全国各地中考数学压轴题含各地中考 自主招生 模拟分类整理 202页

简 介 本专集收录了2012年全国各地中考数学压轴题和部分解答题，以及题型较好的自主招生和模拟考试题，并进行了分类，共614道题。本专集系根据真题，全部采用word编辑（包括所有图形均在word中严格按比例绘制）而成，并配有标准答案。‎ 应广大教师的要求，先推出题目，答案年底面市。‎ ‎2012年全国各地中考数学压轴题专集 目 录 一、图象信息 二、一元二次方程 三、反比例函数 四、二次函数 五、概率 六、三角形 七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 八、圆 九、综合型问题 十、动态综合型问题 一、图象信息 温馨提示：‎ 若选用方式一，每月固定交费58元，当主动打出电话月累计时间不超过150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收0.25元 ‎1．（天津）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．‎ 月使用费/元 主叫限定时间/分 主叫超时 费/（元/分）‎ 被叫 方式一 ‎58‎ ‎150‎ ‎0.25‎ 免费 方式二 ‎88‎ ‎350‎ ‎0.19‎ 免费 设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），‎ 请根据表中提供的信息回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：‎ t ≤150‎ ‎150＜t ＜350‎ t＝350‎ t ＞350‎ 方式一计费/元 ‎58‎ ‎108‎ 方式二计费/元 ‎88‎ ‎88‎ ‎88‎ ‎（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等；‎ ‎（Ⅲ）当330＜t ＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．‎ ‎2．（安徽）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减‎100”‎的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……．乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．‎ ‎（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？‎ ‎（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p＝ ），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；‎ ‎（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x（200≤x ＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．‎ ‎3．（浙江温州）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地．‎ ‎（1）当n＝200时，‎ ‎①根据信息填表：‎ A地 B地 C地 合计 产品件数（件）‎ x ‎2x ‎200‎ 运费（元）‎ ‎30x ‎②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？‎ 温州 C地 A地 B地 ‎25元/件 ‎8元/件 ‎30元/件 ‎（2）若总运费为5800元，求n的最小值．‎ ‎4．（浙江台州）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间关系的部分数据如下表：‎ 时间t（秒）‎ ‎0‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎0.8‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎…‎ 行驶的距离s（米）‎ ‎0‎ ‎2.8‎ ‎5.2‎ ‎7.2‎ ‎8.8‎ ‎10‎ ‎10.8‎ ‎…‎ 假设这种变化规律一直延续到汽车停止．‎ ‎（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；‎ ‎（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；‎ ‎（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？‎ O t s ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎0.8‎ ‎1.0‎ ‎1.2‎ ‎②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较 与 的大小，并解释比较结果的实际意义．‎ ‎5．（浙江义乌）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．‎ ‎10‎ O x(h)‎ y(km)‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；‎ ‎（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？‎ ‎（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．‎ ‎6．（浙江宁波）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：‎ 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 ‎17吨及以下 a ‎0.80‎ 超过17吨但不超过30吨的部分 b ‎0.80‎ 超过30吨的部分 ‎6.00‎ ‎0.80‎ ‎（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用＋污水处理费）‎ 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？‎ ‎7．（江苏无锡）如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以‎1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为S cm2，点P运动的时间为t s．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标；‎ ‎（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．‎ ‎（图2）‎ O S(cm2)‎ t(s)‎ E G H F I ‎3‎ ‎6‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎4‎ ‎（图1）‎ O y(cm)‎ x(cm)‎ D A B C ‎8．（江苏徐州）如图①，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD＝‎4 cm，AB＝d cm．动点E、F分别从点D、B同时出发，点E以‎1 cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以‎1 cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动．以EF为边作正方形EFGH，设点F出发x s时，正方形EFGH的面积为y cm2．已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图②所示．‎ O x ‎9‎ y 图②‎ m n A G C B D E F H 图①‎ 请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）自变量x的取值范围是_______________；‎ ‎（2）d＝__________，m＝__________，n＝__________；‎ ‎（3）点F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16 cm2？‎ ‎9．（江苏镇江）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地．如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离．请结合图象中的信息解决如下问题：‎ ‎（1）分别计算甲、乙两车的速度及a的值；‎ ‎（2）乙车到达B地后以原速立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．‎ t(小时)‎ 甲 乙 O M D N P s(千米)‎ a ‎60‎ ‎1.5‎ ‎10．（江苏模拟）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有k张．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为b、宽为a的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从其中取出若干张卡片，每种卡片至少取一张，‎ 把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）．‎ A C B a a b b 尝试操作：若k＝10，请选取适当的卡片拼成一个边长为(2a＋b)的正方形，画出示意图．‎ 思考解释：若k＝20‎ ‎①共取出50张卡片，取出的这些卡片能否拼成一个正方形？请简要说明理由；‎ ‎②可以拼成___________种不同的正方形 拓展应用：‎ 上述A、B、C型的卡片各若干张（足够多），已知：a＝2b，现共取出2500张卡片，拼成一个正方形，求可以拼成的正方形中面积最大值．（用含a的代数式表示）‎ ‎11．（山东聊城）某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝－2x＋100．（利润＝售价－制造成本）‎ ‎（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；‎ ‎（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？‎ ‎12．（山东潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x ≤90），记录相关数据得到下表：‎ 旋钮角度（度）‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ 所用燃气量（升）‎ ‎73‎ ‎67‎ ‎83‎ ‎97‎ ‎115‎ ‎（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；‎ ‎（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？‎ ‎（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气用量．‎ ‎13．（内蒙古呼伦贝尔）甲乙两件服装的进 价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．‎ ‎（1）求甲乙两件服装的进价各是多少元；‎ ‎（2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；‎ ‎（3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）．‎ D C′‎ C C″‎ ‎－6‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎－5‎ ‎－3‎ ‎－1‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎－3‎ ‎－4‎ ‎－5‎ ‎－6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎－3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ x y O ‎14．（黑龙江大庆）在直角坐标系中，C（2，3），C′（－4，3），C″（2，1），D（－4，1），A（0，a），B（a，0）（a＞0）．‎ ‎（1）结合坐标系用坐标填空：‎ 点C与C′ 关于点_______对称 点C与C″ 关于点_______对称 点C与D关于点_______对称 ‎（2）设点C关于点（4，2）的对称点是点P，若△PAB的面积等于5，求a的值．‎ ‎15．（黑龙江大兴安岭、鸡西、齐齐哈尔、黑河、七台河）黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航．渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）‎ ‎（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式．‎ ‎（2）求渔船与渔政船相遇对，两船与黄岩岛的距离．‎ ‎（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？‎ ‎0‎ t /小时 ‎5‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎150‎ S /海里 ‎16．（黑龙江龙东地区）现要将228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：‎ 运往地 车 型 甲 地（元/辆）‎ 乙 地（元/辆）‎ 大货车 ‎720‎ ‎800‎ 小货车 ‎500‎ ‎650‎ ‎（1）求这两种货车各用多少辆？‎ ‎（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙 两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．‎ O ‎6‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎800‎ y(千米)‎ x(小时)‎ ‎11‎ ‎21‎ C D Q P(11,880)‎ E H ‎17．（黑龙江牡丹江）快车甲和慢车乙分别从A、B两站同时出发，相向而行．快车到达B站后，停留1小时，然后原路原速返回A站，慢车到达A站即停运休息．下图表示的是两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数图象．请结合图象信息，解答下列问题：‎ ‎（1）直接写出快、慢两车的速度及A、B两站间的距离；‎ ‎（2）求快车从B站返回A站时，y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）出发几小时，两车相距200千米？请直接写出答案．‎ ‎18．（黑龙江模拟）某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元．售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．如果每件商品的售价每降价1元，则每个月多卖1件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？‎ ‎（3）当每件商品的售价高于60元时，定价为多少元可使每个月的利润恰为2250元？‎ ‎19．（黑龙江模拟）某地引进外资兴办的一家公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：‎ x（十万元）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎1‎ ‎1.5‎ ‎1.8‎ ‎…‎ ‎（1）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；‎ ‎（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司所获年利润随广告费的增大而增大？‎ 图1‎ ‎20．（吉林）如图1，A，B，C为三个超市，在A通往C的道路（粗实线部分）上有一D点，D与B有道路（细实线部分）相通．A与D，D与C，D与B之间的路程分别为‎25km，‎10km，‎5km．现计划在A通往C的道路上建一个配货中心H，每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从H出发，单独为A送货1次，为B送货1次，为C送货2次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H，设H到A的路程为x km，这辆货车每天行驶的路程为y km．‎ ‎（1）用含x的代数式填空：‎ 当0≤x ≤25时，‎ 货车从H到A往返1次的路程为2x km，‎ 货车从H到B往返1次的路程为____________km，‎ 货车从H到C往返2次的路程为____________km，‎ O ‎5‎ ‎150‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ ‎200‎ ‎250‎ ‎100‎ ‎50‎ y/km x/km 图2‎ 这辆货车每天行驶的路程y＝_________________．‎ 当25＜x ≤35时，‎ 这辆货车每天行驶的路程y＝_________________；‎ ‎（2）请在图2中画出y与x（0≤x ≤35）的函数图象；‎ ‎（3）配货中心H建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？‎ ‎21．（辽宁朝阳）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w（kg）随销售单价x（元/kg）的变化而变化，具体规律如下表所示：‎ 销售单价x(元/kg)‎ ‎……‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎……‎ 销售量w(kg)‎ ‎……‎ ‎100‎ ‎90‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎……‎ 设该绿茶的月销售量利润为y（元）（销售利润＝单价×销售量－成本－投资）．‎ ‎（1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；‎ ‎（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？‎ ‎（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？‎ ‎22．（新疆、新疆生产建设兵团）库尔勒某乡A、B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨40元和45元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨25元和32元．‎ 设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A、B两村运往两仓库的香梨运输费用分别为yA和yB元．‎ ‎（1）请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数关系式；‎ 收地 运地 C D 总计 A x吨 ‎200吨 B ‎300吨 总计 ‎240吨 ‎260吨 ‎500吨 ‎（2）当x为何值时，A村的运费较少？‎ ‎（3）请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出最小值．‎ ‎23．（西藏）为了落实国家的惠农政策，某地方政府制定了农户投资购买收割机的补贴办法，其中购买Ⅰ、Ⅱ型收割机所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．‎ 型 号 金 额 Ⅰ型收割机 Ⅱ型收割机 投资金额 x（万元）‎ x ‎5‎ x ‎2‎ ‎4‎ 补贴金额 y（万元）‎ y1＝kx（k≠0）‎ ‎2‎ y2＝ax 2＋bx（a≠0）‎ ‎2.4‎ ‎3.2‎ ‎（1）分别求出y1和y2的函数解析式；‎ ‎（2）尼玛次仁准备投资10万元购买Ⅰ型、Ⅱ型两种收割机．请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．‎ ‎24．（湖南长沙）在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工。已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y＝ ‎（年获利＝年销售收入－生产成本－投资成本）‎ ‎（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？‎ ‎（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？‎ ‎（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款。若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．‎ ‎25．（湖南永州）在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图甲），则y关于x的函数图象如图乙所示．Q（1，）是函数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．‎ 图乙 O ‎1‎ x ‎6‎ ‎2‎ y Q ‎（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长；‎ ‎（2）求∠B的度数；‎ ‎（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围．‎ A B C P H x y 图甲 ‎26．（湖北鄂州）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件．已知每件服装的收入和所需工时如下表：‎ 服装名称 西服 休闲服 衬衣 工时/件 收入（百元）/件 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件．‎ ‎（1）请你分别从件数和工时数两个方面用含有x，y的代数式表示衬衣的件数z．‎ ‎（2）求y与x之间的函数关系式．‎ ‎（3）设每周总收入为w，求w与x之间的函数关系式．‎ ‎（4）问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？‎ ‎27．（湖北黄冈）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．‎ ‎（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？‎ ‎（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）‎ ‎28．（湖北黄石）某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40‎ 元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：‎ 方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．‎ 方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）．‎ ‎（1）请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式．‎ ‎（2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？‎ ‎（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．‎ ‎29．（湖北荆州、荆门）荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．‎ ‎（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式；‎ ‎（2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？‎ 批发单价（元/千克）‎ 进货量（千克）‎ ‎0‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎24‎ ‎26‎ 如需要答案，可联系手机：13956226259‎ 或 电子信箱：gshbao@sina.com 或QQ：529115098‎ ‎30．（湖北咸宁）某景区的旅游线路如图1所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图1中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）．甲游客以一定的速度沿线路“A→D→C→E→A”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到A处时，共用去3h．甲步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分函数图象如图2所示．‎ ‎（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；‎ ‎（2）求C，E两点间的路程；‎ ‎0.8‎ 图2‎ O s/(km)‎ t/(h)‎ ‎1.8‎ ‎1.6‎ ‎3‎ ‎2.6‎ ‎1‎ A ‎1‎ D C B E ‎0.8‎ ‎0.4‎ ‎1.3‎ 图1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎（3）乙游客与甲同时从A处出发，打算游完三个景点后回到A处，两人相约先到者在A处等候，等候时间不超过10分钟．如果乙的步行速度为‎3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由．‎ ‎31．（湖北宜昌）[背景资料]‎ 低碳生活的理念已逐步被人们所接受．据相关资料统计：‎ 一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18千克；‎ 一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约‎6千克．‎ ‎[问题解决]‎ 甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议．2009年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排的二氧化碳总量为600千克．‎ ‎（1）2009年两校响应本校倡议的人数分别是多少？‎ ‎（2）2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分率增长．2010年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍；2011年两校响应本校倡议的总人数比2010年两校响应本校倡议的总人数多100人．求2011年两校因响应本校倡议减排二氧化碳的总量．‎ ‎32．（湖北襄阳）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从‎2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：‎ 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时）‎ 不超过150千瓦时的部分 a 超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分 b 超过300千瓦时的部分 a＋0.3‎ ‎2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交费60元；居民乙用电200千瓦时，交费122.5元．设该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦时，当月交电费y元．‎ ‎（1）上表中，a＝___________；b＝___________；‎ ‎（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？‎ ‎33．（湖北模拟）某服装经营部每天的固定费用为300元，现试销一种成本为每件80元的服装.规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于35%.经试销发现，每件销售单价相对成本提高x（元）（x为整数）与日均销售量y（件）之间的关系符合一次函数y＝kx＋b，且当x＝10时，y＝100；x＝20时，y＝80．‎ ‎（1）求一次函数y＝kx＋b的关系式；‎ ‎（2）设该服装经营部日均获得毛利润为W元（毛利润＝销售收入－成本－固定费用），求W关于x的函数关系式；并求当销售单价定为多少元时，日均毛利润最大，最大日均毛利润是多少元？‎ ‎（3）若该批试销服装总共有864件，刚好在规定的a天（a为整数）内全部销售完毕，求a的所有可能值．‎ ‎34．（广东深圳）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：‎ ‎（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的3倍，请问商场有哪几种进货方案？‎ ‎（2）在“2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张，多买多送”的活动，在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？‎ 价格 种类 进价 ‎（元/台）‎ 售价 ‎（元/台）‎ 电视机 ‎5000‎ ‎5500‎ 洗衣机 ‎2000‎ ‎2160‎ 空 调 ‎2400‎ ‎2700‎ ‎35．（福建龙岩）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？‎ ‎（2）请你帮该物流公司设计租车方案；‎ ‎（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．‎ ‎58．（福建模拟）如图1，在正方形ABCD中，O是AD的中点，点P从A点出发沿A→B→C→D的路线匀速运动，移动到点D时停止；点Q从D出发沿D→C→B→A的路线匀速运动，移动到点A时停止．P、Q两点同时出发，点P的速度大于点Q的速度．设t秒时，正方形ABCD与∠POQ（包括边界及内部）重叠部分的面积为S，S与t的函数图象如图2所示．‎ ‎（1）P、Q两点在第__________秒相遇；正方形ABCD的边长是__________；‎ 图2‎ t（秒）‎ S ‎16‎ ‎4‎ O ‎（2）求点P、点Q的速度；‎ D B C A O P Q 图1‎ ‎（3）当t为何值时，重叠部分的面积S＝9？‎ ‎（4）当△POQ为等腰三角形时，直接写出t的值；‎ ‎（5）在整个运动过程中，线段PQ的中点所经过的 总路径长是多少？直接写出结果．‎ ‎59．（福建模拟）如图1，某商场有一双向运行的自动扶梯，扶梯上行和下行的速度保持不变且相同，甲、乙两人同时站上了此扶梯的上行和下行端，甲站上上行扶梯的同时又以‎0.8m/s的速度往上跑，乙站上下行扶梯后则站立不动随扶梯下行，两人在途中相遇，甲到达扶梯顶端后立即乘坐下行扶梯，同时以‎0.8m/s的速度往下跑，而乙到达底端后则在原地等候甲．图2中线段OB、AB分别表示甲、乙两人在乘坐扶梯过程中，离扶梯底端的路程y（m）与所用时间t（s）之间的部分函数关系，结合图象解答下列问题：‎ 图2‎ t（s）‎ ‎30‎ ‎7.5‎ O y（m）‎ A B 图1‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求AB所在直线的解析式；‎ ‎（3）乙到达扶梯底端后，还需等待多长 时间，甲才到达扶梯底端？‎ ‎60．（湖北模拟）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根‎2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为‎1m处达到最高，高度为‎3m．‎ R r ‎（1）建立适当的平面直角坐标系，使水管顶端的坐标为（0，2.25），水柱的最高点的坐标为（1，3），求出此坐标系中抛物线形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；‎ ‎（2）如图，在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3m，最内轨道的半径为r m，其上每‎0.3m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的地漏个数与最内轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏．求当r为多少时池中安装的地漏的个数最多？最多能安装多少个地漏？‎ 二、一元二次方程 ‎1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x 2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．‎ ‎（1）用含p的代数式表示q；‎ ‎（2）求证：抛物线y1＝x 2＋px＋q与x轴有两个交点；‎ ‎（3）设抛物线y1＝x 2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x 2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．‎ ‎2．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x 2－5x－m 2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．‎ ‎3．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程( a－6)x 2＋2ax＋a＝0的两个实数根．‎ ‎（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；‎ ‎（2）求使( x1＋1)( x2＋1)为负整数的实数a的整数值．‎ ‎4．（江苏模拟）已知关于x的方程x 2－(a＋b＋1)x＋a＝0（b≥0）有两个实数根x1、x2，且x1≤x2．‎ ‎（1）求证：x1≤1≤x2‎ ‎（2）若点A（1，2），B（，1），C（1，1），点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使a＋b＝ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎5．（福建模拟）已知方程组 有两个实数解 和 ，且x1x2≠0，x1≠x2．‎ ‎（1）求b的取值范围；‎ ‎（2）否存在实数b，使得 ＋ ＝1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎6．（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．‎ ‎7．（四川某校自主招生）已知实数x、y满足 ，求xy的取值范围．‎ ‎8．（福建某校自主招生）已知方程(ax＋1)2＝a 2(1－x 2)（a＞1）的两个实数根x1、x2满足x1＜x2，求证：‎ ‎－1＜x1＜0＜x2＜1．‎ 三、反比例函数 ‎1．（北京模拟）如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC＝x，四边形OCPD的面积为S．‎ ‎（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x＝ 时，S有最大值 ，求直线AB的解析式；‎ P B O C A x y D ‎（3）在（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标．‎ ‎2．（北京模拟）已知点A是双曲线y＝ （k1＞0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线y＝ （k2＜0）交于点C．点D（m，0）是x轴上一点，且位于直线AC右侧，E是AD的中点．‎ ‎（1）如图1，当m＝4时，求△ACD的面积（用含k1、k2的代数式表示）；‎ ‎（2）如图2，若点E恰好在双曲线y＝ （k1＞0）上，求m的值；‎ ‎（3）如图3，设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当m＝2时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k1的值，并直接写出线段CF的长．‎ 图3‎ E B O C A x y D F 图2‎ E B O C A x y D 图1‎ E B O C A x y D ‎3．（上海模拟）Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，tan∠BAC＝ ，反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．‎ ‎（1）求反比例函数和直线AB的解析式；‎ ‎（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P 为顶点的三角形与△AEO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ B O C A x y D E F ‎4．（安徽某校自主招生）如图，直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上，点A（5n，0）在x轴的负半轴上，OA : AB : OC=5 : 5 : 3．点D是线段OC上一点，且OD＝BD．‎ ‎（1）若直线y＝kx＋m（k≠0）过B、D两点，求k的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，反比例函数y＝ 的图象经过点B．‎ ‎①求证：反比例函数y＝ 的图象与直线AB必有两个不同的交点；‎ x y O C A B E F ‎②已知点P（p，－n－1），Q（q，－n－2）在线段AB上，当点E落在线段PQ上时，求n的取值范围．‎ ‎5．（浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k( x 2＋x－1)的图象交于点A（1，k）和点B（－1，－k）．‎ ‎（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；‎ ‎（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．‎ ‎6．（浙江义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝ 在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA＝ ．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ G B F C x O y A H D E ‎（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正轴交于点H、G，求线段OG的长．‎ ‎7．（浙江某校自主招生）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－ 的图象上．‎ ‎（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；‎ ‎（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝__________，若点P的坐标为（m，0），则k＝__________（用含m的代数式表示）；‎ ‎（3）继续探究：①若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别为两个、三个、四个？‎ x y P O Q M N x y O 备用图 ‎②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况．‎ ‎8．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y＝ （x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点．‎ ‎（1）填空：B点的坐标为（______，______）；‎ ‎（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；‎ B x O y A B x O y A 备用图 ‎（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE＋QF＋QB的值最小时，求出Q点坐标．‎ ‎9．（浙江模拟）已知点P（m，n）是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y 轴，分别交反比例函数y＝ （x＞0）的图象于点A、B，点C是直线y＝2x上的一点．‎ ‎（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；‎ ‎（2）在点P运动过程中，连接AB，△PAB的面积是否变化，若不变，请求出△PAB的面积；若改变，请说明理由；‎ B x O y A P C y＝ y＝ y＝2x ‎（3）在点P运动过程中，以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由．‎ ‎10．（江苏徐州）如图，直线y＝x＋b（b＞4）与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数y＝－ 的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆．CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E．‎ ‎（1）△CDE是______________三角形；点C的坐标为______________，点D的坐标为_____________（用含有b的代数式表示）；‎ ‎（2）b为何值时，点E在⊙O上？‎ ‎（3）随着b取值逐渐增大，直线y＝x＋b与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围．‎ ‎－5‎ ‎5‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎2‎ ‎4‎ x O y 备用图 ‎－5‎ ‎5‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎2‎ ‎4‎ B x O y A D C E y＝－ y＝x＋b ‎11．（江苏泰州）如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝ 的图象相交于B（－1，5）、C（ ，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1＝kx＋b的图象上的动点．‎ ‎（1）求k、b的值；‎ ‎（2）设－1＜m ＜ ，过点P作x轴的平行线与函数y2＝ 的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设m＝1－a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a 的取值范围．‎ B x O y A D C P ‎12．（江苏模拟）如图，双曲线y＝ （x＞0）与过A（1，0）、B（0，1）的直线交于P、Q两点，连接OP、OQ．‎ ‎（1）求证△OAQ≌△OBP；‎ ‎（2）若点C是线段OA上一点（不与O、A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．‎ ‎①当a为何值时，CE＝AC？‎ ‎②是否存在这样的点C，使得CE∥AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．‎ x y C A B E P Q D O ‎13．（河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象一定过点C；‎ B x O y A D C P ‎（3）对于一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）．‎ B x O y A D C ‎14．（山东济南）如图，已知双曲线y＝ 经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限分支上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；‎ ‎（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．‎ ‎15．（山东淄博）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ A B D O C E F y x ‎（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y＝－ x＋b过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；‎ ‎（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．‎ ‎16．（湖北某校自主招生）在直角坐标系中，O为坐标原点，A是双曲线y＝ （k＞0）在第一象限图象上的一点，直线OA交双曲线于另一点C．‎ ‎（1）如图1，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移 个单位后与双曲线在第一象限的图象交于点M，交y轴于点N，若 ＝ ，求k的值；‎ O C A B x y 图2‎ D ‎（2）如图2，若k＝1，点B在双曲线的第一象限的图象上运动，点D在双曲线的第三象限的图象上运动，且使得四边形ABCD是凸四边形时，求证：∠BCD＝∠BAD．‎ O C A N x y M 图1‎ ‎17．（湖北模拟）如图，反比例函数y＝ 的图象经过点A（a，b）且| a＋2|＋( b－2)2＝0，直线y＝2x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）将线段BC绕坐标平面内的某点M旋转180°后B、C两点恰好都落在反比例函数的图象上，求点M的坐标；‎ C B y x y＝2x－2‎ 备用图 A C B y x y＝2x－2‎ A ‎（3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎18．（广西北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、B（0，1）、C（d，2）．‎ ‎（1）求d的值；‎ ‎（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′ 正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′ 的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设直线B′C′ 交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′ 是平行四边形．如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ O B C A G A′‎ B′‎ C′‎ x y 如需要答案，可联系手机：13956226259‎ 或 电子信箱：gshbao@sina.com 或QQ：529115098‎ ‎19．（广西玉林、防城港）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y＝ 的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．‎ B x O y A D C E ‎（1）填空：双曲线的另一支在第_________象限，k的取值范围是_______________；‎ ‎（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分面积S最小？‎ ‎（3）若 ＝ ，S△OAC ＝2，求双曲线的解析式．‎ ‎20．（福建厦门）已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝ （k2＞0）的交点．‎ ‎（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM．若AM＝BM，求点B的坐标；‎ ‎（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝ （k2＞0）于点N．当 取最大值时，有PN＝ ，求此时双曲线的解析式．‎ x O y B C A ‎21．（福建莆田）如图，一次函数y＝k1x＋b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y＝ （x＞0）的图象相交于B、C两点．‎ ‎（1）若B（1，2），求k1·k2的值；‎ ‎（2）若AB＝BC，则k1·k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎22．（福建某校自主招生）如图1，已知直线y＝－ x＋m与反比例函数y＝ 的图象在第一象限内交于A、B两点（点A在点B的左侧），分别与x、y轴交于点C、D，AE⊥x轴于E．‎ ‎（1）若OE·CE＝12，求k的值；‎ ‎（2）如图2，作BF⊥y轴于F，求证：EF∥CD；‎ ‎（3）在（1）（2）的条件下，EF＝，AB＝2，P是x轴正半轴上一点，且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．‎ 图1‎ A B D C E x O y A B D C E x O y 图2‎ F A B D C E x O y 备用图 F ‎23．（上海模拟）A O y x B E F P 已知点P是函数y＝ x（x＞0）图象上一点，PA⊥x轴于点A，交函数y＝ （x＞0）图象于点E，PB⊥y轴于点B，交函数y＝ （x＞0）图象于点F．（点E、F不重合）‎ ‎（1）求证：EF∥AB；‎ ‎（2）若k＝1，试问：△OEF能否为直角三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ 四、二次函数 ‎1．（北京）已知二次函数y＝( t＋1)x 2＋2( t＋2)x＋ 在x＝0和x＝2时的函数值相等．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A（－3，m），求m和k的值；‎ ‎（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx＋6向上平移n个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．‎ x O y ‎1‎ ‎1‎ ‎2．（北京模拟）已知抛物线y＝－x 2＋( m－2)x＋3( m＋1)．‎ ‎（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；‎ ‎（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧）时，如果∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角，求m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△PAO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式．‎ ‎3．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝－ x 2＋bx＋c的图象经过点A（－1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．‎ y x O A B ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；‎ ‎（2）求证：∠ABO＝∠CBO；‎ ‎（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．‎ ‎4．（安徽）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方‎2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a( x－6)2＋h．已知球网与O点的水平距离为‎9m，高度为‎2.43m，球场的边界距O点的水平距离为‎18m．‎ ‎（1）当h＝2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；‎ ‎（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；‎ ‎（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．‎ x O y A ‎2‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎18‎ 球网 边界 ‎5．（安徽某校自主招生）已知二次函数y＝x 2－2mx＋1．记当x＝c时，相应的函数值为yc，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x ≤1的任意实数a、b，总有ya＋yb ≥1．如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．‎ ‎6．（浙江模拟）已知二次函数y＝x 2＋ax＋a－2．‎ ‎（1）证明：不论a取何值，抛物线y＝x 2＋ax＋a－2的顶点P总在x轴的下方；‎ ‎（2）设抛物线y＝x 2＋ax＋a－2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）在第（2）的条件下，设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使△ACD的面积等于 的抛物线有几条？请证明你的结论．‎ ‎7．（江苏镇江）对于二次函数y＝x 2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t( x 2－3x＋2)＋( 1－t )( －2x＋4 )称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．‎ 现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务：‎ ‎【尝试】‎ ‎（1）当t＝2时，抛物线y＝t( x 2－3x＋2)＋( 1－t )( －2x＋4 )的顶点坐标为____________；‎ ‎（2）判断点A是否在抛物线E上；‎ ‎（3）求n的值；‎ ‎【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为____________．‎ ‎【应用1】二次函数y＝－3x 2＋5x＋2是二次函数y＝x 2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；‎ O A ‎1‎ ‎1‎ x y ‎【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过A、B、C、D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．‎ ‎8．（江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米．某炮位于坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度y（千米）与飞行的水平距离x（千米）满足关系式y＝kx－ (1＋k 2)x 2（k＞0），其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ O x(千米)‎ y(千米)‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为‎3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎9．（江苏模拟）已知一次函数y＝kx＋b与二次函数y＝2ax 2＋2mx＋c（m为整数）的图象交于A（2－2 ，3－2 ）、B（2＋2 ，3＋2 ）两点，二次函数y＝2ax 2＋2mx＋c和y＝ax 2＋mx＋c－1的最小值的差为l．‎ ‎（1）若一次函数y＝kx＋b与二次函数y＝ax 2＋mx＋c－1的图象交于C、D两点，求| CD|值．‎ ‎（2）问是否存在点P，从点P作一射线分别交两个二次函数的图象于M，N，使得 为常数？若存在，求出点P的坐标和该常数；若不存在，请说明理由．‎ ‎10．（四川某校自主招生）一开口向上抛物线与x轴交于A（m－2，0）、B（m＋2，0）两点，顶点为C，AC且⊥BC．‎ ‎（1）若m为常数，求抛物线解析式；‎ ‎（2）点Q在直线y＝kx＋1上移动，O为原点，当m＝4时，直线上只存在一个点Q使得∠OQB＝90°，求此时直线解析式．‎ ‎11．（湖南娄底）已知二次函数y＝x 2－( m 2－2)x－‎2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足 ＋ ＝ ．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ O x y ‎（2）探究：在直线y＝x＋3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．‎ ‎12．（湖北荆州、荆门）已知：y关于x的函数y＝( k－1)x 2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足( k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．‎ ‎①求k的值；②当k≤x ≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值与最大值．‎ ‎13．（湖北随州）在－次数学活动课上，老师出了－道题：‎ ‎（1）解方程x 2－2x－3＝0．‎ 巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．‎ 接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：‎ ‎（2）解关于x的方程mx 2＋( m－3)x－3＝0（m为常数，且m≠0）．‎ 老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题：‎ ‎（3）已知关于x的函数y＝mx 2＋( m－3)x－3（m为常数）．‎ ‎①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；‎ x y ‎－3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎－3‎ ‎－6‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围．‎ 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.．‎ ‎14．（广东肇庆）已知二次函数y＝mx 2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO－tan∠CBO＝1．‎ ‎（1）求证：n＋4m＝0；‎ ‎（2）求m、n的值；‎ ‎（3）当p＞0且二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．‎ ‎15．（福建模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x和函数y2＝－x＋6，不论x取何值，y0都取y1与y2二者之中的较小值．‎ ‎（1）求y0关于x的函数关系式；‎ ‎（2）现有二次函数y＝x 2－8x＋c，若函数y0和y都随着x的增大而减小，求自变量x的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的结论下，若函数y0和y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．‎ 五、概率 ‎1．（浙江杭州）有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7．‎ ‎（1）设组中最多有n个三角形，求n的值；‎ ‎（2）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．‎ ‎2．（山东济宁）有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别写有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．‎ ‎（1）请用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；‎ ‎（2）如果在（1）中各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率；‎ ‎（3）若两种正多边形构成平面镶嵌，p、q表示这两种正多边形的个数，x、y表示对应正多边形的每个内角的度数，则有方程px＋qy＝360，求每种平面镶嵌中p、q的值．‎ 正六边形 D 正三角形 A 正方形 B 正五边形 C ‎3．（山东潍坊）田忌赛马的故事为我们所熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取的牌不能放回．‎ ‎（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；‎ ‎（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．‎ ‎4．（成都某校自主招生）有十张正面分别标有数字－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式ax＋b＞0中的系数a，如果该不等式有正整数解的概率为 ，求b的取值范围．‎ ‎5．（湖北黄冈）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3、4．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜．‎ ‎①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．‎ ‎②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．‎ 六、三角形 ‎1．（北京）在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．‎ ‎（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；‎ ‎（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；‎ ‎（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．‎ 图2‎ A B C Q P M 图1‎ A B C Q M ‎(P)‎ ‎2．（北京模拟）已知，点P是∠MON的平分线OT上的一动点，射线PA交直线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB＋∠MON＝180°．‎ ‎（1）求证：PA＝PB；‎ ‎（2）若点C是直线AB与直线OP的交点，当S△POB ＝3S△PCB 时，求 的值；‎ ‎（3）若∠MON＝60°，OB＝2，直线PA交射线ON于点D，且满足∠PBD＝∠ABO，求OP的长．‎ M T N O M T N O 备用图 M T N O 备用图 ‎ ‎ ‎3．（北京模拟）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF．‎ ‎（1）如图1，当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；‎ ‎（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；‎ ‎（3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°，BE、CD交于点G．若∠DCF＝30°，求 及 的值．‎ A B C D E F 图2‎ A B C D E F 图3‎ G A B C D E F 图1‎ ‎4．（上海模拟）如图，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．‎ ‎（1）当点F在射线CA上时 ‎①求证：PF＝PE．‎ ‎②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．‎ ‎（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．‎ A C B P D 备用图 A C B F P D G E ‎5．（上海模拟）已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，sinB＝ ．点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．‎ ‎（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；‎ ‎（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；‎ ‎（3）如图③，当PQ经过△ABC的重心G时，求BP的长．‎ A D C B P Q 图③‎ G A D C B P Q 图①‎ A D C B P Q 图②‎ E ‎6．（上海模拟）如图，三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．将纸片折叠，使点B落在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、F．‎ ‎（1）设BE＝x，DC＝y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；‎ ‎（2）当△ADF是直角三角形时，求BE的长；‎ ‎（3）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长 ‎（4）过C、D、E三点的圆能否与AB边相切？若能，求BE的长；若不能，说明理由．‎ A B C A B C D E F 如需要答案，可联系手机：13956226259‎ 或 电子信箱：gshbao@sina.com 或QQ：529115098‎ ‎7．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，AD⊥BC于D，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°，连接EF．‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）设AE的长为x，△DEF的面积为S，求S关于x的函数关系式；‎ C B A D 备用图 C B A D E F C B A D 备用图 ‎（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，求AE的长；若不能，请说明理由．‎ ‎8．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，D是BC边上一点，CD＝3，P是AC边上一动点（不与A、C重合），过点P作PE∥BC交AD于点E．‎ ‎（1）设AP＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D能否相切？若能，求tan∠DPE的值；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连接B′C，当∠ACE＝∠BCB′ 时，求AP的长．‎ A D C B P E A D C B 备用图 ‎9．（上海模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是边AB上的一个动点，连接CP，过点B作BD⊥CP，垂足为点D.‎ ‎（1）如图1，当CP经过△ABC的重心时，求证：△BCD∽△ABC；‎ ‎（2）如图2，若BC＝‎2厘米，cotA＝2，点P从点A向点B运动（不与点A、B重合），点P的速度是 厘米/秒，设点P运动的时间为t秒，△BCD的面积为S平方厘米，求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若△PBC是以CP为腰的等腰三角形，求△BCD的面积．‎ C A P B DDD 图2‎ C A P B DDD 图1‎ C A B 备用图 ‎10．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，AB＝10，tanA＝ ．点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q．设EP＝x，BQ＝y．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式及定义域；‎ ‎（2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求∠PE的长；‎ ‎（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．‎ A B P C Q E A B C E 备用图 A B C E 备用图 ‎11．（上海模拟）如图1，在Rt△AOC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB＝6，BC＝12，∠ABO＋∠C＝90°，动点M和N分别在线段AB和AC边上．‎ ‎（1）求证：△AOB∽△COA，并求cosC的值；‎ ‎（2）当AM＝4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；‎ ‎（3）如图2，当MN∥BC时，以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN．设MN＝x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ A O N E C B M 图2‎ A O N C B M 图1‎ ‎12．（上海模拟）把两块边长为4的等边三角板ABC和DE如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M．把三角板ABC固定不动，将三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点Q（如图2）．‎ ‎（1）当0°＜α＜60°时，求AM·CN的值；‎ ‎（2）当0°＜α＜60°时，设AM＝x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式并确定自变量x的取值范围；‎ ‎（3）当BM＝2时，求两块三角板重叠部分的面积．‎ A B C D E F M 图2‎ N A B C D E F M 图1‎ A B C 备用图 ‎13．（上海模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，CD⊥AB，垂足为点D，点E、F分别在边AC、BC上，且∠EDF＝60°．设AE＝x，BF＝y．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）△BDF能否成为等腰三角形？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由．‎ A F B C D E ‎14．（上海模拟）如图，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和等边△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．‎ ‎（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；‎ ‎（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求此时 的值；‎ ‎（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD 2是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，请说明理由．‎ D A C B P E 备用图 D A C B P E A B C D E F G H ‎15．（上海模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是AC边的中点，E是BC边上一动点（不与端点重合），EF∥BD交AC于F，交AB延长线于G，H是BC延长线上的点，且CH＝BE，连接FH．设BE＝x，CF＝y．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）连接AE，当以GE为半径的⊙G和以FH为半径的⊙F相切时，求tan∠BAE的值；‎ ‎（3）当△BEG与△FCH相似时，求BE的长．‎ A B C D 备用图 A B C D 备用图 ‎16．（上海模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），AD⊥AB，垂足为点A．连接MO，将△BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线MB1与AC、AD分别交于点F、N．‎ ‎（1）当∠CMF＝120° 时，求BM的长；‎ ‎（2）设BM＝x，y＝ ，求y关于x的函数关系式。并写出自变量x的取值范围；‎ D A C B N O F M B1‎ ‎（3）连接NO，与AC边交于点E，当△FMC∽△AEO时，求BM的长．‎ ‎17．（上海模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，cosB＝ ，点D在射线AB上，DE∥BC交射线AC于点E，点F在AE的延长线上，且EF＝ AE，以DE、EF为邻边作□DEFG，连接BG．‎ ‎（1）当EF＝FC时，求△ADE的面积；‎ ‎（2）设AD＝x，□DEFG与△ABC重合部分的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎（3）当△DBG是等腰三角形时，求AD的长．‎ A B C 备用图 A B D E C G F ‎18．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cos∠BAC＝ ，点O在AB上，且CA＝CO＝6．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，且C′ 落在CO的延长线上，连接BB′ 交CO的延长线于点D，‎ A B O B′‎ D C C′‎ ‎（1）求证：△COA∽△BOD ‎（2）求BD的长．‎ ‎19．（安徽）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a、AC＝b、AB＝c．‎ ‎（1）求线段BG的长；‎ ‎（2）求证：DG平分∠EDF；‎ ‎（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．‎ D A B C G F E 图2‎ D A B C G F E 图1‎ ‎20．（浙江金华、丽水）在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝ ．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝ ，AC与y轴交于点E．‎ ‎（1）求AC所在直线的函数解析式；‎ ‎（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；‎ x O y A B C E F 备用图 x O y A B C G E F ‎（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（浙江义乌）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°．将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．‎ ‎（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；‎ ‎（2）如图2，连接AA1、CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；‎ ‎（3）如图3，点D为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段DP1长度的最大值与最小值．‎ A B C C1‎ A1‎ 图2‎ A B C C1‎ A1‎ 图1‎ A B C P1‎ D C1‎ A1‎ P 图3‎ ‎22．（浙江模拟）如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP＝x．‎ ‎（1）用含x的代数式表示线段DG的长，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）记△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎（1）设BP＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式；‎ C A D F B E G P ‎（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由．‎ ‎23．（江苏淮安）‎ 阅读理解 如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B‎1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．‎ A B C B1‎ 图3‎ B2‎ A1‎ A B C B1‎ 图2‎ A B C B1‎ B2‎ Bn Bn+1‎ A1‎ A2‎ An 图1‎ ‎…‎ 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B‎1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．‎ 探究发现 ‎（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？_________（填“是”或“不是”）．‎ ‎（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．‎ 根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为________________．‎ 应用提升 ‎（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．‎ 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．‎ ‎24．（江苏宿迁）（1）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝ ∠ABC（0°＜∠CBE＜ ∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按顺时针方向旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′ 处），连接DE′．求证：DE′＝DE．‎ ‎（2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝ ∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE 2＝AD 2＋EC 2．‎ A B C E′‎ 图1‎ E D A B C 图2‎ E D ‎25．（江苏镇江）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．‎ ‎（1）求证：AM＝AN；‎ ‎（2）设BP＝x．‎ ‎①若BM＝ ，求x的值；‎ ‎②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；‎ ‎③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD＝15°？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．‎ A B C E D P M N 图2‎ G H A B C E D P M N 图1‎ B M Q O P N A y x ‎26．（江苏模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与端点重合），过点P作PQ⊥x轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN．连接AN并延长交x轴于点B，连接ON，设OQ＝t．‎ O A y x 备用图 ‎（1）求tan∠BON的值；‎ ‎（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；‎ ‎（3）是否存在点P，使以B、M、N为顶点的三角形与△MON相似，若存在，请求出B点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎27．（江苏模拟）在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A（t，0）是x轴上一动点，M是线段AC的中点．把线段AM绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．‎ ‎（1）若t＝3，则点B的坐标为____________，若t＝－3，则点B的坐标为____________；‎ ‎（2）当t为何值时，△BCD的面积等于6 ？‎ B E A O M D C y x O C y x 备用图 ‎（3）是否存在t，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．‎ C A B D E F ‎28．（江苏模拟）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，∠BAE＝135°，AC＝2，AD＝1，F为BE的中点．‎ ‎（1）求CF的长；‎ ‎（2）将△ADE绕点A旋转一周，求点F运动路径的长．‎ ‎29．（江苏模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝‎10cm，BC＝‎12cm，点D为AC边上一点，且AD＝‎8cm．动点E从点B出发，以‎1cm/s的速度沿线段BC向终点C运动，F是射线CA上的动点，且∠DEF＝∠B．设运动时间为t s，CF的长为y cm．‎ ‎（1）求y与t之间的函数关系式及点F运动路线的长；‎ ‎（2）当以点B为圆心，BE长为半径的⊙B与以点C为圆心，CF长为半径的⊙C相切时，求t的值；‎ ‎（3）当△CEF为等腰三角形时，求t的值．‎ F E D C A B O D C A B O 备用图 ‎30．（江苏模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝8，tanC＝ ，BD＝CD，E、F分别是线段BC、BDC上的动点（点E与点B、C不重合），且∠DEF＝∠ADB．设CE＝x，DF＝y．‎ ‎（1）求BC和BD的长；‎ A B C DM EM FM ‎（2）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）当△DEF为等腰三角形时，求x的值．‎ A B F E D C G ‎31．（江苏模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，E是AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE＝45°．‎ ‎（1）求证：BD·BC＝BG·BE；‎ ‎（2）求证：AG⊥BE；‎ ‎（3）若E是AC的中点，求 的值．‎ ‎32．（河北）如图1，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．‎ ‎（1）AE和ED的数量关系为______________，‎ AE和ED的位置关系为______________；‎ ‎（2）在图中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到了图2和图3．‎ ‎①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1 : 2，H是EC的中点．‎ 求证：GH＝HD，GH⊥HD．‎ ‎②在图3中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k : 1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．‎ B E A D C 图1‎ B E A D C 图3‎ G F H B E A D C 图2‎ G F H ‎33．（河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝ ．‎ 探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝__________，AC＝__________，△ABC的面积S△ABC ＝__________．‎ 拓展 如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E，F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与A重合时，我们认为S△ABD ＝0）‎ ‎（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD 及S△CBD ；‎ ‎（2）求( m＋n )与x的函数关系式，并求( m＋n )的最大值和最小值；‎ ‎（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．‎ 发现 请你确定一条直线，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．‎ A C H B 图1‎ A C E B 图2‎ D F ‎34．（河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，在△ABC中，BC＝2AB，点B的坐标为（－4，0），点D是BC的中点，且tan∠ACB＝ ．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）点P从C点出发，沿线段CB以每秒5个单位的速度向终点B匀速运动，过点P作PE⊥AB，垂足为E，PE交直线AC于点F，设EF的长为y（y≠0），点P的运动时间为t秒，求y与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点O作OQ∥AC交AB于Q点，连接DQ．是否存在这样的t值，使△FDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ O C B A x y D 备用图 O C B A x y D 备用图 O C B A x y D E F P ‎35．（山西模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴相交于A（2，0），B（0，）两点，将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转得到Rt△A′OB′．‎ ‎（1）求直线l的解析式；‎ ‎（2）若OA′⊥AB，垂足为D，求点D的坐标；‎ ‎（3）如图2，若将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°，A′B′ 与直线l相交于点F，点E为x轴上一动点．试探究：是否存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′ 相似．若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y B F l A x O B′‎ A′‎ 图2‎ y B D l A x O B′‎ A′‎ 图1‎ ‎36．（陕西）如图，正三角形ABC的边长为3＋．‎ ‎（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′ 的面积最大（不要求写作法）；‎ ‎（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′ 的边长；‎ ‎（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．‎ B C A 图②‎ E F M N P D H B C A 图①‎ E F P N ‎37．（陕西模拟）（1）如图1，△ABC在平面坐标系内，点A（0，3），B（－3，0），C（2，0）．一动点由点A沿y轴向下运动，运动到线段OA上的G点时，再沿GC到达C．若由A到G方向的速度是G到C方向的速度的2倍，要使动点由A－G－C所用的时间最短，求点G的坐标；‎ ‎（2）如图2，A、B两村相距10千米，且tanA＝ ，现计划修一条公路把A、B两村连接起来，由于A、B两村之间有些重要的建筑物不能直接经过，故计划先沿水平AC方向修到某处M，再由M处沿山坡修到B村．‎ ‎①若由A到M的速度是M到B的速度的 倍，要尽快完成任务，求AM的长；‎ ‎②若由A到M的速度是M到B的速度的3倍，要尽快完成任务，求AM的长；‎ ‎③若由A到M的速度是M到B的速度的n倍，要尽快完成任务，直接写出AM的长．‎ O C B A y 图1‎ x M C A 图2‎ B ‎38．（新疆乌鲁木齐）如图，已知点A（－12，0），B（3，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB＝90°．‎ O B A y x C D ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求Rt△ACB的角平分线CD所在直线l的解析式；‎ ‎（3）在l上求出满足S△PBC ＝ S△ACB的点P的坐标；‎ ‎（4）已知点M在l上，在平面内是否存在点N，使以O、‎ C、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎39．（内蒙古赤峰）如图所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是‎3km、‎4km（即AC＝‎3km，BE＝‎4km），AB＝x km，现设计两种方案；‎ 方案一：如图①所示，AP⊥l于点P，泵站修建在P处，该方案中管道长度a1＝AB＋AP；‎ C A B E l 方案二：如图②所示，点A′ 与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2＝AP＋BP ‎（1）在方案一中，a1＝____________km（用含x的式子表示）；‎ ‎（2）在方案二中，a2＝____________km（用含x的式子表示）；‎ ‎（3）请你分析要使铺设的输气管道最短，应选择方案一还是方案二．‎ P A B l 图②‎ C P A B l 图①‎ ‎(C)‎ ‎40．（黑龙江哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O坐标原点，直线y＝2x＋4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y＝－x＋m经过点C，交x轴于点D．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O，B两点重合），过点P作x轴的平行线，分别交AB，OC，DC于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH＝∠ABO．求此时t的值及点H的坐标．‎ O A y x 备用图 B C D O A y x B C D ‎41．（黑龙江哈尔滨）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．‎ ‎（1）如图l，求证：PC＝AN；‎ ‎（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE＝∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP＝2，PC＝3，CK : CF＝2 : 3，求DQ的长．‎ Q A P B C M N ‎（图1）‎ Q A P B C M N ‎（图2）‎ K D E N F ‎42．（哈尔滨模拟）已知△ABC中，∠ACB＝2∠BAC，点E在边AC上，且AE＝BE，CD平分∠ACB交AB于点D，连接DE．‎ ‎（1）如图1，求证：BD＝ED；‎ B D A C P E Q B′‎ 图2‎ ‎（2）设线段CD、BE相交于点P，将∠BAC沿直线AC翻折得到∠B′AC（如图2），射线AB′ 交BE延长线于点Q，连接CQ．若DE : BC＝2 : 3，求∠ACQ的正切值．‎ B D A C P E 图1‎ ‎43．（哈尔滨模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，点P、D分别在边AB、AC上，且PC＝PD．‎ ‎（1）如图1，若tanB＝1，请写出线段CD与线段PB的数量关系；‎ ‎（2）如图2，若tanB＝2，求证：2BC＝AD＋ PB．‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，若点B关于直线CP的对称点E恰好落在边AC上，连接PE、BD分别交PE、CP于M、N两点，且AD＝2，求线段MN的长．‎ P B A C E 图3‎ D M N P B A C D 图2‎ P B A C D 图1‎ ‎44．（哈尔滨模拟）已知△ABC中，∠ACB＝2∠ABC，AD为∠BAC的平分线，E为线段AC上一点，过E作AD的垂线交直线AB于F．‎ ‎（1）如图1，当点E与点C重合时，求证：BF＝DE；‎ A B D N C E F M 图2‎ A B D C F 图1‎ ‎(E)‎ ‎（2）如图2，连接BE交AD于点N，M是BF的中点，连接DM．若DM⊥BF，DC＝4，S△ABD : S△ACD＝3 : 2，求DN的长．‎ ‎45．（辽宁沈阳）已知，如图①，∠MON＝60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB＝4，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．‎ ‎（1）求AP的长；‎ ‎（2）求证：点P在∠MON的平分线上；‎ ‎（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．‎ ‎①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；‎ ‎②若CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．‎ A P B O M N 图②‎ C D E F A P B O M N 图①‎ ‎46．（辽宁抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE．‎ ‎（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并结合图①证明你的结论；‎ ‎（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；‎ ‎（3）若AC＝3，点D在直线BC上移动的过程中，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请说明理由．‎ B A C 备用图 B D A C E 图②‎ B D A C E 图①‎ ‎47．（辽宁模拟）A B P G C E F H Q M N R S D 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝6，AD＝4．矩形EFGH内接于△ABC（FG在BC边上），正方形PQMN内接于△AEH（QM在EH边上），PN、EH分别交AD于点R、S．设AE＝x．‎ ‎（1）试用x的代数式表示线段PN、EH的长；‎ ‎（2）设S＝S正方形PQMN ＋ S矩形EFGH ‎①求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎②当x取何值时，S有最大值？‎ ‎（3）连接FH，当△HFC是等腰三角形时，求x的值．‎ ‎48．（四川成都）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．‎ ‎（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；‎ ‎（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝a，CQ＝ a时，P，Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．‎ A P F B Q C E 图②‎ D A P F B Q C E 图①‎ D ‎49．（四川南充）在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．‎ ‎（1）求证：MA＝MB；‎ M P Q O A B ‎（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎50．（四川攀枝花）如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC＝6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP＝y，PE＝x．‎ ‎（1）当x＝ EF时，求S△DPE : S△DBC 的值；‎ ‎（2）当CQ＝ CE时，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）①当CQ＝ CE时，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎②当CQ＝ CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式．‎ A C B P F E D Q ‎（2）‎ A C B P F E D Q ‎（1）‎ ‎51．（四川宜宾）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF．将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．‎ A C B F E D M ‎（1）求证：△ABE∽△ECM；‎ ‎（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．‎ ‎52．（四川某校自主招生）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别是高和角平分线，若△BCE的面积为15，△CDE的面积为3，求△ABC的面积．‎ E A F D B C ‎53．（四川模拟）已知三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．折叠纸片，使点A落在BC边上的点D处，折痕为EF（点E在AB上，点F在AC上）．‎ ‎（1）当D是BC的中点时，求EF的长；‎ ‎（2）当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求EF的长；‎ ‎（3）△BDE能否成为以DE为腰的等腰三角形？若能，求AE的长；若不能，说明理由．‎ ‎54．（湖南娄底）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，BC＝8，D在边BC上，E在线段DC上，DE＝4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．‎ ‎（1）求证：△BMD∽△CNE；‎ ‎（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？‎ A C B F D E M N ‎（3）设BD＝x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．‎ ‎55．（湖南邵阳）如图所示，直线y＝－ x＋b与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将△AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）设点P为线段CA上的一个动点（点P与点A、C不重合），连接PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM＝∠BAC．‎ ‎①求证：△PBC∽△MPA；‎ ‎②是否存在点P使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A C B O x y 备用图 A P M C B O x y ‎56．（湖南岳阳）‎ ‎（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．‎ ‎（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？‎ ‎（3）深入探究：‎ Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′ 与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．‎ Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其它作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．‎ B C 图③‎ A D F F′‎ B C 图②‎ A D F B C 图①‎ A D F B C 图④‎ A D F F′‎ ‎57．（湖北武汉）在锐角三角形ABC中，BC＝5，sinA＝ ．‎ ‎（1）如图1，求△ABC的外接圆的直径；‎ ‎（2）如图2，点I为△ABC的内心，若BA＝BC，求AI的长．‎ B C A 图2‎ I B C A 图1‎ ‎58．（湖北武汉）已知△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝6．‎ ‎（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；‎ ‎（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．‎ ‎①请你在所给的网格中画出格点△A1B‎1C1，使得△A1B‎1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）‎ ‎②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．‎ 图2‎ B C A M 图1‎ ‎59．（湖北黄石）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B‎1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．‎ ‎（1）请你探究： ＝ ， ＝ 是否都成立？‎ ‎（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问 ＝ 一定成立吗？并证明你的判断．‎ ‎（3）如图（2）所示：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝ ，E为AB上一点且AE＝5，CE交其内角角平分线AD于F，试求 的值．‎ C C1‎ D B A B1‎ 图（1）‎ C D EB A B 图（2）‎ F ‎60．（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田）△ABC中，AB＝AC，D为BC边中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B．‎ ‎（1）如图（1），当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形；‎ ‎（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；‎ N A D C B E 图（1）‎ M N A D C B E 图（2）‎ M F N A D C B E 备用图 M F ‎（3）在图（2）中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当△DEF的面积等于△ABC面积的 时，求线段EF的长．‎ ‎61．（湖北某校自主招生）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC．‎ ‎（1）如图1，当∠APB＝90°时，‎ ‎①求证：PC平分∠ACB；②若PC＝6，求BC的长；‎ ‎（2）如图2，当∠APB＝60°，PC＝5 时，求BC的长．‎ A C B P 图1‎ A C B P 图2‎ ‎62．（湖北某校自主招生）在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y＝ x平行，AB长为8，若点P是直线l上的动点，求△PAB的内切圆面积的最大值．‎ A B O y x l ‎63．（湖北某校自主招生）已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．过点C作直线l∥AB．点D在线段BC上，点E在直线l上．若∠ADE＝120°，CE＝1，求DC的长．‎ ‎64．（湖北模拟）图1是边长分别为4 和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′ 叠放在一起（C与C′ ‎ 重合）．‎ ‎（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′ 绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD，BE，CE的延长线交AB于F（图2）．‎ 探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；‎ ‎（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）．‎ 探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．‎ C A E B ‎(C′)‎ 图2‎ D F C A E′‎ B D′‎ ‎(C′)‎ 图1‎ C A Q B 图3‎ F P R ‎65．（湖北模拟）在等腰△ABC中，AB＝AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD．‎ ‎（1）如图1，若∠BAC＝30°，30°＜m ＜180°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC的度数；‎ ‎（2）如图2，若∠BAC＝60°，0°＜m ＜360°，连接BD、DC，直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值________________________；‎ ‎（3）如图3，若∠BAC＝90°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使 ＝，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．‎ A B D C 图2‎ A B D C 图1‎ A B D C 图3‎ E ‎66．（广西桂林）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．‎ ‎（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；‎ ‎（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△FED的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．‎ A B C D E F 图2‎ A B C D E F 图1‎ ‎67．（福建龙岩）如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．‎ ‎（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为__________；‎ ‎（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；‎ ‎（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC＝‎2a，那么，BC边上的高AD＝_________，‎ 正方形EFGH的对角线长为__________．‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ 图4‎ A B D C B D ‎(A)‎ E F C E F H D G A B C ‎68．（福建南平）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1＝∠B＝∠C．‎ A B C D E ‎1‎ ‎（1）由题设条件，请写出三个正确结论；（要求：不再添加其它字母和辅助线，找结论过程中添加的字母或辅助线不能出现在结论中，不必证明）‎ 答：结论一：________________________；‎ 结论二：________________________；‎ 结论三：________________________．‎ ‎（2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与点B、C重合），‎ A B C ‎（备用图）‎ ‎①求CE的最大值；‎ ‎②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．‎ ‎（注意：在第（2）小题求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）‎ ‎69．（福建莆田）‎ ‎（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D．求证：AB 2＝AD·AC；‎ ‎（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．若 ＝ ＝1，求 的值；‎ B F A C E D B A C D 图①‎ 图②‎ ‎（3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若 ＝ ＝n，请探究并直接写出 的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．‎ ‎70．（福建宁德）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：‎ 如图1，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．‎ ‎（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；‎ ‎（2）当0°＜α ≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD 2＋CE 2＝DE 2．‎ 同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：‎ 小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；‎ 小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）．‎ 请你从中任选一种方法进行证明；‎ ‎（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45°＜α ＜135°且α≠90°时，等量关系BD 2＋CE 2＝DE 2仍然成立．现请你继续探究：当135°＜α ＜180°时（如图4），等量关系BD 2＋CE 2＝DE 2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．‎ A B C 图4‎ A B C D E G 图3‎ A B C D E F 图2‎ A B C D E M 图1‎ ‎71．（福建模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB边上的一动点（不与A、B重合），过D作DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′ 处，连接BA′ ．设AD＝x，△ADE的边DE上的高为y．‎ ‎（1）求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）当x取何值时，以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；‎ ‎（3）当x取何值时，△A′DB是直角三角形？‎ ‎（4）当x取何值时，△A′DB是等腰三角形？‎ A C B 备用图 A C B E D A′‎ ‎72．（福建模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是射线CA上的一个动点（不与C、A重合），DE⊥直线AB于E点，点F是BD的中点，过点F作FG⊥直线AB于G点，连接EF，设AD＝x．‎ ‎（1）①若点D在AC边上，求FG的长（用含x的式子表示）；‎ ‎②若点D在射线CA上，△BEF的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．‎ ‎（2）若点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相交于O点，当DP＋FP的值最小时，猜想DO与PO之间的数量关系，并加以证明．‎ A G F B E D C A B C 备用图 ‎73．（福建模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D、E分别是边AB、AC上的动点．将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处．‎ ‎（1）当DE∥BC时，判断以DE为直径的圆与BC的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）当△DEF为等腰三角形时，求AD的长；‎ ‎（3）若以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，求AD的长；‎ ‎（4）随着点D、E的移动，点F位置也在不断变化，当点D从点B开始移动，至点E与点C重合，直接写出这一过程中点F移动的路径的长．‎ E D A B C F A B C 备用图 ‎74．（上海模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是边AB上的一个动点，过点P作PD⊥AB交BC相于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E在边BC上，F在边AC上．‎ ‎（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，求y关于x的函数关系式，并确定函数的定义域；‎ ‎（2）当P、G、F三点共线时，求BP的长；‎ ‎（3）P、D、G三点能否构成等腰三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．‎ B C A 备用图 B C A 备用图 E P D B C A F G ‎75．（浙江模拟）如图，已知直线l：y＝3x＋6与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C的坐标为（8，0）．直线l沿x轴正方向平移m个单位（0＜m＜10）得到直线l′，直线l′ 与x轴、直线BC分别相交于点D、E．‎ ‎（1）求sin∠ACB的值；‎ ‎（2）当△CDE的面积为 时，求直线l′ 的解析式；‎ E A B D x O y l l′‎ C ‎（3）将△CDE沿直线l′ 对折得到△C′DE，记△C′DE与四边形ADEB重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求当S最大时四边形DCEC′ 的周长．‎ ‎76．（江苏模拟）车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置）．例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽‎4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过．‎ ‎（1）试说明长‎8m，宽‎3m的消防车不能通过该直角转弯；‎ ‎（2）为了能使长‎8m，宽‎3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（ 和 分别是以O为圆心，以OM和ON为半径的弧），具体方案如图3，其中OM⊥OM ′ ，请你求出ON的最小值．‎ 图2‎ D B A G C E F 图3‎ N O M M ′‎ N ′‎ ①‎ ②‎ ③‎ 图1‎ ‎77．（上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为AB中点，以O为坐标原点，x轴与AC平行，y轴与CB平行，建立直角坐标系，AC与y轴交于点M，BC与x轴交于点N．将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点O处，绕点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q．‎ ‎（1）证明：△OMP∽△ONQ；‎ A B P C x O M y Q N ‎（2）若∠A＝60°，AB＝4，设点P的横坐标为x，PQ长为y．当点P在边AC上运动时，求y关于x的函数关系式及定义域；‎ ‎（3）若∠A＝60°，AB＝4，当△PQC的面积为 时，求CP的长．‎ E A B C F P D G ‎78．（江苏模拟）如图，已知线段AB长为12，点C、D在线段AB上，且AC＝DB＝2．动点P从点C出发沿线段CD向点D移动（移动到点D停止），分别以AP、BP为斜边在线段AB同侧作等腰Rt△AEP和等腰Rt△BFP，连接EF，设AP＝x．‎ ‎（1）求线段EF长的最小值；‎ ‎（2）当x为何值时，△EPF的外接圆与AB相切；‎ ‎（3）求四边形AEFB的面积y与x的函数关系式；‎ ‎（4）设EF的中点为G，直接写出整个运动过程中点G移动的路径的长．‎ ‎79．（北京模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CB、CA延长线上的点，BE与AD的交点为P．‎ ‎（1）若BD＝AC，AE＝CD，在图1中画出符合题意的图形，直接写出∠APE的度数；‎ ‎（2）若AC＝BD，CD＝AE，求∠APE的度数（利用图2作答）．‎ A B C 图1‎ A B C 图2‎ 七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 ‎1．（天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′ 和折痕OP．设BP＝t．‎ ‎（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′ 上，得点C′ 和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′ 恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．‎ A B x O y C P B′‎ 图②‎ C′‎ Q A B x O y C P B′‎ 图①‎ ‎2．（天津模拟）如图，在梯形ABCO中，A（0，2），B（4，2），点C为x轴正半轴上一动点，M为线段BC中点．‎ ‎（1）设C（x，0），S△AOM ＝y，求y与x的函数关系式；‎ ‎（2）如果以线段AO为直径的⊙D和以BC为直径的⊙M外切，求点C的坐标；‎ ‎（2）连接OB交线段AM于N，如果以A、N、B为顶点的三角形与△OMC相似，求直线CN的解析式．‎ C A B O M x D y ‎3．（上海模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AB边上一点（与A、B不重合），EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH＝∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．‎ ‎（1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；‎ ‎（2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE＝x，DN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长．‎ A E B F C 备用图 D A E B N D C 图1‎ F ‎(H)‎ A B E N D C F H 图2‎ ‎4．（上海模拟）已知在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝2DE，CE＝2BE，∠ADE＝∠ECD，DE＝CE＝4．‎ ‎（1）如图1，求证：DE∥CB；‎ ‎（2）如图2，点F是线段EB上一动点（不与E重合），连接CF并延长交DE的延长线于点G，设EF＝x，DG＝y，求y与x的函数关系式；‎ C A D E B 图1‎ C A D E B 图2‎ F G ‎（3）点P在线段AE上一动点（不与E重合），连接CP交DE于点Q，当△PQE是等腰三角形时，求AP的长．‎ C A D E B 备用图 如需要答案，可联系手机：13956226259‎ 或 电子信箱：gshbao@sina.com 或QQ：529115098‎ ‎5．（上海模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝3，DC＝6，BC＝5．点E是边DC上任意一点，点F在边AB的延长线上，且AE＝AF，连接EF，与边BC相交于点G．‎ ‎（1）设BF＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；‎ ‎（2）当四边形BECF是平行四边形时，求BF的长；‎ ‎（3）当点E在边DC上移动时，△BFG能否成为等腰三角形？如果能，求BF的长；如果不能，请说明理由．‎ A B D C 备用图 A B D C E F G ‎6．（上海模拟）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN（MN交AB于M，交AD于N）．‎ ‎（1）如图1，当BE＝ 时，求AM的长；‎ ‎（2）当点E在BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；‎ A B D C 备用图 A B D C 备用图 A B D C N E M 图1‎ ‎（4）连接DE，是否存在这样的点E，使△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长，若不存在，请说明理由．‎ N K G C E D F A B P M ‎7．（上海模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；‎ ‎（2）当△NPF的面积为32时，求x的值；‎ ‎（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由．‎ ‎8．（上海模拟）已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF＝45°，连接EF．‎ ‎（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；‎ ‎（2）设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；‎ ‎（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以E为圆心，以BE为半径的⊙E和以F为圆心，以FD为半径的⊙F之间的位置关系；‎ A B D C E F G 图2‎ A B D C E F 图1‎ ‎（4）如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G．问：△EGF与△EFA能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由．‎ D B A C E ‎9．（上海模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝2，AD＝1，连接BD，作∠EBC＝∠ABD，交边CD于E．‎ ‎（1）设BC＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎（2）当BE⊥CD时，求BC的长；‎ ‎（3）当△BDE是等腰三角形时，求BC的长．‎ ‎10．（重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．‎ ‎（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；‎ ‎（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM．是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．‎ B A C D B A C D 备用图 D A C B E F ‎11．（浙江金华、丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．‎ ‎（1）当点E是AB的中点时，求线段DF的长；‎ ‎（2）若射线EF经过点C，求AE的长；‎ ‎（3）设AE＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎12．（浙江嘉兴、舟山）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，∠BAB′＝θ， ＝ ＝ ＝n，我们将这种变换记为[θ，n]．‎ ‎（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′ : S△ABC ＝_________；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为_________度；‎ ‎（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB′C′ 为矩形，求θ和n的值；‎ ‎（3）如图③，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′ 在同一直线上，且四边形ABB′C′ 为平行四边形，求θ和n的值．‎ B A C B′‎ ‎（图②）‎ C′‎ B A C B′‎ ‎（图③）‎ C′‎ B A C B′‎ ‎（图①）‎ C′‎ O x y B G A P F E M D ‎13．（浙江某校自主招生）如图，矩形ABOD中，AB＝6，AD＝8，M是边AD上的点，且AM : MD＝1 : 3．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线OD于点F，过M作EF的垂线交射线BO于点G，连接EG、FG．‎ ‎（1）设AE＝t时，△EFG的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（2）若P是MG的中点，在E点运动的整个过程中，点P到x轴的距离是否为定值？请说明理由；‎ ‎（3）请直接写出E点运动的整个过程中点P的运动路线的长．‎ ‎14．（浙江模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）．射线y＝kx交折线A－B－C于点P，点A关于OP的对称点为A′．‎ ‎（1）当点A′ 恰好在CB边上时，求CA′ 的长及k的值；‎ ‎（2）若经过O、A、A′ 三点的抛物线恰好以A′ 为顶点，求k的值及该抛物线的解析式；‎ ‎（3）如图2，当点P在AB边上，点A′ 在CB上方时，连接A′O、A′P分别交CB边于点E、F．是否存在实数k使得△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有几个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围．‎ B A C x O y 备用图 B A C x O y P A′‎ 图1‎ B A C x O y P A′‎ 图2‎ EP FP A B D y C O E x ‎15．（浙江模拟）如图，点A的坐标为（0，－4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形ABCD随着点B的运动而相应变动．点E为y轴的正半轴与正方形ABCD某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE的长度为m．‎ ‎（1）当t＝3时，求点C的坐标；‎ ‎（2）当t＞0时，求m与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在t，使点M（－2，2）落在正方形ABCD的边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎16．（浙江模拟）如图，直角梯形OABC的直角顶点C在x轴上，C（8，0），∠AOC＝45°，AB＝5，点D是AB边上的一点，且AD : BD＝2 : 3．有一45°角的顶点E在x轴上运动，角的一边过点D，角的另一边与直线OA交于点F（点D、E、F按顺时针排列），连接DF．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）若点E在x轴正半轴上运动，设CE＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式；‎ ‎（3）在点E的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△DEF成为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ B x O y A D 备用图 C B E x O y A D F C y D A C x O B Q P ‎17．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是（5，0），（3，2），点D在线段OA上，BD＝BA，点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是（0，3），设直线PQ的解析式为y＝kx＋b．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）当k是取值范围内的最大整数时，若抛物线y＝ax 2－5ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．‎ D B A C O A′‎ B′‎ C′‎ D′‎ ‎18．（浙江模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD绕中心O顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′‎ ‎（1）求点A在旋转过程中所走过的路径的长；‎ ‎（2）求矩形ABCD在旋转过程中所扫过的面积；‎ ‎（3）若点P为线段BC上一点，且使得∠APA′＝60°，则满足条件的点P有几个？请你选择一个点P求△APA′ 的面积．‎ ‎19．（江苏连云港）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．‎ 问题1：如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD．请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？‎ 问题2：如图2，若P为AB边上任意一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．‎ 问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．‎ B P A D C Q 图（3）‎ E B P A D C Q 图（2）‎ B P A D C Q 图（1）‎ 问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎20．（江苏常州）已知，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）．设CP＝x，DE＝y．‎ ‎（1）写出y与x之间的关系式________________；‎ ‎（2）若点E与点A重合，则x的值为________________；‎ B P A D C E M B P A D C E M ‎（备用图）‎ ‎（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′ 落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（江苏淮安）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0）．将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135°，得到矩形EFGH（点E与O重合）．‎ ‎（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝__________°，OM＝__________；‎ ‎（2）将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位．‎ ‎①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；‎ A O CP FP BP x y ‎(E)‎ GP HP ‎②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0＜t ≤4－2时，S与t之间的函数关系式．‎ ‎22．（江苏模拟）如图，动点P是正方形ABCD边AB上运动(不与点A、B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF．‎ ‎（1）求证：∠ADP＝∠EPB；‎ A P CP FP BP EP DP ‎（2）若正方形ABCD边长为4，点F能否为边BC的中点？如果能，请你求出AP的长；如果不能，请说明理由．‎ ‎（3）当 的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．‎ ‎23．（江苏模拟）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝2AE＝4．将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转α（0°≤α≤60°）．‎ ‎（1）如图2，当∠BEA＝120°时，求DG的长；‎ ‎（2）设BE的延长线交直线DG于点P，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转60°，求旋转过程中点P运动的路线长；‎ ‎（3）在旋转的过程中，是否存在某时刻使得BF＝BC，若存在，试求出DP的长；若不存在，请说明理由．‎ C B A E G D F 图2‎ C B A E G D F 图1‎ C B A D 备用图 ‎24．（江苏模拟）如图，梯形的纸片ABCD中，AD∥BC，AD＝‎4cm，BC＝‎8cm，高为‎8cm．点E是腰AB上的一个动点，过点E作EF∥BC，交DC于点F，设EF＝x cm．‎ ‎（1）若梯形AEFD的高为h1，梯形EBCF的高为h2，则 ＝___________（用含x的式子表示）；‎ ‎（2）将梯形AEFD沿EF折叠，点A落在A1处，点D落在D1处，设梯形A1D1FE与梯形BCFE的重叠面积为S．‎ C B A D E F ‎①求S与x的关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎②当x为何值时，S最大，最大值是多少？‎ ‎25．（江苏模拟）如图，菱形ABCD的边长为‎12cm，∠ABC＝30°，E为AB上一点，且AE＝‎4cm．动点P从B点出发，以‎1cm/s的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）当t为何值时，△MAE的面积为3cm2？‎ ‎（2）在点P出发的同时，动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿DC边向点C运动，连接MQ、PQ，试求△MPQ的面积S（cm2）与t（s）之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△MPQ的面积最大，最大值为多少？‎ ‎（3）连接EQ，则在运动中，是否存在这样的t，使得△PQE的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的t的个数，并选择其一求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．‎ A B D Q C P E M A B D C E 备用图 ‎26．（江苏模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以AC、BC、AB为边在AB 的同侧作正方形ACDE、正方形BCFG和正方形ABHK，设AK与CD交于点M，KH与CF交于点N．‎ ‎（1）求证：点H在线段FG上；‎ ‎（2）若四边形AMDE的面积为15，△FNH的面积为1，求正方形ABHK的面积．‎ G E K F C A B D H M N B C A F D E N M ‎27．（江苏模拟）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EF、EN．‎ ‎（1）求证：EN⊥AF；‎ ‎（2）若AB＝10，EF＝8，求四边形MEFN的面积．‎ D B A CF P FF EF ‎28．（江苏模拟）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB＝8，AD＝CD＝4，点E在线段AB上，点F在射线AD上．将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P，若点P始终落在直角梯形ABCD内部或边上，求动线段AE长度的最大值．‎ ‎29．（江苏模拟）如图，已知正方形纸片ABCD的边长为4，⊙O的半径为1，圆心在正方形的中心上．将纸片按图示方式折叠，使EA1恰好与⊙O相切于点A1，延长FA1交CD边于点G．‎ C A D B E F O A1‎ ‎（1）求A‎1G的长；‎ ‎（2）求tan∠A1EF的值．‎ ‎30．（山东烟台）‎ ‎（1）问题探究 如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK＝∠ACD1，作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．‎ 试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．‎ ‎（2）拓展延伸 ‎①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1＝∠BH2K2＝∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M＝D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．‎ ‎②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M＝D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）‎ A B D2‎ N C H K E1‎ D1‎ M E2‎ 图1‎ A B D2‎ C D1‎ 图3‎ E2‎ F2‎ E1‎ F1‎ A B D2‎ N C H2‎ K1‎ D1‎ M 图2‎ K2‎ H1‎ ‎31．（山东德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．‎ ‎（1）求证：∠APB＝∠BPH；‎ ‎（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？证明你的结论；‎ ‎（3）设AP的长为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ A B C G F H D P E A B C G F H D P E ‎（备用图）‎ ‎32．（山东滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．‎ ‎（1）求证：△ADF≌△CBE；‎ ‎（2）求正方形ABCD的面积；‎ A B C D E G F H l1‎ l2‎ l3‎ l4‎ 图2‎ h1‎ h2‎ h3‎ ‎（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．‎ A B C D E G F H l1‎ l2‎ l3‎ l4‎ 图1‎ ‎33．（山东临沂）已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．‎ ‎（1）如图1，当b＝‎2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；‎ ‎（2）如图2，当b＞‎2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图3，当b＜‎2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．‎ 图1‎ A B C D M 图3‎ A B C D M 图2‎ A B C D M ‎34．（山东潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．‎ ‎（1）求证：四边形AECF为平行四边形；‎ ‎（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB : AE的值．‎ A D B C E N F M ‎35．（山东威海）‎ 探索发现 已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD，BC的延长线相交于点E．AC，BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N．‎ ‎（1）如图①，如果AD＝BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；‎ ‎（2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由．‎ 学以致用 仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴．（写出作图步骤，保留作图痕迹）‎ 图 ①‎ A D B C E N O M 图 ③‎ A D B C 图 ②‎ A D B C E N O M A B D G C E F ‎36．（山东淄博）在矩形ABCD中，BC＝4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，设AB＝x．‎ ‎（1）当点G与点D重合时，求x的值；‎ ‎（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．‎ ‎（3）是否存在x的值，使以点D为圆心的圆与BC、BG都相切？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎37．（山西模拟）如图1，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH，使点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF．‎ ‎（1）判断并说明BH和AF的数量关系；‎ ‎（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转角θ（0°≤θ＜360°），设AB＝a，EH＝b，且a＜2b．‎ ‎①如图2，连接AG，设AG＝x，请直接写出x的取值范围；当x取最大值时，直接写出θ的值；‎ ‎②若四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形，并求a与b的数量关系．‎ H G F E A B C D 图1‎ H G F E A B C D 图2‎ E A B C D 备用图 ‎38．（陕西某校自主招生）已知矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝4．将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点B落在矩形的左边AD上，且折痕EF的两端点E、F分别位于边AB、BC上．‎ A B D C F E θ ‎（1）求点E在边AB上可移动的最大距离；‎ ‎（2）设∠EFB＝θ，求θ的取值范围．‎ ‎39．（陕西模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（5，‎ ‎0），B（3，2），C（1，2）．‎ ‎（1）求证：四边形OABC是梯形 ‎（2）若经过AB的中点D的直线恰好平分四边形OABC的面积，求这条直线的解析式，并用尺规作图法画出这条直线（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎（3）是否在边AB和BC（含端点）上分别存在点M和点N，使得△MON的面积最大时，它的周长还最短？若存在，求出此时点M、N的坐标；若不存在，说明理由．‎ B C O A D ‎1‎ ‎1‎ x y B C O A ‎1‎ ‎1‎ x y 备用图 ‎40．（宁夏）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC边上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作PE⊥AP，垂足为P，PE交CD于点E．‎ ‎（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；‎ ‎（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？‎ A D B C P E ‎（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．‎ A B D F C O E G ‎41．（甘肃庆阳）如图，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF交BE的延长线于点G，连接OG．‎ ‎（1）求证：△BCE≌△DCF；‎ ‎（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；‎ ‎（3）若GE·GB＝4－2 ，求正方形ABCD的面积．‎ ‎42．（黑龙江牡丹江）如图，OA、OB的长分别是关于x的方程x 2－12x＋32＝0的两根，且OA＞OB．请解答下列问题：‎ A B P O x y ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）若P为AB上一点，且 ＝ ，求过点P的反比例函数的解析式；‎ ‎（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、P、O、Q为顶点 的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不 存在，请说明理由．‎ A G B C O F E ‎(D)‎ x y ‎43．（黑龙江绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD和AB上，且F点的坐标是（2，4）．‎ ‎（1）求G点坐标；‎ ‎（2）求直线EF的解析式；‎ ‎（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎44．（黑龙江龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC＝90°，∠BCO＝45°，BC＝12，点C的坐标为（－18，0）．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE＝4，OD＝2BD，求直线DE的解析式；‎ ‎（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A B C O D E x y ‎45．（辽宁大连）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF＝∠A．‎ ‎（1）∠BEF＝____________（用含α的代数式表示）；‎ ‎（2）当AB＝AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求 的值（用含m、n的代数式表示）．‎ A D B C F E 图1‎ A D B C F E 图2‎ ‎46．（辽宁鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0º＜α＜90º），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．‎ B D A C P E x O F ‎1‎ ‎2‎ y G ‎（1）求证：△AOG≌△ADG；‎ ‎（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；‎ ‎（3）当∠1＝∠2时，求直线PE的解析式．‎ ‎47．（辽宁锦州）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．‎ ‎（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC－CD．‎ ‎（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；‎ A B D C E F 图1‎ 图2‎ 图3‎ B D C A E F B D C A E F O ‎（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．‎ ‎48．（辽宁盘锦）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于点G．‎ ‎（1）求证：BF＝AE；‎ ‎（2）如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，（1）中结论是否成立？请说明理由；‎ D A C G B E F 图2‎ M Q P N ‎（3）在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF : AD＝4 : 3，求S四边形MNPQ : S正方形ABCD．‎ D A C G B E F 图1‎ ‎49．（辽宁营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．‎ ‎（1）如图1，求证：AE＝DF ‎（2）如图2，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G，判断△GEF的的行状，并说明理由；‎ A B D M C E F 图3‎ G ‎（3）如图3，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．‎ ‎①直接写出线段AE长度的取值范围；‎ ‎②判断△GEF的行状，并说明理由．‎ A B D M C E F 图1‎ A B D M C E F 图2‎ G ‎50．（辽宁模拟）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，CD＝3，AD＝4，tanB＝2．过点C作CH⊥AB于H，点P为线段AD上一动点，PM∥AB分别交BC、CH于点M、Q．以PM为斜边向下作等腰Rt△PMN，直线PN交直线AB于点E，直线MN交直线AB于点F．设PD的长为x，EF的长为y．‎ ‎（1）求PM的长（用x表示）；‎ ‎（2）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；‎ ‎（3）当点F在线段AH上时，求x的取值范围．‎ B A C D P M N H E F Q B A C D H 备用图 B A C D H 备用图 ‎51．（贵州贵阳）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．‎ ‎（1）三角形有_________条面积等分线，平行四边形有_________条面积等分线；‎ ‎（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；‎ ‎（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC ＜S△ACD ，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．‎ 图②‎ A C B D 图①‎ ‎52．（成都某校自主招生）如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，A（2，0），C（0，2），点M是折线A－B－C上的一个动点（点M与点C不重合），点N是点C关于OM的对称点．当△ONA为等腰三角形时，符合条件的点M有几个？分别求出此时点M和点N的坐标．‎ O x y A C B N M ‎53．（成都某校自主招生）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是边AD上一点（点E不与点A、D重合）．将△ABE沿直线BE折叠，点A落在点A1处，连接A‎1C、A1D．‎ C A B D A1‎ E ‎（1）当点A1落在对角线BD上时，求AE的长；‎ ‎（2）当△A1CD是等腰三角形时，求AE的长．‎ A C B D O x y E F ‎54．（四川巴中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB＝16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB＝ ．点E，F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF＝∠ACB．‎ ‎（1）求AC的长和点D的坐标；‎ ‎（2）说明△AEF与△DCE相似；‎ ‎（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．‎ ‎55．（四川乐山）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．‎ ‎（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．‎ ‎①求证：BD⊥CF；‎ ‎②当AB＝4，AD＝ 时，求线段BG的长．‎ A C B D F E A A B B E E C C D D F F G 图1‎ 图2‎ 图3‎ θ ‎45°‎ A F B C E D G O ‎56．（四川绵阳）如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE＝CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．‎ ‎（1）求证：AF⊥BE；‎ ‎（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；‎ ‎（3）若GO : CF＝4 : 5，试确定E点的位置．‎ ‎57．（四川资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD : GC : EB的结果（不必写计算过程）；‎ ‎（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD : GC : EB；‎ ‎（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA : AB＝HA : AE＝m : n，此时HD : GC : EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，求出变化后的结果；如果没有变化，请说明理由．‎ D A B E C G H ‎（2）‎ ‎（3）‎ D A B E C G H D A B E C G H ‎（1）‎ ‎58．（四川自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．‎ ‎（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；‎ A C B F E D ‎（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．‎ ‎59．（湖南怀化）如图1，四边形ABCD是边长为3的正方形，长方形AEFG的宽AE＝ ，长EF＝ ．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH（如图2），这时BD与MN相交于点O．‎ ‎（1）求∠DOM的度数；‎ ‎（2）在图2中，求D、N两点间的距离；‎ ‎（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ，请问此时点B在矩形ARTZ 的内部、外部、还是边上？并说明理由．‎ D A B M C H 图2‎ N O D A B E C G 图1‎ F ‎60．（湖南益阳）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE＝1．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△BCF；‎ ‎（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；‎ ‎（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′ 处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．‎ D C B A F 图2‎ B′‎ E′‎ D C B A G E F 图1‎ ‎61．（湖北咸宁）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB＝4，BC＝8．‎ 理解与作图：‎ ‎（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．‎ 计算与猜想：‎ ‎（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？‎ 启发与证明：‎ 图2‎ A B C D E F A B C D G H E F ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ M A B C D E F M N P Q G H E F ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 图1‎ 图3‎ 图4‎ ‎（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．‎ ‎62．（湖北宜昌）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．‎ C B A G E F D ‎（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？‎ ‎（2）求证：△ABG∽△BFE；‎ ‎（3）设AD＝a，AB＝b，BC＝c．‎ ‎①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；‎ ‎②在①的条件下，当b．2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．‎ A B D C P ‎1000m ‎600m ‎63．（湖北某校自主招生）如图，矩形ABCD是一个长为‎1000米、宽为‎600米的货场，A、D是入口．现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台Q，求铺设公路AP、DP以及PQ的长度之和的最小值为多少米？‎ A B D G C′‎ C E F H ‎(D′)‎ ‎64．（广东）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′ 处，BC′ 交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′ 处，点D′ 恰好与点A重合．‎ ‎（1）求证：△ABG≌△C′DG；‎ ‎（2）求tan∠ABG的值；‎ ‎（3）求EF的长．‎ ‎65．（广东广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于点E，设∠ABC＝α（60°≤α ＜90°）．‎ A B D C F E ‎（1）当α＝60°时，求CE的长；‎ ‎（2）当60°＜α ＜90°时，‎ ‎① 是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎② 连接CF，当CE 2－CF 2取最大值时，求tan∠DCF的值．‎ ‎66．（广东河源）如图，矩形OABC中，A（6，0），C（0，2），射线l过点D（0，3）且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60°．‎ A C B Q O x y D P l ‎（1）①点B的坐标是___________；②∠CAO＝___________度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为___________；（直接填写答案）‎ ‎（2）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．‎ ‎67．（广东梅州）如图，矩形OABC中，A（6，0），C（0，2），射线l过点D（0，3）且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60°．‎ ‎（1）①点B的坐标是___________；②∠CAO＝___________度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为___________；（直接写出答案）‎ ‎（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标m，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．‎ A C B O x y D l 备用图 A C B Q O x y D P l M N ‎68．（广西南宁）如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2，AB＝4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．‎ ‎（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；‎ ‎（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．‎ F D C A B G E D′‎ O 图2‎ N F D C A B G E D′‎ O 图1‎ ‎69．（福建厦门）已知□ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF．‎ ‎（1）如图，若PE＝，EO＝1，求∠EPF的度数；‎ ‎（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF＝BC＋3－4，求BC的长．‎ B P A D F C E O ‎70．（福建龙岩）矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′ 落在线段BC上，再打开得到折痕EF．‎ ‎（1）当A′ 与B重合时（如图1），EF＝_________；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；‎ ‎（2）观察图3和图4，设BA′＝x，‎ ‎①当x的取值范围是_______________时，四边形AEA′F是菱形；‎ ‎②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．‎ B A D C D ‎(A′)‎ B C C C E F E A′‎ A A A F D D F B B ‎(E)‎ ‎(F)‎ A′‎ E A′‎ B′‎ 图1‎ 图4‎ 图2‎ 图3‎ ‎71．（福建莆田）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）过点A．‎ ‎（1）求c的值；‎ ‎（2）若a＝－1，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；‎ ‎（3）若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点O，交线段BC于点F.当BF＝1时，求抛物线的解析式．‎ B x A C O y B x A C O y 备用图 B x A C O y F l ‎72．（福建三明）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝ ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．‎ ‎（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；‎ ‎（2）通过观察、测量、猜想： ＝________，并结合图②证明你的猜想；‎ O G E F C B ‎(P)‎ D A ‎（图①）‎ O G E F C B D A ‎（图②）‎ P O G E F C B D A ‎（图③）‎ P ‎（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB＝α，求 的值．（用含α的式子表示）‎ ‎73．（福建某校自主招生）如图，矩形铁片ABCD的长为‎2a，宽为a，为了能让铁片能穿过直径为 a的圆孔，需对铁片进行处理规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔），过它的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片．‎ ‎（1）当BE＝DF＝ a时，判断直角梯形铁片ABEF能否穿过圆孔，并说明理由；‎ ‎（2）为了能使直角梯形铁片ABEF顺利穿过圆孔，求线段BE长度的取值范围．‎ ‎74．（福建模拟）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B为锐角，tan∠B＝ ．E为线段AB上的一个动点（不含端点），EF⊥AB，交射线BC于点G，交射线DC于点F．‎ ‎（1）若点G在线段BC上，求△BEG与△CFG的周长之和；‎ ‎（2）判断在点E的运动过程中，△AED与△CGD是否会相似？如果相似，请求出BE的长；如果不相似，请说明理由．‎ A D B C E G F ‎75．（福建模拟）已知菱形ABCD的边长为10，对角线BD＝16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．‎ ‎（1）如图1，求证：△PBE∽△PDF；‎ ‎（2）连接PC，当PE＋PF＋PC的值最小时，求PB的长；‎ ‎（3）如图2，对角线AC、BD交于点O，以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求PB的长．‎ C P A F B D O E 图1‎ C P A F B D E 图1‎ C A B D O 备用图 ‎76．（海南）如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN．‎ ‎（1）求证：△ADN≌△CBM；‎ ‎（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；‎ N M A F B D E C 图（1）‎ N M A F B D E C P Q 图（2）‎ ‎（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ＝CQ，PQ∥MN，且AB＝‎4cm，BC＝‎3cm，求PC的长度．‎ ‎77．（海南模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD为斜边AB上的高．矩形EFGH的边EF与CD重合，A、D、B、G在同一直线上（如图1）．将矩形EFGH向左平移，EF交AC于M（M不与A重合，如图2），连接BM交CD于N，连接NF．‎ ‎（1）直接写出图2中所有与△CDB相似的三角形；‎ ‎（2）设CE＝x，△MNF的面积为y，求y与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围；并求△MNF的最大面积；‎ A B D G C H ‎(E)‎ ‎(F)‎ 图1‎ A B D G C H 图2‎ E M N F ‎（3）矩形EFGH在平移过程中是否存在四边形MFNC为平行四边形的情形？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．‎ ‎78．（上海模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝，点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F．‎ ‎（1）设BE＝x，∠ADF的余切值为y，求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）若存在点E，，使得△ABE、△ADF与四边形CDFE的面积比是3 : 4 : 5，试求矩形ABCD的面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接CF，当BE的长为多少时，△CDF是等腰三角形？‎ A B E C F D A B C D 备用图 ‎79．（上海模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是边AD上一点（E不与A、D重合），将△ABE沿直线BE折叠，点A落在点A1处，连接A‎1C、A1D．‎ C A B D 备用图 C A B D A1‎ E ‎（1）当点A1落在对角线BD上时，求AE的长；‎ ‎（2）当△A1CD是等腰三角形时，求AE的长．‎ ‎80．（上海模拟）已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝4，AD＝BC＝2，∠ABC＝120°．P、Q分别为射线BC和线段CD上的动点，且CQ＝2BP．‎ ‎（1）如图1，当点P为BC的中点时，求证：△CPQ∽△DAQ；‎ ‎（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，设BP＝x，△APQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ A D C B 备用图 A D C B Q P 图2‎ A D C B Q P 图1‎ ‎（3）以点A为圆心，AQ为半径作⊙A，以点B为圆心，BP为半径作⊙B，当⊙A与⊙B相切时，求BP的长．‎ E A B C F P D ‎81．（上海模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上的动点，过点P作PE⊥AC于点E，连接DE并延长，交BC边于点F，连接AP．‎ ‎（1）判断∠PAC与∠CDF的大小，并证明你的结论；‎ ‎（2）设BP＝x，PF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）求线段PF长的最大值；‎ ‎（4）当△CEF为等腰三角形时，求BP的长．‎ ‎82．（安徽某校自主招生）已知射线AM、BN都垂直于线段AB，C是射线BN上的一个动点．‎ ‎（1）如图1，过点B作BF⊥AC，垂足为F，交射线AM于E，过点C作CD⊥AM，垂足为D，连接DF．若△CDF是以CD为腰的等腰三角形，求 求值；‎ A B C M N FM 图1‎ EM DM A B C DM EM M N 图2‎ ‎（2）如图2，过点C作CD⊥AC且CD＝ AC（点A、C、D按逆时针方向排列），作CE⊥BN交AD于E．若AB＝3，是否存在点C，使△ACE为等腰三角形？若存在，请求出此时BC的长度；若不存在，请说明理由．‎ ‎83．（上海模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝BC＝6，AD＝3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF＝∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．‎ A B D C E F M ‎（1）求证：△MEF∽△BEM；‎ ‎（2）若△BEM是等腰三角形，求EF的长；‎ ‎（3）若EF⊥CD，求BE的长．‎ ‎84．（上海模拟）在□ABCD中，对角线AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，点P是射线BC上一动点，过点P作MP⊥AP，使点M与点B在直线AP的两侧，且∠PAM＝∠CAD，连接MD．‎ ‎（1）当点M在□ABCD内时，如图1，设BP＝x，AP＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎（2）请在图2中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与△AMD相似的三角形，若存在，请写出并证明；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当△AMD为等腰三角形时，求BP的长．‎ A B D C P 图2‎ A B D C P M 图1‎ ‎85．（湖北模拟）已知：在正方形ABCD中，点E是边CD上的动点（不与端点C、D重合），CD＝mDE．AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P．‎ ‎（1）如图1，当m＝2时， ＝ ________， ＝ ________；‎ ‎（2）如图2，当m＝3时，求证：FH＋PG＝HG；‎ D A C G B H E F P 图1‎ D A C G B H E F P 图2‎ ‎（3）当m为何值时，G是HP的中点．‎ ‎86．（浙江模拟）已知：如图，点A的坐标为（0，－4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形ABCD随着点B的运动而随之相应变动．点E为y轴的正半轴与正方形ABCD某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE的长度为m．‎ O x y D B E A C ‎（1）当t＝3时，求点C的坐标；‎ ‎（2）当t ＞0时，求m与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在t，使点M（－2，2）落在正方形ABCD的边上？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎87．（浙江模拟）如图，将边长为6的正方形OABC放置在直角坐标系中，使点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上．点M（t，0）在x轴上运动，过A作直线MC的垂线交y轴于点N．‎ ‎（1）设△AMN的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；‎ ‎（2）若D（3，8），则在点M运动过程中，当以M、N、C、D为顶点的四边形是梯形时，求点M的坐标；‎ ‎（3）若点P在直线x＝2上运动，是否存在以M、N、C、P为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A B O C x y 备用图 A B D O C M N x y ‎88．（浙江模拟）边长为2的正方形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，O是坐标原点，点M（t，0）是x轴上的一个动点，连接BM，以BM为一边作正方形BMNP（点B、M、N、P按逆时针方向排列）．‎ O x y D C E B M A N P ‎（1）当t＝4时，求点P的坐标；‎ ‎（2）连接PC，求△PCB的面积为S与t的函数关系式；‎ ‎（3）直线y＝2x＋b分别交x轴、y轴于点D、E，是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 八、圆 ‎1．（北京模拟）在△ABC中，分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．‎ ‎（1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；‎ ‎（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ的长；‎ ‎（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．求证：PA是半圆O1的切线．‎ A O1‎ C B O2‎ E D F P Q 图2‎ A O1‎ C B O2‎ E D F 图1‎ 图3‎ A O1‎ C B O2‎ E D F P Q ‎2．（上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．‎ ‎（1）当BC＝1时，求线段OD的长；‎ ‎（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．‎ A E C D O B ‎3．（上海模拟）B A C N P M 如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cotA＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y．‎ ‎（1）求⊙P的半径；‎ ‎（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）当AP＝6 时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．‎ ‎4．（上海模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切．‎ ‎（1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）当x为何值时，⊙M与CD相切？‎ A M C B D N ‎（3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由．‎ 如需要答案，可联系手机：13956226259‎ 或 电子信箱：gshbao@sina.com 或QQ：529115098‎ ‎5．（上海模拟）已知：半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作OP的垂线交半圆O于点C，射线PC交半圆O于点D，连接OD．‎ ‎（1）当＝时，求弦CD的长；‎ ‎（2）设PA＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；‎ ‎（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF＝1时，求tan∠P的值．‎ B A O P C D A O 备用图 A O 备用图 ‎6．（上海模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB＝ ，⊙B的半径长为1，⊙B交边BC于点P，点O是边AB上的动点．‎ ‎（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；‎ ‎（3）如图2，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．‎ A B C N 图2‎ O A B C P 图1‎ ‎7．（上海模拟）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD＝∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA＝x，CD＝y．‎ A B D C E O ‎（1）求BD的长；‎ ‎（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（3）当CE⊥OD时，求AO的长．‎ ‎8．（安徽某校自主招生）如图，△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，且直线AH交BC于F．设D、E、G分别为内切圆I与边BC、CA、AB的切点，求证：‎ G E I A H F D C B ‎（1）AG＝DF； （2）D、H、E三点共线．‎ ‎9．（安徽某校自主招生）如图，扇形OMN的半径为1，圆心角90°，点B是上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．‎ ‎（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；‎ ‎（2）探索OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；‎ N O M 备用图 N O M B C G F D A Q E P ‎（3）试说明3PQ 2＋OA 2是定值．‎ ‎10．（浙江杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M、N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT＝30°，AE＝3，MN＝2．‎ A B C E F M O N T ‎（1）求∠COB的度数；‎ ‎（2）求⊙O的半径R；‎ ‎（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF＝5，将△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E、F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．‎ ‎11．（浙江台州）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．‎ 已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m＋4，n）是平面直角坐标系中四点．‎ ‎（1）根据上述定义，当m＝2，n＝2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是___________；‎ 当m＝5，n＝2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为___________．‎ ‎（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．‎ ‎（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M．‎ ‎①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；‎ ‎②点D的坐标为（0，2），m ≥0，n ≥0．作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A，M，H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．‎ A O y x ‎（图3）‎ B C A O B y x C ‎（图2）‎ A O B y x C ‎（图1）‎ A O y x ‎（备用图2）‎ A O y x C ‎（备用图1）‎ M ‎12．（浙江某校自主招生）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H，直线FH交⊙O于点G．‎ ‎（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；‎ ‎（2）当FH∥BE时，求FG的长；‎ ‎（3）在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．‎ D B A C O F E H B ‎13．（浙江模拟）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）．‎ ‎（1）求证：CD是⊙P的切线；‎ ‎（2）当⊙P与OB相切时，求⊙P的半径；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设⊙P与OB相切于点E，连接PB交CD于F（如图2）．‎ ‎①求CF的长；‎ ‎②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．‎ A O P B D y x C 图1‎ A O P B D y x C 图2‎ E F ‎14．（浙江模拟）如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画交AB于D，且∠BDC＝90°＋ ∠A，点P是上的一个动点．‎ ‎（1）判定△ADC的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若∠A＝70°，当点P运动到∠PBA＝∠PBC＝15°时，求∠ACB和∠ACP的度数；‎ ‎（3）当点P在运动时，过点P作直线MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在这样的点P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？请说明理由．‎ B A C D 备用图 P B A C D ‎15．（浙江模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝4，∠B＝45°．将直角三角板含45°角的顶点E放在边BC上移动（不与点C重合），一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．‎ B C A E F D ‎（1）在点E移动过程中，当△ABE为等腰三角形时，求CF的长；‎ ‎（2）在点E移动过程中，求△ADF外接圆半径的最小值．‎ ‎16．（浙江模拟）已知直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上异于A的一点，以C为圆心的⊙C过点A，D是⊙C上的一点，如果以A、B、C、D为顶点四边形为平行四边形，求D点的坐标．‎ A O B x y ‎1‎ ‎1‎ x yM OM CM FM AM EM BM DM ‎17．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接AB并延长AB至点D，使DB＝AB，连接OB、DC相交于点E，过点E作EF⊥OA于F，连接AE．‎ ‎（1）如果以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形，求点E的坐标；‎ ‎（2）如果以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，求点E的坐标；‎ ‎（3）如果以点E、C、F为顶点的三角形与△ABE相似，求点E的坐标．‎ ‎18．（江苏南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O‎2C、O2D分别相切于点A、B．已知∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，EF＝‎24 cm．设⊙O1的半径为x cm．‎ ‎（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；‎ A B C F O2‎ D E O1‎ ‎（2）若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？‎ ‎19．（江苏南京）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．‎ ‎（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．‎ ‎①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝___________° ；‎ ‎②若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数；‎ ‎（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．‎ A B P O ‎20．（江苏泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．‎ ‎（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）若PC＝2，求⊙O的半径和线段PB的长；‎ ‎（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．‎ C P O B A l O A l ‎（备用图）‎ ‎21．（江苏常州）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y＝x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0）．以点P为圆心，m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方），点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）．‎ ‎（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ．试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？‎ ‎（3）连接BC，求∠DBC－∠DBE的度数．‎ C B P O x D y E A ‎（备用图）‎ C B P O x D y E A ‎22．（江苏扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于点E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．‎ ‎（1）①直接写出点E的坐标：____________；‎ ‎②求证：AG＝CH；‎ ‎（2）如图2，以O为圆心、OC为半径画弧交OA于点D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．‎ B G O x H y E A C 图2‎ F D B G O x H y E A C 图1‎ B G O x H y E A C 备用图 F D B O x y A O′‎ ‎23．（江苏连云港）如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b（b＞0）与⊙O交于A，B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点为点O′．‎ ‎（1）求证：四边形OAO′B是菱形；‎ ‎（2）当点O′ 落在⊙O上时，求b的值．‎ ‎24．（江苏盐城）如图所示，AC⊥AB，AB＝2，AC＝2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB＝α（0°＜α ＜90°）．‎ ‎（1）当α＝18°时，求的长；‎ ‎（2）当α＝30°时，求线段BE的长；‎ ‎（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是______________．（直接写出答案）‎ D O B A E C α ‎25．（江苏宿迁）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G．设AD＝a，BC＝b．‎ C A B O D E F G ‎（1）求CD的长度（用a、b表示）；‎ ‎（2）求EG的长度（用a、b表示）；‎ ‎（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由．‎ ‎26．（江苏模拟）用一块边长为‎20cm的正方形铁皮可以制成一个圆锥体模型，方法是在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面，为此设计了四种方案（如图所示）．‎ ‎（1）试说明方案一、方案四不可行；‎ ‎（2）判断方案二、方案三是否可行？如果可行，试求出当铁皮的利用率最大时圆锥的母线长及其底面圆的半径；如果不可行，请说明理由．‎ 方案二 方案三 方案四 方案一 ‎27．（江苏模拟）某种规格小纸杯的侧面是由一半径为‎18cm、圆心角是60°的扇形OAB剪去一半径为‎12cm的同心圆扇形OCD所围成的（不计接缝）．‎ ‎（1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留π）；‎ ‎（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？‎ ‎（3）如图3，若在一张半径为‎18cm的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面，最多能裁出多少个？‎ 图3‎ A C O B D ‎60°‎ 图2‎ A C O B D ‎60°‎ 图1‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ A C D B M O y x ‎28．（江苏模拟）如图，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于点A（2－ ，0）、点B（2＋ ，0），D是劣弧上一点，且＝ ，P是⊙M上一个动点．如果以P、A、D、B为顶点的四边形是梯形，求∠PAD的度数为．‎ ‎29．（山东莱芜）已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．‎ ‎（1）求证：⊙D与边BC也相切；‎ ‎（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；‎ ‎（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF ＝S△MDF 时，求动点M经过的弧长（结果保留π）．‎ D C B A E M H F ‎30．（山东日照）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点M（4，4），直线y＝－ x＋b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点，以点A为圆心，AM为半径作⊙A．‎ ‎（1）⊙M的半径为_________，b＝_________；‎ ‎（2）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）若EF切⊙A于点F，分别交线段AB、BC于点G、E，且FE⊥BC，求 的值．‎ ‎（4）若点P在⊙A上，点Q是y轴上一点且在点C下方，当△PQM为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．‎ C A B M O x y 备用图 C A B M O x y 备用图 C A B M O x y ‎31．（陕西某校自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A（－，0），点B（－2，1），连接AB，将线段AB向右平移，得到线段A′B′，设A′（t，0）．‎ ‎（1）若在y轴上始终存在点P，使得∠A′PB′＝90°，求t的取值范围；‎ ‎（2）若在y轴上始终存在点P，使得∠A′PB′＝60°，求t的取值范围；‎ ‎（3）若在y轴上存在三个点P，使得∠A′PB′＝30°，求t的值．‎ O y x A B ‎32．（陕西模拟）如图，直线l1、l2相交于点O，∠l1Ol2＝60°，长为2的线段AB在直线l2上从右向左移动，点P是直线l1上一点，且∠APB＝30°．‎ ‎（1）请在图中作出符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）；‎ ‎（2）当OA的长为多少时，符合条件的点P有且只有一个？请说明理由；‎ ‎（3）是否存在符合条件的点P有三个的情况？若存在，求出OA的长；若不存在，请说明理由．‎ A B l1‎ l2‎ O l1‎ l2‎ 备用图 O ‎33．（陕西模拟）已知⊙O是△ABC的外接圆，点P是⊙O上的任意一点（不与A、B、C重合），⊙P在△ABC的外部且与△ABC相邻的一边相切，⊙P称为△ABC的“卫星圆”．过与P相邻的△ABC的两个顶点作⊙P的切线交于S，两切线和与⊙P相切的一边组成的三角形称为△ABC的“卫星三角形”（如图1中的△SAC）．‎ ‎（1）如图1，若△ABC为等边三角形，⊙O的半径为r．‎ ‎①∠S的大小是否发生变化，若无变化，求∠S的大小，若有变化，说明变化趋势；‎ ‎②当点P在劣弧AC上运动时，⊙P与边AC相切于D点，设AD＝x，⊙P的半径为y，求y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）如图2，若△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，⊙O的半径为r，点P在优弧AB上，⊙P与直线AB相切（切点不是A、B），求“卫星三角形”的面积最大值．‎ P B A C O S 图1‎ D A C B O 图2‎ ‎34．（江西）已知纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．‎ ‎（1）如图2，当折叠后的经过圆心O时，求的长；‎ ‎（2）如图3，当弦AB＝2时，求折叠后所在圆的圆心O′ 到弦AB的距离；‎ ‎（3）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．‎ ‎①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；‎ ‎②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点．试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．‎ A B 图5‎ D O P M C N O A B 图4‎ C D P 图3‎ O B A O′‎ O B A 图1‎ 图2‎ B A O ‎35．（江西南昌）已知纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．‎ ‎（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′ ，求O′A的长度；‎ ‎②如图2，当折叠后的经过圆心O时，求的长度；‎ ‎③如图3，如图3，当弦AB＝2时，求圆心O到弦AB的距离；‎ ‎（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．‎ ‎①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；‎ ‎②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点．试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．‎ O A B 图4‎ C D P 图2‎ B A O O B A 图1‎ 图3‎ O B A A B 图5‎ D O P M C N ‎36．（青海西宁）如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．‎ ‎（1）求证：△ADC∽△ACB；‎ O C A B D 图（2）‎ G O C A B D 图（1）‎ ‎（2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C、G两点，若题目中的其他条件不变，且AG＝4，BG＝3，求tan∠DAC的值．‎ O C F E A B D ‎37．（内蒙古包头、乌兰察布）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．‎ ‎（1）求证：BC＝CF；‎ ‎（2）若AD＝6，DE＝8，求BE的长；‎ ‎（3）求证：AF＋2DF＝AB．‎ ‎38．（黑龙江大庆）已知半径为‎1cm的圆，在下面三个图中AC＝‎10cm，AB＝‎6cm，BC＝‎8cm，在图2中∠ABC＝90°．‎ ‎（1）如图1，若将圆心由点A沿A→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；‎ ‎（2）如图2，若将圆心由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；‎ ‎（3）如图3，若将圆心由点A沿A→B→C→A方向运动回到点A．‎ 则Ⅰ）阴影部分面积为_____________；Ⅱ)圆扫过的区域面积为_____________．‎ B C 图2‎ A A C 图1‎ B C 图3‎ A O C F E A B D ‎39．（辽宁鞍山）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB＝ ，延长OE到点F，使EF＝2OE．‎ ‎（1）求⊙O的半径；‎ ‎（2）求证：BF是⊙O的切线．‎ ‎40．（四川成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．‎ ‎（1）求证：KE＝GE；‎ ‎（2）若KG 2＝KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若sinE＝ ，AK＝2，求FG的长．‎ O G D E A C B F H K B O A C E F D ‎41．（成都某校自主招生）如图，以△ABC的BC边为直径作⊙O，分别交AC、AB于E、F两点，过A作⊙O的切线，切点为D，且点E、F为劣弧的三等分点．‎ ‎（1）求证：AD∥BC；‎ ‎（2）求∠DAC的大小．‎ C I O B x y A ‎42．（成都某校自主招生）如图，在直角坐标系中，点B（－1－ ，0），C（1＋ ，0），△ABC的内切圆的圆心是I（－1，1），求△ABC的面积．‎ ‎43．（四川德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．‎ B A C H D E F G O ‎（1）求证：AE·FD＝AF·EC；‎ ‎（2）求证：FC＝FB；‎ ‎（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径r的长．‎ O N A C B M P ‎44．（四川广安）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．‎ ‎（1）求证：直线CP是⊙O的切线．‎ ‎（2）若BC＝2，sin∠BCP＝ ，求点B到AC的距离．‎ ‎（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．‎ O Q A C B D E P H ‎45．（四川泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD．‎ ‎（1）求证：P是线段AQ的中点；‎ ‎（2）若⊙O的半径为5，AQ＝ ，求弦CE的长．‎ ‎46．（四川宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1＝2，⊙O2的半径r2＝．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E．‎ Q A C B D P E O2‎ O1‎ ‎（1）求证： ＝；‎ ‎（2）若PQ＝2，试求∠E度数．‎ A C B D O E P ‎47．（四川资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP∥DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．‎ ‎（1）求证：BD＝DC；‎ ‎（2）求∠BOP的度数；‎ ‎（3）求证：CP是⊙O的切线．‎ ‎48．（四川某校自主招生）如图，等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与⊙O相切于点E、D，AD＝，DC＝5，直线FG与AC、BC分别交于点F、G，且∠CFG＝60°．‎ C A B D E F G O ‎（1）求阴影部分的面积；‎ ‎（2）设点C到直线FG的距离为d，当1≤d ≤4时，试判断直线FG与⊙O的位置关系，并说明理由．‎ ‎49．（湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，半径分别为m、n（0＜m ＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴、y轴分别切于点M、N，⊙O2与x轴、y轴分别切于点R、H．‎ ‎（1）求两圆的圆心O1、O2所在直线的解析式；‎ ‎（2）求两圆的圆心O1、O2之间的距离d；‎ ‎（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．试探究：是否存在一条经过P、Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为 的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ M H O1‎ R N P O2‎ Q y x A C B D O ‎50．（湖南怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．‎ ‎（1）当∠ADC＝18°时，求∠DOB的度数；‎ ‎（2）若AC＝2，求证△ACD∽△OCB．‎ ‎51．（湖南湘潭）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC＝ AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．‎ ‎（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；‎ ‎（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；‎ ‎（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．‎ A C B O 图3‎ P D E A C B D O P 图1‎ A C B O 图2‎ A C B O D P ‎52．（湖南张家界）如图，⊙O的直径AB＝4，C为圆周上一点，AC＝2，过点C作⊙O的切线DC，点P为优弧上一动点（不与A、C重合）．‎ ‎（1）求∠APC与∠ACD的度数；‎ ‎（2）当点P移动到的中点时，证明：四边形ACPO是菱形；‎ ‎（3）P点移动到什么位置时，由点A、P、C三点构成的三角形与△ABC全等，请说明理由．‎ A C B O D H E ‎53．（湖北鄂州）如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H．‎ ‎（1）求证：OE∥AB；‎ ‎（2）若EH＝ CD，求证：AB是⊙O的切线；‎ ‎（3）若BE＝4BH，求 的值．‎ A C B O D E F ‎54．（湖北恩施）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；‎ ‎（3）如果CD＝15，BE＝10，sinA＝ ，求⊙O的半径．‎ ‎55．（湖北十堰）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD＝∠BAC，OD交⊙O于点E．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线．‎ ‎（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；‎ ‎（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2）．求 的值．‎ A C B O D E 图2‎ F G A C B O D E 图1‎ ‎56．（湖北襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．‎ A C B O D E P F ‎（1）求证：直线PA为⊙O的切线；‎ ‎（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；‎ ‎（3）若BC＝6，tan∠F＝ ，求cos∠ACB的值和线段PE的长．‎ ‎57．（湖北某校自主招生）已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点G．‎ O G B F A E ‎（1）若OE＝4，求折痕EF的长；‎ ‎（2）若G是OB中点，求OE和折痕EF的长；‎ ‎（3）点E可移动的最大距离是多少？‎ A B C O x P Q y ‎58．（湖北某校自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以点A为圆心，2为半径的⊙A与x轴交于O、B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，直线CP交⊙A于点Q，连接OQ、AQ．‎ ‎（1）当△OCQ是等腰三角形时，求点P的坐标；‎ ‎（2）当△APQ是等腰三角形时，求∠OCQ的度数．‎ ‎59．O B F A C D M G E K （湖北模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，且⊙O内切于△ABC．D、E、F是切点，CF交⊙O于G，EG延长线交BC于M，AG交⊙O于K．‎ ‎（1）求证：△MCG∽△MEC；‎ ‎（2）若EM⊥BC，求cos∠FAK的值．‎ D B A C O1‎ E O2‎ D′‎ ‎60．（湖北模拟）已知矩形ABCD中，半径为r的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与边AB、BC相切，⊙O2与边BC相切．点E是边CD上一点，将△ADE沿AE翻折得△AD′E，AD′ 恰好与⊙O2相切于点D′．若AD＝3，折痕AE的长为 ．‎ ‎（1）求r的值；‎ ‎（2）求证：矩形ABCD为正方形．‎ ‎61．（湖北模拟）如图，已知直角坐标系中，O是坐标原点，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°．‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）若点P在第一象限，连接BP、AP，在BP上任取一点E，连AE，将线段AE绕A点顺时针旋转90°到AF，连BF，交AP于点G，当E在线段BP上运动时，（不与B、P重合），求 的值；‎ O A B x y O A B x y 备用图 O A B x y 备用图 ‎（3）若点P在第一象限，点Q是弧AP上一动点（不与A、P重合），连接PQ、AQ、BQ，求 的值．‎ ‎62．（广东深圳）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－2x＋b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．‎ ‎（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．‎ 当b＝____________时，直线l：y＝－2x＋b（b≥0）经过圆心M；‎ 当b＝____________时，直线l：y＝－2x＋b（b≥0）与⊙M相切；‎ ‎（2）若把⊙M换成矩形ABCD，如图2，其三个顶点的坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．‎ O l：y＝－2x＋b M x y 图1‎ O l：y＝－2x＋b A x y 图2‎ C D B ‎63．（广东佛山）‎ ‎（1）按语句作图并回答：‎ 作线段AC（AC＝4），以A为圆心，a为半径作圆，再以C为圆心，b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．‎ 若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？‎ ‎（2）若a＝2，b＝3，求四边形ABCD的面积．‎ ‎64．（广东珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．‎ ‎（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；‎ ‎（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；‎ C O A B C 图3‎ D P ‎（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB＝4PD．‎ C O A B P 图1‎ C O A B P 图2‎ ‎65．（广西桂林）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2．‎ ‎（1）求证：四边形AO1BO2是菱形；‎ ‎（2）过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE＝2DO2；‎ D O1‎ A B E C O2‎ ‎（3）在（2）的条件下，若S△AO2D ＝1，求S△O2DB 的值．‎ ‎66．（广西贵港）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3．点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．‎ ‎（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；‎ ‎（2）设PH＝x，PC＝y，求y关于x的函数关系式；‎ ‎（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．‎ D B H A P F C O ‎67．（广西贺州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，PO交⊙O于点E．‎ ‎（1）试判断∠与的数量关系，并说明理由．‎ ‎（2）若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由．‎ B F A P C O E B F A C O G E D ‎68．（福建莆田）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD＝BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．‎ ‎（1）求证：CG是⊙O的切线；‎ ‎（2）若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．‎ ‎69．（福建泉州）已知：A、B、C三点不在同一直线上．‎ ‎（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，‎ ⅰ）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长；‎ ⅱ）如图②，当∠A为锐角时，求证：sin∠A＝ ；‎ 图③‎ M A B C P N ‎（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．‎ C O A B 图①‎ C O A B 图②‎ ‎70．（福建模拟）如图，在直角坐标系中，已知A（0，3）、C（6，0），D（3，3）．点P从C点出发，沿折线C－D－A运动到达点A时停止，过C点作直线GC⊥PC，且与过O、P、C三点的⊙M交于G点，连接OP、PG、OG．‎ ‎（1）直接写出∠DCO的度数；‎ ‎（2）当点P在线段CD上运动时，设P点运动路线的长为m，△OPG的面积为S，求S与m的函数关系式；‎ ‎（3）设圆心M的纵坐标为n，试探索：在点P运动的整个过程中，n的取值范围．‎ G C P O x A D y M ‎71．（上海模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是边AB上的一个动点，过点P作PD⊥AB交BC相于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E在边BC上，F在边AC上．设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y．‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式，并确定函数的定义域；‎ ‎（2）当P、G、F三点共线时，求x的值；‎ ‎（3）当△PDG为等腰三角形时，求x的值；‎ ‎（4）记以PD为直径的圆为⊙O1，以GF为直径的圆为⊙O2．‎ ‎①当⊙O1与边AC相切时，求x的值；‎ ‎②当⊙O1经过圆心O2时，求x的值；‎ ‎③直接写出⊙O1与⊙O2的位置关系及对应的x的取值范围．‎ E P D B C A F G B C A 备用图 B C A 备用图 ‎72．（湖北模拟）如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．‎ A B I O C ‎（1）求证：AB＝AC；‎ ‎（2）若BC＝16，⊙O的半径是5，求AI的长．‎ ‎73．（安徽某校自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝7，△ABC的内切圆⊙O与边BC相切于点D，过点D作DE∥AC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC于点F，求DE的长．‎ A B C O D E F ‎74．（湖北某校自主招生）如图，半径为1的⊙M和半径为2的⊙N内切于点A，AB是⊙N的直径，CD⊥‎ AB分别交两圆于点C、D，且C、D两点在AB的同侧，试证明△ACD的外接圆的面积是定值．‎ A C D N M B ‎75．（江苏模拟）已知矩形纸片ABCD，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点P处．‎ ‎（1）如图1，若E是AD的中点，∠AEF＞60º，连接DP，则与∠AEF相等的角有________个；‎ ‎（2）如图2，若AB＝5，BC＝4，点F与点B重合，点P在边CD上，在折痕BE上存在一点G到边CD的距离与到点A的距离相等，求此相等距离；‎ ‎（3）如图3，若点P落在矩形ABCD内部，求PD的最小值；‎ A C D E O B ‎(F)‎ 图4‎ P ‎（4）如图4，若AB＝BC＝5，点F与点B重合，以正方形ABCD的中心O为圆心的⊙O恰好与BE、BP都相切，求⊙O的半径．‎ C A B D P E 图3‎ F C A B D P E ‎(F)‎ 图2‎ E C A F D B P 图1‎ ‎76．（湖北模拟）已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．‎ ‎（1）如图1，若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD : DB＝3 : 1，求折痕EF的长；‎ ‎（2）如图2，若折叠后的圆弧与直径AB相交于点B、D两点，且AD : DB＝1 : 3，求折痕BC的长．‎ O A B E F D 图1‎ O A B D 图2‎ C ‎77．（四川某校自主招生）如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内一点，且点P到OA、OB的距离分别为1、2，以P点为圆心的⊙P分别与OA、OB相交于点M、N，且MN恰为⊙P的直径，求⊙P的面积．‎ ‎30°‎ O A B P N M C ‎78．（陕西模拟）已知点P为⊙O内一点，EF为过P点的弦，连接OE、OF．‎ ‎（1）若⊙O的半径为5，OP＝4，求△EOF的最大面积；‎ O F E P ‎（2）若⊙O的半径为5，OP＝3，求△EOF的最大面积；‎ ‎（3）若⊙O的半径为r，OP＝d，求△EOF的最大面积．‎ 九、综合型问题 O y x ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ P2‎ P1‎ Q 图1‎ ‎1．（北京）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：‎ 若| x1－x2|≥| y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为| x1－x2|；‎ 若| x1－x2|＜| y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为| y1－y2|．‎ 例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．‎ ‎（1）已知点A（－ ，0），B为y轴上的一个动点，‎ ‎①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；‎ ‎②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．‎ ‎（2）已知C是直线y＝ x＋3上的一个动点，‎ ‎①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；‎ ‎②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．‎ O y x ‎1‎ y＝ x＋3‎ 图3‎ O y x ‎1‎ D y＝ x＋3‎ 图2‎ ‎2．（北京模拟）如图，抛物线y＝ x 2－2x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C．‎ ‎（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为（0，2），求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．‎ A B C O y x 备用图 A B C D O y x E ‎3．（北京模拟）已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为A（2，3），C（n，－3）（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O→A→B→C向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．‎ ‎（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m＝__________；‎ ‎（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；‎ ‎（3）在图1中，当动点P恰为经过O、B两点的抛物线的顶点时，‎ ‎①求此抛物线的解析式；‎ ‎②若点Q在直线y＝－1上方的抛物线上，坐标平面内另有一点R，满足以B、P、Q、R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．‎ O ‎1‎ y x ‎1‎ O m F l S D E ‎12‎ 图2‎ 图1‎ ‎4．（北京模拟）如图1，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式；‎ ‎（3）如图2，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y＝ax 2＋bx＋c的对称轴于点B，连接AB，若将抛物线向右平移m（m＞0）个单位后，B点的对应点为B′，A点的对应点为A′，且满足四边形BAA′B′为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA′ 交于点E．问：在x轴上是否存在一点F，使得以E、F、A′ 为顶点的三角形与△BAE相似？若存在，求出F点坐标，若不存在，请说明理由．‎ O x y A M 图1‎ O x y A B M 图2‎ ‎5．（北京模拟）已知，抛物线y＝ax 2＋bx－‎3a经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点D（m，－m－1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；‎ A B C O y x ‎（3）在（2）的条件下，连接DB，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 如需要答案，可联系手机：13956226259‎ 或 电子信箱：gshbao@sina.com 或QQ：529115098‎ ‎6．（北京模拟）如图，抛物线y＝ax 2＋3x＋a＋5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），D为OC的中点．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；‎ A B C O y x E D ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为 ？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎7．（北京模拟）已知抛物线y＝x 2＋bx＋c经过点B，与y轴交于点A，顶点P在直线OB上．‎ ‎（1）如图1，若点B的坐标为（3，6），点P的横坐标为1，试确定抛物线的解析式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM ＝3，求点M的坐标；‎ A B y P x O 图1‎ A B y P x O 图2‎ ‎（3）如图2，若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y＝x 2＋bx＋c平移，平移后的抛物线经过A、D两点，与x轴的另一个交点为C．问：如何平移抛物线y＝x 2＋bx＋c，使四边形OABC为正方形？‎ ‎8．（北京模拟）已知抛物线y＝ax 2－4ax＋‎4a＋c与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB＝OC，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）P为抛物线的对称轴上一点，满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标为；‎ ‎（2）Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A′ ，若QA－QB＝，求点Q的坐标．‎ y x O ‎－1‎ ‎－1‎ ‎1‎ ‎1‎ y x O ‎－1‎ ‎－1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎9．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x 2＋bx＋c的图象与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，顶点为C．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：y＝ x＋ 交BD于点E，过点B作直线BK∥AD交直线l于点K．问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ A B O y x 备用图 C A B O y x C ‎（3）在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN＋NM＋MK和的最小值．‎ ‎10．（北京模拟）已知抛物线y＝ax 2＋bx＋3经过点N（2，－5），与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，过点N作x轴的平行线交抛物线于另一点M，MN＝6．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）将直线BC向下平移，与抛物线交于点B′、C′（B′ 与B对应，C′ 与C对应），与y轴分别交于点D ‎，当D是线段B′C′ 的中点时，求点D的坐标；‎ ‎（3）点P为抛物线上一动点，连接MP交抛物线的对称轴于点E，当△EMN为直角三角形时，求点P的坐标；‎ ‎（4）在抛物线上是否存在点Q，使∠QMN＝∠CNM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ A O y B C x N M 备用图 A O y B C x N M ‎11．（天津）已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（0＜‎2a ＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在该抛物线上．‎ ‎（Ⅰ）当a＝1，b＝4，c＝10时，①求顶点P的坐标；②求 的值；‎ ‎（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求 的最小值．‎ x O y F D A E ‎12．（上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax 2＋6x＋c的图象经过点A（4，0）、B（－1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD＝t，点E在第二象限，∠ADE＝90°，tan∠DAE＝ ，EF⊥OD，垂足为F．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；‎ ‎（3）当∠ECA＝∠OAC时，求t的值．‎ y B A x O ‎13．（上海模拟）已知：如图，直线y＝x－15与x轴、y轴分别相交于点A和点B，抛物线y＝－ x 2＋bx＋c经过A、B两点．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若该抛物线的顶点为点D，与x轴的另一个交点为点C，对称轴与x轴交于点H，求△DAC的面积；‎ ‎（3）若点E是线段AD的中点，CE与DH交于点G，点P在y轴的正半轴上，△POH是否能够与△CGH相似？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．‎ ‎14．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x 2＋2x＋c过点A（－1，0），顶点为M．直线l：y＝－ x＋3与x轴交于点B，与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点N，与抛物线交于另一点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；‎ ‎（2）过点A作AE⊥l，垂足为点E，求点E的坐标；‎ ‎（3）点P为直线l上一动点，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q．‎ ‎①是否存在这样的点P，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；‎ A B D C x O y M l N ‎②若点Q在x轴上方，连接QC、QD，设△QCD的面积为S，则S取何值时，相应的点Q有且只有两个，并求出此时点P的横坐标．‎ ‎15．（浙江衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过O、A、C三点．‎ ‎（1）求该抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ x O y A D B C E F 备用图 x O y A D B C E F ‎16．（浙江温州）如图，经过原点的抛物线y＝－x 2＋2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C 不重合）。连结CB、CP．‎ ‎（1）当m＝3时，求点A的坐标及BC的长；‎ ‎（2）当m＞1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？‎ ‎（3）过点P作PE⊥PC且PE＝PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．‎ x O y A B M C P ‎17．（浙江湖州）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点，点D的坐标为（－，3），抛物线y＝ax 2＋b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．‎ ‎（1）求这条抛物线的函数解析式；‎ ‎（20将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t ＜）．‎ ‎①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180° 得△FE′C′，当△FE′C′ 落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．‎ x O y A D C 图2‎ B E F x O y A D C ‎(B)‎ 图1‎ ‎18．（浙江宁波）如图，二次函数y＝ax 2＋bx＋c的图象交x轴于A（－1，0），B（2，0），交y轴于C（0，－2），过A，C画直线．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）点P在x轴正半轴上，且PA＝PC，求OP的长；‎ ‎（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．‎ ‎①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；‎ ‎②若⊙M的半径为 ，求点M的坐标．‎ x O y A B C x O y A B C ‎（备用图）‎ ‎19．（浙江义乌）如图1，已知直线y＝kx与抛物线y＝－ x 2＋ 交于点A（3，6）．‎ ‎（1）求直线y＝kx的解析式和线段OA的长度；‎ ‎（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；‎ ‎（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？‎ x O y A P M Q 图1‎ N x O y A B D E 图2‎ ‎20．（浙江绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y＝x 2－4x－2经过A、B两点．‎ ‎（1）求A点坐标及线段AB的长；‎ ‎（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO、OC、CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．‎ ‎①当PQ⊥AC时，求t的值；‎ ‎②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．‎ O y C B A x ‎21．（浙江嘉兴、舟山）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线y＝x 2上的动点（点P在第一象限内），连接OP，过点O作OP的垂线交抛物线于另一点Q，连接PQ，交y轴于点M，作PA⊥x轴于点A，QB⊥x轴于点B．设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）如图①，当m＝ 时，‎ ‎①求线段OP的长和tan∠POM的值；‎ ‎②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；‎ ‎（2）如图②，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．‎ ‎①用含m的代数式表示点Q的坐标；‎ ‎②求证：四边形ODME是矩形．‎ x O y B A P M Q 图①‎ x O y B A P M Q 图②‎ D ED ‎22．（浙江某校自主招生）在平面直角坐标系中，放置一个如图（1）所示的直角梯形OABC，已知AB∥OC，OB＝2，∠AOB＝30°，S梯形OABC ＝2．抛物线y＝ax 2＋bx＋c的顶点为B，且过点C．‎ ‎（1）点B的坐标为____________，点C的坐标为____________，抛物线的解析式为____________________；‎ ‎（2）如图（2），点D是线段OB上的一个动点，过点D作直线DE⊥OB交y轴正半轴于点E，将△AOB在直线DE下方的部分沿DE向上折叠．设OD＝t，折叠后与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎（3）如图（1），若点P是坐标轴上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使以B、C、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x O y A B C 图（1）‎ x O y A B C E 图（2）‎ D ‎23．（浙江模拟）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，OB＝3，tan∠OAB＝ ，将∠OBA对折，使点O的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交x轴于点C．‎ x O y B A H C D ‎（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；‎ ‎（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若点Q是抛物线上一个动点，使得以A、B、Q为顶点的三角形是以AB为直角边的直角三角形，直接写出Q点坐标．‎ ‎24．（浙江模拟）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，等腰梯形ABCD四个顶点都在抛物线y＝ax 2＋bx＋c，其中点A、B在x轴上，点D在y轴上，且CD∥AB，已知S梯形ABCD ＝8，tan∠DAO＝4，点B的坐标为（2，0），点E坐标为（0，－1）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若△OEB从点B开始以每秒 个单位的速度沿BD向终点D匀速运动．设运动时间为t秒，在整个运动过程中，当边OE与线段AD相交时，求t的取值范围；‎ x O y A B C E D 备用图 x O y A B C E D ‎（3）能否将△OEB绕平面内某点旋转90°后使得△OEB的两个顶点落在x轴上方的抛物线上，若能，请直接写出旋转中心的坐标，若不能，请说明理由．‎ ‎25．（浙江模拟）如图，已知C（0，3），过点C且开口向下的抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的右侧），∠CBA＝45°，tanA＝3．‎ ‎（1）求A、B两点坐标；‎ ‎（2）求抛物线解析式及抛物线顶点D的坐标；‎ ‎（3）E（0，m）为y轴上一动点（不与点C重合）‎ ‎①当直线EB与△BCD外接圆相切时，求m的值；‎ ‎②指出点E的运动过程中，∠DEC与∠DBC的大小关系及相应m的取值范围．‎ x O y B A C D ‎26．（浙江模拟）已知正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，点B坐标为（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连接AD．‎ ‎（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD；‎ ‎（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；‎ ‎（3）如图2，抛物线y＝－ x 2＋ x＋4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ x O y B P C A D H 图2‎ x O y B P C A D H 图1‎ x O y C B Q l A M P ‎27．（浙江模拟）已知抛物线y＝－x 2＋3x＋4交y轴于点A，交x轴于点B、C（点B在点C的右侧），过点A作垂直于y轴的直线l．点P是直线l下方的抛物线上一动点，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q，连接AP．‎ ‎（1）写出A，B，C三点的坐标；‎ ‎（2）当点P在抛物线对称轴的右侧时 ‎①若以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；‎ ‎②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在这样的点P，使得点M落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎28．（浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C（0，1）．直线DB交y轴于点D，交抛物线于点P（2，－3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）点E是抛物线上的动点，若以A、B、P、E为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标；‎ x O y A B C D P ‎（3）连接AP，点F在直线AP上，设点F到直线DB的距离为m，点F到点D的距离为n，求m＋n的最小值．‎ ‎29．（浙江模拟）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点O（0，0），A（3，4）和C（11，0），点P（t，0）是x轴上的一个动点，以P为圆心， AP长为半径，顺时针方向旋转90°得PB，连接AB、BC、AC．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）当t为何值时，点B在此抛物线上；‎ ‎（3）当t为何值时，以PB为直径的圆与直线AC相切；‎ x O y B P C A ‎（4）当t＞0时，在点P运动过程中，是否存在△ABC为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎30．（浙江模拟）如图，函数L1：y＝ax 2＋bx（x＞0）的图象过点B（6，0），顶点为M（3，9），将图象绕原点O旋转180°后得到函数L2的图象，顶点为N，与x轴交于点A．‎ ‎（1）直接写出L1、L2的函数解析式：‎ L1：__________________；L2：__________________；‎ ‎（2）P为抛物线L1上一动点，连接PO并延长交L2于Q，连接PN、QN、PM、QM．求四边形PMQN的面积S与P点横坐标x（0＜x ≤6）的函数关系式；‎ x y B A O M N P Q ‎（3）当P在抛物线L1上运动过程中，四边形PMQN是否可能为菱形，若可能，求出此时P点的坐标，如不可能，说明理由．‎ ‎31．（浙江模拟）如图，△ABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥x轴，AB平分∠CAO．抛物线y＝ax 2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）正方形EFGH的顶点E在线段AB上，顶点F在对称轴右侧的抛物线上，边GH在x轴上，求正方形EFGH的边长；‎ C B O x y A D C B O x y A D 备用图 ‎（3）设直线AB与y轴的交点为D，在x轴上是否存在点P，使∠DPB＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A O B x y D E C ‎32．（浙江模拟）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过原点O，与x轴的另一交点为A（6，0），顶点B（m，6）在直线y＝2x上．点C是线段OB上一点，且OC＝2BC，点D（10，0）是x轴上一点，直线CD与y轴交于点E．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若⊙M过B、C两点且与y轴相切，求圆心M的坐标；‎ ‎（3）设点P是直线CD上一动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以P、Q、O、E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎33．（浙江模拟）如图，抛物线y＝x 2－5x＋4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），顶点为C，动点E从点B出发以每秒一个单位的速度向点A运动，过E作y轴的平行线，交△ABC的边BC或AC于点F，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH，设点E运动t秒时，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．‎ ‎（1）求顶点C的坐标和直线AC的解析式；‎ ‎（2）当点F在AC边上，点G在BC边上时，求t的值；‎ ‎（3）求动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系．‎ A B O C H G E F x y A B O C x y 备用图 A B O C x y 备用图 ‎34．（浙江模拟）如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx－4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的⊙M的半径为 ，圆心M（1，m）在抛物线的对称轴上．‎ ‎（1）求m的值及抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是线段AB上的一个动点，过点P作PN∥BC，交AC于点N，连接CP，当△PNC的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎（3）点D（2，k）在抛物线上，点E是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．‎ A B P C x O y M N A B C O y x D E ‎35．（浙江模拟）已知：点A（6，0），B（0，3），点C是线段AB上一点，过点C分别作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，若四边形ODCE为正方形．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）若过点C、E的抛物线y＝ax 2＋bx＋c的顶点落在正方形ODCE内（包括边界），求a的取值范围；‎ ‎（3）若（2）中的抛物线与直线AB相交于点C和另一点P，且△PEC∽△PBE，求此时抛物线的解析式 ‎36．（浙江模拟）如图1，抛物线C1：y＝ ( x－m)2＋n（m＞0）的顶点为A，与y轴相交于点B，抛物线C2：y＝－ ( x＋m)2－n的顶点为C，与y轴相交于点D，其中点A、B、C、D中的任意三点都不在同一条直线上．‎ ‎（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；‎ ‎（2）如图2，当抛物线y＝ ( x－m)2＋n（m＞0）的顶点A落在x轴上时，四边形ABCD恰好是正方形，请你确定m，n的值；‎ A B C O y x D 图2‎ A B C O y x D 图1‎ ‎（3）是否存在m，n的值，使四边形ABCD是邻边之比为1 : 的矩形？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎37．（浙江模拟）如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A（0，4），B（4，0），C（－1，0）三点．过点A作垂直于y轴的直线l．在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q，连接AP．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似.？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；‎ C B P O y x Q A l ‎（3）当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式．‎ ‎ ‎ B A O C x y ‎38．（浙江模拟）如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，四边形OABC是直角梯形，A（0，），B（1，）．抛物线过O、C两点，且以B为顶点，P是腰BC上一点（不与B、C重合），直线OP将梯形OABC的面积分为2 : 1两部分．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求点P的坐标；‎ ‎（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点Q，使得⊙Q同时与y轴和直线OP相切？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）点M是线段OP上一动点（不与O重合），过O、M、B三点的圆与y轴正半轴交于点N，判断OM＋ON的值是否不变，说明理由．‎ A O y B C x E F M N ‎39．（浙江模拟）如图，一条抛物线经过原点和点C（8，0），A、B是该抛物线上的两点，AB∥x轴，OA＝5，AB＝2．点E在线段OC上，作∠MEN＝∠AOC，使∠MEN的一边始终经过点A，另一边交线段BC于点F，连接AF．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点F是BC的中点时，求点E的坐标；‎ ‎（3）当△AEF是等腰三角形时，求点E的坐标．‎ ‎40．（浙江模拟）如图，抛物线y1＝x 2－2ax＋b的顶点为D，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且OB＝2OC＝3．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）将45°角的顶点P在线段OB上滑动（不与点B重合），该角的一边过点D，另一边与BD交于点Q，设P（x，0），y2＝DQ，试求出y2关于x的函数关系式；‎ A O y B C x D 备用图 A O y B C x P D Q ‎45°‎ ‎（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x＝m，x＝m＋ 分别与抛物线y1交于点E，G，与y2的函数图象交于点F，H．问点E、F、H、G围成的四边形的面积能否为 ？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． ‎ ‎41．（浙江模拟）已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）经过原点和A（－2，2）、B（6，6）两点，与x轴的另一交点为F，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E为线段CF上的一个动点（不与端点重合），过E作EG∥BC交BF于点G，连接DE、DG，当△DEG的面积最大时，求E点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若抛物线上有一点H（4，m），在抛物线上是否存在一点P，使得△EHP为直角三角形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．‎ C D E B A F G x y O F x y O 备用图 ‎42．（江苏无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把| x1－x2|＋| y1－y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．‎ ‎（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d(O，P)＝1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；‎ ‎（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y＝ax＋b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝ax＋b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y＝x＋2的直角距离．‎ x O y ‎1‎ ‎1‎ ‎43．（江苏苏州）如图，已知抛物线y＝ x 2－ ( b＋1)x＋ （b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．‎ ‎（1）点B的坐标为____________，点C的坐标为____________（用含b的代数式表示）；‎ ‎（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ x O y C A B P ‎44．（江苏常州）平面上两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD＝150°（如图）．现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：‎ ‎（1）点O的“距离坐标”为（0，0）；‎ ‎（2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；‎ ‎（3）到直线AB、CD的距离分别为p、q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．‎ 设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：‎ ‎（1）画出图形（保留画图痕迹）；‎ ‎①满足m＝1且n＝0的点M的集合；‎ ‎②满足m＝n的点M的集合；‎ ‎（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．‎ ‎（说明：图中OI长为一个单位长）‎ I A B O C D I A B O C D ‎（备用图）‎ x O y C A B ‎45．（江苏南通）如图，经过点A（0，－4）的抛物线y＝ x 2＋bx＋c与x轴相交于B（－2，0），C两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将抛物线y＝ x 2＋bx＋c向上平移 个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；‎ ‎（3）设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．‎ ‎46．（江苏盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ x 2＋mx＋n的图象经过点A（2，0）和点B（1，－ ），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．‎ ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t ≥0）的变化规律为y1＝－ ＋2t．现以线段OP为直径作⊙C．‎ ‎①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由；‎ ‎②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2＝－1＋3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a 2的最大值．‎ x O y Q A B l ‎1‎ ‎2‎ x O y A B ‎1‎ ‎2‎ 备用图 ‎47．（江苏模拟）如图，已知抛物线C1：y＝－ x 2＋b x＋c与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B的对称点分别是E、D，连接CD、CB，设AD＝m．‎ ‎（1）抛物线C2可以看成抛物线C1向右平移__________个单位得到；‎ ‎（2）若m＝2，求b的值；‎ ‎（3）将△CDB沿直线BC折叠，点D的对应点为G，且四边形CDBG是平行四边形．‎ O y C B A x E D ‎①△CDB为__________三角形（按边分）；‎ ‎②若点G恰好落在抛物线C2上，求m的值．‎ ‎48．（江苏模拟）如图，直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴的另一交点为B，顶点D的横坐标为－2．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若P是x轴上一点，且以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求出P点坐标和此时△PBD外接圆的半径；‎ ‎（3）若在直线l：y＝x＋m上总存在两个不同的点E，使得∠AEB为直角，求m的取值范围．‎ y A x B O C D y A x B O C D 备用图 ‎49．（江苏模拟）如图1，把一个边长为2 的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线交x轴于点E、F（E在F的左侧）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点E、F的坐标；‎ ‎（2）如图2，另一个边长为2 的正方形A1B1C1D1的中心M在点E上，B1、D1在x轴的负半轴上（B1在D1的左侧），点A1在第三象限．现将点M沿着抛物线从点E移到点F，正方形A1B‎1C1D1随之移动，移动中B1D1始终与x轴平行．‎ ‎①点A1的移动路线对应的函数关系式为___________________；点B1的移动路线对应的函数关系式为___________________；‎ ‎②当正方形A1B‎1C1D1与正方形ABCD有无数个公共点时，求点M的坐标．‎ B A1‎ O C D x y ‎(A)‎ B1‎ C1‎ D1‎ E F M 图2‎ B O C D x y ‎(A)‎ E F 图1‎ x B y A P O Q R C l2‎ l1‎ ‎50．（江苏模拟）如图，直线l1：y＝ x与直线l2：y＝－ x＋6交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B、C．点P是射线OA上一动点，PQ∥x轴交直线l2于点Q，以PQ为斜边向下作等腰Rt△PQR．设点P的横坐标为m，△PQR与△OAB重叠部分的面积为S．‎ ‎（1）当点R落在x轴上时，求m的值；‎ ‎（2）当点P在线段OA上运动时，求S与m之间的函数关系式；‎ ‎（3）当S最大时，m的取值范围是____________．‎ ‎（4）在点P运动的过程中，O、C、R三点能否构成等腰三角形？若能，直接写出m的值；若不能，请说明理由；‎ ‎51．（江苏模拟）已知抛物线y＝ x 2＋c经过点A（－3，5），顶点为Q，点P是y轴上位于点Q上方的一个动点，连接AP并延长，交抛物线于点B，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为C、D，连接AQ、BQ．‎ D B y C P A x O Q ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（1）当A、Q、B三点构成直角三角形时，求点P的坐标；‎ ‎（2）当AC、AP、BD、BP四条线段构成平行四边形时，求点P的坐标．‎ ‎52．（河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x＋1与抛物线y＝ax 2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．‎ ‎（1）求a、b及sin∠ACP的值；‎ ‎（2）设点P的横坐标为m．‎ ‎①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；‎ x y D C B O A P ‎②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9 : 10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．‎ ‎53．（山东济南）如图1，抛物线y＝ax 2＋bx＋3与x轴相交于点A（－3，0），B（－1，0），与y轴相交于点C．⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；‎ ‎（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD的中点．若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．‎ x y D C B O A O1‎ 图2‎ M x y D C B O A O1‎ 图1‎ ‎54．（山东济宁）如图，抛物线y＝ax 2＋bx－4与x轴交于A（4，0）、B（－2，0）两点，与y轴交于点C，‎ 点P是线段AB上的一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．‎ x y B O A ‎2‎ ‎－5‎ ‎－4‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎－1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎－2‎ D C ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）当动点P运动到何处时，BP 2＝BD·BC；‎ ‎（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．‎ ‎55．（山东东营）已知抛物线y＝ x 2＋bx＋6 经过点A（2，0），顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．‎ ‎（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；‎ ‎（2）如图，在直线y＝x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；‎ x y B O A P y＝x ‎（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．‎ ‎56．（山东菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．‎ ‎（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．‎ x y B O A′‎ A B′‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎57．（山东莱芜）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B．‎ x y B O A E C D F ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；‎ ‎（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎58．（山东临沂）如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；‎ x y B O A ‎4‎ ‎（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎59．（山东泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y＝－ x 2＋bx＋c过A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO＝∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．‎ C(1，0)‎ A O x y B ‎60．（山东潍坊）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（－2，0）、B（2，0）、C（0，－1）三点，过坐标原点O的直线y＝kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，－2）作平行于x轴的直线l1、l2．‎ ‎（1）求抛物线对应二次函数的解析式；‎ ‎（2）求证以ON为直径的圆与直线l1相切；‎ ‎（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．‎ x y O A B N M C D l1‎ l2‎ ‎61．（山东威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2）．直线y＝x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧）．抛物线的对称轴交直线y＝x于点C，交x轴于点G．EF⊥x轴，垂足为点F．点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）求点P的坐标；‎ ‎（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；‎ ‎（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x y O A B G M C D P E x y O A B G M C D P E ‎（备用图）‎ ‎62．（山东枣庄）如图，在平面直角坐标系xOy中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．，B点在抛物线y＝ x 2＋ x－2的图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．‎ ‎（1）求证：△BDC≌△COA；‎ ‎（2）求BC所在直线的函数关系式；‎ ‎（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x O C D B A y O x A y B ‎63．（山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m），B（－3，n）为两动点，其中m＞1，连接OA，OB，OA⊥OB．‎ ‎（1）求证：mn＝6；‎ ‎（2）当S△AOB ＝10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S△POF : S△QOF ＝1 : 2？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎64．（山西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x 2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．‎ ‎（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标．‎ ‎（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．‎ x y D C B O A ‎65．（陕西）如果一条抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．‎ ‎（1）“抛物线三角形”一定是____________三角形；‎ ‎（2）若抛物线y＝－x 2＋bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；‎ ‎（3）如图，△OAB是抛物线y＝－x 2＋b′x（b′ ＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．‎ x y B O A ‎66．（陕西某校自主招生）如图，已知直线y＝ x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，与抛物线y＝ x 2＋bx＋c交于A、E两点，抛物线在x轴的正半轴上截得的线段BC的长为1，点P是x轴上一动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当∠APE＝90°时，求点P的坐标；‎ ‎（3）①x轴上是否存在这样的点P，使得∠APE＝60°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；‎ ‎②上下平移直线y＝ x＋1，平移后的直线与抛物线交于A′、E′ 两点．问如何平移直线，使得△A′PE′ 为等边三角形？并求出此时点P的坐标；‎ ‎（4）x轴上是否还存在这样的点P，使得∠APE＝135°？简述理由．‎ y x C B A D O E y y x C B A D O E y 备用图 ‎67．（江西、江西南昌）如图，已知二次函数L1：y＝x 2－4x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．‎ ‎（1）写出A、B两点的坐标；‎ ‎（2）二次函数L2：y＝kx 2－4kx＋3k（≠0），顶点为P．‎ ‎①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；‎ ‎②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；‎ x y L1‎ C B O A ‎③若直线y＝8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．‎ ‎68．（甘肃兰州）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（－3，0）、（0，4），抛物线y＝ x 2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝ 上．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接BD．已知对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；‎ ‎（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连接PM、PN．‎ ‎①设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎②当△PMN为直角三角形时，直接写出M点的坐标．‎ x y B O A x＝ ‎69．（甘肃白银等市）已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．‎ ‎（1）点C的坐标为_____________；‎ ‎（2）若抛物线y＝ax 2＋bx经过C、A两点，求此抛物线的解析式；‎ x B O C A y ‎（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M．问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎70．（甘肃庆阳）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，－1）的抛物线交y轴于点A（0，3），交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；‎ y O x A B C D ‎（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时点P的坐标和△PAC的最大面积．‎ ‎71．（青海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x 2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．‎ ‎（1）求这个二次函数表达式；‎ ‎（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ x B O A C y P ‎（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．‎ x B O A C y D E ‎72．（青海西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，已知A（0，4）、C（5，0）．作∠AOC的角平分线交AB于点D，连接DC，过D作DE⊥DC交OA于点E．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）求证：△ADE≌△BCD；‎ ‎（3）抛物线y＝ x 2－ x＋4经过A、C两点，连接AC．‎ 探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由．‎ ‎73．（新疆、新疆生产建设兵团）如图①，已知直角坐标系中，△AOC的两个顶点坐标为A（2，0），C（0，2）．‎ ‎（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形．此图与原图组成的四边形OABC的形状是____________，请说明理由；‎ ‎（2）如图②，已知过A、C、D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；‎ A（2，0）‎ x O y C（0，2）‎ D（－ ，0）‎ 图②‎ A x O y C 图①‎ ‎（3）在（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A→B→C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：x为何值时，△AON为等腰三角形．‎ ‎（只写出判断的条件与对应的结果）‎ ‎74．（内蒙古呼和浩特）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a＜0）与双曲线y＝ 相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（－2，2），点B在第四象限内．过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．‎ ‎（1）求双曲线和抛物线的解析式；‎ ‎（2）计算△ABC与△ABE的面积；‎ B O C A y E x ‎（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎75．（内蒙古巴彦淖尔）如图1，抛物线y＝a( x－1)2＋4经过点A、C、E，顶点为D，与x轴交于另一点B，且CE∥x轴，CE＝2OA．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图2，已知点P（1，t）（t ＞0）．问：是否存在实数t，使得以P点为圆心的⊙P恰好在线段AB和线段BD上截得的线段相等？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图3，过D作DN⊥x轴，M为线段DN上的一个动点，直线y＝－ x沿y轴向上平移经过D点，分别交x轴、y轴于Q、P两点，在直线PQ上有一点H，满足∠AHB＝ ∠AMB，且直线PQ上满足条件的H点有且只有一个时，求点M的坐标．‎ y A x O D B C 图2‎ y A x O D B C E 图1‎ y A x O D B C 图3‎ Q N P ‎76．（内蒙古赤峰）如图，抛物线y＝x 2－bx－5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且|OC|:|OA|＝5 : 1，抛物线的顶点为D．直线y＝kx与抛物线交于E、F两点，M是线段EF的中点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设四边形MCDB的面积为S，当－4＜k ＜0时，求S与k的函数关系式，并求出S的最小值；‎ C O B x A y M F E D ‎（3）是否存在k的值，使四边形MCDB是以MC为底的等腰梯形，若存在，求出M点坐标和k的值；若不存在，说明理由．‎ ‎77．（内蒙古包头、乌兰察布）已知直线y＝2x＋4与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y＝－ x 2＋bx＋c经过点A、D，点B是抛物线与x轴的另一个交点．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；‎ ‎（2）设点M是直线AD上一点，且S△AOM : S△OMD ＝1 : 3，求点M的坐标；‎ O x y ‎（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎78．（内蒙古鄂尔多斯）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝，OC＝1．将矩形OABC绕点B按顺时针方向旋转60°后得到矩形DFBE，点A的对应点为点F，点O的对应点为点D，点C的对应点为点E，且点D恰好在y轴上，二次函数y＝ax 2＋bx＋2的图象过B、D两点．‎ B D C E F O A x y ‎（1）请直接写出点B和点D的坐标；‎ ‎（2）求二次函数的解析式；‎ ‎（3）在x轴上方是否存在点P，点Q，使以点O、A、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上．若存在，求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎79y B C D A x O ．（内蒙古通辽）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2）、点B（1，0），抛物线y＝ax 2－ax－2经过点C．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在求出P、Q两点坐标；若不存在说明理由．‎ O A B x y C M E D N ‎80．（内蒙古乌海）如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设直线CM与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）设直线y＝kx＋2与抛物线交于Q、R两点，若原点O在以QR为直径的圆外，请直接写出k的值．‎ ‎81．（哈尔滨模拟）如图：在平面直角坐标系中，直线y＝ x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线y＝kx＋8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DE⊥x轴于点E（2，0）．‎ ‎（1）求直线CD的解析式；‎ ‎（2）若点P（t，0）为x轴上一动点，过P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，过Q作x轴的平行线交直线CD于点M，设线段QM的长为y，当－6＜t ＜2时，求y与t的函数关系式；‎ C E O y x B 备用图 A D C E O y x B 备用图 A D C E O y x B A D ‎（3）在（2）的条件下，当t为何值时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点？‎ ‎82．（吉林）问题情境 如图，在x轴上有两点A（m，0），B（n，0）（n ＞m ＞0）．分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y＝x 2于点C，点D．直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E，点F的纵坐标分别记为yE，yF．‎ 特例探究 填空：‎ 当m＝1，n＝2时，yE＝__________，yF＝__________；‎ 当m＝3，n＝5时，yE＝__________，yF＝__________；‎ 归纳证明 对任意m，n（n ＞m ＞0），猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．‎ 拓展应用 ‎（1）若将“抛物线y＝x ‎2”‎改为“抛物线y＝ax 2（a ＞0）”，其它条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系；‎ ‎（2）连接EF，AE，当S四边形OFEB ＝3S△OFE 时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．‎ x O y ‎（备用图）‎ x B O C A y D E F ‎83．（吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋42交x轴于点A，交直线y＝x于点B．抛物线y＝ax 2－2x＋c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．‎ ‎（1）求a、c的值．‎ ‎（2）若min{ A，B，C }表示A，B，C三数中的最小值，则函数y＝min{－2x＋42，x，ax 2－2x＋c}的最大值为__________．‎ ‎（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．‎ ‎（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴．设P、Q两点之间的距离为d（d ＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．‎ x O y P A B C D ‎84．（辽宁沈阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（－2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET＝45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC＝AB，抛物线y＝－ x 2＋mx＋n的图象经过A，C两点．‎ ‎（1）求此抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求证：∠BEF＝∠AOE；‎ ‎（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；‎ ‎（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的(2 ＋1)倍．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x O y 备用图②‎ A C B x O y 备用图①‎ A C B x O y E A F C T B ‎85．（辽宁大连）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A（－ ，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D．设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM＝2DN，求点N的坐标（直接写出结果）．‎ x O y A C E B P D ‎86．（辽宁鞍山）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM＝6，连接DA，∠DAC＝90°．‎ ‎（1）直接写出直线AB的解析式；‎ ‎（2）求点D的坐标；‎ x M y O A B D C 备用图 x M y O A E B P D F C ‎（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B 三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎87．（辽宁朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）．‎ y B C A x O ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；‎ ‎（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角行？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎88．（辽宁抚顺）如图，抛物线的对称轴是直线x＝2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y＝2的垂线，垂足为E．‎ ‎①用含y的代数式表示CD 2，并猜想CD 2与DE 2之间的数量关系，请给出证明；‎ x C y A O B 备用图 ‎2‎ x＝2‎ y＝2‎ x C y A O B D E ‎2‎ x＝2‎ y＝2‎ ‎②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC＝120○，如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎89．（辽宁盘锦）如图，抛物线y＝x 2＋bx＋c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；‎ ‎（3）△APD能否构成直角三角形，若能，请直接写出点P坐标；若不能，请说明理由；‎ x O y C B A 备用图 x O y D P C B A ‎（1,0）‎ ‎（3,0）‎ ‎（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使| MA－MC|最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎90．（辽宁阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax 2＋bx＋2的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求这个二次函数的关系表达式；‎ ‎（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；‎ 考生请注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记哟！‎ ‎（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ x O y A C B P ‎（备用图）‎ x O y A C B P ‎91．（辽宁锦州）如图，抛物线y＝ax 2＋bx－3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为 ，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ y B C D A x O E P F l ‎（2）直线y＝ x ＋m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE : BE＝4 : 1．求直线y＝ x ＋m的表达式；‎ ‎（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y＝ x ＋m上是否存在点M，使得点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎92．（辽宁铁岭）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B（－2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．‎ ‎（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；‎ ‎（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP ＝S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；‎ ‎（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．‎ x E y F C B A O D x E y F C B A O D 备用图 ‎93．（辽宁营口）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点A（－3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式的顶点D的坐标；‎ ‎（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60°，与直线y＝－x交于点N．直线DN上是否存在点M，使得∠MON＝75°．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）点P、Q分别是抛物线y＝ax 2＋bx＋c和直线y＝－x上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标．‎ y C B A x O 备用图 y C B D A x O N 图1‎ ‎94．（辽宁模拟）已知点A、B、D为抛物线y＝－2x 2＋bx＋c上的点，其中A为顶点，四边形ABCD为正方形，过C作EF∥BD，交抛物线于E、F两点．‎ ‎（1）如图1，当EF与x轴重合，且E为坐标原点时，求抛物线的解析式及EF的长；‎ ‎（2）如图2，若抛物线改为“y＝ax 2＋bx＋c且EF＝”，其余条件不变，求a的值．‎ x O y A B C D F ‎(E)‎ 图1‎ x O y A B C D F 图2‎ E ‎95．（辽宁模拟）如图，抛物线与x轴交于点B（－3，0）、C（6，0），与y轴正半轴交于点A，且tan∠ABC＝2．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）□DEFG的一边DG在线段BC上，另两个顶点E、F分别在线段AC和线段AB上，且∠EFG＝∠ABC，若点D的坐标为（m，0），□DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式；‎ ‎（3）点N在线段BC上运动，连接AN，将△ANC沿直线AC翻折得到△AN ′C，AN ′ 与抛物线的另一个交点为M，若点M恰好将线段AN ′ 分成1 : 2两部分，求点N的坐标．‎ O y x A B C D E F G O y x A B C 备用图 ‎96．（云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－ x＋2交x轴于点P，交y轴于点A，抛物线y＝－ x 2＋bx＋c的图象过点E（－1，0），并与直线相交于A、B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式（关系式）；‎ ‎（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；‎ x y C B A O P E ‎－2‎ ‎－1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎97．（贵州贵阳）如图，二次函数y＝ x 2－x＋c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M ′ ．‎ ‎（1）若A（－4，0），求二次函数的关系式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM ′ 的面积；‎ O A B x y ‎（3）是否存在抛物线y＝ x 2－x＋c，使得四边形AMBM ′ 为正方形．若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由 ‎98．（贵州遵义）如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，－）．‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式及点A的坐标；‎ ‎（2）在抛物线上求点P，使S△POA ＝2S△AOB ；‎ x O y B A ‎(3,－)‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAO与△AOB相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎99．（贵州毕节）如图，直线l1经过点A（－1，0），直线l2经过点B（3，0），l1、l2均与y轴交于点C（0，－），抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）经过A、B、C三点．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G．求证：DE＝EF＝FG；‎ x y B O A C D E F G l2‎ l1‎ ‎（3）若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由．‎ ‎100．（贵州铜仁）如图，已知：直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A、B、C（1，0）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点D的坐标为（－1，0），在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；‎ x O y C A ‎－1‎ ‎3‎ ‎3‎ B D ‎（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎101．（贵州黔南州）如图，对称轴为x＝3的抛物线y＝ax 2＋2x与x轴相交于点B、O．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；‎ ‎（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S ≤18时，求t的取值范围；‎ x O y B A l ‎（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎102．（贵州黔东南州）如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点M是线段BC上的动点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ x O y A C B M N ‎（2）求△NCB中BC边上的高的最大值．‎ ‎（3）是否存在点M，使△NCM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎103．（贵州黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点D．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴．‎ ‎（2）设点E为抛物线（x ＞5）上的一点，若以A、O、D、E为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，求点E的坐标．‎ ‎（3）设点P为抛物线的对称轴上的一点，在y轴上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请你求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y O A B C x l D ‎104．（四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ x＋m（m为常数）的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点C．以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．‎ ‎（1）求m的值及抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程．‎ O A B x y C x＝1‎ ‎105．（成都某校自主招生）‎ ‎（1）观察下列各个等式：1 2＝1，1 2＋2 2＝5，1 2＋2 2＋3 2＝14，1 2＋2 2＋3 2＋4 2＝30，……‎ 试推导出计算1 2＋2 2＋3 2＋4 2＋…＋n 2的公式；‎ ‎（2）如图1，求抛物线y＝x 2，直线x＝1与x轴围成的阴影部分的面积，可以将底边n等分，构建n个矩形，当n充分大时，这些矩形的面积之和就等于阴影部分的面积，求阴影部分的面积；‎ ‎（3）计算图2中由抛物线y＝2x 2与直线y＝2x＋4所围成的阴影部分的面积．‎ y x O 图2‎ y＝2x 2‎ y＝2x＋4‎ y y＝x 2‎ x O ‎1‎ 图1‎ ‎106．（四川达州）如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（－2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE．‎ ‎（1）填空：点D的坐标为（__________），点E的坐标为（__________）．‎ ‎（2）若抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式．‎ ‎（3）若正方形和抛物线均以每秒 个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．‎ ‎①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．‎ ‎②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．‎ O B x y C 图2（备用图）‎ O B E x y A C D 图1‎ O B x y C 图3（备用图）‎ ‎107．（四川广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB＝3，tan∠AOB＝ ．将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）经过点B、B1、A2．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．‎ O B x y A2‎ A A1‎ B1‎ 备用图 O B x y A2‎ A A1‎ B1‎ ‎（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为 ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎108．（四川德阳）在平面直角坐标xOy中，正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．‎ ‎（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；‎ ‎（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于点M（不与点B重合），如果点M的横坐标为 ，那么结论OF＝ DG能成立吗？请说明理由；‎ O B E x y C D G M A F ‎（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标．‎ ‎109．（四川乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，－n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x 2－2x－3＝0的两根．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ O E x y A B D P C ‎（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．‎ ‎①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；‎ ‎②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．‎ ‎110．（四川凉山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x 2＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C在点A右侧），点P是抛物线上一动点．‎ ‎（1）求抛物线解析式及点C的坐标；‎ ‎（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？‎ ‎（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ P B O x A y C ‎111．（四川泸州）如图，二次函数y＝－ x 2＋mx＋m＋ 的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于C点，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．‎ ‎（1）当m＝ 时，求tan∠ADH的值；‎ ‎（2）当60°≤∠ADB≤90° 时，求m的变化范围；‎ ‎（3）设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1＝S2，求点D到直线BC的距离．‎ D B O x A y C H ‎112．（四川绵阳）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y＝ax 2＋ x＋c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（－3，0），M（0，－1）．已知AM＝BC．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）证明：抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N．‎ ‎①若直线l⊥BD，如图1，试求 ＋ 的值；‎ P O x B y C Q D A MB l ‎（图1）‎ NB P O x B y C Q D A MB l ‎（图2）‎ NB ‎②若l为满足条件的任意直线，如图2，①中的结论还成立吗、若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．‎ ‎113．（四川眉山）已知：如图，直线y＝3x＋3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．‎ ‎（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）若D点是抛物线的对称轴上一点，E点是直线AB上一点，且以A、C、D、E为顶点的四边形是等腰梯形（A、C、D、E四点顺次排列），直接写出D点的坐标；‎ B O x C y A ‎（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．‎ ‎114．（四川内江）如图，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB＝90°，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过A、B、C三点，其顶点为M．‎ ‎（1）求抛物线y＝ax 2＋bx＋c的解析式；‎ ‎（2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；‎ B O x A y C H M ‎（3）在抛物线上是否存在点N，使得S△BCN ＝4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．‎ ‎115．（四川南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB＝AO＝4，tan∠AOB＝ ，抛物线y＝ax 2＋bx经过点A（4，0）与点（－2，6）．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；‎ ‎（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．‎ A O x D y ‎2‎ C ‎2‎ B m ‎116．（四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB＝5，sinB＝ ．‎ ‎（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）记直线AB的解析式为y1＝mx＋n，（1）中抛物线的解析式为y2＝ax 2＋bx＋c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；‎ B O x A y C D ‎（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P 点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．‎ O A D C f B y x x＝－2‎ ‎117．（四川遂宁）已知：如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ x 2＋bx＋c交于点A（1，0）和点B，与抛物线的对称轴x＝－2交于点C（－2，4），直线f过抛物线与x轴的另一个交点D且与x轴垂直．‎ ‎（1）求直线y＝mx＋n和抛物线y＝ x 2＋bx＋c的解析式；‎ ‎（2）在直线f上是否存在点P，使⊙P与直线y＝mx＋n和直线x＝－2都相切．若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明理由；‎ O A D C f B y x x＝－2‎ ‎（3）在线段AB上有一个动点M（不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，当MN的长为多少时，△ABN的面积最大，请求出这个最大面积．‎ ‎118．（四川雅安）在直角坐标系中，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P．‎ ‎（1）若点P的坐标为（－1，4），求此时抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P的坐标为（－1，k），k ＜0，点Q是y轴上一个动点，当k为何值时，QB＋QP取得最小值5；‎ ‎（3）试求满足（2）时动点Q的坐标．‎ ‎25．（四川宜宾）如图，抛物线y＝x 2－2x＋c的顶点A在直线l：y＝x－5上．‎ ‎（1）求抛物线顶点A的坐标；‎ ‎（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；‎ C y B A D O x ‎（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A y B ‎－3‎ O x C ‎1‎ l ‎－3‎ ‎119．（四川自贡）如图，抛物线l交x轴于点A（－3，0），B（1，0），交y轴于点C（0，－3），将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1．‎ ‎（1）求l1的解析式；‎ ‎（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由 ‎（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．‎ ‎120．（四川资阳）抛物线y＝ x 2＋x＋m的顶点在直线y＝x＋3上，过点F（－2，2）的直线交该抛物线于M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．‎ ‎（1）求抛物线顶点的坐标；‎ ‎（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；‎ A y B M O x F N P ‎（3）若射线NM交x轴于点P，且PA·PB＝ ，求点M的坐标．‎ ‎121．（四川某校自主招生）如图，抛物线与坐标轴分别交于点A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc＝9，a、b、c均为整数，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|＝|a|．以AB为直径做⊙R，过抛物线上一点P作直线PD切⊙R于D，并与⊙R的切线AE交于点E，连接DR并延长交⊙R于点Q，连接AQ，AD．‎ y R C D A x O B Q P E ‎（1）求抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎（2）若四边形EARD的面积为4，求直线PD的函数关系式；‎ ‎（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EARD的面积等于△DAQ的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ C A B O E F x y D ‎122．（四川模拟）如图，已知实数m是方程x 2－8x＋16＝0的一个实数根，抛物线y＝－ x 2＋bx＋c交x轴于点A（m，0）和点B，交y轴于点C（0，m）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作DE∥BC交AC于点E，作DF∥AC交BC于点F，当四边形DECF的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎（3）设△AOC的外接圆为⊙G，若M是⊙G的优弧ACO上的一个动点，连接AM、OM．在y轴左侧的抛物线上是否存在点N，使得∠NOB＝∠AMO．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎123．（湖南常德）如图，已知二次函数y＝ ( x＋2)( ax＋b )的图象经过点A（－4，3），B（4，4），与x轴交于点C、D（C在D的左侧）．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）点P是第二象限抛物线上的一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，若以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似，求出P点的坐标；‎ ‎（3）将AB所在直线沿y轴上下平移，平移后的直线与抛物线交于A′、B′ 两点．问在x轴上是否存在点Q，使得△A′QB′ 是以A′B′ 为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ C y B A D O x 备用图 C y B A D O x P H ‎124．（湖南郴州）阅读下列材料：‎ 我们知道，一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，而y＝kx＋b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax＋Bx＋C＝0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax＋Bx＋C＝0的距离（d）计算公式是：d＝ ．‎ 例：求点P（1，2）到直线y＝ x－ 的距离d时，先将y＝ x－ 化为5x－12y－2＝0，再由上述距离公式求得d＝ ＝ ．‎ 解答下列问题：‎ 如图2，已知直线y＝－ x－4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x 2－4x＋5上的一点M（3，2）．‎ ‎（1）求点M到直线AB的距离．‎ y B O x M(3，2)‎ 图2‎ A ‎－4‎ ‎－2‎ ‎－2‎ ‎－4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ y l O x P（m，n）‎ 图1‎ d ‎（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．‎ C O x A y B D F E ‎125．（湖南衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，‎ ‎①求证：PF＝PR；‎ ‎②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．‎ ‎126．（湖南怀化）如图，抛物线m：y＝－ ( x＋h )2＋k与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，），将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D．‎ ‎（1）求抛物线n的解析式；‎ ‎（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；‎ ‎（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．‎ ‎127．（湖南湘潭）如图，抛物线y＝ax 2－ x－2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；‎ ‎（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．‎ M O x y A C B A B x y C O x＝1‎ ‎128．（湖南湘西自治州）如图，抛物线y＝x 2－2x＋c与y轴交于点A（0，－3），与x轴交于B、C两点，且抛物线的对称轴方程为x＝1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求B、C两点的坐标；‎ ‎（3）设点P为抛物线对称轴上第一象限内一点，若△PBC的面积为4，求点P的坐标；‎ ‎（4）点M为抛物线上一动点，点N为抛物线的对称轴上一动点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点M的坐标．‎ ‎129．（湖南永州）如图所示，已知二次函数y＝ax 2＋bx－1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，－2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．‎ ‎（1）求二次函数y＝ax 2＋bx－1（a≠0）的解析式；‎ ‎（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；‎ ‎（3）对应当m＝0，m＝2和m＝4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值，由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；‎ ‎（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ C O x y A H B（4，3）‎ P（m，n）‎ l ‎2‎ ‎4‎ ‎－2‎ ‎130．（湖南岳阳）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示．如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．‎ ‎（1）求C1和C2的解析式；‎ ‎（2）如图②，过点B作直线BE：y＝ x－1交C1于点E（－2，－ ），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；‎ ‎（3）如果（2）中直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出点Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．‎ B(3,0)‎ O x y C C(0,1)‎ A(－3,0)‎ D(0,－3)‎ 图①‎ B(3,0)‎ O x y E C C(0,1)‎ A(－3,0)‎ D(0,－3)‎ 图②‎ ‎131．（湖南株洲）如图，一次函数y＝－ x＋2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝－x 2＋bx＋c过A、B两点．‎ ‎（1）求这个抛物线的解析式；‎ ‎（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．‎ O x y A B 备用图 O x y N M A B ‎132．（湖北武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝‎16米，AE＝‎8米，抛物线的顶点C到ED的距离是‎11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系 h＝－ ( t－19)2＋8（0≤t ≤40）‎ C B E A O D y/米 x/米 h 且当水面到顶点C的距离不大于‎5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？‎ ‎133．（湖北武汉）如图1，点A为抛物线C1：y＝ x 2－2的顶点，点B的坐标为（1，0），直线AB交抛物线C1于另一点C．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x＝a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG : DE＝4 : 3，求a的值；‎ ‎（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴负半轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．‎ O x y A B Q N C 图2‎ M P O x y A B E C D x＝3‎ ‎3‎ 图1‎ ‎134．（湖北恩施）如图，已知抛物线y＝－x 2＋bx＋c与一直线相交于A（－1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．‎ ‎（1）抛物线及直线AC的函数关系式；‎ ‎（2）设点M（3，m），求使MN＋MD的值最小时m的值；‎ ‎（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；‎ ‎（4）若P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点，求△APC的面积的最大值．‎ O x y A B N C D P ‎135．（湖北黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y＝－ ( x＋2)( x－m )（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．‎ ‎（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值．‎ ‎（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积．‎ ‎（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH＋EH最小，并求出点H的坐标．‎ O x y EA B C ‎（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎136．（湖北黄石）已知抛物线C1的函数解析式为y＝ax 2＋bx－‎3a（b＜0），若抛物线C1经过点（0，－3），方程ax 2＋bx－‎3a＝0的两根为x1，x2，且| x1－x2|＝4．‎ ‎（1）求抛物线C1的顶点坐标．‎ ‎（2）已知实数x＞0，请证明x＋ ≥2，并说明x为何值时才会有x＋ ＝2．‎ ‎（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB＝90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．‎ ‎137．（湖北荆州、荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE＝ ，A（3，0），D（－1，0），E（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；‎ ‎（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；‎ ‎（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t ≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．‎ O x y A B C D E 图乙（备用图）‎ O x y A B C D E 图甲 ‎138．（湖北十堰）抛物线y＝－x 2＋bx＋c经过点A、B、C，已知A（－1，0）C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标．‎ ‎（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．‎ O x y B E C A 图2‎ F O x y B C A 图1‎ D P O x y B C A D ‎139．（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋2交x轴于A（－1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．‎ ‎（1）求抛物线解析式及点D坐标；‎ ‎（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；‎ ‎（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′ 恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ O x y B C A 备用图 D ‎140．（湖北孝感）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点坐标分别是A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；‎ O x y C A D B P M ‎－1‎ ‎－2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎2‎ ‎1‎ O x y C A D B P M ‎－1‎ ‎－2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎－1‎ ‎－2‎ ‎2‎ ‎1‎ 备用图 ‎（3）若点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为____________时，四边形PQAC是平行四边形；当点Q的坐标为____________时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．‎ ‎141．（湖北襄阳）如图，在矩形OABC中，AO＝10，AB＝8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过O，D，C三点．‎ ‎（1）求AD的长及抛物线的解析式；‎ ‎（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？‎ O x y C E A D B ‎（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．‎ ‎142．（湖北模拟）抛物线y＝ax 2和直线y＝kx＋b（k为正常数）交于点A和点B，其中点A的坐标是（－2，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于点C，点D是抛物线上B、C之间的一个动点，设其横坐标为t，过点D作坐标轴的平行线分别交直线AB于点E、F，设DE＝m，DF＝n．‎ ‎（1）填空：a＝____________，点C的坐标是____________；‎ ‎（2）当点D可与B、C重合时，若k＝ ，求t的取值范围，并确定t为何值时，m的值最大；‎ y A x B O D E C F ‎（3）当点D不与B、C重合时，若点D运动过程中可以得到m的最大值，求k的取值范围，并判断当m为最大值时n的值是否最大，说明理由．‎ ‎143．（湖北模拟）在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B＝45°，AD＝2，BC＝6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上．‎ ‎（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径；‎ ‎（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长；‎ ‎（4）点Q在射线CB上运动，点P在对称轴左侧的抛物线上运动，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．‎ y A x B O D C ‎144．（湖北模拟）将抛物线C1：y＝ ( x＋2)2－2关于x轴作轴对称变换，再将变换后的抛物线沿y轴的正方向平移0.5个单位，沿x轴的正方向平移m个单位，得到抛物线C2，抛物线C1、C2的顶点分别为B、D．‎ ‎（1）直接写出当m＝0和m＝4时抛物线C2的解析式；‎ ‎（2）分别求出符合下列条件的m的值：①线段BD经过原点；②点D恰好落在抛物线C1上；‎ ‎（3）设抛物线C2与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），是否存在m的值，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是梯形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎145．（湖北模拟）如图，抛物线y＝ax 2－4ax＋b交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于C（0，3）点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线上是否存在点P，使∠PCB＋∠ACB＝45°？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直线交y轴于点M，交抛物线于点N．问是否存在M、N 使四边形ACMN为等腰梯形？若存在，求出M、N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A B C O y x 备用图 A B C O y x ‎146．（湖北模拟）如图，抛物线y＝a( x－ )2－ 与x轴交于A、B两点（A、B分别在原点左右两侧），与y 轴负半轴交于C点，且OB＝4OA，D为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接CD，M为抛物线对称轴上一点，当∠ACM＝∠BCD时，求M点坐标；‎ ‎（3）P是抛物线上的一动点，PG⊥PD交抛物线的对称轴于点G，当点P运动时，是否存在以P、D、G为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ A B C O y x D A B C O y x D 备用图 ‎147．（湖北模拟）如图1，已知抛物线y＝ x 2＋bx＋c经过A（3，0）、B（0，4）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C'的坐标；‎ A C O y x B 图1‎ A C F O y x E H D B 图2‎ ‎（3）如图2，若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、G，问在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PG－PA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎148．（湖北模拟）已知抛物线y＝ax 2－4ax＋c经过A（1，0）、B（0，－3）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是抛物线的对称轴上一点，连接PA，将线段PA绕着点A旋转90°得到线段P′A，若点P′ 恰好落在抛物线上，求点P的坐标；‎ B A y x O ‎（2）点D是抛物线在x轴上方部分的一点，过点D作DC∥AB与y轴交于点C，若四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标．‎ ‎149．（湖北模拟）如图，正方形ABCO的边长为4，D为OC边的中点，将△DCB沿直线BD对折，C点落在M处，BM的延长线交OA于点E，OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上．‎ ‎（1）求线段OE的长； ‎（2）求经过D、E两点，对称轴为直线x＝2的抛物线的解析式；‎ A E O y x B C D M ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以P、E、D、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎150．（广东）如图，抛物线y＝ x 2－ x－9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．‎ ‎（1）求AB和OC的长；‎ ‎（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．‎ D C O E l y x A B ‎151．（广东广州）如图，抛物线y＝－ x 2－ x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；‎ x B O A C y ‎（3）当直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．‎ ‎152．（广东模拟）如图1，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若矩形DEFG的顶点E、F在位于x轴上方的抛物线上，边DG在x轴上（如图2）．记矩形DEFG的周长为L，求L的最大值；‎ ‎（3）在（2）的条件下（即当L取得最大值时），在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△PFG沿直线PG折叠后，点F恰好落在y轴上？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A B C O y x 图1‎ A B C O y x 图2‎ D E F G A B C O y x 备用图 ‎153．（广西南宁）已知点A（3，4），点B为直线x＝－1上的动点，设B（－1，y）．‎ ‎（1）如图1，若点C（x，0）且－1＜x ＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，当点B的坐标为（－1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF＝1，线段EF在x轴上平移．线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．‎ A x E O D x＝－1‎ y ‎－1‎ 图2‎ B(－1,1)‎ F A B x C O D x＝－1‎ y ‎－1‎ 图1‎ ‎154．（广西百色）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax 2＋bx＋6经过点A（－3，0）和点B（2，0），‎ D F E G B x O A C y y＝h 直线y＝h（h为常数，且0＜h ＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；‎ ‎（3）已知一定点M（－2，0）．问：是否存在这样的直线y＝h，使△OFM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎155．（广西崇左）如图所示，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3），且抛物线y＝ax 2＋bx＋c与y轴交于点B（0，2）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ x D O A B y C ‎（2）是否在x轴上存在点P使△PAB是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标．‎ ‎156．（广西贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax 2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线CB对称，求直线CD的解析式；‎ O B y D C A M x ‎（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM 2＋PB 2＋PC 2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．‎ ‎157．（广西河池）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y＝－ x 2＋ x＋4经过A、B两点．‎ ‎（1）写出点A、点B的坐标；‎ ‎（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t ＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（平方单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ O E x M C A B P y l B N A C O P M y x ‎158．（广西贺州）如图，抛物线y＝－ x 2＋ x＋2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．‎ ‎（1）求点A、B、C的坐标．‎ ‎（2）点P为AB上的动点（点A、O、B除外），过点P作直线PN⊥x轴，交抛物线于点N，交直线BC于点M，设点P到原点的距离为t，MN的长度为s，求s关于t的函数关系式．‎ ‎（3）在（2）的条件下，试求出在点P运动的过程中，由点O、P、N围成的三角形与Rt△COB相似时点P的坐标．‎ ‎159．（广西来宾）已知抛物线y＝ax 2＋2x＋c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；‎ ‎1‎ C B O A x y ‎1‎ ‎（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎160．（广西柳州）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝．‎ ‎（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C三点的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S△ABD ＝ S△ABC ；‎ A C O B x y ‎（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′、B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，点C′ 同时在以A′B′ 为直径的圆上．‎ ‎161．（广西钦州）如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y＝ x 2＋bx＋c经过点B，且对称轴是直线x＝－ ．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数解析式；‎ ‎（2）将图甲中的△ABO沿x轴向左平移得到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；‎ ‎（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．‎ B O A x y 图甲 B O A x y 图乙 D E C ‎162．（广西梧州）如图，抛物线y＝－x 2＋12x－30的顶点为A，对称轴AB与x轴交于点B．在x轴上方的抛物线抛物线上有C、D两点，它们关于AB对称，并且C点在对称轴的左侧，CB⊥DB．‎ ‎（1）求出此抛物线的对称轴和顶点A的坐标；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上找出点Q，使它到A、C两点的距离相等，并求出点Q的坐标；‎ ‎（3）延长DB交抛物线于点E，在抛物线上是否存在点P，使得△DEP的面积等于△DEC的面积，若存在，请你直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．‎ B O A x y C D E ‎163．（福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax 2＋bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；‎ ‎（3）如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．‎ y A x B O D 图②‎ N y A x B O D 图①‎ ‎164．（福建龙岩）在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．‎ ‎（1）请直接写出点B、C的坐标：B（____，____）、C（____，____）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；‎ ‎（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF＝90°，∠DEF＝60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．‎ ‎①设AE＝x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；‎ ‎②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y x B O C A ‎1‎ 备用图 y E x B O D C M F A ‎1‎ ‎165．（福建南平）在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m＞1），将此矩形绕点O逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．‎ ‎（1）写出点A、A′、C′ 的坐标；‎ ‎（2）设过点A、A′、C′ 的抛物线解析式为y＝ax 2＋bx＋c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）‎ y A x B O C C A′‎ B′‎ ‎（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，请求出此时m的值．‎ ‎166．（福建宁德）如图 ，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD＝10，OB＝8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．‎ ‎（1）直接写出点A、B的坐标：A（____，____）、B（____，____）；‎ ‎（2）若抛物线y＝－ x 2＋bx＋c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是____________________；‎ ‎（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）当 ≤x ≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大值．‎ y A x B O D C y A x B O D C ‎（备用图）‎ y A x P O Q l C ‎167．（福建泉州）如图，点O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y＝ x 2＋h的图象交于不同的两点P、Q．‎ ‎（1）求h的值；‎ ‎（2）通过操作、观察，算出△POQ面积的最小值（不必说理）；‎ ‎（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．‎ ‎168．（福建三明）已知直线y＝2x－5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y＝－x 2＋bx＋c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．‎ ‎（1）如图①，当点M与点A重合时，求：‎ ‎①抛物线的解析式；‎ ‎②点N的坐标和线段MN的长；‎ 抛物线y＝－x 2＋bx＋c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y A x B O ‎（备用图）‎ y A x B O N ‎(M)‎ ‎（图①）‎ ‎169．（福建漳州）已知抛物线y＝ x 2＋1（如图所示）．‎ ‎（1）填空：抛物线的顶点坐标是（____，____），对称轴是_____________；‎ ‎（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；‎ y A x O ‎（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎170．（福建模拟）已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）经过A（－2，0）、B（0，1）两点，且对称轴是y轴．直线l经过点C（0，2）且与x轴平行，P、Q为抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）上的两动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）以点P为圆心，PO为半径的圆记为⊙P，判断直线l与⊙P的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）若PQ＝9，M是PQ的中点，求点M到直线l距离的最小值．‎ Q C x B O y A P l y T N x O A B C M ‎171．（福建模拟）已知，如图，抛物线y＝ x 2＋bx＋3与x轴的正半轴交于A、B两点（A在B的左侧），且与y轴交于点C，O为坐标原点，OB＝4．‎ ‎（1）直接写出点B、C的坐标及b的值；‎ ‎（2）过射线CB上一点N，作MN∥OC分别交抛物线、x轴于M、T两点，设点N的横坐标为t．‎ ‎①当0＜t ＜4时，求线段MN的最大值；‎ ‎②以点N为圆心，NM为半径作⊙N，当点B恰好在⊙N上时，求点M的坐标．‎ ‎172．（福建模拟）已知抛物线y＝a( x－t－2)2＋t 2（a、t是常数，且a≠0，t≠0）的顶点是P点，与x轴交于A（2，0）、B两点．‎ ‎（1）①求a的值；‎ ‎②△PAB能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由；‎ ‎（2）若t＞0，点F（0，－1），把抛物线y＝a( x－t－2)2＋t 2向左平移t个单位后与x轴的正半轴交于M、N两点，当t为何值时，过F、M、N三点的圆的面积最小？并求这个圆面积的最小值．‎ ‎173．（海南）如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON．‎ ‎（1）求该二次函数的关系式；‎ ‎（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积；‎ ‎（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：‎ ‎①证明：∠ANM＝∠ONM；‎ ‎②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．‎ y A x O N l P M ‎174．（湖北模拟）如图1，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点，顶点为M，与y轴的交点为Q．直线y＝－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．‎ ‎①当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线的MQ段所扫过的区域的面积；‎ ‎②若平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，试探求其顶点的横坐标的取值范围．‎ A B C O x y D M 图1‎ Q N Q E O x y F 图2‎ ‎③如图2，当抛物线的顶点平移到原点时，过点Q作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎175．（湖北模拟）y A x O E B C 如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋3交x轴A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于C点，顶点为E，对称轴为直线x＝1，sin∠OCA＝ ．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）将（1）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE ＝S△ABC ，求此时直线BC的解析式；‎ y A x O E B C ‎（3）将（1）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE ＝2S△AOC ，且顶点E恰好落在直线y＝－4x＋3上，求此时抛物线的解析式．‎ ‎176．（湖北模拟）如图，抛物线y＝a( x－1)2＋4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于E点，已知AB＝DE．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是第一象限抛物线上一点，连接PA，若PA分四边形OCDE面积为3 : 4的两部分，求P点的坐标；‎ y A x O D B C E ‎（3）将（1）中的抛物线向左或向右平移t（t＞0）个单位，若平移后的抛物线与线段CD有公共点，问：向左或向右最多平移多少个单位？‎ ‎177．（湖北模拟）如图1，抛物线y＝ax 2＋bx－‎3a与x轴交于A（－1，0），B（x2，0），与y轴负半轴交于点C，且tan∠OBC＝1，抛物线的顶点是D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接BD，点F为x轴上一点，连接CF交BD于E点，当BE＝CE时，求点F的坐标；‎ A x O G B C y 图2‎ M ‎（3）如图2，在（1）中的抛物线上的第一象限是否存在点G，连接CG交x轴于M点，使得∠BCG＝∠ACO，若存在，求出G点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ A x O D B C E y F 图1‎ ‎178．（湖北模拟）如图1，抛物线y＝ax 2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB＝OC＝3OA．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）过C点作CD⊥OC交抛物线于D点，连接AC、BD，E为BD上一点，DE : BE＝7 : 3，P为线段AB上一点，若∠CPE＝∠CAP，求点P点的坐标；‎ y A x O D B C P E 图1‎ y A x O H B C G E 图2‎ F ‎（3）如图2，将（1）中的抛物线沿x轴正方向平移，平移后的抛物线交y轴于点F，与x轴的右交点为E，G为AC的中点，延长GO交EF于点H．是否存在这样的抛物线，使得GH⊥EF？若存在，求平移后的抛物线的解析式：若不存在，请说明理由．‎ ‎179．（湖北模拟）如图，抛物线y＝ax 2＋bx－3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点是D，tan∠ACB＝2，△ABC的外接圆与y轴交于另一点E，EC＝4．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是抛物线上一点，∠PBD＝45°，求点P的坐标；‎ ‎（3）过点F（0，m）且平行x轴的直线交抛物线于M、N，是否存在实数m，使得以MN为直径的⊙I与直线BC相切？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ y A x O D B C 备用图 y A x O D B C G E y A x O D B C 备用图 O x y C B D A ‎180．（浙江模拟）已知抛物线y＝a( x＋2)( x－4)（a ＜0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）若在y轴上只存在一个点P，使得∠BPD＝90°，求a的值；‎ ‎（2）当a＝－ 时，要使在y轴上只存在一个点P，且∠BPD＝90°，应该如何平移抛物线？‎ ‎（3）当a＝－ 时，要使在y轴上只存在一个点P，且∠BPD＝90°，应该如何平移抛物线？‎ x O y y＝x－4‎ y＝x 2‎ A B C D ‎181．（湖北某校自主招生）如图，正方形ABCD的边AB在直线y＝x－4上，顶点C、D在抛物线y＝x 2上．‎ ‎（1）求正方形ABCD的面积；‎ ‎（2）如何平移抛物线，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点A、B？并求出平移后抛物线的解析式．‎ 十、动态综合型问题 ‎1．（北京模拟）已知抛物线y＝－x 2＋2x＋m－2与y轴交于点A（0，‎2m－7），与直线y＝2x交于点B、C（B在C的右侧）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得∠BFE＝∠CFE，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒 个单位长度、每秒2 个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒．若△PMQ与抛物线y＝－x 2＋2x＋m－2有公共点，求t的取值范围．‎ x O y A B C P Q M 如需要答案，可联系手机：13956226259‎ 或 电子信箱：gshbao@sina.com ‎ 或QQ：529115098‎ ‎2．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝ax 2＋3x＋c经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B．‎ ‎（1）求抛物线y1的解析式及B点坐标；‎ ‎（2）若将抛物线y1以x＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y2，已知抛物线y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．动点P从O点出发，沿线段OC向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线OA于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF．‎ ‎①当点E落在抛物线y1上时，求OP的长；‎ x A y OD B C P F E D Q G N M ‎②若点P的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一点Q从C点出发向O点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q点到达O点时P、Q两点停止运动．过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN．当t为何值时，这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上？（正方形在x轴上的边除外）‎ ‎3．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax 2＋bx＋4经过A（－3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；‎ x A y OD C B D P Q ‎（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎4．（北京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A开始沿折线AC－CB－BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒 个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．‎ ‎（1）当t＝5秒时，点P走过的路径长为_________；当t＝_________秒时，点P与点E重合；‎ ‎（2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，点F的对应点记为点N，当EN⊥AB时，求t的值；‎ ‎（3）当点P在折线AC－CB－BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点Q．在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值．‎ E B M C A P l F N B C A 备用图 ‎5．（北京模拟）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝10，CD＝6，AD＝BC＝4．点P从点B出发，沿线段BA向点A匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P作直线BC的垂线PE，垂足为E．设点P的运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）∠A＝___________°；‎ ‎（2）将△PBE沿直线PE翻折，得到△PB′E，若△PB′E与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎（3）在整个运动过程中，是否存在以点D、P、B′ 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ A C B D 备用图 A C B D P E B′‎ ‎6．（北京模拟）已知二次函数y＝－ mx 2＋3mx－2的图象与x轴交于点A（2 ，0）、点B，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点B坐标；‎ ‎（2）点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，到达点O后停止运动，过点P作PQ∥AC交OA于点Q，将四边形PQAC沿PQ翻折，得到四边形PQA′C′，设点P的运动时间为t．‎ ‎①当t为何值时，点A′ 恰好落在二次函数y＝－ mx 2＋3mx－2图象的对称轴上；‎ ‎②设四边形PQA′C′ 落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．‎ A B D Q C P E F ‎7．（北京模拟）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝120°，E是AB的中点，过E点作射线EF∥BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程x 2－4x＋a 2＋‎2a＋5＝0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿AB由A向B运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t（秒）．‎ ‎（1）求线段AB、AD的长；‎ ‎（2）如果t＞1，求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在△DPQ是直角三角形的情况，如果存在，求出时间t；如果不存在，请说明理由．‎ ‎8．（天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直y＝－x＋4 交x轴于点A，交y轴于点B．在线段OA上有一动点P，以每秒 个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，以OP为边作正方形OPQM交y轴于点M，连接QA和QB，并从QA和QB的中点C和D向AB作垂线，垂足分别为点F和点E．设P点运动的时间为t秒，四边形CDEF的面积为S1，正方形OPQM与四边形CDEF重叠部分的面积为S2．‎ y P A Q x O D C F B M E ‎（1）直接写出A点和B点坐标及t的取值范围；‎ ‎（2）当t＝1时，求S1的值；‎ ‎（3）试求S2与t的函数关系式 ‎（4）直接写出在整个运动过程中，点C和点D所运动的路程之和．‎ ‎9．（上海模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是边AB上的一个动点，连接CP，过点B作BD⊥CP，垂足为点D.‎ ‎（1）如图1，当CP经过△ABC的重心时，求证：△BCD∽△ABC；‎ ‎（2）如图2，若BC＝‎2厘米，cotA＝2，点P从点A向点B运动（不与点A、B重合），点P的速度是 厘米/秒，设点P运动的时间为t秒，△BCD的面积为S平方厘米，求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若△PBC是以CP为腰的等腰三角形，求△BCD的面积．‎ C A P B DDD 图1‎ C A B 备用图 C A P B DDD 图2‎ ‎10．（重庆模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是AC的中点，OB＝12，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M，N在直线OB上，取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图所示的矩形ODEF，点E在线段AB上．‎ ‎（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值；‎ ‎（2）求等边△PMN的边长（用含t的代数式表示）；‎ ‎（3）设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S，请直接写出当0≤t ≤2秒时S与t的函数关系式，并写出对应的自变量t的取值范围；‎ ‎（4）点P在运动过程中，是否存在点M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．‎ A O D C B F E 备用图 A O D C B P N F M E A O D C B F E 备用图 ‎ ‎ ‎11．（浙江某校自主招生）如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在直线的解析式分别为y＝ x和y＝－ x＋ ．‎ ‎（1）求正方形OABC的边长；‎ ‎（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，设运动时间为2秒．当k为何值时，将△CPQ沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？‎ ‎（3）若正方形以每秒 个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点B落在x轴上时停止下滑．设正方形在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．‎ C B x O A y ‎12．（浙江某校自主招生）如图，正方形ABCD的边长为‎8cm，动点P从点A出发沿AB边以‎1cm/秒的速度向点B匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿折线BC－CD以‎2cm/秒的速度匀速移动．点P、Q同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．连接AQ交BD于点E．设点P运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）当点Q在线段BC上运动时，点P出发多少时间后，∠BEP＝∠BEQ？‎ ‎（2）设△APE的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ A B D E C P Q ‎（3）当4＜t＜8时，求函数值S的范围．‎ ‎13．（浙江模拟）如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB＝60°，以点A为原点、边AB所在直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线D－C－B向终点B以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以每秒1个单位的速度运动，当点P到达终点时停止运动．设运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．‎ ‎（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；‎ ‎（2）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（4）若F、G为DC边上两点，且点DF＝FG＝1，试在对角线DB上找一点M、抛物线对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．‎ x A y E D C B F G Q P ‎14．（浙江模拟）如图，直线y＝－x＋5和直线y＝kx－4交于点C（3，m），两直线分别交y轴于点A和点B，一平行于y轴的直线l从点C出发水平向左平移，速度为每秒1个单位，运动时间为t，且分别交AC、BC于点P、Q，以PQ为一边向左侧作正方形PQDE．‎ ‎（1）求m和k的值；‎ ‎（2）当t为何值时，正方形的边DE刚好在y轴上？‎ ‎（3）当直线l从点C出发开始运动的同时，点M也同时在线段AB上由点A向点B以每秒4个单位的速度运动，问点M从进入正方形PQDE到离开正方形持续的时间有多长？‎ A O C B y x l P Q D E ‎15．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B坐标为（，1），以OB所在直线为对称轴将△OAB作轴对称变换得△OCB．动点P从点O出发，沿线段OA向点A运动，动点Q从点C出发，沿线段CO向点O运动．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t（秒）．‎ B P A C O Q x y M ‎（1）求∠AOC的度数；‎ ‎（2）记四边形BCQP的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）设PQ与OB交于点M．‎ ‎①当△OMQ为等腰三角形时，求t的值．‎ ‎②探究线段OM长度的最大值，说明理由．‎ ‎16．（浙江模拟）已知直线y＝ x＋4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C从O点出发沿射线OA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点D从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点D到达B点时C、D都停止运动．点E是CD的中点，直线EF⊥CD交y轴于点F，点E′ 与E点关于y轴对称．点C、D的运动时间为t（秒）．‎ B A C O D x y F E E′‎ ‎（1）当t＝1时，AC＝___________，点D的坐标为（_____，_____）；‎ ‎（2）设四边形BDCO的面积为S，当0＜t＜3时，求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）当直线EF与△ABO的一边垂直时，求t的值；‎ ‎（3）当△EFE′ 为等腰直角三角形时，直接写出t的值．‎ ‎17．（浙江模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝21，AD＝12，E是CD边上的一点，DE＝16，M是BC边的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．设动点P的运动时间是t秒． （1）求线段AE的长；‎ ‎（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；‎ ‎（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．‎ ‎①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；‎ ‎②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′ 与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）．‎ D A C E B M 备用图 D A C E B M P H 图2‎ D A C E B M P 图1‎ ‎18．（浙江模拟）如图，抛物线与x轴交于A（6，0）、B（19，0）两点，与y轴交于点C（0，8），直线CD∥x轴交抛物线于另一点D．动点P、Q分别从C、D两点同时出发，速度均为每秒1个单位，点P向射线DC方向运动，点Q向射线BD方向运动，设P、Q运动的时间为t（秒），AQ交CD于E．‎ O B y x A C P Q E D ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式；‎ ‎（3）连接BE．是否存在某一时刻t，使得∠AEB＝∠BDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．（浙江模拟）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a＞0）交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于C点，已知B点坐标为（8，0），tan∠ABC＝ ，△ABC的面积为8．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）直线EF（EF∥x轴，且分别交y轴、线段CB于E、F两点）从C点开始，以每秒1个单位的速度向下运动，与x轴重合时停止运动；同时动点P从B点出发沿线段BO以每秒2个单位的速度向终点O运动，连接FP，设运动时间为t秒．是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ O B y x A C P F E G ‎（3）在（2）的条件下，连接AC交EF于点G．当t为何值时，A、P、F、G所围成的图形是平行四边形、等腰梯形和等腰直角三角形．‎ ‎20．（浙江模拟）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，直线AC的解析式为y＝－2x＋6，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在平面内的点E处，直线AE交x轴于点D．‎ ‎（1）求直线AD解析式；‎ ‎（2）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ＝∠BAC．设点P运动时间为t秒，△POQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；‎ O B y x A C E D ‎（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点F，使以点F、A、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（江苏无锡）如图，菱形ABCD的边长为‎2cm，∠DAB＝60°．点P从A点出发，以 cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以‎1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t s．‎ ‎（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；‎ B P A D C Q ‎（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？‎ ‎22．（江苏苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以lcm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合．在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为lcm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为‎4cm、‎3cm．设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x ≤2.5．‎ ‎（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y＝3时相应x的值；‎ ‎（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2，试说明S1－S2是常数；‎ ‎（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．‎ A H H C B F D E P H G ‎23．（江苏连云港）如图，甲、乙两人分别从A（1，）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以‎4km/h的速度行走，t h后，甲到达M点，乙到达N点．‎ ‎（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．‎ ‎（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？‎ O B y x A ‎（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN 2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．‎ ‎24．（江苏南通）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中点．点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．‎ C B D A Q P ‎（1）若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；‎ ‎（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．‎ ‎①若a＝ ，求PQ的长；‎ ‎②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎25．（江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝ x与直线l2：y＝－x＋6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．‎ ‎（1）求M、N的坐标；‎ ‎（2）在矩形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN的重合部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；‎ A B l1‎ N M x l2‎ C D y O ‎（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值．‎ y O x A B C Q P ‎26．（江苏模拟）已知抛物线与x轴交于B、C（1，0）两点，与y轴交于点A，顶点坐标为（ ，－ ）．P、Q分别是线段AB、OB上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为每秒1个单位，设P、Q运动时间为t（0≤t≤4）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式，并求出P点的坐标（用t表示）；‎ ‎（2）当△OPQ面积最大时求△OBP的面积；‎ ‎（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？‎ ‎（4）△OPQ是否可能为等边三角形？若可能请求出t的值；若不可能请说明理由，并改变Q点的运动速度，使△OPQ为等边三角形，求出Q点运动的速度和此时t的值．‎ ‎27．（江苏模拟）如图，在梯形纸片ABCD中，BC∥AD，∠A＋∠D＝90°，tanA＝2，过点B作BH⊥AD于H，BC＝BH＝2．动点F从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止，在运动过程中，过点F作FE⊥AD交折线D－C－B于点E，将纸片沿直线EF折叠，点C、D的对应点分别是点C1、D1．设F点运动的时间是t（秒）．‎ ‎（1）当点E和点C重合时，求t的值；‎ ‎（2）在整个运动过程中，设△EFD1或四边形EFD‎1C1与梯形ABCD重叠部分面积为S，求S与t之间的函数关系式和相应自变量t的取值范围；‎ ‎（3）平移线段CD，交线段BH于点G，交线段AD于点P．在直线BC上存在点Q，使△PGQ为等腰直角三角形？若存在，求出线段QB的长；若不存在，说明理由．‎ D1‎ A B C F E D H A B C D H 备用图 ‎28．（江苏模拟）如图1，直线l：y＝－ x＋3分别交x轴、y轴于B、A两点，等腰Rt△CDE的斜边CD在x轴上，且CD＝6．若直线l以每秒3个单位的速度向上匀速运动，同时点C从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右匀速运动（如图2），设运动后直线l分别交x轴、y轴于N、M两点，以OM、ON为边作如图所示的矩形OMPN．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）求运动后点E、点N的坐标（用含t的代数式表示）；‎ ‎（2）设矩形OMPN与运动后的△CDE的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；‎ ‎（3）若直线l和△CDE运动后，直线l上存在点Q使∠OQC＝90°，则当在线段MN上符合条件的点Q有且只有两个时，求t的取值范围．‎ ‎（4）若H是MP的中点，当△PHE为等腰三角形时，求出所有符合条件的t值．‎ N M x C y O P D l E 图2‎ A B x C D y O E l 图1‎ A C O B Q x y P A C O B x y 备用图 ‎29．（江苏模拟）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c的顶点为C（0，－），与x轴交于点A、B（A在B的左侧），连接AC、BC，得等边△ABC．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发，以每秒 个单位的速度向y轴负方向运动，连接PQ交射线BC于点D，当点P到达点A时，点Q停止运动．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设△PQC的面积为S，求S关于t的函数关系式；‎ ‎（3）以点P为圆心，PB 为半径的圆与射线BC交于点E，试说明：在点P运动的过程中，线段DE的长是一定值，并求出该定值．‎ ‎30．（河北）如图，点A（－5，0），B（－3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）当∠BCP＝15°，求t的值；‎ B A Q x P O y C D ‎（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．‎ ‎31．（河北模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．点P从点A出发沿AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动；点Q从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动．运动过程中DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线PB－BC于点E．点P、Q同时出发，当点P到达点B时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒．‎ ‎（1）当t＝______________秒，直线DE经过点B；当t＝______________秒，直线DE经过点A；‎ ‎（2）四边形DPBE能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）当t为何值时，点E是BC的中点？‎ B Q A D C E P ‎（4）以E为圆心，EC长为半径的圆能否与AB、AC、PQ同时相切？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．‎ ‎32．（山东青岛）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝‎6cm，BC＝‎8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为‎1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为‎2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t ＜4）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ⊥AB？‎ ‎（2）当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE∶S五边形PQBCD ＝1∶29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．‎ A P Q B C E D A B C 备用图 E D ‎33．（山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax 2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G．当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？‎ x O y A D C B G 图1‎ E 图1‎ P 图1‎ Q ‎（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．‎ ‎34．（山东模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠BAC＝∠DEF＝90°，∠ABC＝45°，BC＝9，DE＝6，EF＝8．如图2，△DEF从图1的位置出发，以1个单位/秒的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△DEF的顶点F出发，以3个单位/秒的速度沿FD向点D匀速移动．当点P移动到点D时，P点停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）．‎ ‎（1）设△BQE的面积为y，求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形？‎ A B D E F 图2‎ P Q C ‎(E)‎ A B D C F 图1‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎35．（山东模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝‎10cm，BD⊥AC于D，且BD＝‎8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为‎2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为‎1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，连接PM，设运动时间为t（s）．‎ ‎（1）当四边形PQCM是等腰梯形时，求t的值；‎ ‎（2）当点M在线段PC的垂直平分线上时，求t的值；‎ ‎（3）当t为何值时，①△PQM是等腰三角形；②△PQM是直角三角形；‎ ‎（4）是否存在时刻t，使以PM为直径的圆与BC相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ A C B D P Q M ‎36．（内蒙古包头、乌兰察布）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝‎4cm，BC＝‎5cm，点D在BC上，且CD＝‎3cm．现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以l cm/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以‎1.25cm／秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．‎ A D Q 图1‎ C P 图1‎ B 图1‎ E 图1‎ ‎（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；‎ ‎（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？‎ ‎（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．‎ ‎37．（内蒙古呼伦贝尔）如图①，在平面直角坐标系内，Rt△ABC≌Rt△FED，点C、D与原点O重合，点A、F在y轴上重合，∠B＝∠E＝30°，AC＝FD＝．△FED不动，△ABC沿直线BE以每秒1个单位的速度向右平移，直到点B与点E重合为止，平移过程中AB与EF的交点为M．‎ ‎（1）求出图①中点B的坐标；‎ ‎（2）如图②，当x＝4秒时，求出过F、M、A三点的抛物线的解析式；此抛物线上有一动点P，以点P为圆心，以2为半径的⊙P在运动过程中是否存在与y轴相切的情况，若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设移动x秒后两个三角形重叠部分的面积为S，求出整个运动过程中S与x的函数关系式．‎ F B D E O x y 图②‎ C A M A B C E ‎(F)‎ ‎(D)‎ O x y 图①‎ ‎38．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OA在x轴正半轴上，且OA＝4，AB＝2，将△OAB沿某条直线翻折，使OA与y轴正半轴的OC重合．点B的对应点为点D，连接AD交OB于点E．‎ ‎（1）求AD所在直线的解析式：‎ ‎（2）连接BD，若动点M从点A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AO运动，线段AM的垂直平分线交直线AD于点N，交直线BD子Q，设线段QN的长为y（y≠0），点M的运动时间为t秒，求y与t之问的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；‎ A O C x E B D y 备用图 A O C x E B D y ‎（3）在（2）的条件下，连接MN，当t为何值时，直线MN与过D、E、O三点的圆相切，并求出此时切点的坐标．‎ ‎39．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋b与x轴交于点A，与正比例函数y＝－ x的图象交于点B，过B点作BC⊥y轴，点C为垂足，C（0，8）．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）动点M从点A出发沿线段AO以每秒1个单位的速度向终点O匀速移动，过点M作x轴的垂线交折线A－B－O于点P．设M点移动的时间为t秒，线段BP的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，动点Q同时从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿折线O－C－B向点B移动，当动点M停止移动时，点Q同时停止移动．当t为何值时，△BPQ是以BP为一腰的等腰三角形？‎ A O C B y x A O C B y x 备用图 A O C B y x 备用图 ‎40．（哈尔滨模拟）如图，直线y＝ x＋12分别与x轴、y轴交于点A、B，直线BC交x轴于点C，且AB＝AC．‎ ‎（1）求直线BC的解析式；‎ ‎（2）点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线，分别交直线BC、直线AB于点Q、M，过点Q作QN⊥AB于点N．设点P的运动时间为t（秒），线段MN的长为d，求d与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；‎ ‎（3）若经过A、N、Q三点的圆与直线BC交于另一点K，当t为何值时，KQ : AQ＝ : 10？‎ A O C N y x P Q B M K ‎41．（哈尔滨模拟）如图，直线y＝－kx＋6k（k ＞0）与x轴、y轴交于点A、B，且△AOB的面积是24．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA－AB运动；同时点E从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；‎ B O y x E A F P B O y x A 备用图 ‎（3）在（2）的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB＝ 时，求t的值．‎ ‎42．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，△AOB为等腰三角形，且OA＝OB，过点B作y轴的垂线，垂足为D，直线AB的解析式为y＝－3x＋30，点C在线段BD上，点D关于直线OC的对称点在腰OB上．‎ ‎（1）求点B坐标；‎ ‎（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿折线BC－CO运动；同时点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度沿对角线OB向终点B运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△PQC的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接PQ，设PQ与OB所成的锐角为α，当α＝90°－∠AOB时，求t的值．‎ C O y x D A B C O y x D A B 备用图 ‎43．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（ ，0），点B（3，4），将△OAB沿直线OB翻折，点A落在第二象限内的点C处．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）动点P从点O出发，以每秒5个单位的速度沿OB向终点B运动，连接AP，将射线AP绕着点A逆时针旋转与y轴交于一点Q，且旋转角α＝ ∠OAB．设线段OQ的长为d，点P运动的时间为t秒，求d与t的函数关系式（直接写出时间t的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接CP．点P在运动的过程中，是否存在CP∥AQ，若存在，求此时t的值，并辨断点B与以点P为圆心，OQ长为半径的⊙P的位置关系；若不存在，请说明理由．‎ B O C x A y 备用图 B O C x A y ‎44．（黑龙江大庆）已知等边△ABC的边长为3个单位，若点P由A出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动，第一次回到点A处停止运动，设AP＝S，用t表示运动时间．‎ A C B ‎（1）当点P由B到C运动的过程中，用t表示S；‎ ‎（2）当t取何值时，S等于 （求出所有的t值）；‎ ‎（3）根据（2）中t的取值，直接写出在哪些时段AP＜ ？‎ ‎45．（黑龙江大兴安岭、鸡西、齐齐哈尔、黑河、七台河）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x 2－7x＋12＝0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标．‎ ‎（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．‎ ‎（3）当t＝2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ B Q x P O y A ‎46．（吉林）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝‎2cm，AC＝‎4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以‎1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以‎1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为t s，正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为S cm2．‎ ‎（1）当t＝_________s时，点P与点Q重合；‎ ‎（2）当t＝_________s时，点D在QF上；‎ ‎（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．‎ B Q D P C A E F B C A ‎（备用图）‎ ‎47．（吉林模拟）如图，梯形OABC中，OA在x轴上，CB∥OA，∠OAB＝90°，B（4，4），BC＝2．动点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，到点A停止，过点E作ED⊥x轴交折线O－C－B于点D，以DE为一边向右作正方形DEFG．设运动时间为t（秒），正方形DEFG与梯形OABC重叠面积为S（平方单位）．‎ ‎（1）求tan∠AOC的值；‎ ‎（2）求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎（3）连接AC，AC的中点为M，t为何值时，△DMG为等腰三角形？‎ D A B C G O E F x 备用图 D A B C G O E F x ‎48．（吉林长春）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝‎8cm，BC＝‎4cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以 cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以‎1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AQ上．设点P的运动时间为t（s）．‎ ‎（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______________cm（用含t的代数式表示）．‎ ‎（2）当点N落在AB边上时，求t的值．‎ ‎（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．‎ ‎（4）连接CD．当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以‎2.5cm/s的速度沿M－N－M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．‎ M C A B Q P N D E P A B C M O F D E N Q ‎49．（长春模拟）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC＝2．点P从点A出发以每秒 个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF，以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN＝QC．设运动时间为t（单位：秒）．‎ ‎（1）求t＝1时FC的长度．‎ ‎（2）求MN＝PF时t的值．‎ ‎（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形 面积S与t的函数关系式．‎ ‎（4）直接写出△QMN和矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．‎ A B R x E C Q D P M O y ‎50．（长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，梯形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为A（－3，0），B（15，0），D（0，4），且CD＝10．一条抛物线经过C、D两点，其顶点M在x轴上．点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿AD向点D运动，到点D后又以每秒3个单位的速度沿DC向点C运动，到点C停止；同时，点E从点B出发以每秒5个单位的速度沿BO运动，到点O停止．过点E作y轴的平行线，交边BC或CD于点Q，交抛物线于点R．设P、E两点运动的时间为t（秒）．‎ ‎（1）写出点M的坐标，并求这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）当点Q和点R之间的距离为8时，求t的值；‎ ‎（3）直接写出使△MPQ成为直角三角形时t值的个数；‎ ‎（4）设P、Q两点直径的距离为d，当2≤d≤7时，求t的取值范围．‎ ‎51．（辽宁大连）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝‎8cm，BC＝‎6cm，点P、Q同时从点C出发，以‎1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ′R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ′R与△PAR重叠部分的面积为S（cm2）．‎ ‎（1）t为何值时，点Q′ 恰好落在AB上？‎ ‎（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎（3）S能否为 cm2？若能，求出此时的t值，若不能，说明理由．‎ B A 备用图 C B A 备用图 C B l A C Q P R Q′‎ ‎52．（辽宁葫芦岛）△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限．若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面内滑动，如图2．设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动．‎ ‎（1）当t＝0时，求点C的坐标；‎ ‎（2）当t＝4时，求OD的长及∠BAO的大小；‎ ‎（3）求从t＝0到t＝4这一时段点D运动路线的长；‎ ‎（4）当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．‎ y B C D x O 图2‎ A y B C D x O ‎(A)‎ 图1‎ ‎53．（辽宁丹东）已知抛物线y＝ax 2－2ax＋c与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且|OC|＝3|OA|．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）直接写出直线BC的函数表达式；‎ ‎（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD＝2，以OD为边作正方形ODEF．将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在移动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为S，运动的时间为t秒（0＜t≤2）．‎ ‎①求S与t之间的函数关系式；‎ ‎②在运动过程中，S是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．‎ B O C A x y D E F 图1‎ B O C A x y P 图2‎ ‎54．（辽宁本溪）如图，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋3经过点B（－1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH＝90°，EF∥HG，EF＝EH＝1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；‎ ‎（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K．当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的t值．‎ B A C O M ‎(E)‎ D ‎(F)‎ H G x y B A C O ‎(E)‎ D ‎(F)‎ H G x y A′‎ K B A C O M D x y 备用图 ‎55．（辽宁模拟）Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放（点F与点A重合），点A、E、F、B在同一直线上。∠ACB＝∠DEF＝90°，∠BAC＝∠FDE＝30°，BC＝‎8cm，EF＝‎6cm．‎ 如图2，△DEF从图1位置出发，以‎1cm/s的速度沿射线AB下滑，DE与AC相交于点H，DF与AC相交于点G，设下滑时间为t（s）（0＜t ≤6）．‎ ‎（1）当t＝___________s时，△GHD经过旋转后与△AFG能够组成菱形；‎ ‎（2）当t为何值时，点G在线段AE的垂直平分线上？‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使B、C、D三点在同一条直线上，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ A B D C E ‎(F)‎ 图1‎ A B C 备用图 A B D G C E 图2‎ H F ‎（4）设△DEF与△ABC的重合部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式以及S的最大值（不需要给出解答过程）．‎ ‎56．（辽宁模拟）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋ （a≠0）经过A（－3，0），B（5，0）两点，点C为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ O N y x A D E B C R Q P M ‎（2）动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向终点D匀速运动，过点P作PM⊥CD，交BC于点M，以PM为一边向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交x轴于点E．设运动时间为t（秒）．‎ ‎①当t为何值时，点N落在抛物线上；‎ ‎②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形QEBR为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎57．（辽宁模拟）如图1，已知点A（8，4），点B（0，4），线段CD的长为3，点C与原点O重合，点D在x轴正半轴上．线段CD沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F（如图2），设运动时间为t．当E点与A点重合时停止运动．‎ ‎（1）求线段CE的长；‎ ‎（2）记△CDE与△ABO公共部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；‎ ‎（3）如图2，连接DF．‎ ‎①当t取何值时，以C、F、D为顶点的三角形为等腰三角形？‎ ‎②△CDF的外接圆能否与OA相切？如果能，直接写出此时t的值；如果不能，请说明理由．‎ C A B O E x D y G F 图2‎ A B O E x D y G 图1‎ ‎(C)‎ ‎58．（贵州安顺）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为‎12cm、‎6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过点A、B，且‎18a＋c＝0．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S．‎ ‎①试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；‎ ‎②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ A C Q P B O x y ‎59．（贵州六盘水）如图1，已知△ABC中，AB＝‎10cm，AC＝‎8cm，BC＝‎6cm．如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为‎2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t ≤4）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC．‎ ‎（2）设△AQP的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．‎ ‎（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′ ．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′ 为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．‎ B A C P Q 图2‎ Q′‎ B A C P Q 图1‎ ‎60．（贵州模拟）如图（1），在Rt△AOB中，∠A＝90°，AB＝6，OB＝4，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线OF．动点P从点B出发沿折线BC→CO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，同时动点Q从点C出发沿折CO→OF方向以相同的速度运动．设点P的运动时间为t秒，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．‎ ‎（1）求OC、BC的长；‎ ‎（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；‎ A B P O Q F C 图（1）‎ A B P O Q F C 图（2）‎ E ‎（3）如图（2），当点P在OC上、点Q在OF上运动时，PQ与OA交于点E，当t为何值时，△OPE为等腰三角形？‎ ‎61．（四川广元）如图，在矩形ABCO中，AO＝3，tan∠ACB＝ ．以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系．设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动．设运动时间为t（秒）．‎ ‎（1）求直线AC的解析式；‎ ‎（2）用含t的代数式表示点D的坐标；‎ ‎（3）当t为何值时，△ODE为直角三角形？‎ B A C D E O x y ‎（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式．‎ ‎62．（湖南张家界）如图，抛物线y＝－x 2＋ x＋2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，点O关于直线AB的对称点为D．‎ ‎（1）分别求出点A、点C的坐标；‎ ‎（2）求直线AB的解析式；‎ ‎（3）若反比例函数y＝ 的图象经过点D，求k的值；‎ ‎（4）现有两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动 个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t．问：在P、Q移动过程中，S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎1‎ O x y C Q A P B D ‎1‎ ‎2‎ ‎63．（湖北鄂州）已知：如图1，抛物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝x－2经过A、C两点，且AB＝2．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位的速度运动（如图2），当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连接DP，若点P运动时间为t秒，设s＝ ，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．‎ O x y C A B 图1‎ O x y C A B 图2‎ E D P ‎64．（湖北咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D ‎．运动时间为t秒．‎ ‎（1）当点B与点D重合时，求t的值；‎ ‎（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S＝ ？‎ y x O C 备用图 y x O A B C M D E ‎（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y＝ax 2－10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．‎ ‎65．（湖北宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x＋1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向右上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y＝a( x－m )2＋n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3(1－ )a．‎ ‎（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；‎ ‎（2）当点C与点A重合时，求a的值；‎ ‎（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？‎ B A D E O x y ‎(C)‎ ‎（图1）‎ B A O x y ‎（图2）‎ M ‎66．（广东珠海）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝3，DC＝，高CE＝2，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．‎ ‎（1）填空：∠AHB＝__________；AC＝__________；‎ ‎（2）若S2＝3S1，求x；‎ ‎（3）设S2＝mS1，求m的变化范围．‎ A B M N Q D C H R G F E A B M N Q D C H R G F E 备用图 ‎67．（广东茂名）如图所示，抛物线y＝ax 2＋ x＋c经过原点O和A（4，2），与x轴交于点C，点M、N同时从原点O出发，点M以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动，点N以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，当其中一个点停止运动时，另一点也随之停止．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；‎ ‎（2）在点M、N运动过程中，‎ ‎①若线段MN与OA交于点G，试判断MN与OA的位置关系，并说明理由；‎ ‎②若线段MN与抛物线相交于点P，探索：是否存在某一时刻t，使得以O、P、A、C为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．‎ O x y C N A M P G ‎68．（广东湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上，O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发，沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒 个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t＝3秒时，直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；‎ O x y B A M N ‎（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？‎ ‎69．（广西玉林、防城港）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止．设运动时间为t（秒），当t＝2（秒）时，PQ＝2．‎ ‎（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；‎ ‎（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值；‎ O x y Q P A D F C E ‎（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？‎ ‎70．（福建福州）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t ≥0）．‎ ‎（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝______________，PD＝_______________．‎ ‎（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；‎ ‎（3）如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．‎ A C B D P Q 图①‎ A C B D P Q 图②‎ M ‎71．（福建漳州）如图，在□OABC中，点A在x轴上，∠AOC＝60°，OC＝‎4cm．OA＝‎8cm．动点P从点O出发，以‎1cm/s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以a cm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）填空：点C的坐标是（_____，_____），对角线OB的长度是__________cm；‎ ‎（2）当a＝1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大？‎ ‎（3）当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M．若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．‎ O x y Q P B C A ‎72．（福建模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝12，CD＝6，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止移动．设点E移动的时间为t（秒）．‎ ‎（1）求当t为何值时，两点同时停止移动；‎ ‎（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ ‎（3）求当t为何值时，以E、F、C三点为顶点的三角形是等腰三角形；‎ A B D O C E F ‎（4）求当t为何值时，∠BEC＝∠BFC；‎ ‎（5）在运动过程中BF、CE有怎样的位置关系？证明你的结论．‎ A B C D E F ‎73．（福建模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝‎10cm，BC＝‎16cm，长为‎4cm的动线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以‎1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF∥AC交AB于点F，连接DF，设运动的时间为t秒．‎ ‎（1）当t为何值时，△DEF为等腰三角形；‎ ‎（2）设M、N分别是DF、EF的中点，求在整个运动过程中MN所扫过的面积．‎ ‎74．（福建模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度沿A→B→C方向运动，⊙P和⊙Q的半径都为1．求：‎ A B C Q P ‎（1）求圆心距PQ的最大值；‎ ‎（2）设运动时间为t，求两圆相切时t的值；‎ ‎（3）当t为何值时，两圆相离．‎ ‎75．（海南模拟）在平行四边形ABOC中，AO⊥BO，且AO＝BO．以AO、BO所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知B（－6，0），直线y＝3x＋b过点C且与x轴交于点D．‎ ‎（1）求点D的坐标；‎ ‎（2）点E为y轴正半轴上一点，当∠BED＝45°时，求直线EC的解析式；‎ B A C x O y D ‎（3）在（2）的条件下，设直线EC与x轴交于点F，ED与AC交于点G．点P从点O出发以每秒1个单位的速度沿折线OF－FE运动，在运动过程中直线PA交BE于H，设运动时间为t．当以E、H、A为顶点的三角形与△EGC相似时，求t的值．‎ ‎76．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋4分别交x轴、y轴于点A、B，直线y＝－2x＋b分别交x轴、y轴于点C、D，且OC＝2OB，直线AB、CD相交于点E．‎ ‎（1）求直线CD的解析式；‎ ‎（2）动点P从点B出发沿线段BC以每秒 个单位的速度向点C匀速运动，同时动点Q从点D出发沿线段DC以每秒2 个单位的速度向点C匀速运动，当P到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，线段PQ的长为d（d≠0），求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在P、Q的运动过程中，设直线PQ、直线AB相交于点N．当t为何值时， ＝ ？并判断此时以点Q为圆心，以3为半径的⊙Q与直线AB位置关系，请说明理由．‎ D O y x B C E A 备用图 D O y x B C E A 备用图 D O y x B C E A ‎77．（江苏模拟）如图，抛物线y＝－ x 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，交y轴交于点C，cos∠ABC＝ ，抛物线的对称轴为直线x＝1．动点P从点A出发，沿折线AB→BC向终点C运动；同时动点Q从点B出发，沿射线BC方向运动．P、Q两点的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时，运动停止，设运动时间为t秒．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；‎ O x y C B Q A P ‎（3）在运动过程中，是否存在这样的t值，使△APQ是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎78．（江苏模拟）已知A（2，0），直线y＝(2－)x－2与x轴交于点F，与y轴交于点B，直线l∥AB且交y轴于点C，交x轴于点D，点A关于直线l的对称点为A′，连接AA′、A′D．直线l从AB出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向向上平移，设移动时间为t．‎ ‎（1）求点A′ 的坐标（用含t的代数式表示）；‎ ‎（2）求证：AB＝AF；‎ O x y C A A′‎ B D F ‎（3）过点C作直线AB的垂线交直线y＝(2－)x－2于点E，以点C为圆心CE为半径作⊙C，求当t为何值时，⊙C与△AA′D三边所在直线相切？‎