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- 2022-02-15 发布
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合肥168中学2017年面向全省自主招生考试《科学素养》测试数学试卷
一、 选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1、 已知 , ,则二次根式 的值是( )
A、6 B、7 C、8 D、9
2,有9张卡片,分别写有1~9这九个数字,将它们背面朝上洗匀后,任意抽取一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的不等式组 有解的概率为()
A、 B、 C、 D、
3、已知一次函数 的图像经过点(3,0),且与坐标轴围成的三角形的面积为6,满足条件的函数有( )
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
4、若实数 ,且 满足 .则 的值为( )
A、-20 B、2 C、2或20 D、2或20
5、对于每个非零自然数,抛物线 以 表示这两点间的距离,则的值是( )
A、 B、 C、 D、
6、已知是的三边,则下列式子一定正确的是( )
A、 B、
C、 D、
7、如图,从各顶点作平行线 ,各与其对边或其延长线相交于 若 的面积为1,则的面积为( )
A、3 B、 C、 D、2
8、半径为2.5的圆O中,直径的不同侧有定点 和动点,已知,点在弧上运动,过点作的垂线,与的延长线交于点,则的最大值为( )[来源:学,科,网]
A、 B、 C、 D、
第7题图 第8题图
一、 填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
9、若分式方程无解,则的值为_________
10、已知一列数 满足 依次类推,则 这2017个数的积为__________
11、某公司加工252个零件,计划若干天完成,加工了2天后,由于改进新技术,每天可多加工9个零件,因此提前1天完成任务,则原计划完成任务的天数为_______.
12、已知函数(是实数)与轴两交点的横坐标为 ,当 ,则的范围是________.
13、如图,已知四边形是矩形, ,两点的坐标分别是(-1,0),(0,1),两点在反比例函数 的图象上,则的值等于_________.
14、如图,在内取一点,
且 ,则 的值是_________[来源:Zxxk.Com]
15、足球运动员在足球场上,常需要带球跑动到一定位置后,再进行射门,这个位置为射门点,射门点与球门边框两端点的夹角是射门角。如果点表示球门边框(不考虑球门的高度)的两端点,点表示射门点,连接 ,则就是射门角
在不考虑其他因素的情况下,一般地,射门角越大,射门进球的可能性越大。如图(1)(2)(3)是运动员带球跑动的三种常见的路线(用直线表示),则下列说法:
①如图(1),,当运动员在线段的垂直平分线与的交点处射门,进球的可能性很大;
②如图(2),垂足为,设,当运动员在离底线的距离为的点处(即 )射门时,进球的可能性最大;
③如图(3),与相交于点,设 的中点为 ,当点满足时,运动员在点处射门时,进球的可能性最大;
④如图(3),过点作直线的垂线与线段的垂直平分线交于点,当点恰好是的外心时,运动员在点处射门时,进球的可能性最大.
[来源:学科网]
一、 解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(本题10分)
若实数满足 求的值.
[来源:Zxxk.Com]
17.(本题12分)已知 试化简
18.(本题13分)某学校在大课间举行跳绳活动,为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干,要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍,且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍,已知长跳绳单价是20元,中跳绳的单价是15元,短跳绳的单价是8元。
(1)若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳,问学校有几种购买方案可供选择?
(2)若学校准备恰好用3000元的现金购买条长、中、短跳绳.求的最大值.
19.(本题13分)如图,四边形内接,是的直径,和相交于点,且 .
(1)求证:
(2)分别延长交于点,若 求圆的半径.
20.(本题13分)如图,在平面直角坐标系 中,为轴上两点,为轴上的两点,经过点的抛物线的一部分 与经过点 的抛物线的一部分组成一条封闭曲线,已知点的坐标为(0,-3),点是抛物线 的顶点.
(1)求两点的坐标
(2)在第四象限内是否存在一点,使得的面积最大?若存在,求出面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当为直角三角形时,的值.
21.(本题14分) 已知一个矩形纸片 ,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点(11,0),点 (0,6),点为边上的动点(点 不与点重合),经过点折叠该纸片,得点 和折痕.设
(1)如图①,当 时,求点的坐标;
(2)如图②,经过点再次折叠纸片,使点落在直线上,得点和折痕 ,若,试用含有的式子表示;
(3)在(2)的条件下,当点恰好落在边上时,求点的坐标.
2017年学科素养考核数学试题参考答案
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1-5 DBBAC,6-8 CDB
二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
9、±1 10、 11、7 12、2<m<
13、-6 14、 15、①②④
三、共75分
16、(10分)解:∵,∴a+b=168 ……3分
所以,
∴ ……7分
解得:c=170 ……10分
17、(12分)
由得:x+2=a+, ……3分
……8分
∵,∴a≥1, ……10分
所以,原式= ……12分
18、解:(1)设学校购买a条长跳绳,由题意得:
……3分
解得: ……5分
∵a为正整数,∴a的整数值为23,24,25,26
所以学校共有4种购买方案可供选择. ……6分
(2)设学校购买a条长跳绳,由题意得:
……8分
化简得,得13a=4(375-n), ……10分
∴a为4的倍数,设为4k(k为整数),则n=375-13k,
∴375-13k≤36k,
∴,∴k的最小值为8,n的最大值为271. ……13分
19、(1)证明:∵DC²=CE·CA,∴, ……3分
△CDE∽△CAD,∴∠CDB=∠DBC,
∴BC=CD; ……6分
(2)解:如图,连接OC,
∵BC=CD,∴∠DAC=∠CAB,
又∵AO=CO,∴∠CAB=∠ACO,∴∠DAC=∠ACO,
∴AD∥OC,∴, ……10分
∵PB=OB,CD=,∴ ∴PC=
又∵PC·PD=PB·PA
所以,半径OB=4 ……13分
20、解:(1)y=mx²-2mx-3m=m(x-3)(x+1),∵m≠0,
∴当y=0时,,,∴A(-1,0),B(3,0); ……2分
(2)设:y=ax²+bx+c,
将A、B、C三点的坐标代入得:
,
故:y=x²-2x-3 ……8分
如图:过点P作PQ∥y轴,交BC于Q,
由B、C的坐标可得直线BC的解析式为:
y=x-3 ……5分
设P(a,a²-2a-3),Q(a,a-3)
所以[来源:学_科_网]
当时,有最大值为
此时,P(,) ……8分
(3分)y=mx²-2mx-3m=m(x-1)²-4m,顶点M坐标(1,-4m),
当x=0时,y=-3m,∴D(0,-3m),B(3,0),
∴DM²=(0-1)²+(-3m+4m)²=m²+1,
MB²=(3-1)²+(0+4m)²=16m²+4,
BD²=(3-0)²+(0+3m)²=9m²+9, ……10分
当△BDM为Rt△时有:DM²+BD²=MB²或DM²+MB²=BD².
①DM²+BD²=MB²时有:m²+1+9m²+9=16m²+4,
解得m=-1(∵m<0,∴m=1舍去);
②DM²+MB²=BD²时有:m²+1+16m²+4=19m²+9,
解得m=(m=舍去).
综上,m=-1或时,△BDM为直角三角形. ……13分
21、(1)(,6) ……2分
(2)因为△OB'P≌△OBP,△QC'P≌△QCP
∴∠OPB'=∠OPB,∠QPC'=∠QPC,∴∠BOP=∠CPQ
所以△OBP≌△PCQ,∴ ……5分
由PC=11-t,CQ=6-m,得: ……7分
(3)过P作PE⊥OA与点E
易得,△PC'E∽△C'QA∴
∵PC'=PC=11-t,PE=OB=6,AQ=m,=CQ=6-m ……9分
,∴
即:36-12m=t² ……12分
将代入得:
3t²-22t+36=0,解得:,
所以,点P的坐标为:(,6)或(,6) ……14分