小学数学精讲教案4_3_4 任意四边形、梯形与相似模型（二） 教师版 13页

任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲 板块二 梯形模型的应用 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：‎ ‎①‎ ‎②；‎ ‎③的对应份数为．‎ 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)‎ 【例 1】 如图，，，求梯形的面积．‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设为份，为份，根据梯形蝴蝶定理，，所以；又因为，所以；那么，，所以梯形面积，或者根据梯形蝴蝶定理，．‎ ‎【答案】9‎ 【巩固】 如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米．‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，，可得，再根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．那么梯形的面积为(平方厘米)．‎ ‎【答案】144‎ 【巩固】 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积。‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，决赛，15分，第3大题第，1题 【解析】 根据题意，AB=5，CD=3，CD:AB=3:5，‎ 则根据蝴蝶模型，令=25份，‎ 则梯形ABCD共有：9+15+25+15=64份。所以1份为：4÷64=，则三角形OAB的面积为×25=。‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比．‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，，可以求出，‎ 再根据梯形蝴蝶定理，．‎ 通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 如下图，四边形中，对角线和交于点，已知，并且，那么的长是多少？‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛 【解析】 根据蝴蝶定理，，所以，又，所以．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，，，‎ 所以．‎ ‎【答案】4‎ ‎【巩固】如图，梯形中，、的面积分别为和，求梯形的面积．‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，，所以，‎ ‎，，‎ ‎ ．‎ ‎【答案】7.5‎ 【例 2】 在梯形ABCD中，上底长‎5厘米，下底长‎10厘米，平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米。‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛，决赛，第4题，10分 【解析】 因为AD∥BC，故 又 ，故 ‎ 在与中，因其高相等，且BO:DO=2:1， 故 :=2:1‎ 而 ，故 。同理，在与中，‎ 因CO:AO=2:1，且在相应边上的高相等，故 :=2:1即 .‎ 在中，因AO:CO=1:2，且其在相应边上的高相等，故: =1:2。‎ 即综上，=10+20+10+5=45‎ ‎【答案】45‎ 【例 1】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形的面积是，三角形的面积是，求四边形的面积．‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是．‎ ‎【答案】34‎ ‎【巩固】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】人大附中，入学测试题 【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是，3的面积就是．‎ ‎【答案】20‎ 【例 2】 如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道 ‎，设份，则 份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．‎ ‎【答案】1‎ ‎【巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是 平方厘米．‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．‎ ‎【答案】12‎ 【例 1】 如图面积为平方厘米的正方形中，是边上的三等分点，求阴影部分的面积．‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为是边上的三等分点，所以，设份，根据梯形蝴蝶定理可以知道份，份，份，因此正方形的面积为份，，所以，所以平方厘米．‎ ‎【答案】3‎ 【例 2】 如图，在长方形中，厘米，厘米，，求阴影部分的面积．‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：如图，连接，将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形的面积为平方厘米．‎ 由于，根据梯形蝴蝶定理，，所以，而平方厘米，所以平方厘米，阴影部分的面积为平方厘米．‎ 方法二：如图，连接，，由于，设份，根据梯形蝴蝶定理， 份，份，份，因此份，份，而平方厘米，所以平方厘米 ‎【答案】3.5‎ 【例 3】 已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，六年级 【解析】 连接．‎ 由于是平行四边形，，所以，‎ 根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)．‎ ‎【答案】21‎ 【巩固】 右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接．‎ 由于与是平行的，所以也是梯形，那么．‎ 根据蝴蝶定理，，故，‎ 所以(平方厘米)．‎ ‎【答案】6‎ 【巩固】 右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】三帆中学 【解析】 连接．‎ 由于与是平行的，所以也是梯形，那么．‎ 根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．‎ 另解：在平行四边形中，(平方厘米)，‎ 所以(平方厘米)，‎ 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)．‎ ‎【答案】4‎ 【巩固】 E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】希望杯，5年级，复赛，第15题 【解析】 如图，在平行线中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都为6，而顶上的三角形为6×6÷4=9，“？”处的三角形面积为9+‎6-6-4‎=5从而所求四边形面积为5=6=11.‎ ‎【答案】11‎ 【例 1】 如图所示，、将长方形分成4块，的面积是5平方厘米，的面积是10平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接，根据梯形模型，可知三角形的面积和三角形的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形的面积为(平方厘米)，所以长方形的面积为(平方厘米)．四边形的面积为(平方厘米)．‎ ‎【答案】25‎ 【巩固】 如图所示，、将长方形分成4块，的面积是4平方厘米，的面积是6平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎ (法1)连接，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形的面积和三角形的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形的面积为(平方厘米)，所以长方形的面积为(平方厘米)．四边形的面积为(平方厘米)．‎ ‎(法2)由题意可知，，根据相似三角形性质，，所以三角形的面积为：(平方厘米)．则三角形面积为15平方厘米，长方形面积为(平方厘米)．四边形的面积为(平方厘米)．‎ ‎【答案】11‎ 【巩固】 如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米．‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，高年级组，初赛，4题 【解析】 连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．‎ ‎【答案】9‎ 【巩固】 正方形的边长为，是的中点（如图）。四边形的面积为 。‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，4年级，决赛，第4题，8分 【解析】 连结，，即，，所以。‎ ‎【答案】15‎ 【巩固】 如图，长方形中，是直角三角形且面积为54，的长是16，的长是9．那么四边形的面积是 ．‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，初赛 【解析】 解法一：连接，依题意，所以，‎ 则．‎ 又因为，所以，‎ 得，‎ 所以．‎ ‎ 解法二：由于，所以，而，根据蝴蝶定理，，所以，‎ 所以．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形的面积为______．‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，六年级，初赛，第5题 【解析】 根据容斥关系：‎ 四边形的面积=三角形AFC+三角形DBF-白色部分的面积 三角形AFC+三角形DBF=长方形面积的一半即60，‎ 白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-70=50‎ 所以四边形的面积=60-50=10‎ ‎【答案】10‎ 【巩固】 如图5所示，矩形ABCD的面积是24平方厘米，、三角形ADM与三角形BCN的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是 平方厘米。‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛，初赛，第9题 【解析】 ‎1.8‎ ‎【答案】1.8‎ 【例 2】 如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．‎ 由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48．‎ 那么的面积为．‎ ‎【答案】12‎ 【例 1】 如图所示，是梯形，面积是，的面积是9，的面积是27．那么阴影面积是多少？‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到，而(等积变换)，所以可得，‎ 并且，而，‎ 所以阴影的面积是：．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 如图，正六边形面积为，那么阴影部分面积为多少？‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 如图，已知是中点，是的中点，是的中点．三角形由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形的面积是多少平方厘米？‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为是中点，为中点，有且平行于，则四边形为梯形．在梯形中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=： =4．又已知②-⑤=6，所以⑤=，②=⑤，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为．有与的面积比为平方与平方的比，即为1:4．所以面积为梯形面积的=，即为．因为是中点，所以与的面积相等，而的面积为、的面积和，即为平方厘米．三角形的面积为48平方厘米．‎ ‎【答案】48‎ 【例 1】 如下图，在梯形中，与平行，且，点、分别是和的中点，已知阴影四边形的面积是54平方厘米，则梯形的面积是 平方厘米．‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 连接，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形面积．‎ 设梯形的上底为，总面积为．则下底为，．‎ 所以，．‎ 由于梯形和梯形的高相等，所以 ‎，‎ 故，．‎ 根据梯形蝴蝶定理，梯形内各三角形的面积之比为，所以；‎ 同理可得，‎ 所以，由于平方厘米，‎ 所以(平方厘米)．‎ ‎【答案】210‎ 【例 2】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ‎ ．‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况．‎ 解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为，因此空白处的总面积为，阴影部分的面积为．‎ 解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的，阴影部分的面积占该梯形面积的，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的，那么阴影部分的面积为．‎ ‎【答案】14‎ 【例 1】 如图，在正方形中，、分别在与上，且，，连接、，相交于点，过作、得到两个正方形和，设正方形的面积为，正方形的面积为，则___________．‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 连接、．设正方形边长为3，则，，所以，，．因为，所以．由梯形蝴蝶定理，得，‎ 所以，．因为，，‎ 所以，所以，．‎ 由于底边上的高即为正方形的边长，所以，，‎ 所以，则．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于 ‎ ．‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】5星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，高年级组，决赛 【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为．‎ 如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．‎ 可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形 的面积为，梯形的面积为．在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即，那么．‎ ‎【答案】5‎