2020小学奥数知识点梳理归纳汇总 - 副本 23页

2020 小学奥数知识点梳理归纳汇总 1、年龄问题的三大特征 ①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增 加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化 的； 2、植树问题总结: 基本类型：在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植 树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直 线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树。 3、鸡兔同笼问题 基本概念： 鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设 错的那部分置换出来； 基本思路： ① 设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲 一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出 这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找 出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调 整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数 －总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假 设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚 数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 4、盈亏问题 盈亏问题 基本概念： 一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按 照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准 不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组 数或对象的总量． 基本思路： 先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成 结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然 后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份 数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次 都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小 余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基 本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次 每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变 的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 5、牛吃草问题 牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两 次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这 种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题： 确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间× 长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间- 短时间）；总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间 ×生长量； 6、平均数问题 平均数 基本公式： ①平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数× 总份数 总份数=总数量÷平均数 ②平均数=基 准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数 基本算法： 算出总数量以及总份数，利用基本公式①或②进行 计算。 （基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个 基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基 准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差； 再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这 个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体 关系见基本公式②） 7 、周期循环数 周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有 规律循环出现。 周期：我们把连续两次出现所经过 的时间叫周期。 关键问题：确定循环周期。 闰 年：一年有 366 天； ①年份能被 4 整除；②如果年 份能被 100 整除，则年份必须能被 400 整除； 平 年： 一年有 365 天。 ① 年份不能被 4 整除；②如果年 份能被 100 整除，但不能被 400 整除； 8、抽屉原理 抽屉原理 抽屉原则一： 如果把（n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个 抽屉中至少放有 2 个物体。 例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有 以下四种情况： ①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③ 4=2+2+0 ④4=2+1+1 观察上面四种放物体的方 式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放 有 2 个物体。 抽屉原则二： 如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 n>m，那么必有 一个抽屉至少有: ①k=[n/m ]+1 个物体：当 n 不能被 m 整除时。 ② k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时。 理解知识点： [X]表示不超过 X 的最大整数。 例[4.351]=4； [0.321]=0；[2.9999]=2； 关键问题：构造物体和 抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉 原则进行运算。 9、奥数知识点（定义新运算） 小升初奥数知识点（数列求和） 数列求和 等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一 定的，这样的一列数，就叫做等差数列。 基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示； 项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示； 公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示； 通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表 示； 数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 Sn 表 示． 基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an,d, n, sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可 求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三 个，就可以求这第四个。 基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d； 通项＝首项＋（项数一 1) ×公差； 数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2； 数列和＝（首项＋末项）×项数÷2； 项数公式：n= (an- a1)÷d＋1； 项数=（末项-首项）÷公差＋1； 公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）； 公差=（末项－首项）÷（项数－1）； 关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式 10、加法乘法原理和几何计数 加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一 类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中有 m2 种不 同方法……，在第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么 完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn 种不同的方法。 关键问题：确定工作的分类方法。 基本特征：每一种方法都可完成任务。 乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进 行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第 1 步用哪一种方法， 第 2 步总有 m2 种方法……不管前面 n-1 步用哪种方法， 第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件任务共有：m1× m2....... ×mn 种不同的方法。 关键问题：确定工作的完成步骤。 基本特征：每一步只能完成任务的一部分。 直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运 动，形成的轨迹。 直线特点：没有端点，没有长度。 线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点：有两个端点，有长度。 射线：把直线的一端无限延长。 射线特点：只有一个端点；没有长度。 ①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一 1）； ②数角规律=1+2+3+…+（射线数一 1）； ③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数： ④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列 数 11 、质数与合数 质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数， 这个数叫做质数，也叫做素数。 合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数， 这个数叫做合数。 质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个 质数叫做这个数的质因数。 分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出 来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何 一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式：N= ，其中 a1、a2、 a3……an 都是合数 N 的质因数，且 a1……。 求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1) ×……×(rn+1) 互质数：如果两个数的最大公约数是 1，这两个数 叫做互质数。 12 、约数与倍数 约数和倍数：若整数 a 能够被 b 整除，a 叫做 b 的 倍数，b 就叫做 a 的约数。 公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约 数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的性质： 1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个 商是互质数。 2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数 的约数。 4、几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大 公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。 例如： 12 的约数有 1、2、3、4、6、12； 18 的约数有：1、 2、3、6、9、18； 那么 12 和 18 的公约数有：1、2、 3、6； 那么 12 和 18 最大的公约数是：6，记作（12， 18）=6； 求最大公约数基本方法： 1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的 因数连乘起来。 2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。 3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能 够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。 公倍数： 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小 的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 12 的倍数有：12、24、36、48……； 18 的倍 数有：18、36、54、72……； 那么 12 和 18 的公倍 数有：36、72、108……； 那么 12 和 18 最小的公 倍数是 36，记作[12，18]=36； 最小公倍数的性质： 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍 数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等 于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法：1、 短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法 13 、数的整除 一、基本概念和符号： 1、整除：如果一个整数 a，除以一个自然数 b，得 到一个整数商 c，而且没有余数，那么叫做 a 能被 b 整 除或 b 能整除 a，记作 b|a。 2、常用符号：整除符 号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以 的符号“∴”； 二、整除判断方法： 1. 能被 2、5 整除：末位上的数字能被 2、5 整除。 2. 能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能 被 4、25 整除。 3. 能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能 被 8、125 整除。 4. 能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被 3、 9 整除。 5. 能被 7 整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字 所组成数之差能被 7 整除。 ②逐次去掉最后一位数 字并减去末位数字的 2 倍后能被 7 整除。 6. 能被 11 整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字 所组成的数之差能被 11 整除。 ②奇数位上的数字 和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除。 ③逐次 去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。 7. 能被 13 整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字 所组成的数之差能被 13 整除。 ②逐次去掉最后一 位数字并减去末位数字的 9 倍后能被 13 整除。 三、整除的性质： 1. 如果 a、b 能被 c 整除，那么（a+b）与（a-b） 也能被 c 整除。 2. 如果 a 能被 b 整除，c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。 3. 如果 a 能被 b 整除，b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。 4. 如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的 最小公倍数整除。 14 、余数及其应用 余数问题 余数的性质： ①余数小于除数。 ②若 a、b 除以 c 的余数相 同，则 c|a-b 或 c|b-a。 ③a 与 b 的和除以 c 的余 数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。 ④a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以 c 的余数余数、同余 与周期 一、同余的定义： ①若两个整数 a、b 除以 m 的余数相同，则称 a、b 对于模 m 同余。 ②已知三个整数 a、b、m，如果 m|a-b， 就称 a、b 对于模 m 同余，记作 a≡b(mod m)，读作 a 同余于 b 模 m。 二、同余的性质： ①自身性：a≡a(mod m)； ②对称性：若 a ≡b(mod m)，则 b≡a(mod m)； ③传递性：若 a ≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则 a≡ c(mod m)； ④和差性：若 a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则 a+c≡ b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)； ⑤相乘性：若 a ≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则 a×c≡ b×d(mod m)； ⑥乘方性：若 a≡b(mod m)，则 an≡bn(mod m)； ⑦ 同倍性:若 a≡ b(mod m)，整数 c，则 a×c≡ b× c(mod m×c)； 三、关于乘方的预备知识： ①若 A=a×b，则 MA=Ma×b=（Ma）b ②若 B=c+d 则 MB=Mc+d=Mc×Md 四、被 3、9、11 除后的余数特征： ①一个自然数 M，n 表示 M 的各个数位上数字的和， 则 M≡n(mod 9)或（mod 3）； ②一个自然数 M，X 表示 M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M 的各个偶数 数位上数字的和，则 M≡Y-X 或 M≡11-（X-Y）(mod 11)； 五、费尔马小定理：如果 p 是质数（素数），a 是自然 数，且 a 不能被 p 整除，则 ap-1≡1(mod p)。 15、分数与百分数的应用 基本概念与性质： 分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一 份或几份的数。 分数的性质：分数的分子和分母同 时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。 分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份 的数。 百分数：表示一个数是另一个数百分之几的 数。 常用方法：① 向思维方法：从题目提供条件的反 方向（或结果）进行思考。 ② 对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率 的直接对应关系。 ③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进 行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把 不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转 化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的 标准为一倍量。 ④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相 等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应 的结果，然后再进行调整，求出最后结果。 ⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量 是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定 不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不 变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量 和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。 ⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量 关系单一化、量率关系明朗化。 ⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进 行处理。 ⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状 况。 16 、分数大小的比较 基本方法： ①通分分子法：使所有分数的分子 相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。 ②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分 母分数大小和分子的关系比较。 ③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它 进行比较。 ④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定 时，分子或分母越大的分数值越大。 ⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时 分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变 化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律） ⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分 数的值）后进行比较。 ⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数 和 1 进行比较。 ⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出 的数和 0 比较。 ⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数 的大小。 ⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基 准数比较 17 、比和比例 比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫 比的前项，比号后面的数叫比的后项。 比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。 比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的 数（零除外），比值不变。 比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或 比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相 乘)，ad=bc。 正比例：若 A 扩大或缩小几倍，B 也扩大或缩小几 倍（AB 的商不变时），则 A 与 B 成正比。 反比例：若 A 扩大或缩小几倍，B 也缩小或扩大几 倍（AB 的积不变时），则 A 与 B 成反比。 比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按 比例分配 18 、综合行程问题 基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的 是物体速度、时间、路程三者之间的关系. 基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度； 路程÷速度=时间 关键问题：确定运动过程中的位 置和方向。 相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出 其他公式） 追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他 公式） 流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间 逆水行程=（船速-水速）×逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2 水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2 流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以 上公式。 过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以 上公式。 主要方法：画线段图法 基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时 间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差） 中任意两个量，求第三个量。 19 、工程问题 基本公式： ①工作总量=工作效率×工作时间 ②工作效率=工作总量÷工作时间 ③工作时间=工 作总量÷工作效率 基本思路： ①假设工作总量为“1”（和总工 作量无关）； ②假设一个方便的数为工作总量（一 般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用 上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作 时间. 关键问题：确定工作量、工作时间、工作效 率间的两两对应关系。 经验简评：合久必分，分久 必合。 20 、逻辑推理问题 基本方法简介： ①条件分析—假设法：假设可 能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果 有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立 的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设 a 是偶 数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么 a 一定是奇数。 ②条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多 次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表 法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表 格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的 题设情况，运用逻辑规律进行判断。 ③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种 关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线 则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定 的状态。例如 A 和 B 两人之间有认识或不认识两种状态， 有连线表示认识，没有表示不认识。 ④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析 的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为 推理提供一个新的判断筛选条件。 ⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据， 分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般 情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。 21 、几何面积 基本思路： 在一些面积的计算上，不能直接运用公 式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、 翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则 的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积 规律。 常用方法： 1. 连辅助线方法 2. 利用等底 等高的两个三角形面积相等。 3. 大胆假设（有些 点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置 在特殊位置上）。 4. 利用特殊规律 ①等腰直 角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平 方除以 4 等于等腰直角三角形的面积） ②梯形对角 线连线后，两腰部分面积相等。 ③圆的面积占外接 正方形面积的 78.5%。 22 、时钟问题—快慢表问题 基本思路： 1、按照行程问题中的思维方法解题； 2、不同的表当成速度不同的运动物体； 3、路程的 单位是分格（表一周为 60 分格）； 4、时间是标准 表所经过的时间； 5、合理利用行程问题中的比例 关系； 23 、时钟问题—钟面追及 基本思路：封闭曲线上的追及问题。 关键问题：①确定分针与时针的初始位置； ② 确定分针与时针的路程差； 基本方法： ①分格方法： 时钟的钟面圆周被均 匀分成 60 小格，每小格我们称为 1 分格。分针每小时 走 60 分格，即一周；而时针只走 5 分格，故分针每分 钟走 1 分格，时针每分钟走 1／12 分格。 ②度数方法： 从角度观点看，钟面圆周一周是 360°，分针每分钟转 360/60 度，即 6°，时针每分钟 转 360/12*60 度，即 1/2 度。 24 、浓度与配比 经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例 关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成 反比。 溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒 精等）叫溶质。 溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫 溶剂。 溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水 等）叫溶液。 基本公式：溶液重量=溶质重量+溶剂重量； 溶质重量=溶液重量×浓度； 浓度= ×100%= ×100% 理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的 其它公式。 经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例 关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成 反比。 25 、经济问题 利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%； 卖价=成本×（1+利润的百分数）； 成本=卖价÷（1+利润的百分数）； 商品的定价按照期望的利润来确定； 定价=成本×（1+期望利润的百分数）； 本金：储蓄的金额； 利率：利息和本金的比； 利息=本金×利率×期数； 含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）； 26 、简单方程 代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母 或者数字。 方程：含有未知数的等式叫方程。 列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起 来。 列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同 一个数。 等式性质：等式两边同时加上或减去一个数，等式 不变；等式两边同时乘以或除以一个数（除 0），等式 不变。 移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移 到另一边； 移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再 去中括号，最后去小括号。 加去括号规则：在只有加减运算的算式里，如果括 号前面是“+”号，则添、去括号，括号里面的运算符 号都不变；如果括号前面是“－”号，添、去括号，括 号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有“+” 或“－”的，都按有“+”处理。 移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、 去括号规则。 乘法分配率：a(b+c)=ab+ac 解方程步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合 并同类项；⑤求解； 方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。 解方程组的步骤：①消元；②按一元一次方程步骤。 消元的方法：①加减消元；②代入消元。 27 、循环小数 一、把循环小数的小数部分化成分数的规则 ①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字 组成的数作为分子，分母的各位都是 9，9 的个数与循 环节的位数相同，最后能约分的再约分。 ②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节 以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字 所组成的数之差，分母的头几位数字是 9，9 的个数与 一个循环节的位数相同，末几位是 0，0 的个数与不循 环部分的位数相同。 二、分数转化成循环小数的判断方法： ①一个最简分数，如果分母中既含有质因数 2 和 5，又 含有 2 和 5 以外的质因数，那么这个分数化成的小数必 定是混循环小数。 ②一个最简分数，如果分母中只含有 2 和 5 以外的质因 数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。