温州市重点中学自主招生模拟数学试题含答案 10页

‎2017年温州市重点中学自主招生模拟数学试题含答案 ‎2017年温州市重点中学自主招生模拟试题 数学试卷 ‎（考试时间120分钟，满分150分）‎ 一.选择题（每题5分，共50分）‎ ‎1.下列数中不属于有理数的是（ ）‎ A.1 B. C. D.0.1113‎ ‎2.如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上．下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（　　）‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ 3. 如果把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正 ‎ 方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形 数”之和．下列等式中，‎ 符合这一规律的是（ ）‎ A、13 = 3+10 B、25 = 9+16 ‎ C、49 = 18+31 D、36 = 15+21‎ ‎4.a、b、c均不为0，若，则不可能在（ ）‎ A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 ‎5.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），‎ 半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，‎ 则a的值是（　　）‎ A、 B、 C、+2 D、‎ ‎6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=30º，BC=2，将△ABC绕 点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边 上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积 分别为（ ）‎ A、30，2 B、60，2 C、60， D、60， ‎ ‎7.如图一个长为m、宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，‎ 拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大 正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）‎ A、 B、m－n C、 D、‎ ‎8.抛物线上有三点P1、P2、P3，其横坐标分别为t，t+1，t+3，则△P1P2P3的面积为（　　）．‎ A.1 Ｂ. 2 Ｃ. 3 Ｄ.4‎ ‎9.已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将△沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. D.‎ ‎10.正五边形广场ABCDE的边长为80米，甲、乙两个同学做游戏，分别从A、C两点处同时出发，沿A-B-C-D-E-A的方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，则两人第一次刚走到同一条边上时（　　）．‎ Ａ.甲在顶点A处 Ｂ.甲在顶点B处 ‎ C.甲在顶点C处 Ｄ.甲在顶点D处 二.填空题（每题6分，共36分） ‎ ‎11.分解因式：=________________.‎ ‎12.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过点A（1, 2），B（m ，n）（m＞1），过点B作 y轴的垂线,垂足为C.若△ABC面积为２，则点B的坐标 为________.‎ ‎13.如右图，是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均 为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…．若从O 点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2‎ 点的回形线为第2圈，…，依次类推．则第11圈的长 为 ．‎ ‎14.今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角板a的30º角的那一头插入三角板b的圆洞内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为 cm2（不计三角板的厚度，精确到0.1cm2）．‎ ‎15.如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个 底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD 在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯 形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶 点与Q重合时，点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边 MN、NP、PQ所围成图形的面积是________．‎ ‎16.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．‎ 现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O 重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D 切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则的值为 ．‎ ‎ 三.解答题（共6小题，分别为8,10,10,10,12，14分，共64分）[来源:学科网]‎ ‎17.设数列，‎ 问：（1）这个数列第2010项的值是多少？‎ A B D C E O ‎（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少？‎ ‎18.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，‎ ‎（Ⅰ）求的度数；‎ ‎（Ⅱ）若cm，cm，求OE的长．‎ ‎.‎ ‎19.请设计三种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形，画出必要的示意图，并附以简要的文字说明．‎ ‎20.某商场在促销期间规定：商场所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，可按如下方案获得相应金额的奖券：‎ 消费金额w（元）的范围 ‎200≤w＜400‎ ‎400≤w＜500‎ ‎500≤w＜700‎ ‎700≤w＜900‎ ‎…‎ 获得奖券的金额（元）‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎130‎ ‎…[来源:学+科+网]‎ 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，购买价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠为：400×0.2＋30 = 110（元）。‎ ‎（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？‎ ‎（2）对于标价在500≤w＜800（元）的商品，顾客购买标价为多少元商品，可得到不小于的优惠率。‎ ‎21.已知：以原点O为圆心、5为半径的半圆与y轴交于A、G两点，AB与半圆相切于点A，点B的坐标为（3，yB）（如图1）；过半圆上的点C(xC，yC)作y轴的垂线，垂足为D；Rt△DOC的面积等于．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）①命题“如图2，以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M1N1P1Q1的上底和下底都分别在同一条直线上，NP∥MQ，PQ∥P1Q1 ，且NP＞MQ．设抛物线y=a0x2＋h0过点P、Q，抛物线y=a1x2＋h1过点P1、Q1，则h0＞h1”是真命题．请你以Q（3，5）、P（4，3）和Q1（p，5）、P1(p+1，3)为例进行验证；‎ ‎②当图1中的线段BC在第一象限时，作线段BC关于y轴对称的线段FE，连接BF、CE，点T是线段BF上的动点（如图3）；设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点，求K的纵坐标yK的取值范围．‎ ‎22.已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，‎ 其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且A点坐标为（－6，0）．‎ ‎（1）求此二次函数的表达式；‎ ‎（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，‎ 并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 一.选择题（每题5分，共50分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C A D A B C A C C D 二.填空题（每题6分，共36分） ‎ 11. ‎__________ 12._____（3，______ 13.______87_______‎ ‎14.____14.9____________ 15. ______ 16._________________‎ 三.解答题（共6小题，共64分）‎ ‎17.（1）将数列分组：‎ 因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016，‎ 所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为。 ‎ ‎（2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，‎ 所以第2010个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位，‎ 所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=809428。 ‎ ‎18.解（Ⅰ）∵∥，‎ ‎∴． ‎ A B D C E O ‎∵⊙O内切于梯形，‎ ‎∴平分，有，‎ 平分，有．‎ ‎∴．‎ ‎∴．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（Ⅱ）∵在Rt△中，cm，cm，‎ ‎∴由勾股定理，得cm． ‎ ‎∵为切点，∴．有．‎ ‎∴．‎ 又为公共角，∴△∽△． ‎ ‎∴，∴cm．‎ ‎19.如图，在AD边上任取一点N，使点N不是边AD的中点.分别作出线段AN、DN的中点O1、O2，只要把正方形ABCD沿BO1、CO2剪两刀，则得到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形. ‎ 答案不唯一：‎ ‎20.解（1）‎ ‎（2）商品的标价为x元，则 ‎，消费额：，由已知得 ‎ 或 不等式（Ⅰ）无解，不等式（Ⅱ）的解为 因此，当顾客购买标价在元内的商品时，可得到不小于的优惠率。‎ ‎21.解：（1）连AC交BD于O，‎ ‎∵ABCD为菱形，∴，，． 在Rt△AOB中，∵，‎ ‎∴． [来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎（2）从开始，螺旋装置顺时针方向旋转x圈，则．‎ ‎∴ ‎ ‎（3）结论：．在中，‎ 令得，；‎ 令得，；‎ 令得，．‎ ‎∴，，∴． ‎ 也可以如下比较、的大小：‎ ‎∵，‎ ‎．‎ 而，，∴． 若将条件“从开始”改为“从任意时刻开始”，则结论仍成立．‎ ‎∵，‎ ‎．‎ 而，，∴． ‎ ‎10. （1）yB=5=半径; xCyC=, +y2C=25, 得C (4,3) …2分和C(4,－3)‎ ‎（2）①过点P（4，3）、Q（3，5）的抛物线y=a0x2＋h0即为y=－x2+,得h0＝.‎ 过P1(p+1，3)、Q1（p，5）的抛物线y=a1x2＋h1即为y=,‎ h1=.‎ h0—h1＝－ ‎ ‎＝＝，‎ ‎（∵MQ＞M1Q1，其中MQ＝6，∴0≤p＝1／2M1Q1＜3，）可知0≤p＜3；‎ ‎∴7p+3＞0，2p+1＞0，3-p＞0，因而得到h0—h1＞0，证得h0＞h1.‎ ‎（或者说明2p+1＞0，在0≤p＜3时总是大于0，得到h0—h1＞0)②显然抛物线y=ax2+bx+c的开口方向向下，a＜0.‎ 当T运动到B点时，这时B、T、K三点重合即B为抛物线的顶点，∴yK≥5；…6分 ‎ 将过点T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c沿x轴平移，使其对称轴为y轴，这时yK不变.‎ 则由上述①的结论，当T在FB上运动时，过F（－3，5）、B（3，5）、C（4，3）三点的抛物线的顶点为最高点，∴yK≤，‎ ‎∴ 5≤yK≤.‎ ‎22.解：(1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8‎ ‎∴B（2，0）、C（0，8） ‎ ‎　 ∴所求二次函数的表达式为y＝－x2－x＋8 ‎ ‎（2）∵AB＝8，OC＝8，依题意，AE＝m，则BE＝8－m，‎ ‎∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10.‎ ‎∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC.‎ ‎∴＝ .　　即＝ . ∴EF＝.‎ 过点F作FG⊥AB，垂足为G，‎ 则sin∠FEG＝sin∠CAB＝ .∴＝ .　 [来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎∴FG＝·＝8－m. ‎ ‎∴S＝S△BCE－S△BFE ‎＝‎ ‎ （0＜m＜8）‎ ‎(3)存在． 理由如下:‎ ‎∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8‎ ‎∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8. ‎ ‎∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）‎ ‎∴△BCE为等腰三角形． ‎ ‎ ‎