小学数学精讲教案7_5_1 组合的基本应用（一） 教师版 6页

‎7-5-1.组合的基本应用（一）‎ 教学目标 ‎1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；‎ ‎2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；‎ ‎3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；‎ ‎4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；‎ 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．‎ 知识要点 一、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．‎ 一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．‎ ‎ 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．‎ 从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．‎ 一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：‎ 第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；‎ ‎　　第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．‎ 根据乘法原理，得到．‎ 因此，组合数．‎ 这个公式就是组合数公式．‎ 二、组合数的重要性质 一般地，组合数有下面的重要性质：()‎ 这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．‎ 例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．‎ 规定，．‎ 例题精讲 模块一、组合之计算问题 【例 1】 计算：⑴ ，；⑵ ，． ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ ，‎ ‎⑵ ，‎ ‎【小结】注意到上面的结果中，有，．‎ ‎【答案】⑴ ，‎ ‎⑵ ，‎ 【例 2】 计算：⑴ ；⑵ ；⑶ ． ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ ；‎ ‎⑵ ； ⑶ ．‎ ‎【答案】⑴ ⑵ ⑶ ．‎ 【巩固】 计算：⑴ ；⑵ ；⑶ ． ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ ‎ ‎⑵ ‎ ‎⑶ ．‎ ‎【答案】⑴ ‎ ‎⑵ ‎ ‎⑶ ．‎ 模块二、组合之体育比赛中的数学 【例 3】 某校举行排球单循环赛，有个队参加．问：共需要进行多少场比赛？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 因为比赛是单循环制的，所以，个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个队的选取有关而与两个队选出的顺序无关．所以，这是一个在个队中取个队的组合问题．‎ 由组合数公式知，共需进行(场)比赛．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有个队参加．问：共需要进行多少场比赛？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 由组合数公式知，共需进行(场)比赛．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行　 次传球．‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，三年级，初赛，7题 【解析】 本题是一道比赛场数计数问题，“每两个人之间至多传一次”，让6个人最多次地传球，则是5＋4＋3＋2＋1＝15（次）.但要看是否可以传回去，在传递过程中两人是否重复.15条线，代表传球15次，根据一笔画问题，行不通，应减少奇数点的个数，共有6个奇数点，应该去掉两条直线，也就是去掉4个奇数点，还剩下2个奇数点，就可以传递回来了.所以答案为5＋4＋3＋2＋1－2＝13（次）.‎ ‎【答案】次 【例 3】 一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 从若干人中选出人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题．依题意，假设有个人参加循环赛，应该有，所以，所以，即一共有人参加循环赛．‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 第一阶段中，每个小组内部的个人每人要赛一场，组内赛场，共个小组，有场；‎ 第二阶段中，每个小组内部人中每人赛一场，组内赛场，共个小组，有场；‎ 第三阶段赛场．‎ 根据加法原理，整个赛程一共有场比赛．‎ ‎【答案】‎ 【例 5】 有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎ (法1)先选4人，再考虑组合的方法．‎ ‎8选4有种组合，其中实质不同的有一半，即种；‎ 对每一边的4个人，共有实质性不同的种，‎ 所以，可以得到种实质不同的比赛安排表．‎ ‎(法2)先考虑所有情况，再考虑重复情况 首先是 考虑到实质相同：1、2；3、4；5、6；7、8；一、二；三、四；、，‎ 以上7组均可交换，即每一种实际上重复计算了次，答案为：．‎ ‎【答案】‎ 模块三、组合之数字问题 【例 1】 从分别写有、、、、的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：‎ ‎ ⑴ 有多少个不同的乘积？‎ ‎⑵ 有多少个不同的乘法算式？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ 要考虑有多少个不同乘积．由于只要从张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题．‎ 由组合数公式，共有(个)不同的乘积．‎ ‎⑵ 要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题．‎ 由排列数公式，共有(种)不同的乘法算式．‎ ‎【答案】⑴ ⑵‎ 【巩固】 ‎9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 相当于在10个数字选出7个划去，一共有10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）=120种．‎ ‎【答案】120‎ 【巩固】 从分别写有、、、、、、、的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎(种)．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，且每种颜色的卡片上分别标有1，2，3，4，5，从这些卡片中取出5张，要求1、2、3、4、5各一张，但四种颜色都要有，求共有________种取法？‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，4年级，第14题 【解析】 四种颜色都有，则有两个数是同一种颜色即可，其它三个数字和三种颜色一一对应。种 ‎【答案】240种 【例 2】 在中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题．‎ 从个偶数中取出个，有(种)取法；‎ 从个奇数中取出个，也有(种)取法．‎ 根据加法原理，一共有(种)不同的取法．‎ ‎【小结】在本题中，对两个数的和限定了条件．不妨对这个条件进行分类，如把和为偶数分成两奇数相加或两偶数相加．这样可以把问题简化．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 从、、……、、这个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎、、……、、中有个奇数，个偶数，从个数中任取个数的方法有：(种)，所以选法总数有：(种)．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 一个盒子装有个编号依次为，，，，的球，从中摸出个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 个编号中奇偶，要使个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：‎ ‎⑴ 奇偶，这时对奇数只有种选择，对偶数有种选择．由乘法原理，有(种)选择；‎ ‎⑵ 奇偶，这时对奇数有(种)选择，对偶数也有(种)选择．由乘法原理，有(种)选择；‎ ‎⑶ 奇偶，这时对奇数有种选择，对偶数只有种选择．由乘法原理，‎ ‎　 有(种)选择．‎ 由加法原理，不同的摸法有(种)．‎ ‎【答案】⑴ ⑵ ⑶‎ ‎ ‎ 【例 4】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？‎ 用个，个，个可以组成多少个互不相同的六位数？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 先考虑在个数位上选个数位放，这两个的顺序无所谓，故是组合问题，有(种)选法；再从剩下的个数位上选个放，有(种)选法；剩下的个数位放，只有种选法．‎ 由乘法原理，这样的六位数有(个)．‎ 在前一问的情况下组成的个六位数中，首位是、、的各个．如果将全部换成，这个首位是的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数(个)．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 从，，，，中任取三个数字，从，，，中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 整个过程可以分三步完成：第一步，从，，，，中任取三个数字，这是一个组合问题，有种方法；第二步，从，，，中任取两个数字，也是一个组合问题，有种方法；第三步，用取出的个数字组成没有重复数字的五位数，有种方法．所以总的个数为：（个）．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 从、、、、、、这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】陈省身杯，五年级 【解析】 若三位数不含有，有（个），若含有一个，有（个），若含有两个，有（个），所以共有（个）．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题有种选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有种选法；剩下的2个数位放3，只有1种选法．由乘法原理，这样的六位数有个．‎ 在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个．如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数个．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？ ‎ ‎【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 这道题由于3有2个，是其中最特殊的，所以从它入手．‎ 先从四位数的4个数位中选择2个来放3，有种选法；然后剩下的两个数位放1和2，有2种放法；根据乘法原理，共有种不同的方法，所以可以组成12个不重复的四位数．‎ ‎【答案】‎