中考数学专题大讲堂对辅助圆的思考及探究Word版 16页

对辅助圆的思考及探究 锡滨-祝荣耀 在几何证明中，困难的并不在于题目，而在于辅助线.在初二学习全等系列的知识点过程中，我们带着学生学习了很多种的辅助线，比如倍长中线、截长补短等.而在学习完圆之后，我们又遇到了新的问题，如做弦的垂线，连接半径，连接直径等.这些的辅助线对于中档的学生都是可以解决的，但我们有没有遇到作出一个圆的辅助线？这也是今天要讲的专题 ‎--辅助圆.‎ ‎“辅助圆”通常活跃于各校模拟试题，因难度系数大，学生不易接受，所以得分率一直 都很低.因其考点新颖，有创新又不失难度，所以在近几年的江苏中考中也开始陆续出现了关于“辅助圆”的辅助线问题.‎ 那么下面我就来对“辅助圆”问题说说自己的一些看法.‎ 出现“辅助圆”的情况在我总结来看无外乎就是线段最值、存在唯一点、点的运动等. 那下面我就按照如下几点来探究“辅助圆”出现的一般情况.‎ 一 线段最值 线段最值分类相对较多，我们单独来看看什么时候需要我们作出相对的辅助圆的情况.‎ Ⅰ．折叠中的线段最值 ‎1．（2019 年成都中考）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A=60°，M 是 AD 边的中点，‎ N 是 AB 边上一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△ A¢MN，连接 A¢C，则 A¢C 长度的最小值是 ．‎ ‎〖分析〗△AMN 沿 MN 所在直线翻折过程中，始终都保持着 MA=MA’，即 A 点的运动轨迹满足于圆的基本概念，则 A 点的运动轨迹是以 M 为圆心，MA 为半径的一个圆，则 A¢C 的最小值即转化到点 C 到⊙M 的上的最小值问题，这时就可以得到 A¢C 最小值是 CM—半径，求出 CM 的长即可，如下图．‎ ‎2．（2019 年无锡惠山区二模）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=60°，BC=3，D 为 BC 边上的三等分点，BD=2CD，E 为 AB 边上一动点，将△DBE 沿 DE 折叠到△D B¢E 的位置，连接A B¢，则线段 A B¢的最小值为 ．‎ ‎〖分析〗△DBE 沿 DE 折叠过程中，与上题一样，始终满足于 DB=D B¢，与 1 相似，即作出辅助圆⊙D，以 D 为圆心，DB 为半径的圆．A 为圆外一点，求 AB’的最小值即用 AD— 半径即可，如下图．‎ Ⅱ．圆轨迹中的线段最值 ‎3．（2019 年无锡惠山区一模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 A（4，3）为圆心，‎ ‎1 为半径作圆．P 点为圆上一动点，连结 OP．点 B 为 OP 的中点，点 C 坐标为（2，0）， 求 BC 的取值范围 ．‎ ‎〖分析〗点 P 的运动轨迹是圆，B 为 OP 中点，随着 P 的运动而运动，则根据“瓜豆原理”，‎ B 的运动轨迹也是一个圆．我们需要确定的是 B 所在圆的圆心及半径，则就可以解出此题．为 确定圆心，则连接 OA，取 OA 中点 Q．连接 BQ，BQ= 1 AP= 1 ，则 B 的运动轨迹是以 Q ‎2 2‎ ‎1‎ 为圆心，‎ ‎2‎ ‎为半径的圆．再求出 CB 的最大和最小值=CQ ±半径即可．（如下图）‎ ‎4．（2019 年无锡外国语中学一模）如图，点 O 在线段 AB 上，OA=1，OB=3，以 O 为圆心，‎ OA 长为半径作圆 O．点 M 在圆 O 上运动，连接 MB，以 MB 为腰作等腰 Rt△MBC，使 ‎∠MBC=90°，M．B．C 三点为逆时针顺序，连接 AC，则 AC 长的取值范围是 ．‎ ‎〖分析〗点 M 的运动轨迹是圆，点 C 是由 BM 旋转 90°得出，则根据“瓜豆原理”初步确定点 C 的运动轨迹也是一个圆．我们需要确定的是 B 所在圆的圆心及半径，则就可以解出 此题．为确定圆心，连接 OM，将 OM 也绕着点 B 旋转 90°，确定O¢，连接O¢C ．易证 ‎△BOM≌△ BO¢C ， 得出 OM = O¢C =1 ， 则可得出点 C 的运动轨迹是以 O¢为圆心，‎ ‎1 为半径的圆．再求出 AC 的最大和最小值= AO¢±半径即可．（如下图）‎ Ⅲ．直角三角形中的辅助圆 5. ‎（ 2019 年江阴校级一模） 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC ‎＝2，P 是△ABC 所在平面内一点，且满足 PA⊥PB，则 PC 的取值范围为 ．‎ ‎〖分析〗因为∠APB=90°，由 90°所对的弦是直径得出，构造⊙O．以 AB 中点 O 为圆心， 1 为半径作圆，则 P 是在⊙O 上运动，确定 CP 的最小值为 OC—半径即可．（如下图）‎ 5. ‎（ 2019 年无锡天一中学二模） 如图， E， F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点， 满足 AE=DF． 连接 CF 交 BD 于点 G， 连接 BE 交 AG 于点 H． 若正方形 的边长为 2， 则线段 DH 长度的最小值是 ．‎ ‎〖分析〗因为 AE=DF，易得△ABE≌△ DCF、△AGD≌△ CGD， 则∠ ABE= ∠ GAD=‎ ‎∠ DCF． 因为∠ GAD+∠ BAH=90 ° ， 所以∠ BAH+ ∠ ABE=90° ， 所以∠ AHB=90° ． 则点 H 是在以 AB 为直径的圆上运动． 确定 DH 的最小值为 OD—半径即可．（如下图）‎ Ⅳ．定弦、定角中的辅助圆 ‎7．（2019 年无锡滨湖区期中考试）如图，在正方形 ABCD，AB= 2‎ ‎，若点 P 满足 PD=2，‎ 且∠BPD=90°，请求出 AP 的长．‎ ‎〖分析〗因为∠BAD=∠BPD=90°，则可认为 B、A、P、D 四点是在以 BD 为直径的圆上， 设 BD 的中点为 O，则如图，共圆．得到∠BDA=∠APB=45°，得出∠DPE=45°，则在 Rt ‎△PED 中，得出 DE=PE=‎ ‎，在 Rt△AED 中，AD= 2‎ ‎，得出 AE=‎ ‎，则可得 AP= 6-‎ ‎．如下图即可．‎ ‎8．（2019 年威海中考）如图，△ABC 为等边三角形，AB=2，若 P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段 PB 长度的最小值 ．‎ ‎〖分析〗因为△ABC 为等边三角形，满足∠PAB=∠ACP，则可确定∠APC=120°，而∠APC 所对的边恒定为 AC，且长度为定值，则由圆周角的性质可以得出 P 点的运动轨迹是一个弧， 点 P 是在△APC 的外接圆上运动，确定 BP 的最小值为 OB—半径即可．（如下图）‎ 这也是我们定弦定角定理的一般模型．‎ ‎9．（2019 年无锡惠山区二模）如图，已知 A、B 是半径为 2 的⊙O 上的两动点，以 AB 为直角边在⊙O 内作等腰 Rt△ABC，∠B＝90°，连接 OC，则 OC 的最小值为 ．‎ ‎〖分析〗因为△ABC 为等腰 Rt△，则∠BCA=45°为定值，延长 BC 交⊙O 于点 D，则∠‎ ACD=135°，连接 AD． 因为∠ B=90° ， 则 AD 为⊙O 的直径，即 AD=4 为定值，则满足于上述例 7 的定弦定角定理模型，可分析得出点 C 是在一个圆上运动，则需要找圆心． 设 圆心为O¢，因为∠ACD=135°，则其所对的圆心角∠AO¢D =90°，则O¢是在⊙O 上，半径 O¢D=2 ． 连接 O¢C ，则当O¢、O、C 三点共线的时候，OC 的值最小，为 ‎2 2-2 ．（如下图）‎ 二 证明角度关系或求值 Ⅰ．角度的倍数关系 ‎1．（2019 年江苏学大教师月考）如图，AB=AC=AD，如果∠DAC 是∠CAB 的 k 倍， 那么∠DBC 是∠BDC 的（ ） 倍 A．k B．2k C．3k D．不能确定 ‎〖分析〗因为 AB=AC=AD，则 B、C、D 三点可以看成是在以点 A 为圆心，AB 为半径的圆上．则∠DBC 与∠CAD 是同弧所对的圆周角和圆心角，∠BDC 与∠CAB 是同 弧所对的圆周角和圆心角．∠DAC 是∠CAB 的 k 倍， 则∠DBC 也是∠BDC 的 k 倍．‎ Ⅱ．角度求值问题 ‎2．（ 2019 年无锡惠山区校级月考） 已知在正方形 ABCD 中， 两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴上滑动， 点 C 点 D 在第一象限， 点 E 为正方形 ABCD 的对称中心， 连结 OE， 证明 OE 平分角∠ AOB．‎ ‎〖分析〗因为∠AOB=∠AEB=90°，则可以说明 A、O、B、E 四点共圆，以 AB 的中点O¢‎ 为圆心， O¢A 为半径的圆．这种有一组对角为 90°的四边形称为损矩形，即可采用四点共圆的技巧去解决．很明显，∠EBA 与∠AOE 是同弧所对的圆周角，则∠EBA=∠AOE=45°， 即可说明 OE 平分角∠ AOB．（如下图）‎ Ⅲ．角度最值问题 ‎3．（ 2019 年南京市校级月考）如图，O 是半径为 2，AB、CD 是互相垂直的两条直径， 点 P 是 O 上任意一点，过点 P 作 PM⊥AB 于 M， PN⊥CD 于 N， 点 Q 是 MN 的中点， 当点 P 沿着圆周从 D 运动到点 C 时， tan∠QCN 的最大值为 ．‎ ‎〖分析〗 因为 PM⊥AB，PN⊥CD， 则四边形 MONP 为矩形， 得到对角线 MN=OP=2． 说明 OQ 的长度恒定为 1， 确定点 Q 是在以 O 为圆心， 1 为半径的 圆上， 则当 CQ 与圆相切时， 即是∠ QCO 最大， tan∠QCN 的值最大． （如下图）‎ 三 最值存在问题 Ⅰ．线段范围 ‎1． （ 2019 年河池中考） 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90°， AB=3 ， BC=4 ， P 是 BC 边上的动点． 设 BP=x， 若能在 AC 边上找到一点 Q， 使∠BQP=90 °， 则 x 的取值范围是 ．‎ ‎〖分析〗 因为∠ABC=90 °， 则由直径所对的圆周角等于 90 ° ， 得出以 BP 为直径的圆与线段 AC 有交点，得出题目的解题技巧．则当⊙O 与 AC 相切时，x 的值最小， 当点 P 到达 C 点时，x 的值最大． （如下图）‎ ‎2．（2019 年无锡外国语二模）在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形，点 A 的坐标是（4，0），点 B 在第一象限，若 N 为直线y=-x-2 上一点，过 B 作直线 l⊥x 轴，在 l 上是否存在一点 M，使得∠OMA=2∠ONA，且这样的点 N 有且只有一个．若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎〖分析〗 因为题目中满足∠OMA=2∠ONA， 在图中我们可以看出以 M 为圆心，OM 为半径的圆正好满足于此条件，则可以理解为辅助 圆．若这样的点 N 有且只有一个，则说明⊙M 与直线y=-x-2 相切即可，同时也要注意图形的 对称性，M 存在另外一个点，与图中的 M 点关于 x 轴对称即可．（如左图）‎ Ⅱ． 路程长或面积问题 ‎3． （ 2019 年无锡惠山区校级月考） 如图，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的坐标为（7，3），点 E 在边 AB 上，且 AE＝1，已知点 P 为 y 轴上一动点，连接 EP，过点 O 作直线 EP 的垂线段，垂足为点 H，在点 P 从点 F（0， 程中，点 H 的运动路径长为 ．‎ ‎25‎ ‎）运动到原点 O 的过 ‎4‎ ‎〖分析〗因为∠APB=90°，且 OE 为定长，则点 H 在以 OE 为直径的圆上运动． 点 P 由 点 F 为起点， O 为终点运动， 则点 H 的运动轨迹是一段弧， 圆心角为∠ OO¢H ，‎ 则求出∠ OO¢H 的度数即可，而∠ OO¢H =2 ∠ OEF，求出∠ OEF 的度数即可．（如下图）‎ ‎4．（2019 年无锡外国语月考）如图，圆 O 的半径为 2，弦 AB=2，点 P 为优弧 AB 上一动点，BC⊥BP 交直线 PA 于点 C，则△ABC 的最大面积为 ．‎ ‎〖分析〗因为 BC 半径为 2，弦 AB=2，则∠P=30°，BC⊥BP，则∠C=60°．因为∠C=60°， 且 AB=2，则可以得出点 C 是在△ABC 的外接圆上运动，也可以理解为我们上面讲解的定弦定角定理．要使得△ABC 的面积最大，则 C 到 AB 的距离最大，如下图即可．‎ 在辅助圆方面还需要学生多多的做练习，理解我们出现辅助圆的情况的一般要求，同时具体 情况具体分析，需要学生具有很强的临场发挥能力，这部分的知识点活跃在模拟考试及中考 中，还是需要学生能理解掌握，方便与学生能运用技巧性方法去解决实际困难问题．‎