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- 2021-05-10 发布
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尺规作图
一.选择题
1. (2018·湖北襄阳·3分)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为( )
A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题.
【解答】解:∵DE垂直平分线段AC,
∴DA=DC,AE=EC=6cm,
∵AB+AD+BD=13cm,
∴AB+BD+DC=13cm,
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm,
故选:B.
【点评】本题考查作图﹣基本作图,线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质,属于中考常考题型.
2. (2018·湖南郴州·3分)如图,∠AOB=60°,以点O为圆心,以任意长为半径作弧交OA,OB于C,D两点;分别以C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧相交于点P;以O为端点作射线OP,在射线OP上截取线段OM=6,则M点到OB的距离为( )
A.6 B.2 C.3 D.
【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线,再利用直角三角形的性质得出答案.
【解答】解:过点M作ME⊥OB于点E,
由题意可得:OP是∠AOB的角平分线,
则∠POB=×60°=30°,
∴ME=OM=3.
故选:C.
【点评】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形,正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键.
A. r B. (1+)r C. (1+)r D. r
【答案】D
【解析】分析:如图连接CD,AC,DG,AG.在直角三角形即可解决问题;
详解:如图连接CD,AC,DG,AG.
3. (2018•湖州•3分)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣:
①将半径为r的⊙O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六个分点;
②分别以点A,D为圆心,AC长为半径画弧,G是两弧的一个交点;
③连结OG.
问:OG的长是多少?
大臣给出的正确答案应是( )
∵AD是⊙O直径,
∴∠ACD=90°,
在Rt△ACD中,AD=2r,∠DAC=30°,
∴AC=r,
∵DG=AG=CA,OD=OA,
∴OG⊥AD,
∴∠GOA=90°,
∴OG=r,
故选:D.
点睛:本题考查作图-复杂作图,正多边形与圆的关系,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
4. (2018•嘉兴•3分)用尺规在一个平行四边形内作菱形,下列作法中错误的是( )
A. (A) B. (B) C. (C) D. (D)
【答案】C
【解析】分析:由作图,可以证明A.B.D中四边形ABCD是菱形,C中ABCD是平行四边形,即可得到结论.
详解:A.∵AC是线段BD的垂直平分线,∴BO=OD,∴∠AOD=∠COB=90°.
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∴△AOD≌△COB,∴AO=OC,∴四边形ABCD是菱形.故A正确;
B.由作图可知:AD=AB=BC.
∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD=AB,∴四边形ABCD是菱形.故B正确;
C.由作图可知AB.CD是角平分线,可以得到ABCD是平行四边形,不能得到ABCD是菱形.故C错误;
D.如图,∵AE=AF,AG=AG,EG=FG,∴△AEG≌△AFG,∴∠EAG=∠FAG.
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠FAG=∠ACB,∴AB=BC,同理∠DCA=∠BCA,∴∠BAC=∠DCA,∴AB∥DC.
∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.故D正确.
故选C.
点睛:本题考查了菱形的判定与平行四边形的性质.解题的关键是弄懂每个图形是如何作图的.
5. (2018•贵州安顺•3分) 已知,用尺规作图的方法在上确定一点,使,则符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】分析:要使PA+PC=BC,必有PA=PB,所以选项中只有作AB
的中垂线才能满足这个条件,故D正确.
详解:D选项中作的是AB的中垂线,
∴PA=PB,
∵PB+PC=BC,
∴PA+PC=BC
故选D.
点睛:本题主要考查了作图知识,解题的关键是根据中垂线的性质得出PA=PB.
二.填空题
1.(2018•江苏淮安•3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以点A.B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P、Q,过P、Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是 .
【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB,推出DA=DB,设DA=DB=x,在Rt△ACD中,∠C=90°,根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题;
【解答】解:连接AD.
∵PQ垂直平分线段AB,
∴DA=DB,设DA=DB=x,
在Rt△ACD中,∠C=90°,AD2=AC2+CD2,
∴x2=32+(5﹣x)2,
解得x=,
∴CD=BC﹣DB=5﹣=,
故答案为.
【点评】本题考查基本作图,线段的垂直平分线的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
2.(2018•山东东营市•3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以顶点C为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线CP交AB于点D.若BD=3,AC=10,则△ACD的面积是 15 .
【分析】作DQ⊥AC,由角平分线的性质知DB=DQ=3,再根据三角形的面积公式计算可得.
【解答】解:如图,过点D作DQ⊥AC于点Q,
由作图知CP是∠ACB的平分线,
∵∠B=90°,BD=3,
∴DB=DQ=3,
∵AC=10,
∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15,
故答案为:15.
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图,解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质.
3. (2018•湖州•4分)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点E,F,G,H都是格点,且四边形EFGH为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图.例如,在如图1所示的格点弦图中,正方形ABCD的边长为,此时正方形EFGH的而积为5.问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时,正方形EFGH的面积的所有可能值是 13或49 (不包括5).
【分析】当DG=,CG=2时,满足DG2+CG2=CD2,此时HG=,可得正方形EFGH的面积为13.当DG=8,CG=1时,满足DG2+CG2=CD2,此时HG=7,可得正方形EFGH的面积为49.
【解答】解:当DG=,CG=2时,满足DG2+CG2=CD2,此时HG=,可得正方形EFGH的面积为13.
当DG=8,CG=1时,满足DG2+CG2=CD2,此时HG=7,可得正方形EFGH的面积为49.
故答案为13或49.
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
三.解答题
1. (2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·5分)图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格,每个小菱形的顶点称为格点.点O,M,N,A,B均在格点上,请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图.
(1)在图①中,画出∠MON的平分线OP;
(2)在图②中,画一个Rt△ABC,使点C在格点上.
【分析】(1)构造全等三角形,利用全等三角形的性质即可解决问题;
(2)利用菱形以及平行线的性质即可解决问题;
【解答】解:(1)如图所示,射线OP即为所求.
(2)如图所示,点C即为所求;
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、菱形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
2.(2018•江苏无锡•10分)如图,平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(6,4).
(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC,它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C,且使∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹.)
(2)问:(1)中这样的直线AC是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线AC,并写出与之对应的函数表达式.
【分析】(1)①作线段OB的垂直平分线AC,满足条件,②作矩形OA′BC′,直线A′C′,满足条件;
(2)分两种情形分别求解即可解决问题;
【解答】(1)解:如图△ABC即为所求;
(2)解:这样的直线不唯一.
①作线段OB的垂直平分线AC,满足条件,此时直线的解析式为y=﹣x+.
②作矩形OA′BC′,直线A′C′,满足条件,此时直线A′C′的解析式为y=﹣x+4.
【点评】本题考查作图﹣复杂作图,待定系数法等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
3.(2018•广东•6分)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°,
(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)条件下,连接BF,求∠DBF的度数.
【分析】(1)分别以A.B为圆心,大于AB长为半径画弧,过两弧的交点作直线即可;
(2)根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可;
【解答】解:(1)如图所示,直线EF即为所求;
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°,DC∥AB,∠A=∠C.
∴∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°,
∴∠C=∠A=30°,
∵EF垂直平分线线段AB,
∴AF=FB,
∴∠A=∠FBA=30°,
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°.
【点评】本题考查作图﹣基本作图,线段的垂直平分线的性质,菱形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于常考题型.
4.(2018•广西贵港•5分)尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法).如图,已知∠α和线段a,求作△ABC,使∠A=∠α,∠C=90°,AB=a.
【分析】根据作一个角等于已知角,线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案.
【解答】解:如图所示,
△ABC为所求作
【点评】本题考查尺规作图,解题的关键是熟练运用尺规作图的基本方法,本题属于中等题型.