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  • 2021-05-10 发布

中考数学试卷分类汇编解析圆与相似综合题

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‎2016年全国中考数学试题分类汇编 圆与相似综合题 ‎1. (2016·四川达州) 如图,AB是半圆O的直径,点P是BA延长线上一点,PC是⊙O的切线,切点为C. 过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D,连接BC. 求证:‎ ‎(1)∠PBC =∠CBD; ‎ ‎(2)BC2=AB·BD ‎ ‎ ‎ ‎2.(2016·湖北十堰)如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.‎ ‎(1)求证:∠ACD=∠B;‎ ‎(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;‎ ‎①求tan∠CFE的值;‎ ‎②若AC=3,BC=4,求CE的长.‎ ‎3. (2016·四川达州·8分)如图,已知AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,连接AC,BC,过点O作OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接BD并延长交AE于点F.‎ ‎(1)求证:AE•BC=AD•AB;‎ ‎(2)若半圆O的直径为10,,求AF的长.‎ ‎4.(2016•呼和浩特)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.‎ ‎(1)求证:∠FBC=∠FCB;‎ ‎(2)已知FA•FD=12,若AB是△ABC外接圆的直径,FA=2,求CD的长.‎ ‎ ‎ ‎2016年全国中考数学试题分类汇编 圆与相似综合题 ‎1. (满分8分) 如图,AB是半圆O的直径,点P是BA延长线上一点,PC是⊙O的切线,切点为C. 过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D,连接BC. 求证: ‎ ‎(1)∠PBC =∠CBD; ‎ ‎(2)BC2=AB·BD D ‎ C ‎ P A O B ‎ (第19题)‎ ‎【考点】切线的性质,相似三角形的判定和性质.‎ ‎【分析】(1)连接OC,运用切线的性质,可得出∠OCD=90°,从而证明OC∥BD,得到∠CBD=∠OCB,再根据半径相等得出∠OCB=∠PBC,等量代换得到∠PBC =∠CBD.‎ ‎(2)连接AC. 要得到BC2=AB·BD,需证明△ABC∽△CBD,故从证明∠ACB=∠BDC,∠PBC=∠CBD入手.‎ ‎【解答】证明:(1)连接OC,‎ ‎ ∵PC是⊙O的切线,‎ ‎ ∴∠OCD=90°. ……………………………………………1分 ‎ 又∵BD⊥PC ‎∴∠BDP=90°‎ ‎∴OC∥BD.‎ ‎∴∠CBD=∠OCB.‎ ‎∴OB=OC .‎ ‎∴∠OCB=∠PBC.‎ ‎∴∠PBC=∠CBD. ………………………………………..4分 D ‎ C ‎ P A O B ‎(2)连接AC.‎ ‎ ∵AB是直径,‎ ‎∴∠BDP=90°.‎ 又∵∠BDC=90°,‎ ‎∴∠ACB=∠BDC.‎ ‎∵∠PBC=∠CBD,‎ ‎∴△ABC∽△CBD. ……………………………………6分 ‎∴=.‎ ‎∴BC2=AB·BD. ………………………….……………8分 D ‎ C ‎ P A O B ‎2.(2016·湖北十堰)如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.‎ ‎(1)求证:∠ACD=∠B;‎ ‎(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;‎ ‎①求tan∠CFE的值;‎ ‎②若AC=3,BC=4,求CE的长.‎ ‎【考点】切线的性质.‎ ‎【分析】(1)利用等角的余角相等即可证明.‎ ‎(2)①只要证明∠CEF=∠CFE即可.‎ ‎②由△DCA∽△DBC,得===,设DC=3k,DB=4k,由CD2=DA•DB,得9k2=(4k﹣5)•4k,由此求出DC,DB,再由△DCE∽△DBF,得=,设EC=CF=x,列出方程即可解决问题.‎ ‎【解答】(1)证明:如图1中,连接OC.‎ ‎∵OA=OC,‎ ‎∴∠1=∠2,‎ ‎∵CD是⊙O切线,‎ ‎∴OC⊥CD,‎ ‎∴∠DCO=90°,‎ ‎∴∠3+∠2=90°,‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠1+∠B=90°,‎ ‎∴∠3=∠B.‎ ‎(2)解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,‎ ‎∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,‎ ‎∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°,‎ ‎∴∠CEF=∠CFE=45°,‎ ‎∴tan∠CFE=tan45°=1.‎ ‎②在RT△ABC中,∵AC=3,BC=4,‎ ‎∴AB==5,‎ ‎∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,‎ ‎∴△DCA∽△DBC,‎ ‎∴===,设DC=3k,DB=4k,‎ ‎∵CD2=DA•DB,‎ ‎∴9k2=(4k﹣5)•4k,‎ ‎∴k=,‎ ‎∴CD=,DB=,‎ ‎∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,‎ ‎∴△DCE∽△DBF,‎ ‎∴=,设EC=CF=x,‎ ‎∴=,‎ ‎∴x=.‎ ‎∴CE=.‎ ‎【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形,利用相似三角形的性质解决问题,学会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型.‎ ‎3. (2016·四川达州·8分)如图,已知AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,连接AC,BC,过点O作OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接BD并延长交AE于点F.‎ ‎(1)求证:AE•BC=AD•AB;‎ ‎(2)若半圆O的直径为10,sin∠BAC=,求AF的长.‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;切线的性质;锐角三角函数的定义.‎ ‎【分析】(1)只要证明△EAD∽△ABC即可解决问题.‎ ‎(2)作DM⊥AB于M,利用DM∥AE,得=,求出DM、BM即可解决问题.‎ ‎【解答】(1)证明:∵AB为半圆O的直径,‎ ‎∴∠C=90°,‎ ‎∵OD⊥AC,‎ ‎∴∠CAB+∠AOE=90°,∠ADE=∠C=90°,‎ ‎∵AE是切线,‎ ‎∴OA⊥AE,‎ ‎∴∠E+∠AOE=90°,‎ ‎∴∠E=∠CAB,‎ ‎∴△EAD∽△ABC,‎ ‎∴AE:AB=AD:BC,‎ ‎∴AE•BC=AD•AB.‎ ‎(2)解:作DM⊥AB于M,‎ ‎∵半圆O的直径为10,sin∠BAC=,‎ ‎∴BC=AB•sin∠BAC=6,‎ ‎∴AC==8,‎ ‎∵OE⊥AC,‎ ‎∴AD=AC=4,OD=BC=3,‎ ‎∵sin∠MAD==,‎ ‎∴DM=,AM===,BM=AB﹣AM=,‎ ‎∵DM∥AE,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AF=.‎ ‎ ‎ ‎4.(2016•呼和浩特)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.‎ ‎(1)求证:∠FBC=∠FCB;‎ ‎(2)已知FA•FD=12,若AB是△ABC外接圆的直径,FA=2,求CD的长.‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质;三角形的外接圆与外心.‎ ‎【分析】(1)由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出∠FBC=∠CAD,再由角平分线和对顶角相等得出∠FAB=∠CAD,由圆周角定理得出∠FAB=∠FCB,即可得出结论;‎ ‎(2)由(1)得:∠FBC=∠FCB,由圆周角定理得出∠FAB=∠FBC,由公共角∠BFA=∠BFD,证出△AFB∽△BFD,得出对应边成比例求出BF,得出FD、AD 的长,由圆周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°,由三角函数求出∠FBA=30°,再由三角函数求出CD的长即可.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形AFBC内接于圆,‎ ‎∴∠FBC+∠FAC=180°,‎ ‎∵∠CAD+∠FAC=180°,‎ ‎∴∠FBC=∠CAD,‎ ‎∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,‎ ‎∴∠EAD=∠CAD,‎ ‎∵∠EAD=∠FAB,‎ ‎∴∠FAB=∠CAD,‎ 又∵∠FAB=∠FCB,‎ ‎∴∠FBC=∠FCB;‎ ‎(2)解:由(1)得:∠FBC=∠FCB,‎ 又∵∠FCB=∠FAB,‎ ‎∴∠FAB=∠FBC,‎ ‎∵∠BFA=∠BFD,‎ ‎∴△AFB∽△BFD,‎ ‎∴,‎ ‎∴BF2=FA•FD=12,‎ ‎∴BF=2,‎ ‎∵FA=2,‎ ‎∴FD=6,AD=4,‎ ‎∵AB为圆的直径,‎ ‎∴∠BFA=∠BCA=90°,‎ ‎∴tan∠FBA===,‎ ‎∴∠FBA=30°,‎ 又∵∠FDB=∠FBA=30°, ∴CD=AD•cos30°=4×=2. ‎