部分面积的几倍?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 连接.
∵,
∴,
又∵,
∴,∴,.
【答案】5
【例 1】 如图在中,在的延长线上,在上,且,
,平方厘米,求的面积.
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 连接, ,
所以,设份,则份,平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,的面积是平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【答案】50
【例 1】 如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,,三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 连接FB.三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍,而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍,所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的倍.因此,平行四边形的面积为(平方厘米).
【答案】48
【例 2】 已知的面积为平方厘米,,求的面积.
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ,
设份,则份,份,份,份,恰好是平方厘米,所以平方厘米
【答案】24
【例 3】 如图16-4,已知.AE=AC,CD=BC,BF=AB,那么等于多少?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】迎春杯,决赛,第一题,9题
【解析】 如下图,连接AD,BE,CF.
有△ABE,△ABC的高相等,面积比为底的比,则有=,所以=×=
同理有=,即==×=.
类似的还可以得到=×=,=×=.
所以有=-(++)=(1---)=.
即为.
【答案】
【例 1】 如图,三角形的面积为3平方厘米,其中,,三角形的面积是多少?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 由于,所以可以用共角定理,设份,份,则份,
份,由共角定理,设份,恰好是平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,三角形的面积是平方厘米
【答案】12.5
【例 2】 如图所示,正方形边长为6厘米,,.三角形的面积为_______平方厘米.
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】走美杯,五年级,初赛
【解析】 由题意知、,可得.根据”共角定理”可得,
;而;所以;同理得,;,,
故(平方厘米).
【答案】10
【例 1】 如图,已知三角形面积为,延长至,使;延长至,使;延长至,使,求三角形的面积.
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (法)本题是性质的反复使用.
连接、.
∵,,
∴.
同理可得其它,最后三角形的面积.
(法)用共角定理∵在和中,与互补,
∴.
又,所以.
同理可得,.
所以.
【答案】18
【例 2】 如图,把四边形ABCD的各边都延长2倍,得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 方法一:如下图,连接BD,ED,BG,
有EAD、ADB同高,所以面积比为底的比,有.
同理.
类似的,还可得,有=30平方厘米.
连接AC,AF,HC,还可得,,
有=30平方厘米.
有四边形EFGH的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和,即为30+30+5=65(平方厘米.)
方法二:连接BD,有EAH 、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°
又夹成两角的边EA、AH,AB、AD的乘积比,=2×3=6,所以=6.
类似的,还可得=6,有+=6(+)=6=30平方厘米.
连接AC,还可得=6,=6,
有+=6(+)=6=30平方厘米.
有四边形EFGH的面积为△EAH,△FCG,△EFB,△DHG,ABCD的面积和,
即为30+30+5=65平方厘米.
【答案】65
【例 1】 如图,平行四边形,,,,,平行四边形的面积是, 求平行四边形与四边形的面积比.
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 连接、.根据共角定理
∵在和中,与互补,
∴.
又,所以.
同理可得,,.
所以.
所以.
【答案】
【例 1】 如图,四边形的面积是平方米,,,,,求四边形的面积.
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 连接.由共角定理得,即
同理,即
所以
连接,同理可以得到
所以平方米
【答案】13.2
【例 2】 如图,将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、,若四边形的面积为5,则四边形的面积是 .
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 连接、.
由于,,于是,同理.
于是.
再由于,,于是,同理.
于是.
那么.
【答案】60
【例 3】 如图,在中,延长至,使,延长至,使,是的中点,若的面积是,则的面积是多少?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ∵在和中,与互补,
∴.
又,所以.
同理可得,.
所以
【答案】3.5
【例 1】 如图,,,,,.求.
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题题目本身很简单,但它把本讲的两个重要知识点融合到一起,既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用,也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的种情况.
最后求得的面积为.
【答案】
【例 2】 如图所示,正方形边长为厘米,是的中点,是的中点,是的中点,三角形的面积是多少平方厘米?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 连接、.
因为,根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,,再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,得到,,,所以平方厘米.
【答案】12
【例 3】 四个面积为的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积.
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 如图,将原图扩展成一个大正三角形,则与都是正三角形.
假设正六边形的边长为为,则与的边长都是,所以大正三角形的边长为,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍.而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的,所以一个单位小正三角形的面积为,三角形的面积为.
由于,,所以与三角形的面积之比为.
同理可知、与三角形的面积之比都为,所以的面积占三角形面积的,所以的面积的面积为.
【答案】
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形的面积是 .
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 从图中可以看出,虚线和虚线外的图形都等于两个正六边形的一半,也就是都等于一个正六边形的面积;虚线和虚线外的图形都等于一个正六边形的一半,那么它们合起来等于一个正六边形的面积;虚线外的图形是两个三角形,从右图中可以看出,每个三角形都是一个正六边形面积的,所以虚线外图形的面积等于,所以五边形的面积是.
【答案】
【例 1】 仅用下图这把刻度尺,最少测量 次,就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】学而思杯,6年级,第10题
【解析】 连接DA并延长交BC边的延长线于E点,然后测出EA和ED的长度,由于EA与ED在一条直线上,所以测一次就能EA和ED长度,根据共边定理可知,三角形ABC与三角形BCD的面积比就等于EA比ED,故最少测量1次就可解决问题。
【答案】1次
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