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- 2021-05-10 发布
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2016年全国中考数学试题分类汇编
圆与相似综合题
1. (2016·四川达州) 如图,AB是半圆O的直径,点P是BA延长线上一点,PC是⊙O的切线,切点为C. 过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D,连接BC. 求证:
(1)∠PBC =∠CBD;
(2)BC2=AB·BD
2.(2016·湖北十堰)如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.
(1)求证:∠ACD=∠B;
(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;
①求tan∠CFE的值;
②若AC=3,BC=4,求CE的长.
3. (2016·四川达州·8分)如图,已知AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,连接AC,BC,过点O作OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接BD并延长交AE于点F.
(1)求证:AE•BC=AD•AB;
(2)若半圆O的直径为10,,求AF的长.
4.(2016•呼和浩特)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.
(1)求证:∠FBC=∠FCB;
(2)已知FA•FD=12,若AB是△ABC外接圆的直径,FA=2,求CD的长.
2016年全国中考数学试题分类汇编
圆与相似综合题
1. (满分8分) 如图,AB是半圆O的直径,点P是BA延长线上一点,PC是⊙O的切线,切点为C. 过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D,连接BC. 求证:
(1)∠PBC =∠CBD;
(2)BC2=AB·BD D
C
P A O B
(第19题)
【考点】切线的性质,相似三角形的判定和性质.
【分析】(1)连接OC,运用切线的性质,可得出∠OCD=90°,从而证明OC∥BD,得到∠CBD=∠OCB,再根据半径相等得出∠OCB=∠PBC,等量代换得到∠PBC =∠CBD.
(2)连接AC. 要得到BC2=AB·BD,需证明△ABC∽△CBD,故从证明∠ACB=∠BDC,∠PBC=∠CBD入手.
【解答】证明:(1)连接OC,
∵PC是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°. ……………………………………………1分
又∵BD⊥PC
∴∠BDP=90°
∴OC∥BD.
∴∠CBD=∠OCB.
∴OB=OC .
∴∠OCB=∠PBC.
∴∠PBC=∠CBD. ………………………………………..4分
D
C
P A O B
(2)连接AC.
∵AB是直径,
∴∠BDP=90°.
又∵∠BDC=90°,
∴∠ACB=∠BDC.
∵∠PBC=∠CBD,
∴△ABC∽△CBD. ……………………………………6分
∴=.
∴BC2=AB·BD. ………………………….……………8分
D
C
P A O B
2.(2016·湖北十堰)如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.
(1)求证:∠ACD=∠B;
(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;
①求tan∠CFE的值;
②若AC=3,BC=4,求CE的长.
【考点】切线的性质.
【分析】(1)利用等角的余角相等即可证明.
(2)①只要证明∠CEF=∠CFE即可.
②由△DCA∽△DBC,得===,设DC=3k,DB=4k,由CD2=DA•DB,得9k2=(4k﹣5)•4k,由此求出DC,DB,再由△DCE∽△DBF,得=,设EC=CF=x,列出方程即可解决问题.
【解答】(1)证明:如图1中,连接OC.
∵OA=OC,
∴∠1=∠2,
∵CD是⊙O切线,
∴OC⊥CD,
∴∠DCO=90°,
∴∠3+∠2=90°,
∵AB是直径,
∴∠1+∠B=90°,
∴∠3=∠B.
(2)解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,
∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,
∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°,
∴∠CEF=∠CFE=45°,
∴tan∠CFE=tan45°=1.
②在RT△ABC中,∵AC=3,BC=4,
∴AB==5,
∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,
∴△DCA∽△DBC,
∴===,设DC=3k,DB=4k,
∵CD2=DA•DB,
∴9k2=(4k﹣5)•4k,
∴k=,
∴CD=,DB=,
∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,
∴△DCE∽△DBF,
∴=,设EC=CF=x,
∴=,
∴x=.
∴CE=.
【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形,利用相似三角形的性质解决问题,学会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型.
3. (2016·四川达州·8分)如图,已知AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,连接AC,BC,过点O作OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接BD并延长交AE于点F.
(1)求证:AE•BC=AD•AB;
(2)若半圆O的直径为10,sin∠BAC=,求AF的长.
【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;切线的性质;锐角三角函数的定义.
【分析】(1)只要证明△EAD∽△ABC即可解决问题.
(2)作DM⊥AB于M,利用DM∥AE,得=,求出DM、BM即可解决问题.
【解答】(1)证明:∵AB为半圆O的直径,
∴∠C=90°,
∵OD⊥AC,
∴∠CAB+∠AOE=90°,∠ADE=∠C=90°,
∵AE是切线,
∴OA⊥AE,
∴∠E+∠AOE=90°,
∴∠E=∠CAB,
∴△EAD∽△ABC,
∴AE:AB=AD:BC,
∴AE•BC=AD•AB.
(2)解:作DM⊥AB于M,
∵半圆O的直径为10,sin∠BAC=,
∴BC=AB•sin∠BAC=6,
∴AC==8,
∵OE⊥AC,
∴AD=AC=4,OD=BC=3,
∵sin∠MAD==,
∴DM=,AM===,BM=AB﹣AM=,
∵DM∥AE,
∴=,
∴AF=.
4.(2016•呼和浩特)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.
(1)求证:∠FBC=∠FCB;
(2)已知FA•FD=12,若AB是△ABC外接圆的直径,FA=2,求CD的长.
【考点】相似三角形的判定与性质;三角形的外接圆与外心.
【分析】(1)由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出∠FBC=∠CAD,再由角平分线和对顶角相等得出∠FAB=∠CAD,由圆周角定理得出∠FAB=∠FCB,即可得出结论;
(2)由(1)得:∠FBC=∠FCB,由圆周角定理得出∠FAB=∠FBC,由公共角∠BFA=∠BFD,证出△AFB∽△BFD,得出对应边成比例求出BF,得出FD、AD
的长,由圆周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°,由三角函数求出∠FBA=30°,再由三角函数求出CD的长即可.
【解答】(1)证明:∵四边形AFBC内接于圆,
∴∠FBC+∠FAC=180°,
∵∠CAD+∠FAC=180°,
∴∠FBC=∠CAD,
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,
∴∠EAD=∠CAD,
∵∠EAD=∠FAB,
∴∠FAB=∠CAD,
又∵∠FAB=∠FCB,
∴∠FBC=∠FCB;
(2)解:由(1)得:∠FBC=∠FCB,
又∵∠FCB=∠FAB,
∴∠FAB=∠FBC,
∵∠BFA=∠BFD,
∴△AFB∽△BFD,
∴,
∴BF2=FA•FD=12,
∴BF=2,
∵FA=2,
∴FD=6,AD=4,
∵AB为圆的直径,
∴∠BFA=∠BCA=90°,
∴tan∠FBA===,
∴∠FBA=30°,
又∵∠FDB=∠FBA=30°, ∴CD=AD•cos30°=4×=2.