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  • 2021-05-10 发布

2020年中考数学二轮复习压轴专题三角形(含解析)

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三角形 ‎1.在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足为点D,M为线段DB上一动点(不包括端点),点N在直线AC左上方且∠NCM=135°,CN=CM,如图①‎ ‎(1)求证:∠ACN=∠AMC[来%#源*:中^&教网]‎ ‎(2)记△ANC得面积为5,记△ABC得面积为5.求证:‎ ‎(3)延长线段AB到点P,使BP=BM,如图②.探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M,AN=CP始终成立?(写出探究过程)‎ 解:(1)∵∠BAC=45°,‎ ‎∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM,‎ ‎∵∠NCM=135°,[来源:zz^@step.&com%*]‎ ‎∴∠ACN=135°﹣∠ACM,‎ ‎∴∠ACN=∠AMC;‎ ‎(2)过点N作NE⊥AC于E,‎ ‎[来@源~:^中国教育出&版#网]‎ ‎∵∠CEN=∠CDM=90°,∠ACN=∠AMC,CM=CN,‎ ‎∴△NEC≌△CDM(AAS)‎ ‎∴NE=CD,CE=DM;‎ ‎∵S1=AC•NE,S2=AB•CD,[ww@w.zzs%t^ep&.#com]‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴=;‎ ‎(3)当AC=2BD时,对于满足条件的任意点N,AN=CP始终成立,‎ 理由如下:过点N作NE⊥AC于E,‎ 由(2)可得NE=CD,CE=DM,‎ ‎∵AC=2BD,BP=BM,CE=DM,‎ ‎∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM ‎∴AE=BD+BP=DP,‎ ‎∵NE=CD,∠NEA=∠CDP=90°,AE=DP,‎ ‎∴△NEA≌△CDP(SAS)[来源:%中*国#教~育出^版网]‎ ‎∴AN=PC.‎ ‎2.如图1,OA=2,OB=4,以点A为顶点,AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC.‎ ‎(Ⅰ)求C点的坐标;‎ ‎(Ⅱ)如图2,OA=2,P为y轴负半轴上的一个动点,若以P为直角顶点,PA为腰等腰直角△APD,过D作DE⊥x轴于E点,求OP﹣DE的值;‎ ‎(Ⅲ)如图3,点F坐标为(﹣4,﹣4),点G(0,m)在y轴负半轴,点H(n,0)x轴的正半轴,且FH⊥FG,求m+n的值.‎ 解:(Ⅰ)如图1,过C作CM⊥x轴于M点,如图1所示:‎ ‎∵CM⊥OA,AC⊥AB,‎ ‎∴∠MAC+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°,[中国^%@教育&出~版网]‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴∠MAC=∠OBA,‎ 在△MAC和△OBA中,,‎ ‎∴△MAC≌△OBA(AAS),[中国#教&@育出^版*网]‎ ‎∴CM=OA=2,MA=OB=4,‎ ‎∴OM=6,‎ ‎∴点C的坐标为(﹣6,﹣2),[中#国%^@教育出版网~]‎ 故答案为(﹣6,﹣2);‎ ‎(Ⅱ)如图2,过D作DQ⊥OP于Q点,[来%源:@~&zzste#p.com]‎ 则四边形OEDQ是矩形,‎ ‎∴DE=OQ,‎ ‎∵∠APO+∠QPD=90°,∠APO+∠OAP=90°,‎ ‎∴∠QPD=∠OAP,‎ 在△AOP和△PDQ中,,‎ ‎∴△AOP≌△PDQ(AAS),[中国教育出版网*~&%@]‎ ‎∴AO=PQ=2,‎ ‎∴OP﹣DE=OP﹣OQ=PQ=OA=2;[中国~@*^教育出&版网]‎ ‎(Ⅲ)如图3,过点F分别作FS⊥x轴于S点,FT⊥y轴于T点,‎ 则∠HSF=∠GTF=90°=∠SOT,‎ ‎∴四边形OSFT是正方形,‎ ‎∴FS=FT=4,∠EFT=90°=∠HFG,‎ ‎∴∠HFS=∠GFT,‎ 在△FSH和△FTG中,,[来源:zzs*#~te^%p.com]‎ ‎∴△FSH≌△FTG(AAS),‎ ‎∴GT=HS,‎ 又∵G(0,m),H(n,0),点F坐标为(﹣4,﹣4),‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴OT═OS=4,‎ ‎∴GT=﹣4﹣m,HS=n﹣(﹣4)=n+4,[来@源*:中教&%网^]‎ ‎∴﹣4﹣m=n+4,‎ ‎∴m+n=﹣8.[w~#ww.z&zst^ep.com@]‎ ‎[www.z@~%z&st*ep.com]‎ ‎3.如图1,点C在线段AB上,(点C不与A.B重合),分别以AC.BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE.BD交于点P ‎(1)观察猜想:①线段AE与BD的数量关系为 AE=BD .‎ ‎②∠APC的度数为 60° .[来*@源:zzs^te%p.~com]‎ ‎(2)数学思考:如图2,当点C在线段AB外时,(1)中的结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明 ‎(3)拓展应用:如图3,分别以AC.BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE,其中∠ACD=∠BCE=90°,CA=CD,CB=CE,连接AE=BD交于点P,则线段AE与BD的关系为 AE=BD,AE⊥BD .[ww&w.#z~zstep@.com*]‎ 第 33 页 共 33 页 解:(1)观察猜想:①如图1,‎ ‎[来源%:#中国~教*育@出版网]‎ 设AE交CD于点O.过点C作CH⊥AE,CG⊥BD,‎ ‎∵△ADC,△ECB都是等边三角形,‎ ‎∴CA=CD,∠ACD=∠ECB=60°,CE=CB,‎ ‎∴∠ACE=∠DCB,[中^#国教%育出&@版网]‎ ‎∴△ACE≌△DCB(SAS),‎ ‎∴AE=BD,∠CAO=∠ODP,S△ACE=S△BCD,[来@源~:^中国教育出&版#网]‎ ‎∵∠AOC=∠DOP,‎ ‎∴∠DPO=∠ACO=60°,‎ ‎∴∠APB=120°,‎ ‎∵S△ACE=S△BCD,[ww~w.zz@st^ep&.#com]‎ ‎∴×AE×CH=×BD×CG,‎ ‎∴CH=CG,且CH⊥AE,CG⊥BD,[来#源:~中国%&教育@出版网]‎ ‎∴CP平分∠APB,[中国@%*^教育~出版网]‎ ‎∴∠APC=60°,‎ 故答案为AE=BD,60°.‎ ‎(2)数学思考::①成立,②不成立,‎ 第 33 页 共 33 页 理由:设AC交BD于点O.过点C作CH⊥AE,CG⊥BD,‎ ‎∵△ADC,△ECB都是等边三角形,‎ ‎∴CA=CD,∠ACD=∠ECB=60°,CE=CB,‎ ‎∴∠ACE=∠DCB[来源@^:&%中~教网]‎ ‎∴△ACE≌△DCB(SAS),[www@#.zzst%e~*p.com]‎ ‎∴AE=BD,∠PAO=∠ODC,‎ ‎∵∠AOP=∠DOC,‎ ‎∴∠APO=∠DCO=60°,‎ ‎∴∠DPE=120°,‎ ‎∵S△ACE=S△BCD,‎ ‎∴×AE×CH=×BD×CG,‎ ‎∴CH=CG,且CH⊥AE,CG⊥BD,‎ ‎∴CP平分∠DPE,‎ ‎∴∠DPC=60°,[www%.^z#zstep.co&m*]‎ ‎∴∠APC=120°,‎ ‎∴①成立,②不成立;‎ 拓展应用:‎ 第 33 页 共 33 页 ‎[ww#w.zz*^ste&p.c@om]‎ 设AC交BD于点O.[www^.%zzste&p.~co#m]‎ ‎∵∠ACD=∠BCE=90°,CA=CD,CB=CE,[来&源#%:^中*教网]‎ ‎∴∠ACE=∠DCB[来源:zzst#~e@p&^.com]‎ ‎∴△AEC≌△DBC(SAS),‎ ‎∴AE=BD,∠CDB=∠CAE,‎ ‎∵∠AOP=∠COD,∠CDB=∠CAE,[www&.z~z*s#tep.co@m]‎ ‎∴∠DCO=∠APO=90°,‎ ‎∴AE⊥BD,‎ 故答案为:AE=BD,AE⊥BD.‎ ‎4.如图,△ABC是等边三角形,D是BC边的中点,以D为顶点作一个120°的角,角的两边分别交直线AB.直线AC于M、N两点.以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变),当DM与AB垂直时(如图①所示),易证BM+CN=BD.[来源:z&zste%p.com@#~]‎ ‎(1)如图②,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC上时,BM+CN=BD是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;‎ ‎(2)如图③,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC的延长线上时,BM+CN=BD是否仍然成立?若不成立,请写出BM,CN,BD之间的数量关系,不用证明.‎ 解:(1)结论BM+CN=BD成立,理由如下:‎ 如图②,过点D作DE∥AC交AB于E,‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠A=∠B=∠C=60°,‎ ‎∵DE∥AC,‎ ‎∴∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°,‎ ‎∴∠B=∠BED=∠BDE=60°,‎ ‎∴△BDE是等边三角形,∠EDC=120°,‎ ‎∴BD=BE=DE,∠EDN+∠CDN=120°,‎ ‎∵∠EDM+∠EDN=∠MDN=120°,‎ ‎∴∠CDN=∠EDM,‎ ‎∵D是BC边的中点,‎ ‎∴DE=BD=CD,[来源:zzst^ep%.c~om@&]‎ 在△CDN和△EDM中,‎ ‎,[ww^w#.~zzste&p.co*m]‎ ‎∴△CDN≌△EDM(ASA),‎ ‎∴CN=EM,[来源@:zzstep.*%c&#om]‎ ‎∴BD=BE=BM+EM=BM+CN;‎ ‎(2)上述结论不成立,BM,CN,BD之间的数量关系为:BM﹣CN=BD;理由如下:‎ 如图③,过点D作DE∥AC交AB于E,‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠A=∠B=∠C=60°,‎ ‎∴∠NCD=120°,‎ ‎∵DE∥AC,‎ ‎∴∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°,‎ ‎∴∠B=∠BED=∠BDE=60°,‎ ‎∴△BDE是等边三角形,∠MED=∠EDC=120°,‎ ‎∴BD=BE=DE,∠NCD=∠MED,∠EDM+∠CDM=120°,‎ ‎∵∠CDN+∠CDM=∠MDN=120°,[来源:@中国%#教*育~出版网]‎ ‎∴∠CDN=∠EDM,‎ ‎∵D是BC边的中点,‎ ‎∴DE=BD=CD,‎ 在△CDN和△EDM中,‎ ‎,‎ ‎∴△CDN≌△EDM(ASA),‎ ‎∴CN=EM,‎ ‎∴BD=BE=BM﹣EM=BM﹣CN,‎ ‎∴BM﹣CN=BD.‎ ‎5.△ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,0°<∠PBC<180°,DB平分∠PBC,且DB=DA.‎ ‎(1)当BP与BA重合时(如图1),求∠BPD的度数;‎ ‎(2)当BP在∠ABC的内部时(如图2),求∠BPD的度数;‎ ‎(3)当BP在∠ABC的外部时,请你直接写出∠BPD的度数.‎ 第 33 页 共 33 页 解:(1)∵△ABC是等边三角形,BD平分∠PBC,‎ ‎∴∠PBD=∠CBD=30°,‎ ‎∵DB=DA,‎ ‎∴∠PBD=∠BPD=30°;‎ ‎(2)如图2,连接CD,‎ ‎[中国*教&^育%#出版网]‎ ‎∵点D在∠PBC的平分线上,‎ ‎∴∠PBD=∠CBD,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴BA=BC=AC,∠ACB=60°,‎ ‎∵BP=BA,[中国教@育出版%~#&网]‎ ‎∴BP=BC,‎ ‎∵BD=BD,‎ ‎∴△PBD≌△CBD(SAS),‎ ‎∴∠BPD=∠BCD,‎ ‎∵DB=DA,BC=AC,CD=CD,‎ ‎∴△BCD≌△ACD(SSS),‎ ‎∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°,‎ ‎∴∠BPD=30°;‎ ‎(3)‎ 如图3,连接CD,‎ ‎∵AD=BD,CD=CD,BC=AC,‎ ‎∴△ACD≌△BCD(SSS)[中&国教育*%出@#版网]‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴∠ACD=∠BCD=30°,‎ ‎∵BD=BD,∠PBD=∠CBD,PB=AB=BC,‎ ‎∴△PBD≌△CBD(SAS)‎ ‎∴∠BPD=∠BCD=30°,‎ 如图4,连接CD,‎ ‎∵AD=BD,CD=CD,BC=AC,‎ ‎∴△ACD≌△BCD(SSS)‎ ‎∴∠ACD=∠BCD=30°,‎ ‎∵BD=BD,∠PBD=∠CBD,PB=AB=BC,‎ ‎∴△PBD≌△CBD(SAS)‎ ‎∴∠BPD=∠BCD=30°,‎ 如图5,连接CD,[中^%&国#教育@出版网]‎ ‎∵AD=BD,CD=CD,BC=AC,‎ ‎∴△ACD≌△BCD(SSS)[中国#教育出@~版%网*]‎ ‎∴∠ACD=∠BCD==150°,‎ ‎∵BD=BD,∠PBD=∠CBD,PB=AB=BC,‎ ‎∴△PBD≌△CBD(SAS)‎ ‎∴∠BPD=∠BCD=150°,‎ 第 33 页 共 33 页 ‎[中国教*&%育出^版网~]‎ ‎6.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为AB边的中点,以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E,F分别落在边AC,CB(或它们的延长线)上.‎ ‎[来源:@#z%zste~*p.com]‎ ‎(1)如图1,若Rt△DEF的两条直角边DE,DF与△ABC的两条直角边AC,BC互相垂直,则S△DEF+S△CEF=S△ABC,求当S△DEF=S△CEF=2时,AC边的长;[来源*:中国教育出版&@网^~]‎ ‎(2)如图2,若Rt△DEF的两条直角边DE,DF与△ABC的两条直角边AC,BC不垂直,S△DEF+S△CEF=S△ABC,是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请直接写出S△DEF,S△CEF,S△ABC之间的数量关系;‎ ‎(3)如图3,若Rt△DEF的两条直角边DE,DF与△‎ 第 33 页 共 33 页 ABC的两条直角边AC,BC不垂直,且点E在AC的延长线上,点F在CB的延长线上,S△DEF+S△CEF=S△ABC是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请直接写出S△DEF,S△CEF,S△ABC之间的数量关系.‎ 解:(1)∵∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,‎ ‎∴四边形DECF是矩形,[来~*@源:中国教育出^版#网]‎ ‎∵∠ACB=90°,[来&源:中@教~#*网]‎ ‎∴BC⊥AC,‎ ‎∵DE⊥AC,‎ ‎∴DE∥BC,‎ ‎∵D为AB边的中点,‎ ‎∴DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴DE=BC,AC=2CE,[来%源:@中^国教~育出版#网]‎ 同理:DF=AC,‎ ‎∵AC=BC,‎ ‎∴DE=DF,‎ ‎∴四边形DECF是正方形,‎ ‎∴CE=DF=CF=DE,‎ ‎∵S△DEF=S△CEF=2=DE•DF=DF2,[中国教~#育出*版网%@]‎ ‎∴DF=2,‎ ‎∴CE=2,‎ ‎∴AC=2CE=4;‎ ‎(2)S△DEF+S△CEF=S△ABC成立,理由如下:[中#国*教育%出&版网@]‎ 连接CD;如图2所示:‎ ‎∵AC=BC,∠ACB=90°,D为AB中点,‎ ‎∴∠B=45°,∠DCE=∠ACB=45°,CD⊥AB,CD=AB=BD,‎ ‎∴∠DCE=∠B,∠CDB=90°,S△ABC=2S△BCD,‎ ‎∵∠EDF=90°,‎ ‎∴∠CDE=∠BDF,‎ 第 33 页 共 33 页 在△CDE和△BDF中,,‎ ‎∴△CDE≌△BDF(ASA),‎ ‎∴DE=DF.S△CDE=S△BDF.‎ ‎∴S△DEF+S△CEF=S△CDE+S△CDF=S△BCD=S△ABC;‎ ‎(3)不成立;S△DEF﹣S△CEF=S△ABC;理由如下:‎ 连接CD,如图3所示:‎ 同(1)得:△DEC≌△DBF,∠DCE=∠DBF=135°,‎ ‎∴S△DEF=S五边形DBFEC,‎ ‎=S△CFE+S△DBC,‎ ‎=S△CFE+S△ABC,[来源@:中~#国*教&育出版网]‎ ‎∴S△DEF﹣S△CFE=S△ABC.‎ ‎∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是:S△DEF﹣S△CEF=S△ABC.‎ ‎7.教材呈现:如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容[来*^源:#zzs@tep.c~om]‎ ‎2.线段垂直平分线 第 33 页 共 33 页 我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴,如图,直线MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上任一点,连结PA.PB,将线段AB沿直线MN对称,我们发现PA与PB完全重合,由此即有:‎ 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等.‎ 已知:如图,MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上的任意一点.‎ 求证:PA=PB.‎ 分析:图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证明PA=PB.‎ 定理证明:请根据教材中的分析,结合图①,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.[来源:中*国教育出版^网%#~]‎ 定理应用:‎ ‎(1)如图②,在△ABC中,直线m、n分别是边BC.AC的垂直平分线,直线m、n的交点为O.过点O作OH⊥AB于点H.求证:AH=BH.[来%源^:zzs~tep.com&@]‎ ‎(2)如图③,在△ABC中,AB=BC,边AB的垂直平分线l交AC于点D,边BC的垂直平分线k交AC于点E.若∠ABC=120°, AC=15,则DE的长为 5 .‎ 解:定理证明:‎ ‎∵MN⊥AB,‎ ‎∴∠PCA=∠PCB=90°.‎ 又∵AC=BC,PC=PC,‎ ‎∴△PAC≌△PBC(SAS),‎ ‎∴PA=PB.‎ 定理应用:(1)如图2,连结OA.OB.OC.‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∵直线m是边BC的垂直平分线,‎ ‎∴OB=OC,‎ ‎∵直线n是边AC的垂直平分线,‎ ‎∴OA=OC,‎ ‎∴OA=OB ‎∵OH⊥AB,‎ ‎∴AH=BH;‎ ‎(2)如图③中,连接BD,BE.[中国#教*&育出版^~网]‎ ‎[来#%源~:中国教育出版*网&]‎ ‎∵BA=BC,∠ABC=120°,[www&.z~z*s@tep.com#]‎ ‎∴∠A=∠C=30°,‎ ‎∵边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E,‎ ‎∴DA=DB,EB=EC,[www.#zzs&^tep*.co%m]‎ ‎∴∠A=∠DBA=30°,∠C=∠EBC=30°,‎ ‎∴∠BDE=∠A+∠DBA=60°,∠BED=∠C+∠EBC=60°,[www.~z#zste&p*%.com]‎ ‎∴△BDE是等边三角形,‎ ‎∴AD=BD=DE=BE=EC,[来源:&中%国教育#出版*~网]‎ ‎∵AC=15=AD+DE+EC=3DE,‎ ‎∴DE=5,‎ 故答案为:5.‎ 第 33 页 共 33 页 ‎8.如图,在△ABC中,AB=AC,以BC为直角边作等腰Rt△BCD,∠CBD=90°,斜边CD交AB于点E.‎ ‎(1)如图1,若∠ABC=60°,BE=4,作EH⊥BC于H,求线段BC的长;‎ ‎(2)如图2,作CF⊥AC,且CF=AC,连接BF,且E为AB中点,求证:CD=2BF.‎ 解:(1)∵∠ABC=60°,EH⊥BC,‎ ‎∴∠BEH=30°,‎ ‎∴BE=2BH=4,EH=BH,[来源:*~&%中^教网]‎ ‎∴BH=2,EH=2,‎ ‎∵∠CBD=90°,BD=BC,‎ ‎∴∠BCD=45°,且EH⊥BC,‎ ‎∴∠BCD=∠BEC=45°,‎ ‎∴EH=CH=2,‎ ‎∴BC=BH+HC=2+2;‎ ‎(2)如图,过点A作AM⊥BC,‎ 第 33 页 共 33 页 ‎[来#源*:~^%中教网]‎ ‎∵AB=AC,AM⊥BC,[来源^:*&中教%网~]‎ ‎∴BM=MC=BC=DB,‎ ‎∵∠DCB=45°,AM⊥BC,‎ ‎∴∠DCB=∠MNC=45°,‎ ‎∴MN=MC=BD,‎ ‎∵AM∥DB,‎ ‎∴△CNM∽△CBD ‎∴,[来源*:%@中~教网&]‎ ‎∴CD=2CN,AN=BD,[来源:#z~zstep&.c%o*m]‎ ‎∵CF⊥AC,∠BCD=45°,‎ ‎∴∠ACD+∠BCF=45°,且∠ACD+∠MAC=45°,[来源%:^中教网~#&]‎ ‎∴∠BCF=∠MAC,且AC=CF,BC=AN,‎ ‎∴△ACN≌△CFB(SAS)‎ ‎∴BF=CN,‎ ‎∴CD=2BF ‎9.【问题】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线L上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.‎ ‎【探究发现】(1)如图2,某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想,发现当点D移动到使点P与点C重合时,通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程;‎ 第 33 页 共 33 页 ‎【数学思考】(2)如图3,若点P是AC上的任意一点(不含端点A.C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程.‎ ‎【探究发现】‎ 证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC ‎∴∠CAB=∠CBA=45°[来源:%中国#@教*育~出版网]‎ ‎∵CD∥AB ‎∴∠CBA=∠DCB=45°,且BD⊥CD ‎∴∠DCB=∠DBC=45°‎ ‎∴DB=DC 即DP=DB;[来%源#:zz@step.*com&]‎ ‎【数学思考】‎ 证明:(2)∵DG⊥CD,∠DCB=45°‎ ‎∴∠DCG=∠DGC=45°‎ ‎∴DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°,‎ ‎∵∠BDP=∠CDG=90°‎ ‎∴∠CDP=∠BDG ‎,在△CDP和△GDB中,,‎ ‎∴△CDP≌△GDB(ASA)‎ ‎∴DP=DB.‎ ‎10.已知,在平面直角坐标系中,A(m,0)、B(0,n),m、n满足(m﹣n)2+|m﹣5|=0.C为AB的中点,P是线段AB上一动点,D是x轴正半轴上一点,且PO=PD,DE⊥AB于E.‎ ‎(1)如图1,当点P在线段AB上运动时,点D恰在线段OA上,则PE与AB的数量关系为 AB=2PE 第 33 页 共 33 页 ‎(2)如图2,当点D在点A右侧时,(1)中结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,说明理由!‎ ‎(3)设AB=5,若∠OPD=45°,直接写出点D的坐标.‎ 解:(1)∵(m﹣n)2+|m﹣5|=0,‎ ‎∴m﹣n=0,m﹣5=0,‎ ‎∴m=n=5,‎ ‎∴A(5,0)、B(0,5),‎ ‎∴AC=BC=5,[www.z^z&@ste*p.co~m]‎ ‎∴△AOB为等腰直角三角形,‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=45°,OC⊥AB,‎ ‎∵PO=PD,‎ ‎∴∠POD=∠PDO,[中%^@国教&育出~版网]‎ ‎∵D是x轴正半轴上一点,[来源:@#中国^教育出版&网~]‎ ‎∴点P在BC上,‎ ‎∵∠POD=45°+∠POC,∠PDO=45°+∠DPE,‎ ‎∴∠POC=∠DPE,‎ 在△POC和△DPE中,‎ ‎,‎ ‎∴△POC≌△DPE(AAS),‎ ‎∴OC=PE,‎ ‎∵C为AB的中点,‎ ‎∴AB=2OC,‎ ‎∴AB=2PE.‎ 第 33 页 共 33 页 故答案为:AB=2PE.‎ ‎(2)成立,理由如下:‎ ‎∵点C为AB中点,‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=45°,OC⊥AB,[来源*:中国教~育出版网@^%]‎ ‎∵PO=PD,‎ ‎∴∠POD=∠PDO,‎ ‎∵∠POD=45°﹣∠POC,∠PDO=45°﹣∠DPE,‎ ‎∴∠POC=∠DPE,‎ 在△POC和△DPE中,‎ ‎,‎ ‎∴△POC≌△DPE(AAS),‎ ‎∴OC=PE,‎ 又∠AOC=∠BAO=45°[来@源~:中&#教网%]‎ ‎∴OC=AC=AB ‎∴AB=2PE;‎ ‎(3)∵AB=5,‎ ‎∴OA=OB=5,‎ ‎∵OP=PD,‎ ‎∴∠POD=∠PDO==67.5°,[来源:*中@教#&网~]‎ ‎∴∠APD=∠PDO﹣∠A=22.5°,∠BOP=90°﹣∠POD=22.5°,‎ ‎∴∠APD=∠BOP,‎ 在△POB和△DPA中,‎ ‎,‎ ‎∴△POB≌△DPA(SAS),‎ ‎∴PA=OB=5,DA=PB,‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴DA=PB=5﹣5,‎ ‎∴OD=OA﹣DA=5﹣(5﹣5)=10﹣5,‎ ‎∴点D的坐标为(10﹣5,0).‎ ‎11.如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A.B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D作DE∥OC交y轴于点E,已知AO=m,BO=n,且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|=0.‎ ‎(1)求A.B两点的坐标;‎ ‎(2)若点D为AB中点,求OE的长;‎ ‎(3)如图2,若点P(x,﹣2x+4)为直线AB在x轴下方的一点,点E是y轴的正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角△PEF,使点F在第一象限,且F点的横、纵坐标始终相等,求点P的坐标.‎ 解:(1)∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|=0,‎ ‎∴(n﹣4)2+|n﹣2m|=0,[来源*:~中国教育出版网@^%]‎ ‎∵(n﹣4)2≥0,|n﹣2m|≥0,‎ ‎∴(n﹣4)2=0,|n﹣2m|=0,‎ ‎∴m=2,n=4,‎ ‎∴点A为(2,0),点B为(0,4);‎ ‎(2)延长DE交x轴于点F,延长FD到点G,使得DG=DF,连接BG,‎ 设OE=x,‎ ‎∵OC平分∠AOB,‎ ‎∴∠BOC=∠AOC=45°,[中国教育*#&@^出版网]‎ ‎∵DE∥OC,‎ ‎∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°,‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴OE=OF=x,‎ 在△ADF和△BDG中,‎ ‎,‎ ‎∴△ADF≌△BDG(SAS),‎ ‎∴BG=AF=2+x,∠G=∠AFE=45°,‎ ‎∴∠G=∠BEG=45°,‎ ‎∴BG=BE=4﹣x,‎ ‎∴4﹣x=2+x,解得:x=1,[来#源:~%^中*国教育出版网]‎ ‎∴OE=1;‎ ‎(3)如图2,分别过点F、P作FM⊥y轴于点M,PN⊥y轴于点N,设点E为(0,m),‎ ‎∵点P的坐标为(x,﹣2x+4),‎ ‎∴PN=x,EN=m+2x﹣4,‎ ‎∵∠PEF=90°,‎ ‎∴∠PEN+∠FEM=90°,‎ ‎∵FM⊥y轴,‎ ‎∴∠MFE+∠FEM=90°,‎ ‎∴∠PEN=∠MFE,‎ 在△EFM和△PEN中,‎ ‎,‎ ‎∴△EFM≌△PEN(AAS),‎ ‎∴ME=NP=x,FM=EN=m+2x﹣4,‎ ‎∴点F为(m+2x﹣4,m+x),‎ ‎∵F点的横坐标与纵坐标相等,‎ ‎∴m+2x﹣4=m+x,‎ 解得:x=4,‎ ‎∴点P为(4,﹣4).‎ 第 33 页 共 33 页 ‎[来源:@zzstep.c~^#*om]‎ ‎12.在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD的下方作等边△CDE,连结BE.‎ ‎(1)若点D在线段AM上时(如图1),则AD = BE(填“>”、“<”或“=”),∠CAM= 30 度;‎ ‎(2)设直线BE与直线AM的交点为O.‎ ‎①当动点D在线段AM的延长线上时(如图2),试判断AD与BE的数量关系,并说明理由;‎ ‎②当动点D在直线AM上时,试判断∠AOB是否为定值?若是,请直接写出∠AOB的度数;若不是,请说明理由.‎ 解:(1))∵△ABC与△DEC都是等边三角形 第 33 页 共 33 页 ‎∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°‎ ‎∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE ‎∴∠ACD=∠BCE.‎ 在△ADC和△BEC中[中国^教%&@育*出版网]‎ ‎,[中国#教*%育出^版@网]‎ ‎∴△ACD≌△BCE(SAS),‎ ‎∴AD=BE;[来~%源:中^国教育*&出版网]‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠BAC=60°.‎ ‎∵线段AM为BC边上的中线 ‎∴∠CAM=∠BAC,[www.zzs%te*p.~c#o@m]‎ ‎∴∠CAM=30°.[来源:zzst%&ep#*.c~om]‎ 故答案为:=,30;‎ ‎(2)①AD=BE,‎ 理由如下:∵△ABC和△CDE都是等边三角形 ‎∴AB=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,[来源:%zzste&p.co~m*#]‎ ‎∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,[来&源:zzs~#te*p.@com]‎ ‎∴∠ACD=∠BCE,‎ ‎∴△ACD≌△BCE(SAS)[中国#教~^@育%出版网]‎ ‎∴AD=BE.‎ ‎②∠AOB是定值,∠AOB=60°,[来源:zzste*@p.%^c~om]‎ 理由如下:‎ 当点D在线段AM上时,如图1,由①知△ACD≌△BCE,则∠CBE=∠CAD=30°,‎ 第 33 页 共 33 页 又∠ABC=60°,[来^%源:中教网#~*]‎ ‎∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,线段AM为BC边上的中线 ‎∴AM平分∠BAC,即,‎ ‎∴∠BOA=90°﹣30°=60°.‎ 当点D在线段AM的延长线上时,如图2,‎ ‎∵△ABC与△DEC都是等边三角形 ‎∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°‎ ‎∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE ‎∴∠ACD=∠BCE 在△ACD和△BCE中 ‎,‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴△ACD≌△BCE(SAS)‎ ‎∴∠CBE=∠CAD=30°,‎ 同理可得:∠BAM=30°,[来源:中国教~^育出版%网*#]‎ ‎∴∠BOA=90°﹣30°=60°.‎ ‎13.小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质:直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.小明同学对以上结论作了进一步探究.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=AB,则:∠ABC=30°.‎ 探究结论:(1)如图1,CE是AB边上的中线,易得结论:△ACE为 等边 三角形.‎ ‎(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=AB,CP是AB边上的中线,点D是边CB上任意一点,连接AD,在AB边上方作等边△ADE,连接BE.试探究线段BE与DE之间的数量关系,写出你的猜想加以证明.‎ 拓展应用:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(﹣,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等边△ABC,当点C在第一象内,且B(2,0)时,求点C的坐标.‎ 解:探究结论(1)∵CE是AB边上的中线,‎ ‎∴CE=AE=AB,‎ ‎∵AC=AB,‎ ‎∴AC=CE=AE,‎ ‎∴△ACE是等边三角形.‎ 第 33 页 共 33 页 故答案为:等边;‎ ‎(2)如图2中,结论:ED=EB.‎ 理由:取AB的中点P,连接CP、PE.‎ ‎∵△ACP,△ADE都是等边三角形,‎ ‎∴AC=AP=PC,AD=AE=DE,∠CAP=∠DAE=60°,[中%~国教育出&版*^网]‎ ‎∴∠CAD=∠PAE,‎ ‎∴△CAD≌△PAE(SAS),‎ ‎∴∠ACD=∠APE=90°,‎ ‎∴EP⊥AB,‎ ‎∵PA=PB,‎ ‎∴EA=EB,‎ ‎∵DE=AE,‎ ‎∴ED=EB.‎ 拓展应用:如图3中,作AH⊥x轴于H,CF⊥OB于F,连接OA.‎ ‎∵A(﹣,1),‎ ‎∴∠AOH=30°,‎ 由(2)‎ 可知,CO=CB,‎ ‎∵CF⊥OB,‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴OF=FB=1,‎ ‎∴可以假设C(1,n),[来源:^~%中*国教育出版网#]‎ ‎∵OC=BC=AB,‎ ‎∴1+n2=1+(+2)2,‎ ‎∴n=2+,‎ ‎∴C(1,2+).‎ ‎14.如图,等边△ABC外有一点D,连接DA,DB,DC.‎ ‎(1)如图1,若∠DAB+∠DCB=180°,求证:BD平分∠ADC;‎ ‎(2)如图2,若∠BDC=60°,求证:BD﹣CD=AD;[来源:z@z#step.~co^m*]‎ ‎(3)如图3,延长AD交BC的延长线于点F,以BF为边向下作等边△BEF,若点D,C,E在同一直线上,且∠ABD=α,直接写出∠CEF的度数为 60°﹣α (结果用含α的式子表示).‎ ‎(1)证明:过点B作BM⊥CD于点M,BN⊥AD于点N,‎ ‎∴∠ANB=∠CMB=90°,‎ ‎∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴AB=BC,‎ ‎∵∠DAB+∠DCB=180°,‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∠DCB+∠BCM=180°,‎ ‎∴∠OAB=∠BCM,‎ ‎∴△ABN≌△CBM(AAS),‎ ‎∴BM=BN,[来~源:zz^*st@%ep.com]‎ ‎∴BD平分∠ADC;[来源^:*&@中~教网]‎ ‎(2)证明:在BD上取点E,使DE=CD,‎ ‎∵∠BDC=60°‎ ‎∴△CDE为等边三角形,‎ ‎∴∠DCE=∠ACB=60°,‎ ‎∴∠ACD=∠BCE,‎ ‎∵AC=BC,‎ ‎∴△ADC≌△BEC(SAS),‎ ‎∴AD=BE,[来源:中#国教育~出版&*网^]‎ ‎∴BD﹣CD=AD;‎ ‎(3)解:∵△ABC,△BEF为等边三角形,∴AB=CB,BF=BE,∠ABF=∠CBE[中*国教^&%育#出版网]‎ ‎∴△ABF≌CBE(SAS),‎ ‎∴∠DFB=∠CEB,‎ ‎∵∠CEB+∠CEF=60°,∠EFB=60°‎ ‎∴∠FDE=180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠CEF=60°[w&@w^w.%zzst~ep.com]‎ ‎∴∠ADC=120°,[来@&%^源:#中教网]‎ ‎∴∠ADC+∠ABC=180°,‎ 由(1)得BD平分∠ADC ‎∴∠BDE=60°,‎ ‎∴∠FDB=120°,‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴∠FDB+∠FEB=180°,‎ ‎∴F,E,B,D四点共圆,‎ ‎∴∠CEF=∠DBF ‎∵∠DBF=60°﹣α.‎ ‎∴∠CEF=60°﹣α.‎ 故答案为:60°﹣α.[来源:zzs@tep.c^&%o#m]‎ ‎15.已知,在平面直角坐标系中,点A(0,2),B(﹣2,m),过B点作直线a与x轴互相垂直,C为x轴上的一个动点,且∠BAC=90°.‎ ‎(1)如图1,若点B是第二象限内的一个点,且m>2时,求点C的坐标;(用m的代数式表示)‎ ‎(2)如图2,若点B是第三象限内的一个点,设C点的坐标(x,0),求x的取值范围:‎ ‎(3)如图3,连接BC,作∠ABC的平分线BD,点E.F分别是射线BD与边BC上的两个动点,连接CE.EF,当m=3时,试求CE+EF的最小值.‎ 解:(1)如图1,过B点作BH⊥y轴于点H,[来源%&^@:中#教网]‎ ‎[w~ww@.%zzstep#.&com]‎ ‎∴∠BHA=90°,∠ABH+∠BAH=90°,‎ ‎∴∠BHA=∠AOC=90°,‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠BAH+∠CAO=90°,‎ ‎∴∠ABH=∠CAO,‎ ‎∵点A(0,2),B(﹣2,m),‎ ‎∴AO=BH=2,OH=m,‎ ‎∵AO=BH,∠ABH=∠CAO,∠BHA=∠AOC=90°,‎ ‎∴△BHA≌△AOC(ASA)‎ ‎∴CO=AH=OH﹣AO=m﹣2,[来@源%:中*^~教网]‎ ‎∵m>2,点C在x轴负半轴,[来源@#:%zzste~&p.com]‎ ‎∴点C(2﹣m,0);‎ ‎(2)如图2,过B点作BK⊥y轴于点K,则∠AKB=90°,[w^*#w~w.zzs@tep.com]‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠BAK+∠CAK=90°,且∠BAK+∠ABK=90°,‎ ‎∴∠CAK=∠ABK,‎ ‎∵点A(0,2),B(﹣2,m),‎ ‎∴AO=BK=2,OH=m,‎ ‎∵AO=BK,∠CAK=∠ABK,∠AOC=∠AKB=90°,‎ ‎∴△ABK≌△CAO(AAS)‎ ‎∴CO=AK=2﹣m,‎ ‎∵C点的坐标(x,0),‎ ‎∴CO=x=2﹣m,‎ ‎∵点B是第三象限内的一个点,[www.z&zstep%.com@#~]‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴m<0,‎ ‎∴2﹣m>2,‎ ‎∴x>2;‎ ‎(3)如图3,在AB上截取BN=BF,‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线,‎ ‎∴∠ABE=∠CBE,且BE=BE,BF=BN,‎ ‎∴△BEF≌△BEN(SAS)[来#源:@中%国教*育出版~网]‎ ‎∴EF=EN,‎ ‎∴CE+EF=CE+EN,[来%源:#中^教*网&]‎ ‎∴当C,E,F三点共线,且N与点A重合时,CE+EF有最小值,‎ 此时最小值为AC,‎ 由(1)可知:点C(2﹣m,0);‎ 且m=3,‎ ‎∴点C(﹣1,0),‎ ‎∴CO=1,‎ ‎∴AC===,‎ ‎∴CE+EF的最小值为.‎ 第 33 页 共 33 页