小学数学精讲教案3_1_3 多人相遇和追及问题 教师版 12页

多人相遇和追及问题 教学目标 1. 能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用 2. 根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图 3. 能将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题。‎ 知识精讲 二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。‎ 所有行程问题都是围绕“”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：‎ ‎；‎ ‎ ；‎ 多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．‎ 例题精讲 板块一、多人从两端出发——相遇、追及 【例 1】 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走‎100米，乙每分钟走‎80米，丙每分钟走‎75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 甲、丙6分钟相遇的路程：(米)；‎ 甲、乙相遇的时间为：(分钟)；‎ 东、西两村之间的距离为：(米).‎ ‎【答案】米 【巩固】 一条环形跑道长‎400米，甲骑自行车每分钟骑‎450米，乙跑步每分钟‎250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎(分钟)．‎ ‎【答案】分钟 【例 2】 在公路上，汽车、、分别以，，的速度匀速行驶，若汽车从甲站开往乙站的同时，汽车、从乙站开往甲站，并且在途中，汽车在与汽车相遇后的两小时又与汽车相遇，求甲、乙两站相距多少千米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】四中，入学测试 【解析】 汽车在与汽车相遇时，汽车与汽车的距离为：千米，此时汽车与汽车的距离也是‎260千米，说明这三辆车已经出发了小时，那么甲、乙两站的距离为：千米．‎ ‎【答案】千米 【巩固】 甲、乙、丙三人每分分别行‎60米、‎50米和‎40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离．‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60＋40）×15＝1500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500÷（50-40）=150（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，所以A、B之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）．‎ ‎【答案】‎‎16500米 【巩固】 小轿车、面包车和大客车的速度分别为‎60千米／时、‎48千米／时和‎42千米／时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎270千米。提示：先求出面包车与小轿车相遇时，大客车与小轿车的距离（相遇问题），再求出从出发到面包车与小轿车相遇经过的时间（追及问题），最后求甲、乙两地的距离（相遇问题）。‎ ‎【答案】‎‎270千米 【巩固】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走‎60米，乙每分钟走‎67.5米，丙每分钟走‎75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）×2=‎270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=270÷（67.5-60）=36分钟，所以路程=36×（67.5+75）=‎5130米。‎ ‎【答案】‎‎5130米 【巩固】 小王的步行速度是‎4.8千米/小时，小张的步行速度是‎5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是‎10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 画一张示意图：‎ ‎　　图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离：（千米），这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是：1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度‎10.8千米/小时是小张速度‎5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要：130÷2=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是：130＋65=195（分钟）＝3小时15分.小李从乙地到甲地需要3小时15分.‎ ‎【答案】3小时15分 【巩固】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走‎60米，乙每分钟走‎65米，丙每分钟走‎70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）×1=‎130米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=130÷（65-60）=26分钟，所以路程=26×（65+70）=‎3510米。‎ ‎【答案】‎‎3510米 【巩固】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走‎50米，乙每分钟走‎60米，丙每分钟走‎70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+70）×2=‎‎260米 ‎，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=260÷（60-50）=26分钟，所以路程=26×（60+70）=‎3380米。‎ ‎【答案】‎‎3380米 【巩固】 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走‎80米，乙每分钟走‎90米，丙每分钟走‎100米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过5分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 那5分钟是甲和丙相遇，所以距离是（90+100）×5=‎950米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差。所以乙丙相遇时间=950÷（90-80）=95分钟，所以路程=95×（90+100）=‎18050米。‎ ‎【答案】‎‎18050米 【巩固】 小王的步行速度是‎5千米/小时，小张的步行速度是‎6千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是‎10千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后30分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎30分钟是小王和小李相遇，所以距离是千米，这距离是小王和小李相遇时间里小张和小王的路程差。所以小李和小张相遇时间=7.5÷（6-5）=7.5小时，所以路程=7.5×（6+10）=120千米。120÷10=12（小时）‎ ‎【答案】12小时 【巩固】 甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟480、540、720米，甲、乙、丙3人同时动身，甲、乙二人从A地出发，向B地行时，丙从B地出发向A地行进，丙首先在途中与乙相遇，3分钟后又与甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 方法一：乙与丙相遇时，乙比甲多行的距离可供丙、甲相向而行行3分钟的时间，这段距离为（米），（分），A、B之间的距离为（米），行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下：‎ 甲 ‎ 乙 ‎ 丙 方法二：丙与乙相遇时，各行了（分），速度与时间成反比，所以，丙行完全程需要（分）；乙行完全程需要（分）.‎ 方法三：丙与乙相遇时，乙比甲多行了（米）；丙比甲多行了（米），所以A地与B地之间的距离为（米）.‎ 行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下：‎ 甲 ‎ 乙 ‎ 丙 ‎ ‎【答案】甲 分；乙 分；丙 分 【巩固】 甲乙丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针方向行走。已知甲每小时行‎7千米，乙每小时行‎5千米，1小时后甲、丙二人相遇，又过了10分钟，丙与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 方法一：出发1小时后甲、丙相遇，这时甲领先乙千米；10分钟后丙、乙相遇，相向而行共行了‎2千米，其中乙行了千米，丙行了千米，丙每小时行千米，所以甲、丙相遇时，丙行了千米。‎ 方法二：丙1小时10分钟（与乙相遇）行的距离与1小时（与甲相遇）行的距离之差恰好等于甲1小时行的距离之差，所以丙的速度等于千米/小时，丙与甲相遇时，丙行了千米。‎ ‎【答案】千米 【例 1】 甲、乙两车的速度分别为 ‎52 千米／时和 ‎40 千米／时，它们同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。 ‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 甲乙两车最初的过程类似追及，速度差×追及时间＝路程差；路程差为 ‎72 千米；‎72 千米就是1 小时的甲车和卡车的路程和，速度和×相遇时间＝路程和，得到速度和为 ‎72 千米／时，所以卡车速度为 72-40=‎32 千米／时。 ‎ ‎【答案】卡车速度为 ‎32 千米／时 【巩固】 甲、乙、丙三人，甲每分钟走‎100米，乙每分钟走‎80米，丙每分钟走‎75米．甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后3分钟又与丙相遇．求东西两村的距离．‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 先画示意图如下：‎ 甲、乙相遇后3分钟，甲、丙相遇．甲、丙在3分钟内共走路程是(米)．显然，这就是甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，乙比丙每分钟多走(米)．所以，甲、乙相遇时离出发的时间是(分钟)．两村间的距离是：(米)‎ ‎【答案】米 【巩固】 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 ‎60 千米／时和 ‎48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 ‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 甲车每小时比乙车快(千米)．则5小时后，甲比乙多走的路程为(千米)．也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为‎60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的小时后相遇，所以，可求出卡车的速度为(千米/小时)，卡车在与甲相遇后，再走(小时)才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程．由此，丙的速度也可求得，应为：(千米/小时)．‎ ‎【答案】千米/小时 【巩固】 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为‎60千米／时和‎48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎39千米／时。提示：先利用甲、乙两车的速度及与迎面开来的卡车相遇的时间，求出卡车速度为24千米／时。‎ ‎【答案】卡车速度为‎24千米／时 【例 2】 李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到‎20.4千米处的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走‎1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 老师出发时，李华已经走了（千米）。接下来相遇所需要的时间为（小时）。相遇地点与学校的距离用李华的速度和时间进行计算：（千米）。所以张明要用小时感到距离学校‎10千米处，张明的速度为 ‎（千米/时）‎ ‎【答案】千米/时 【例 1】 甲、乙、丙三人，甲每分钟走‎40米，丙每分钟走‎60米，甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了7分钟甲又和丙相遇，又过了63分钟丙才追上乙，那么A、B两地相距多少米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 根据题意可知， （40+60）×7=700（米），700÷（63+7）=10（米/分），乙的速度为‎50米/分，‎ ‎（15×50-700）÷10=5（分），（40+50）×（15+5）=1800（米）‎ ‎【答案】‎‎1800米 【巩固】 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发驶向B地，依次在出发后5小时、5小时、6小时与迎面驶来的一辆卡车相遇。已知甲、乙两车的速度分别是‎80千米/时和‎70千米/时，求丙车和卡车的速度。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 丙车和卡车的速度均是‎50千米/时。‎ ‎【答案】‎50千米/时 【例 2】 一列长‎110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行。14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问：工人与学生将在何时相遇？ ‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=‎3.6千米，学生速度是每小时（0.‎11/12/3600‎）-30=‎3千米，14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟14时16分+24分=14时40分 ‎【答案】14时40分 【巩固】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为‎3.6千米/时，骑车人速度为‎10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 行人的速度为‎3.6千米/时=‎1米/秒，骑车人的速度为‎10.8千米/时=‎3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。‎ 法一：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26。‎ 解得x=14。所以火车的车身长为：（14-1）×22=286（米）。‎ 法二：直接设火车的车长是x, 那么等量关系就在于火车的速度上。可得：x/26＋3＝x/22＋1‎ 这样直接也可以x=‎286米 ‎ 法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。‎ 两次的追及时间比是：22：26＝11：13，所以可得：（V车－1）：（V车－3）＝13：11，‎ 可得V车＝‎14米/秒，所以火车的车长是（14-1）×22=286（米）‎ 答：这列火车的车身总长为‎286米。‎ ‎【答案】‎‎286米 【例 3】 甲、乙两人从相距‎490米的、两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从出发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑‎240米，甲每分钟走‎40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距‎210米，那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】填空 ‎ 【解析】 如图所示：‎ 假设乙、丙在处相遇，然后丙返回，并在处与甲相遇，此时乙则从走处到处．根据题意可知米．由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是从到再到的长度是的6倍，那么，，可见．那么丙从到所用的时间是从到所用时间的，那么这段时间内乙、丙所走的路程之和(加)是前一段时间内乙、丙所走的路程之和(加，即全程)的，所以，而，可得，．‎ 相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度为(米/分)，即乙每分钟走‎60米．‎ 当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离改变了，变为原来的，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的，为米．‎ ‎【答案】米 【例 1】 甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走．甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是，湖的周长是‎600米，求丙的速度．‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】三帆中学 【解析】 甲第一次遇见乙后分钟遇到丙，再过分第二次遇到乙，所以甲、乙经过分钟的时间合走了一圈，甲、乙的速度和为米/分，甲的速度为米/分．甲、乙合走一圈需要5分钟，而甲第一次遇见乙后分钟遇到丙，所以甲、丙合走一圈需要分钟，甲、丙的速度和为米/分，从而丙的速度为米/分．‎ ‎【答案】米/分 【巩固】 甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5‎.4千米， 乙速度是每小时4‎.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过5分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎30分钟乙落后甲（5.4－4.2）÷2＝0.6（千米），有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟，因为乙和丙从出发到相遇共用35分钟，所以绕湖一周的行程为：35÷5×0.6＝4.2（千米）。‎ ‎【答案】‎‎4.2千米 【巩固】 池塘周围有一条道路．、、三人从同一地点同时出发．和往逆时针方向走，往顺时针方向走．以每分钟‎80米、以每分钟‎65米的速度行走．在出发后的20分钟遇到，再过2分钟，遇到．请问，池塘的周长是几米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 换个角度去思考这个问题，假设用一把剪刀将道路剪开，并将弧形的道路拉成直的，这样此题就转化成了相遇问题．如图，‎ 行了20分钟后，与相遇，此时、、都行了20分钟，而落后(米)，也就是此时，与相距‎300米．题目又告诉我们过2分钟与相遇，这说明这2分钟与一共行了‎300米，所以的速度为(米/分)．池塘周长为： (米)．‎ ‎【答案】米 【巩固】 甲从A地出发前往B地，1小时后，乙、丙两人同时从B地出发前往A地，结果甲和丙相遇在C地，甲和乙相遇在D地．已知甲和乙的速度相同，丙的速度是乙的1.5倍,A、B两地之间的距离是‎220千米，C、D两地之间的距离是‎20千米．求丙的速度．‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 假设乙走了单位“1”，得 ‎ 丙走了1.5， 即丙与乙的路程差为1.5-1=0.5,‎ ‎ 因为实际的路程差为20×2=40(千米)‎ ‎ 所以乙走了80千米，即 甲后来走了80千米， ‎ ‎ 丙走了120千米，‎ ‎ 220-80-120=20(千米) ‎ ‎ 所以甲的速度是20(千米/小时) 丙的速度=20×1.5=30(千米/小时)‎ ‎【答案】‎30千米/小时 【例 2】 如图，C,D为AB的三等分点； 8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行走，再过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走；甲,乙在C点相遇时丙恰好走到D点，甲,丙8:30相遇时乙恰好到A．那么，丙出发时是8点________分．‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，五年级，初试 【解析】 方法一：根据题意，乙从8点12分到8点30分共18分钟走到了点，说明乙走个全程用时6分钟，则当乙走到点时为8时24分，此时甲从点走到点，用了24分钟。即甲从个全程用时24分钟，而丙在8点24分在点，从8点24分到8点30分这6分钟内甲丙相遇，甲走了，丙走了，则丙走DB需要时间：6÷=8分钟，所以丙出发是在8点16分。‎ 方法二：（1）如图可以看出，乙从B到A共用了18分，每段6分，甲、乙相遇时刻为8:24，那么甲从A到C用24分，V甲:V乙=6:24=1:4；（2）甲、丙在C、D相向而行，共用6分钟，此时乙也走了相同的路程CA，所以V甲:V丙=1:3；（3）丙走BD用6¸3´4=8分，从B出发的时刻为8:16。对于复杂的同一线段的问题，可以把相同的点，转化成相同的线分析，使得问题更加清晰。‎ 方法二：（1）如图可以看出，乙从B到A共用了18分，每段6分，甲、乙相遇时刻为8:24，那么甲从A到C用24分，V甲:V乙=6:24=1:4；（2）甲、丙在C、D相向而行，共用6分钟，此时乙也走了相同的路程CA，所以V甲:V丙=1:3；（3）丙走BD用6¸3´4=8分，从B出发的时刻为8:16。对于复杂的同一线段的问题，可以把相同的点，转化成相同的线分析，使得问题更加清晰。‎ ‎【答案】8点16分 【例 1】 一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们‎20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们‎30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有‎20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇 千米．‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】迎春杯，复赛，高年级组 【解析】 如图，甲、乙两人从地出发，丙从地出发，甲、丙相遇在处，此时乙到达处，、相距‎20千米；三人继续前进，当丙和乙在处相遇时，甲到达处，、相距‎30千米．‎ 当甲、丙相遇时，甲、丙两人合走了一个全程，且此时甲比乙多走了‎20千米；‎ 当丙和乙分别从、出发走到处相遇时，丙和乙合走了‎20千米，丙和甲合走了‎30千米，甲比乙多走了‎10千米．‎ 由于，可见丙和甲合走的‎30千米就是全程的一半，那么全程为‎60千米．‎ 当甲到达西镇时，丙距东镇还有‎20千米，所以甲、丙的速度之比为，那么两人相遇时丙走了千米，甲走了千米，乙走了千米，丙和乙的速度比为，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米．‎ ‎【答案】千米 【巩固】 甲、乙、丙、丁4人在河中先后从同一个地方同速同向游泳，现在甲距起点‎78米，乙距起点‎27米，丙距起点‎23米，丁距起点‎16米．那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳 米时，甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁3人距起点的距离之和．‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】仁华学校，期末考试，四年级 【解析】 现在乙、丙、丁3人距起点的距离总和是（米），甲目前比它们的距离之和要多(米)．此后甲每向前游‎1米，乙、丙、丁3人也都同时向前游了‎1米，那么甲距起点的距离与那3人的距离总和之差就要减少‎2米．要使这个差为0，甲应向前游了 (米)．‎ ‎【答案】米 【例 2】 A、B两地相距‎336千米，有甲、乙、丙3人，甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，已知甲每小时行‎36千米，乙每小时行‎30千米，丙每小时行‎24千米，问几个小时后，丙正好处于甲、乙之间的中点？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 甲、丙相遇时，丙行的时间为（小时），甲乙之间距离为 （千米），当丙处在甲、乙之间的中点时，甲、丙相遇后，甲、丙又行的距离之和一定等于‎33.6 千米减去乙、丙又行的距离之和，丙又行的时间为（小时），因 此，当丙处在甲、乙之间的中点时，丙共行了（小时）‎ ‎【答案】小时 【巩固】 两地相距‎432千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从地，丙从地同时出发相向而行，已知甲每小时行‎36千米，乙每小时行‎30千米，丙每小时行‎24千米，问几个小时之后，乙正好在甲、丙两人的中点？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 方法一：丙、乙相遇时，甲、乙、丙均行走了（小时），这时甲在乙前（千米），若乙要正好处在甲、丙之间的中点，乙、丙必须共同增加这个距离乙、丙速度之和为48（千米），甲、丙速度之和为（千米/小时），因为甲比乙每小时多行（千米），乙、丙每小时只能净增（千米），所以从乙、丙相遇，到乙正好在甲、丙之间的中点，还需经过（小时），因此乙处在甲、丙之间的中点时，共经过（小时）.‎ 方法二：因为甲、乙、丙3人的行走速度为等差数列36、30、24，所以，在任何时刻3人所行的距离也为等差数列，即甲行的距离与乙行的距离之差等于乙行的距离与丙行的距离之差，所以，当题中所说的乙正好处在甲、丙之间的中点时，甲比乙多行的距离等于乙比丙多行的距离，因此，若有两个丙分别从A、B两地与甲、乙同时出发相向而行，这两个丙相遇时，乙一定处于甲、丙之间的中点，经过了（小时）.‎ ‎【答案】小时 【例 2】 ‎、两地相距米，甲、乙、丙的速度分别是米/分、米/分、米/分。如果甲、乙从，丙从地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的倍。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】希望杯，第一试 【解析】 由于乙的速度比甲的速度快，本题有两种情况：‎ ‎⑴丙在甲、乙之间，此时甲、丙的距离为甲、乙距离的，而乙每分钟比甲多走米，如果甲每分钟比原速度多走米，那么此时丙与甲将恰好相遇，所以经过的时间为：（分）。‎ ‎⑵丙在甲的左侧，此时甲、丙的距离与甲、乙的距离相等，由于乙每分钟比甲多走米，如果甲每分钟比原速度少走米，那么此时丙与甲将恰好相遇，所以经过的时间为：（分）。‎ ‎【答案】分；分 板块二、多人从同一段出发——追及问题 【例 3】 张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走‎5千米，李每小时走‎4千米．赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的时间是几时?‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 甲、乙之间的距离：张早上6时出发，晚上6时到，用了12小时，每小时5千米，所以甲、乙两地距离千米。赵的速度：早上8时出发，晚上6时到，用了10小时，走了‎60千米，每小时走千米。所以，赵追上李时用了：小时，即中午12时。‎ ‎【答案】中午12时 【巩固】 甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙。甲和丙的速度比是多少？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 根据题意可知，乙和丙的时间比为45：50 =9：10 ，即速度比为10：9。甲和乙的时间比为60：75 =4：5 ，即速度比为5：4，甲、乙和丙的速度比为 25：20：18。甲和丙的速度比为25：18 ‎ ‎【答案】25：18‎ 【巩固】 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走‎1000米，乙车每分走‎800米 ‎，丙车每分钟走多少米？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 根据题意可知，甲车走了1000×6=‎‎6000米 乙车走了800×8=‎‎6400米 长跑运动员的速度（6400-6000）÷2=‎200米/分 丙车速度（200×2+6400）÷10=‎680米/分 ‎【答案】‎680米/分 【例 2】 铁路货运调度站有A、B两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车。它们的车长正好构成一个等差数列，其中乙车的的车长居中，最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于A信号灯处，而车头则冲着B信号灯的方向。乙车的车尾则位于B信号灯处，车头则冲着A的方向。现在，三列火车同时出发向前行驶，10秒之后三列火车的车头恰好相遇。再过15秒，甲车恰好超过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开，请问：甲乙两车从车头相遇直至完全错开一共用了几秒钟？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 略 ‎【答案】8.75秒 【例 3】 甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有‎20米，丙离B还有‎40米；当乙跑到B时，丙离B还有‎24米。问：（1） A， B相距多少米？（2）如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 1) 乙跑最后‎20米时，丙跑了40-24＝16（米），‎ ‎ 丙的速度是乙的。‎ ‎ 因为乙到B时比丙多跑‎24米，‎ ‎ 所以A、B相距米 2) 甲跑‎120米，丙跑120-40=‎80米，‎ 丙的速度是甲的 ‎ 甲的速度是（米/秒）‎ ‎【答案】（1）米；（2）米/秒 【巩固】 甲乙丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快‎12公里，比丙快‎15公里，甲行3.5小时到达西村后立刻返回.在距西村‎30公里处和乙相聚，问：丙行了多长时间和甲相遇？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 在距西村‎30公里处和乙相聚，则甲比乙多走‎60公里，而甲骑自行车每小时比乙快‎12公里，所以，甲乙相聚时所用时间是（小时），所以甲从西村到和乙相聚用了（小时），所以，甲速是（公里/小时），所以，丙速是（公里/小时），东村到西村的距离是：（公里），所以，甲丙相遇时间是：(小时).‎ ‎【答案】小时 【例 4】 甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行‎1000米，丙车每分钟行‎800米，求乙速车的速度是多少？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000－800）×7＝1400（米），也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有‎1400米，丙用了14-7=7（分）钟追上了这‎1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：1400÷（14－7）＝200（米／分），骑摩托车人的速度为：800－200＝600（米／分），三辆车与骑摩托车人的初始距离为：（1000－600）×7＝2800（米），乙车追上这‎2800米一共用了8分钟，所以乙车的速度为：2800÷8＋600＝950（米／分）。‎ ‎【答案】‎950米／分 【巩固】 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走‎24千米，中车每小时走‎20千米，那么，慢车每小时走多少千米? ‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 快车追上骑车人时，快车（骑车人）与中车的路程差为(千米)，中车追上这段路用了(分钟)，所以骑车人与中车的速度差为(千米/小时).则骑车人的速度为(千米/小时)，所以三车出发时与骑车人的路程差为(千米).慢车与骑车人的速度差为（千米/小时），所以慢车速度为（千米/小时）.‎ ‎【答案】千米/小时 【巩固】 快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、9分、12分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为‎60千米／时和‎40千米／时，求中速车的速度。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 根据题意可知，快车走了‎6千米慢车走了‎8千米骑车人的速度（8-6）÷（12-6）= 千米/小时，中速车速度（×3+6）÷= 千米/小时 ‎【答案】千米/小时 【例 2】 甲从A地出发前往B地，1小时后，乙也从A地出发前往B地，又过1小时，丙从B地出发前往A地，结果甲和丙相遇在C地，乙和丙相遇在D地．已知乙和丙的速度相同，丙的速度是甲的2倍,C、D两地之间的距离是‎50千米．求乙出发1小时后距B地多少千米。‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 根据题意可知：甲出发两小时后，甲乙在同一地点，假设此时距B为“1”，C、D两地之间的距离=，千米 ‎【答案】千米 【例 3】 甲、乙、丙三人在学校到体育场的路上练习竞走，甲每分比乙多走‎10米，比丙多走‎31米。上午9点三人同时从学校出发，上午10点甲到达体育场后立即返回学校，在距体育场‎310米处遇到乙。问：‎ ‎　　（1）从学校到体育场的距离是多少？‎ ‎（2）甲与丙何时相遇（精确到秒）？‎ ‎【考点】行程问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎（1） ‎9300米；（2） 10时6分40秒。提示：从出发到甲、乙相遇，甲比乙多走了‎620米，又甲比乙每分多走‎10米，所以从出发到甲、乙相遇共用62分。甲从体育场返回到与乙相遇用了62－60=2（分），从而可求出甲每分走310÷2=155（米）。‎ ‎【答案】‎‎155米 【例 4】 A，B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A，B两地同时相向出发,甲速度为每小时40千米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑．在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙．若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快‎2千米的车速，两人同时分别从A，B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少?‎ ‎【考点】行程问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 甲以‎40千米／小时的速度行驶l小时45分钟，行驶了千米，那么剩下的105-70=‎35千米为乙在1小时45分钟内行驶的，所以乙的速度为千米／小时，如下图所示．‎ 又甲、乙再行驶3分钟，那么甲又行驶了千米，乙又行驶了千米．即在甲、乙相遇3分钟后，乙行驶至距B地35+1=‎36千米的地方，甲行驶至距A地70+2=‎72千米的地方，此地距B地105—72=‎33千米，如下图所示．‎ 而如果甲以‎20千米／小时的速度，乙的速度增加‎2千米／小时至‎22千米／小时，那么相遇点C距B地为：千米，如下图所示．‎ 那么，当丙与甲相遇在距B地‎33千米的地方时，乙在距B地‎36千米的地方，而后丙行驶至C地(距B地‎55千米)时，乙也在C地，即相遇．‎ 在这段时间内，乙行驶了55-36=‎19千米，而丙行驶了55-33=‎22千米，所以丙的速度为千米／小时，如下图所示．‎ ‎【答案】千米／小时