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- 2021-05-10 发布
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三角形
1.在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足为点D,M为线段DB上一动点(不包括端点),点N在直线AC左上方且∠NCM=135°,CN=CM,如图①
(1)求证:∠ACN=∠AMC[来%#源*:中^&教网]
(2)记△ANC得面积为5,记△ABC得面积为5.求证:
(3)延长线段AB到点P,使BP=BM,如图②.探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M,AN=CP始终成立?(写出探究过程)
解:(1)∵∠BAC=45°,
∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM,
∵∠NCM=135°,[来源:zz^@step.&com%*]
∴∠ACN=135°﹣∠ACM,
∴∠ACN=∠AMC;
(2)过点N作NE⊥AC于E,
[来@源~:^中国教育出&版#网]
∵∠CEN=∠CDM=90°,∠ACN=∠AMC,CM=CN,
∴△NEC≌△CDM(AAS)
∴NE=CD,CE=DM;
∵S1=AC•NE,S2=AB•CD,[ww@w.zzs%t^ep&.#com]
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∴=;
(3)当AC=2BD时,对于满足条件的任意点N,AN=CP始终成立,
理由如下:过点N作NE⊥AC于E,
由(2)可得NE=CD,CE=DM,
∵AC=2BD,BP=BM,CE=DM,
∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM
∴AE=BD+BP=DP,
∵NE=CD,∠NEA=∠CDP=90°,AE=DP,
∴△NEA≌△CDP(SAS)[来源:%中*国#教~育出^版网]
∴AN=PC.
2.如图1,OA=2,OB=4,以点A为顶点,AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC.
(Ⅰ)求C点的坐标;
(Ⅱ)如图2,OA=2,P为y轴负半轴上的一个动点,若以P为直角顶点,PA为腰等腰直角△APD,过D作DE⊥x轴于E点,求OP﹣DE的值;
(Ⅲ)如图3,点F坐标为(﹣4,﹣4),点G(0,m)在y轴负半轴,点H(n,0)x轴的正半轴,且FH⊥FG,求m+n的值.
解:(Ⅰ)如图1,过C作CM⊥x轴于M点,如图1所示:
∵CM⊥OA,AC⊥AB,
∴∠MAC+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°,[中国^%@教育&出~版网]
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∴∠MAC=∠OBA,
在△MAC和△OBA中,,
∴△MAC≌△OBA(AAS),[中国#教&@育出^版*网]
∴CM=OA=2,MA=OB=4,
∴OM=6,
∴点C的坐标为(﹣6,﹣2),[中#国%^@教育出版网~]
故答案为(﹣6,﹣2);
(Ⅱ)如图2,过D作DQ⊥OP于Q点,[来%源:@~&zzste#p.com]
则四边形OEDQ是矩形,
∴DE=OQ,
∵∠APO+∠QPD=90°,∠APO+∠OAP=90°,
∴∠QPD=∠OAP,
在△AOP和△PDQ中,,
∴△AOP≌△PDQ(AAS),[中国教育出版网*~&%@]
∴AO=PQ=2,
∴OP﹣DE=OP﹣OQ=PQ=OA=2;[中国~@*^教育出&版网]
(Ⅲ)如图3,过点F分别作FS⊥x轴于S点,FT⊥y轴于T点,
则∠HSF=∠GTF=90°=∠SOT,
∴四边形OSFT是正方形,
∴FS=FT=4,∠EFT=90°=∠HFG,
∴∠HFS=∠GFT,
在△FSH和△FTG中,,[来源:zzs*#~te^%p.com]
∴△FSH≌△FTG(AAS),
∴GT=HS,
又∵G(0,m),H(n,0),点F坐标为(﹣4,﹣4),
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∴OT═OS=4,
∴GT=﹣4﹣m,HS=n﹣(﹣4)=n+4,[来@源*:中教&%网^]
∴﹣4﹣m=n+4,
∴m+n=﹣8.[w~#ww.z&zst^ep.com@]
[www.z@~%z&st*ep.com]
3.如图1,点C在线段AB上,(点C不与A.B重合),分别以AC.BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE.BD交于点P
(1)观察猜想:①线段AE与BD的数量关系为 AE=BD .
②∠APC的度数为 60° .[来*@源:zzs^te%p.~com]
(2)数学思考:如图2,当点C在线段AB外时,(1)中的结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明
(3)拓展应用:如图3,分别以AC.BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE,其中∠ACD=∠BCE=90°,CA=CD,CB=CE,连接AE=BD交于点P,则线段AE与BD的关系为 AE=BD,AE⊥BD .[ww&w.#z~zstep@.com*]
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解:(1)观察猜想:①如图1,
[来源%:#中国~教*育@出版网]
设AE交CD于点O.过点C作CH⊥AE,CG⊥BD,
∵△ADC,△ECB都是等边三角形,
∴CA=CD,∠ACD=∠ECB=60°,CE=CB,
∴∠ACE=∠DCB,[中^#国教%育出&@版网]
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,∠CAO=∠ODP,S△ACE=S△BCD,[来@源~:^中国教育出&版#网]
∵∠AOC=∠DOP,
∴∠DPO=∠ACO=60°,
∴∠APB=120°,
∵S△ACE=S△BCD,[ww~w.zz@st^ep&.#com]
∴×AE×CH=×BD×CG,
∴CH=CG,且CH⊥AE,CG⊥BD,[来#源:~中国%&教育@出版网]
∴CP平分∠APB,[中国@%*^教育~出版网]
∴∠APC=60°,
故答案为AE=BD,60°.
(2)数学思考::①成立,②不成立,
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理由:设AC交BD于点O.过点C作CH⊥AE,CG⊥BD,
∵△ADC,△ECB都是等边三角形,
∴CA=CD,∠ACD=∠ECB=60°,CE=CB,
∴∠ACE=∠DCB[来源@^:&%中~教网]
∴△ACE≌△DCB(SAS),[www@#.zzst%e~*p.com]
∴AE=BD,∠PAO=∠ODC,
∵∠AOP=∠DOC,
∴∠APO=∠DCO=60°,
∴∠DPE=120°,
∵S△ACE=S△BCD,
∴×AE×CH=×BD×CG,
∴CH=CG,且CH⊥AE,CG⊥BD,
∴CP平分∠DPE,
∴∠DPC=60°,[www%.^z#zstep.co&m*]
∴∠APC=120°,
∴①成立,②不成立;
拓展应用:
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[ww#w.zz*^ste&p.c@om]
设AC交BD于点O.[www^.%zzste&p.~co#m]
∵∠ACD=∠BCE=90°,CA=CD,CB=CE,[来&源#%:^中*教网]
∴∠ACE=∠DCB[来源:zzst#~e@p&^.com]
∴△AEC≌△DBC(SAS),
∴AE=BD,∠CDB=∠CAE,
∵∠AOP=∠COD,∠CDB=∠CAE,[www&.z~z*s#tep.co@m]
∴∠DCO=∠APO=90°,
∴AE⊥BD,
故答案为:AE=BD,AE⊥BD.
4.如图,△ABC是等边三角形,D是BC边的中点,以D为顶点作一个120°的角,角的两边分别交直线AB.直线AC于M、N两点.以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变),当DM与AB垂直时(如图①所示),易证BM+CN=BD.[来源:z&zste%p.com@#~]
(1)如图②,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC上时,BM+CN=BD是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图③,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC的延长线上时,BM+CN=BD是否仍然成立?若不成立,请写出BM,CN,BD之间的数量关系,不用证明.
解:(1)结论BM+CN=BD成立,理由如下:
如图②,过点D作DE∥AC交AB于E,
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∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
∵DE∥AC,
∴∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°,
∴∠B=∠BED=∠BDE=60°,
∴△BDE是等边三角形,∠EDC=120°,
∴BD=BE=DE,∠EDN+∠CDN=120°,
∵∠EDM+∠EDN=∠MDN=120°,
∴∠CDN=∠EDM,
∵D是BC边的中点,
∴DE=BD=CD,[来源:zzst^ep%.c~om@&]
在△CDN和△EDM中,
,[ww^w#.~zzste&p.co*m]
∴△CDN≌△EDM(ASA),
∴CN=EM,[来源@:zzstep.*%com]
∴BD=BE=BM+EM=BM+CN;
(2)上述结论不成立,BM,CN,BD之间的数量关系为:BM﹣CN=BD;理由如下:
如图③,过点D作DE∥AC交AB于E,
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∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
∴∠NCD=120°,
∵DE∥AC,
∴∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°,
∴∠B=∠BED=∠BDE=60°,
∴△BDE是等边三角形,∠MED=∠EDC=120°,
∴BD=BE=DE,∠NCD=∠MED,∠EDM+∠CDM=120°,
∵∠CDN+∠CDM=∠MDN=120°,[来源:@中国%#教*育~出版网]
∴∠CDN=∠EDM,
∵D是BC边的中点,
∴DE=BD=CD,
在△CDN和△EDM中,
,
∴△CDN≌△EDM(ASA),
∴CN=EM,
∴BD=BE=BM﹣EM=BM﹣CN,
∴BM﹣CN=BD.
5.△ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,0°<∠PBC<180°,DB平分∠PBC,且DB=DA.
(1)当BP与BA重合时(如图1),求∠BPD的度数;
(2)当BP在∠ABC的内部时(如图2),求∠BPD的度数;
(3)当BP在∠ABC的外部时,请你直接写出∠BPD的度数.
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解:(1)∵△ABC是等边三角形,BD平分∠PBC,
∴∠PBD=∠CBD=30°,
∵DB=DA,
∴∠PBD=∠BPD=30°;
(2)如图2,连接CD,
[中国*教&^育%#出版网]
∵点D在∠PBC的平分线上,
∴∠PBD=∠CBD,
∵△ABC是等边三角形,
∴BA=BC=AC,∠ACB=60°,
∵BP=BA,[中国教@育出版%~#&网]
∴BP=BC,
∵BD=BD,
∴△PBD≌△CBD(SAS),
∴∠BPD=∠BCD,
∵DB=DA,BC=AC,CD=CD,
∴△BCD≌△ACD(SSS),
∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°,
∴∠BPD=30°;
(3)
如图3,连接CD,
∵AD=BD,CD=CD,BC=AC,
∴△ACD≌△BCD(SSS)[中&国教育*%出@#版网]
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∴∠ACD=∠BCD=30°,
∵BD=BD,∠PBD=∠CBD,PB=AB=BC,
∴△PBD≌△CBD(SAS)
∴∠BPD=∠BCD=30°,
如图4,连接CD,
∵AD=BD,CD=CD,BC=AC,
∴△ACD≌△BCD(SSS)
∴∠ACD=∠BCD=30°,
∵BD=BD,∠PBD=∠CBD,PB=AB=BC,
∴△PBD≌△CBD(SAS)
∴∠BPD=∠BCD=30°,
如图5,连接CD,[中^%&国#教育@出版网]
∵AD=BD,CD=CD,BC=AC,
∴△ACD≌△BCD(SSS)[中国#教育出@~版%网*]
∴∠ACD=∠BCD==150°,
∵BD=BD,∠PBD=∠CBD,PB=AB=BC,
∴△PBD≌△CBD(SAS)
∴∠BPD=∠BCD=150°,
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[中国教*&%育出^版网~]
6.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为AB边的中点,以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E,F分别落在边AC,CB(或它们的延长线)上.
[来源:@#z%zste~*p.com]
(1)如图1,若Rt△DEF的两条直角边DE,DF与△ABC的两条直角边AC,BC互相垂直,则S△DEF+S△CEF=S△ABC,求当S△DEF=S△CEF=2时,AC边的长;[来源*:中国教育出版&@网^~]
(2)如图2,若Rt△DEF的两条直角边DE,DF与△ABC的两条直角边AC,BC不垂直,S△DEF+S△CEF=S△ABC,是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请直接写出S△DEF,S△CEF,S△ABC之间的数量关系;
(3)如图3,若Rt△DEF的两条直角边DE,DF与△
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ABC的两条直角边AC,BC不垂直,且点E在AC的延长线上,点F在CB的延长线上,S△DEF+S△CEF=S△ABC是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请直接写出S△DEF,S△CEF,S△ABC之间的数量关系.
解:(1)∵∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴四边形DECF是矩形,[来~*@源:中国教育出^版#网]
∵∠ACB=90°,[来&源:中@教~#*网]
∴BC⊥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE∥BC,
∵D为AB边的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=BC,AC=2CE,[来%源:@中^国教~育出版#网]
同理:DF=AC,
∵AC=BC,
∴DE=DF,
∴四边形DECF是正方形,
∴CE=DF=CF=DE,
∵S△DEF=S△CEF=2=DE•DF=DF2,[中国教~#育出*版网%@]
∴DF=2,
∴CE=2,
∴AC=2CE=4;
(2)S△DEF+S△CEF=S△ABC成立,理由如下:[中#国*教育%出&版网@]
连接CD;如图2所示:
∵AC=BC,∠ACB=90°,D为AB中点,
∴∠B=45°,∠DCE=∠ACB=45°,CD⊥AB,CD=AB=BD,
∴∠DCE=∠B,∠CDB=90°,S△ABC=2S△BCD,
∵∠EDF=90°,
∴∠CDE=∠BDF,
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在△CDE和△BDF中,,
∴△CDE≌△BDF(ASA),
∴DE=DF.S△CDE=S△BDF.
∴S△DEF+S△CEF=S△CDE+S△CDF=S△BCD=S△ABC;
(3)不成立;S△DEF﹣S△CEF=S△ABC;理由如下:
连接CD,如图3所示:
同(1)得:△DEC≌△DBF,∠DCE=∠DBF=135°,
∴S△DEF=S五边形DBFEC,
=S△CFE+S△DBC,
=S△CFE+S△ABC,[来源@:中~#国*教&育出版网]
∴S△DEF﹣S△CFE=S△ABC.
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是:S△DEF﹣S△CEF=S△ABC.
7.教材呈现:如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容[来*^源:#zzs@tep.c~om]
2.线段垂直平分线
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我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴,如图,直线MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上任一点,连结PA.PB,将线段AB沿直线MN对称,我们发现PA与PB完全重合,由此即有:
线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等.
已知:如图,MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上的任意一点.
求证:PA=PB.
分析:图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证明PA=PB.
定理证明:请根据教材中的分析,结合图①,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.[来源:中*国教育出版^网%#~]
定理应用:
(1)如图②,在△ABC中,直线m、n分别是边BC.AC的垂直平分线,直线m、n的交点为O.过点O作OH⊥AB于点H.求证:AH=BH.[来%源^:zzs~tep.com&@]
(2)如图③,在△ABC中,AB=BC,边AB的垂直平分线l交AC于点D,边BC的垂直平分线k交AC于点E.若∠ABC=120°, AC=15,则DE的长为 5 .
解:定理证明:
∵MN⊥AB,
∴∠PCA=∠PCB=90°.
又∵AC=BC,PC=PC,
∴△PAC≌△PBC(SAS),
∴PA=PB.
定理应用:(1)如图2,连结OA.OB.OC.
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∵直线m是边BC的垂直平分线,
∴OB=OC,
∵直线n是边AC的垂直平分线,
∴OA=OC,
∴OA=OB
∵OH⊥AB,
∴AH=BH;
(2)如图③中,连接BD,BE.[中国#教*&育出版^~网]
[来#%源~:中国教育出版*网&]
∵BA=BC,∠ABC=120°,[www&.z~z*s@tep.com#]
∴∠A=∠C=30°,
∵边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E,
∴DA=DB,EB=EC,[www.#zzs&^tep*.co%m]
∴∠A=∠DBA=30°,∠C=∠EBC=30°,
∴∠BDE=∠A+∠DBA=60°,∠BED=∠C+∠EBC=60°,[www.~z#zste&p*%.com]
∴△BDE是等边三角形,
∴AD=BD=DE=BE=EC,[来源:&中%国教育#出版*~网]
∵AC=15=AD+DE+EC=3DE,
∴DE=5,
故答案为:5.
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8.如图,在△ABC中,AB=AC,以BC为直角边作等腰Rt△BCD,∠CBD=90°,斜边CD交AB于点E.
(1)如图1,若∠ABC=60°,BE=4,作EH⊥BC于H,求线段BC的长;
(2)如图2,作CF⊥AC,且CF=AC,连接BF,且E为AB中点,求证:CD=2BF.
解:(1)∵∠ABC=60°,EH⊥BC,
∴∠BEH=30°,
∴BE=2BH=4,EH=BH,[来源:*~&%中^教网]
∴BH=2,EH=2,
∵∠CBD=90°,BD=BC,
∴∠BCD=45°,且EH⊥BC,
∴∠BCD=∠BEC=45°,
∴EH=CH=2,
∴BC=BH+HC=2+2;
(2)如图,过点A作AM⊥BC,
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[来#源*:~^%中教网]
∵AB=AC,AM⊥BC,[来源^:*&中教%网~]
∴BM=MC=BC=DB,
∵∠DCB=45°,AM⊥BC,
∴∠DCB=∠MNC=45°,
∴MN=MC=BD,
∵AM∥DB,
∴△CNM∽△CBD
∴,[来源*:%@中~教网&]
∴CD=2CN,AN=BD,[来源:#z~zstep&.c%o*m]
∵CF⊥AC,∠BCD=45°,
∴∠ACD+∠BCF=45°,且∠ACD+∠MAC=45°,[来源%:^中教网~#&]
∴∠BCF=∠MAC,且AC=CF,BC=AN,
∴△ACN≌△CFB(SAS)
∴BF=CN,
∴CD=2BF
9.【问题】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线L上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.
【探究发现】(1)如图2,某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想,发现当点D移动到使点P与点C重合时,通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程;
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【数学思考】(2)如图3,若点P是AC上的任意一点(不含端点A.C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程.
【探究发现】
证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=45°[来源:%中国#@教*育~出版网]
∵CD∥AB
∴∠CBA=∠DCB=45°,且BD⊥CD
∴∠DCB=∠DBC=45°
∴DB=DC
即DP=DB;[来%源#:zz@step.*com&]
【数学思考】
证明:(2)∵DG⊥CD,∠DCB=45°
∴∠DCG=∠DGC=45°
∴DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°,
∵∠BDP=∠CDG=90°
∴∠CDP=∠BDG
,在△CDP和△GDB中,,
∴△CDP≌△GDB(ASA)
∴DP=DB.
10.已知,在平面直角坐标系中,A(m,0)、B(0,n),m、n满足(m﹣n)2+|m﹣5|=0.C为AB的中点,P是线段AB上一动点,D是x轴正半轴上一点,且PO=PD,DE⊥AB于E.
(1)如图1,当点P在线段AB上运动时,点D恰在线段OA上,则PE与AB的数量关系为 AB=2PE
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(2)如图2,当点D在点A右侧时,(1)中结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,说明理由!
(3)设AB=5,若∠OPD=45°,直接写出点D的坐标.
解:(1)∵(m﹣n)2+|m﹣5|=0,
∴m﹣n=0,m﹣5=0,
∴m=n=5,
∴A(5,0)、B(0,5),
∴AC=BC=5,[www.z^z&@ste*p.co~m]
∴△AOB为等腰直角三角形,
∴∠AOC=∠BOC=45°,OC⊥AB,
∵PO=PD,
∴∠POD=∠PDO,[中%^@国教&育出~版网]
∵D是x轴正半轴上一点,[来源:@#中国^教育出版&网~]
∴点P在BC上,
∵∠POD=45°+∠POC,∠PDO=45°+∠DPE,
∴∠POC=∠DPE,
在△POC和△DPE中,
,
∴△POC≌△DPE(AAS),
∴OC=PE,
∵C为AB的中点,
∴AB=2OC,
∴AB=2PE.
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故答案为:AB=2PE.
(2)成立,理由如下:
∵点C为AB中点,
∴∠AOC=∠BOC=45°,OC⊥AB,[来源*:中国教~育出版网@^%]
∵PO=PD,
∴∠POD=∠PDO,
∵∠POD=45°﹣∠POC,∠PDO=45°﹣∠DPE,
∴∠POC=∠DPE,
在△POC和△DPE中,
,
∴△POC≌△DPE(AAS),
∴OC=PE,
又∠AOC=∠BAO=45°[来@源~:中教网%]
∴OC=AC=AB
∴AB=2PE;
(3)∵AB=5,
∴OA=OB=5,
∵OP=PD,
∴∠POD=∠PDO==67.5°,[来源:*中@教#&网~]
∴∠APD=∠PDO﹣∠A=22.5°,∠BOP=90°﹣∠POD=22.5°,
∴∠APD=∠BOP,
在△POB和△DPA中,
,
∴△POB≌△DPA(SAS),
∴PA=OB=5,DA=PB,
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∴DA=PB=5﹣5,
∴OD=OA﹣DA=5﹣(5﹣5)=10﹣5,
∴点D的坐标为(10﹣5,0).
11.如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A.B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D作DE∥OC交y轴于点E,已知AO=m,BO=n,且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|=0.
(1)求A.B两点的坐标;
(2)若点D为AB中点,求OE的长;
(3)如图2,若点P(x,﹣2x+4)为直线AB在x轴下方的一点,点E是y轴的正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角△PEF,使点F在第一象限,且F点的横、纵坐标始终相等,求点P的坐标.
解:(1)∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|=0,
∴(n﹣4)2+|n﹣2m|=0,[来源*:~中国教育出版网@^%]
∵(n﹣4)2≥0,|n﹣2m|≥0,
∴(n﹣4)2=0,|n﹣2m|=0,
∴m=2,n=4,
∴点A为(2,0),点B为(0,4);
(2)延长DE交x轴于点F,延长FD到点G,使得DG=DF,连接BG,
设OE=x,
∵OC平分∠AOB,
∴∠BOC=∠AOC=45°,[中国教育*#&@^出版网]
∵DE∥OC,
∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°,
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∴OE=OF=x,
在△ADF和△BDG中,
,
∴△ADF≌△BDG(SAS),
∴BG=AF=2+x,∠G=∠AFE=45°,
∴∠G=∠BEG=45°,
∴BG=BE=4﹣x,
∴4﹣x=2+x,解得:x=1,[来#源:~%^中*国教育出版网]
∴OE=1;
(3)如图2,分别过点F、P作FM⊥y轴于点M,PN⊥y轴于点N,设点E为(0,m),
∵点P的坐标为(x,﹣2x+4),
∴PN=x,EN=m+2x﹣4,
∵∠PEF=90°,
∴∠PEN+∠FEM=90°,
∵FM⊥y轴,
∴∠MFE+∠FEM=90°,
∴∠PEN=∠MFE,
在△EFM和△PEN中,
,
∴△EFM≌△PEN(AAS),
∴ME=NP=x,FM=EN=m+2x﹣4,
∴点F为(m+2x﹣4,m+x),
∵F点的横坐标与纵坐标相等,
∴m+2x﹣4=m+x,
解得:x=4,
∴点P为(4,﹣4).
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[来源:@zzstep.c~^#*om]
12.在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD的下方作等边△CDE,连结BE.
(1)若点D在线段AM上时(如图1),则AD = BE(填“>”、“<”或“=”),∠CAM= 30 度;
(2)设直线BE与直线AM的交点为O.
①当动点D在线段AM的延长线上时(如图2),试判断AD与BE的数量关系,并说明理由;
②当动点D在直线AM上时,试判断∠AOB是否为定值?若是,请直接写出∠AOB的度数;若不是,请说明理由.
解:(1))∵△ABC与△DEC都是等边三角形
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∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中[中国^教%&@育*出版网]
,[中国#教*%育出^版@网]
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE;[来~%源:中^国教育*&出版网]
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∵线段AM为BC边上的中线
∴∠CAM=∠BAC,[www.zzs%te*p.~c#o@m]
∴∠CAM=30°.[来源:zzst%&ep#*.c~om]
故答案为:=,30;
(2)①AD=BE,
理由如下:∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴AB=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,[来源:%zzste&p.co~m*#]
∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,[来&源:zzs~#te*p.@com]
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)[中国#教~^@育%出版网]
∴AD=BE.
②∠AOB是定值,∠AOB=60°,[来源:zzste*@p.%^c~om]
理由如下:
当点D在线段AM上时,如图1,由①知△ACD≌△BCE,则∠CBE=∠CAD=30°,
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又∠ABC=60°,[来^%源:中教网#~*]
∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°,
∵△ABC是等边三角形,线段AM为BC边上的中线
∴AM平分∠BAC,即,
∴∠BOA=90°﹣30°=60°.
当点D在线段AM的延长线上时,如图2,
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
,
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∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴∠CBE=∠CAD=30°,
同理可得:∠BAM=30°,[来源:中国教~^育出版%网*#]
∴∠BOA=90°﹣30°=60°.
13.小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质:直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.小明同学对以上结论作了进一步探究.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=AB,则:∠ABC=30°.
探究结论:(1)如图1,CE是AB边上的中线,易得结论:△ACE为 等边 三角形.
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=AB,CP是AB边上的中线,点D是边CB上任意一点,连接AD,在AB边上方作等边△ADE,连接BE.试探究线段BE与DE之间的数量关系,写出你的猜想加以证明.
拓展应用:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(﹣,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等边△ABC,当点C在第一象内,且B(2,0)时,求点C的坐标.
解:探究结论(1)∵CE是AB边上的中线,
∴CE=AE=AB,
∵AC=AB,
∴AC=CE=AE,
∴△ACE是等边三角形.
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故答案为:等边;
(2)如图2中,结论:ED=EB.
理由:取AB的中点P,连接CP、PE.
∵△ACP,△ADE都是等边三角形,
∴AC=AP=PC,AD=AE=DE,∠CAP=∠DAE=60°,[中%~国教育出&版*^网]
∴∠CAD=∠PAE,
∴△CAD≌△PAE(SAS),
∴∠ACD=∠APE=90°,
∴EP⊥AB,
∵PA=PB,
∴EA=EB,
∵DE=AE,
∴ED=EB.
拓展应用:如图3中,作AH⊥x轴于H,CF⊥OB于F,连接OA.
∵A(﹣,1),
∴∠AOH=30°,
由(2)
可知,CO=CB,
∵CF⊥OB,
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∴OF=FB=1,
∴可以假设C(1,n),[来源:^~%中*国教育出版网#]
∵OC=BC=AB,
∴1+n2=1+(+2)2,
∴n=2+,
∴C(1,2+).
14.如图,等边△ABC外有一点D,连接DA,DB,DC.
(1)如图1,若∠DAB+∠DCB=180°,求证:BD平分∠ADC;
(2)如图2,若∠BDC=60°,求证:BD﹣CD=AD;[来源:z@z#step.~co^m*]
(3)如图3,延长AD交BC的延长线于点F,以BF为边向下作等边△BEF,若点D,C,E在同一直线上,且∠ABD=α,直接写出∠CEF的度数为 60°﹣α (结果用含α的式子表示).
(1)证明:过点B作BM⊥CD于点M,BN⊥AD于点N,
∴∠ANB=∠CMB=90°,
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,
∵∠DAB+∠DCB=180°,
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∠DCB+∠BCM=180°,
∴∠OAB=∠BCM,
∴△ABN≌△CBM(AAS),
∴BM=BN,[来~源:zz^*st@%ep.com]
∴BD平分∠ADC;[来源^:*&@中~教网]
(2)证明:在BD上取点E,使DE=CD,
∵∠BDC=60°
∴△CDE为等边三角形,
∴∠DCE=∠ACB=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
∵AC=BC,
∴△ADC≌△BEC(SAS),
∴AD=BE,[来源:中#国教育~出版&*网^]
∴BD﹣CD=AD;
(3)解:∵△ABC,△BEF为等边三角形,∴AB=CB,BF=BE,∠ABF=∠CBE[中*国教^&%育#出版网]
∴△ABF≌CBE(SAS),
∴∠DFB=∠CEB,
∵∠CEB+∠CEF=60°,∠EFB=60°
∴∠FDE=180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠CEF=60°[w&@w^w.%zzst~ep.com]
∴∠ADC=120°,[来@&%^源:#中教网]
∴∠ADC+∠ABC=180°,
由(1)得BD平分∠ADC
∴∠BDE=60°,
∴∠FDB=120°,
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∴∠FDB+∠FEB=180°,
∴F,E,B,D四点共圆,
∴∠CEF=∠DBF
∵∠DBF=60°﹣α.
∴∠CEF=60°﹣α.
故答案为:60°﹣α.[来源:zzs@tep.c^&%o#m]
15.已知,在平面直角坐标系中,点A(0,2),B(﹣2,m),过B点作直线a与x轴互相垂直,C为x轴上的一个动点,且∠BAC=90°.
(1)如图1,若点B是第二象限内的一个点,且m>2时,求点C的坐标;(用m的代数式表示)
(2)如图2,若点B是第三象限内的一个点,设C点的坐标(x,0),求x的取值范围:
(3)如图3,连接BC,作∠ABC的平分线BD,点E.F分别是射线BD与边BC上的两个动点,连接CE.EF,当m=3时,试求CE+EF的最小值.
解:(1)如图1,过B点作BH⊥y轴于点H,[来源%&^@:中#教网]
[w~ww@.%zzstep#.&com]
∴∠BHA=90°,∠ABH+∠BAH=90°,
∴∠BHA=∠AOC=90°,
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∵∠BAC=90°,
∴∠BAH+∠CAO=90°,
∴∠ABH=∠CAO,
∵点A(0,2),B(﹣2,m),
∴AO=BH=2,OH=m,
∵AO=BH,∠ABH=∠CAO,∠BHA=∠AOC=90°,
∴△BHA≌△AOC(ASA)
∴CO=AH=OH﹣AO=m﹣2,[来@源%:中*^~教网]
∵m>2,点C在x轴负半轴,[来源@#:%zzste~&p.com]
∴点C(2﹣m,0);
(2)如图2,过B点作BK⊥y轴于点K,则∠AKB=90°,[w^*#w~w.zzs@tep.com]
∵∠BAC=90°,
∴∠BAK+∠CAK=90°,且∠BAK+∠ABK=90°,
∴∠CAK=∠ABK,
∵点A(0,2),B(﹣2,m),
∴AO=BK=2,OH=m,
∵AO=BK,∠CAK=∠ABK,∠AOC=∠AKB=90°,
∴△ABK≌△CAO(AAS)
∴CO=AK=2﹣m,
∵C点的坐标(x,0),
∴CO=x=2﹣m,
∵点B是第三象限内的一个点,[www.z&zstep%.com@#~]
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∴m<0,
∴2﹣m>2,
∴x>2;
(3)如图3,在AB上截取BN=BF,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE,且BE=BE,BF=BN,
∴△BEF≌△BEN(SAS)[来#源:@中%国教*育出版~网]
∴EF=EN,
∴CE+EF=CE+EN,[来%源:#中^教*网&]
∴当C,E,F三点共线,且N与点A重合时,CE+EF有最小值,
此时最小值为AC,
由(1)可知:点C(2﹣m,0);
且m=3,
∴点C(﹣1,0),
∴CO=1,
∴AC===,
∴CE+EF的最小值为.
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