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- 2021-05-10 发布
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2020年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2020•营口)﹣6的绝对值是( )
A.6 B.﹣6 C.16 D.-16
2.(3分)(2020•营口)如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
3.(3分)(2020•营口)下列计算正确的是( )
A.x2•x3=x6 B.xy2-14xy2=34xy2
C.(x+y)2=x2+y2 D.(2xy2)2=4xy4
4.(3分)(2020•营口)如图,AB∥CD,∠EFD=64°,∠FEB的角平分线EG交CD于点G,则∠GEB的度数为
( )
A.66° B.56° C.68° D.58°
5.(3分)(2020•营口)反比例函数y=1x(x<0)的图象位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.(3分)(2020•营口)如图,在△ABC中,DE∥AB,且CDBD=32,则CECA的值为( )
第25页(共25页)
A.35 B.23 C.45 D.32
7.(3分)(2020•营口)如图,AB为⊙O的直径,点C,点D是⊙O上的两点,连接CA,CD,AD.若∠CAB=40°,则∠ADC的度数是( )
A.110° B.130° C.140° D.160°
8.(3分)(2020•营口)一元二次方程x2﹣5x+6=0的解为( )
A.x1=2,x2=﹣3 B.x1=﹣2,x2=3
C.x1=﹣2,x2=﹣3 D.x1=2,x2=3
9.(3分)(2020•营口)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数)
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( )
A.0.90 B.0.82 C.0.85 D.0.84
10.(3分)(2020•营口)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的边OA在x
第25页(共25页)
轴正半轴上,其中∠OAB=90°,AO=AB,点C为斜边OB的中点,反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象过点C且交线段AB于点D,连接CD,OD,若S△OCD=32,则k的值为( )
A.3 B.52 C.2 D.1
二、填空題(每小题3分,共24分)
11.(3分)(2020•营口)ax2﹣2axy+ay2= .
12.(3分)(2020•营口)长江的流域面积大约是1800000平方千米,1800000用科学记数法表示为 .
13.(3分)(2020•营口)(32+6)(32-6)= .
14.(3分)(2020•营口)从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛,经过几轮初赛选拔,他们的平均成绩都是87.9分,方差分别是S甲2=3.83,S乙2=2.71,S丙2=1.52.若选取成绩稳定的一人参加比赛,你认为适合参加比赛的选手是 .
15.(3分)(2020•营口)一个圆锥的底面半径为3,高为4,则此圆锥的侧面积为 .
16.(3分)(2020•营口)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中OA=1,OB=2,则菱形ABCD的面积为 .
17.(3分)(2020•营口)如图,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 .
第25页(共25页)
18.(3分)(2020•营口)如图,∠MON=60°,点A1在射线ON上,且OA1=1,过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1,在射线ON上截取A1A2,使得A1A2=A1B1;过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2,在射线ON上截取A2A3,使得A2A3=A2B2;…;按照此规律进行下去,则A2020B2020长为 .
三、解答题(19小题10分,20小题10分,共20分)
19.(10分)(2020•营口)先化简,再求值:(4-xx-1-x)÷x-2x-1,请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值.
20.(10分)(2020•营口)随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转,各地开始复工复学,某校复学后成立“防疫志愿者服务队”,设立四个“服务监督岗”:①洗手监督岗,②戴口罩监督岗,③就餐监督岗,④操场活动监督岗.李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作,学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.
(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ;
(2)用列表法或面树状图法,求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率.
四、解答题(21小题12分,22小题12分,共24分)
21.(12分)(2020•营口)“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚,某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法,随机调查了200名学生(每名学生必须选择且只能选择
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一类看法),调查结果分为“A.很有必要”“B.有必要”“C.无所谓”“D.没有必要”四类.并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图(均不完整),请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中“D.没有必要”所在扇形的圆心角度数为 ;
(3)该校共有2500名学生,根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A.很有必要”的学生人数.
22.(12分)(2020•营口)如图,海中有一个小岛A,它周围10海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由东向西航行,在B点测得小岛A在北偏西60°方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在北偏西30°方向上,如果渔船不改变方向继续向西航行,有没有触礁的危险?并说明理由.(参考数据:3≈1.73)
五、解答题(23小题12分,24小题12分,共24分)
23.(12分)(2020•营口)如图,△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点O为圆心,OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若tanA=34,AD=2,求BO的长.
第25页(共25页)
24.(12分)(2020•营口)某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每天的销售量为y(瓶).
(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?
六、解答题(本题满分14分)
25.(14分)(2020•营口)如图,在矩形ABCD中,AD=kAB(k>0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
(1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是 ;
(2)如图2,若k≠1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示)
(3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长.
七、解答题(本题满分14分)
26.(14分)(2020•营口)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3过点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴交于点C,顶点为点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为直线CD上的一个动点,连接BC;
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①如图1,是否存在点P,使∠PBC=∠BCO?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②如图2,点P在x轴上方,连接PA交抛物线于点N,∠PAB=∠BCO,点M在第三象限抛物线上,连接MN,当∠ANM=45°时,请直接写出点M的坐标.
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2020年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2020•营口)﹣6的绝对值是( )
A.6 B.﹣6 C.16 D.-16
【解答】解:|﹣6|=6,
故选:A.
2.(3分)(2020•营口)如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
【解答】解:从上面看易得俯视图:
.
故选:C.
3.(3分)(2020•营口)下列计算正确的是( )
A.x2•x3=x6 B.xy2-14xy2=34xy2
C.(x+y)2=x2+y2 D.(2xy2)2=4xy4
【解答】解:A、x2•x3=x5,原计算错误,故此选项不符合题意;
B、xy2-14xy2=34xy2,原计算正确,故此选项符合题意;
C、(x+y)2=x2+2xy+y2,原计算错误,故此选项不符合题意;
D、(2xy2)2=4xy4,原计算错误,故此选项不符合题意.
故选:B.
4.(3分)(2020•营口)如图,AB∥CD,∠EFD=64°,∠FEB的角平分线EG交CD于
第25页(共25页)
点G,则∠GEB的度数为
( )
A.66° B.56° C.68° D.58°
【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°,
∴∠BEF=180°﹣64°=116°;
∵EG平分∠BEF,
∴∠GEB=58°.
故选:D.
5.(3分)(2020•营口)反比例函数y=1x(x<0)的图象位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】解:∵反比例函数y=1x(x<0)中,k=1>0,
∴该函数图象在第三象限,
故选:C.
6.(3分)(2020•营口)如图,在△ABC中,DE∥AB,且CDBD=32,则CECA的值为( )
A.35 B.23 C.45 D.32
【解答】解:∵DE∥AB,
∴CEAE=CDBD=32,
第25页(共25页)
∴CECA的值为35,
故选:A.
7.(3分)(2020•营口)如图,AB为⊙O的直径,点C,点D是⊙O上的两点,连接CA,CD,AD.若∠CAB=40°,则∠ADC的度数是( )
A.110° B.130° C.140° D.160°
【解答】解:如图,连接BC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠B=90°﹣∠CAB=90°﹣40°=50°,
∵∠B+∠ADC=180°,
∴∠ADC=180°﹣50°=130°.
故选:B.
8.(3分)(2020•营口)一元二次方程x2﹣5x+6=0的解为( )
A.x1=2,x2=﹣3 B.x1=﹣2,x2=3
C.x1=﹣2,x2=﹣3 D.x1=2,x2=3
【解答】解:(x﹣2)(x﹣3)=0,
x﹣2=0或x﹣3=0,
所以x1=2,x2=3.
故选:D.
9.(3分)(2020•营口)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:
第25页(共25页)
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数)
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( )
A.0.90 B.0.82 C.0.85 D.0.84
【解答】解:∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近,
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82.
故选:B.
10.(3分)(2020•营口)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的边OA在x轴正半轴上,其中∠OAB=90°,AO=AB,点C为斜边OB的中点,反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象过点C且交线段AB于点D,连接CD,OD,若S△OCD=32,则k的值为( )
A.3 B.52 C.2 D.1
【解答】解:根据题意设B(m,m),则A(m,0),
∵点C为斜边OB的中点,
∴C(m2,m2),
∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象过点C,
第25页(共25页)
∴k=m2•m2=m24,
∵∠OAB=90°,
∴D的横坐标为m,
∵反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象过点D,
∴D的纵坐标为m4,
作CE⊥x轴于E,
∵S△COD=S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD=S梯形ADCE,S△OCD=32,
∴12(AD+CE)•AE=32,即12(m4+m2)•(m-12m)=32,
∴m28=1,
∴k=m24=2,
故选:C.
二、填空題(每小题3分,共24分)
11.(3分)(2020•营口)ax2﹣2axy+ay2= a(x﹣y)2 .
【解答】解:ax2﹣2axy+ay2
=a(x2﹣2xy+y2)
=a(x﹣y)2.
故答案为:a(x﹣y)2.
12.(3分)(2020•营口)长江的流域面积大约是1800000平方千米,1800000用科学记数法表示为 1.8×106 .
【解答】解:将1800000用科学记数法表示为 1.8×106,
故答案为:1.8×106.
13.(3分)(2020•营口)(32+6)(32-6)= 12 .
第25页(共25页)
【解答】解:原式=(32)2﹣(6)2
=18﹣6
=12.
故答案为:12.
14.(3分)(2020•营口)从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛,经过几轮初赛选拔,他们的平均成绩都是87.9分,方差分别是S甲2=3.83,S乙2=2.71,S丙2=1.52.若选取成绩稳定的一人参加比赛,你认为适合参加比赛的选手是 丙 .
【解答】解:∵平均成绩都是87.9分,S甲2=3.83,S乙2=2.71,S丙2=1.52,
∴S丙2<S乙2<S甲2,
∴丙选手的成绩更加稳定,
∴适合参加比赛的选手是丙,
故答案为:丙.
15.(3分)(2020•营口)一个圆锥的底面半径为3,高为4,则此圆锥的侧面积为 15π .
【解答】解:∵圆锥的底面半径为3,高为4,
∴母线长为5,
∴圆锥的侧面积为:πrl=π×3×5=15π,
故答案为:15π
16.(3分)(2020•营口)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中OA=1,OB=2,则菱形ABCD的面积为 4 .
【解答】解:∵OA=1,OB=2,
∴AC=2,BD=4,
∴菱形ABCD的面积为12×2×4=4.
故答案为:4.
17.(3分)(2020•营口)如图,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D,
第25页(共25页)
点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 33 .
【解答】解:过C作CF⊥AB交AD于E,
则此时,CE+EF的值最小,且CE+EF的最小值=CF,
∵△ABC为等边三角形,边长为6,
∴BF=12AB=12×6=3,
∴CF=BC2-BF2=62-32=33,
∴CE+EF的最小值为33,
故答案为:33.
18.(3分)(2020•营口)如图,∠MON=60°,点A1在射线ON上,且OA1=1,过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1,在射线ON上截取A1A2,使得A1A2=A1B1;过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2,在射线ON上截取A2A3,使得A2A3=A2B2;…;按照此规律进行下去,则A2020B2020长为 3(1+3)2019 .
第25页(共25页)
【解答】解:在Rt△OA1B1中,∵∠OA1B1=90°,∠MON=60°,OA1=1,
∴A1B1=A1A2=OA1•tan60°=3,
∵A1B1∥A2B2,
∴A2B2A1B1=OA2OA1,
∴A2B23=1+31,
∴A2B2=3(1+3),
同法可得,A3B3=3(1+3)2,
…
由此规律可知,A2020B2020=3(1+3)2019,
故答案为3(1+3)2019.
三、解答题(19小题10分,20小题10分,共20分)
19.(10分)(2020•营口)先化简,再求值:(4-xx-1-x)÷x-2x-1,请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值.
【解答】解:原式=4-x-x2+xx-1•x-1x-2
=(2-x)(2+x)x-1•x-1x-2
=﹣2﹣x.
∵x≠1,x≠2,
∴在0≤x≤2的范围内的整数选x=0.
当x=0时,原式=﹣2﹣0=﹣2.
20.(10分)(2020•营口)随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转,各地开始复工复学,某校复学后成立“防疫志愿者服务队”,设立四个“服务监督岗”:①洗手监督岗,②
第25页(共25页)
戴口罩监督岗,③就餐监督岗,④操场活动监督岗.李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作,学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.
(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 14 ;
(2)用列表法或面树状图法,求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率.
【解答】解:(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率=14;
故答案为:14;
(2)画树状图为:
共有16种等可能的结果,其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4,
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率=416=14.
四、解答题(21小题12分,22小题12分,共24分)
21.(12分)(2020•营口)“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚,某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法,随机调查了200名学生(每名学生必须选择且只能选择一类看法),调查结果分为“A.很有必要”“B.有必要”“C.无所谓”“D.没有必要”四类.并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图(均不完整),请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中“D.没有必要”所在扇形的圆心角度数为 18° ;
(3)该校共有2500名学生,根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A.很有
第25页(共25页)
必要”的学生人数.
【解答】解:(1)A组学生有:200×30%=60(人),
C组学生有:200﹣60﹣80﹣10=50(人),
补全的条形统计图,如右图所示;
(2)扇形统计图中“D.没有必要”所在扇形的圆心角度数为:360°×10200=18°,
故答案为:18°;
(3)2500×30%=750(人),
答:该校对“生活垃圾分类”认为“A.很有必要”的学生有750人.
22.(12分)(2020•营口)如图,海中有一个小岛A,它周围10海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由东向西航行,在B点测得小岛A在北偏西60°方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在北偏西30°方向上,如果渔船不改变方向继续向西航行,有没有触礁的危险?并说明理由.(参考数据:3≈1.73)
【解答】 解:没有触礁的危险;
理由:如图,过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N,
由题意得,∠ABE=60°,∠ACD=30°,
∴∠ACN=60°,∠ABN=30°,
∴∠ABC=∠BAC=30°,
∴BC=AC=12,
第25页(共25页)
在Rt△ANC中,AN=AC•cos60°=12×32=63,
∵AN=63≈10.38>10,
∴没有危险.
五、解答题(23小题12分,24小题12分,共24分)
23.(12分)(2020•营口)如图,△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点O为圆心,OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.
(1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若tanA=34,AD=2,求BO的长.
【解答】 (1)证明:过O作OH⊥AB于H,
∵∠ACB=90°,
∴OC⊥BC,
∵BO为△ABC的角平分线,OH⊥AB,
∴OH=OC,
即OH为⊙O的半径,
∵OH⊥AB,
∴AB为⊙O的切线;
(2)解:设⊙O的半径为3x,则OH=OD=OC=3x,
在Rt△AOH中,∵tanA=34,
∴OHAH=34,
第25页(共25页)
∴3xAH=34,
∴AH=4x,
∴AO=OH2+AH2=(3x)2+(4x)2=5x,
∵AD=2,
∴AO=OD+AD=3x+2,
∴3x+2=5x,
∴x=1,
∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3,
∴AC=OA+OC=5+3=8,
在Rt△ABC中,∵tanA=BCAC,
∴BC=AC•tanA=8×34=6,
∴OB=OC2+BC2=32+62=35.
24.(12分)(2020•营口)某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每天的销售量为y(瓶).
(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?
【解答】解:(1)由题意得:y=80+20×20-x0.5,
∴y=﹣40x+880;
(2)设每天的销售利润为w元,则有:
w=(﹣40x+880)(x﹣16)
第25页(共25页)
=﹣40(x﹣19)2+360,
∵a=﹣40<0,
∴二次函数图象开口向下,
∴当x=19时,w有最大值,最大值为360元.
答:当销售单价为19元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为880元.
六、解答题(本题满分14分)
25.(14分)(2020•营口)如图,在矩形ABCD中,AD=kAB(k>0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
(1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是 AF=AE ;
(2)如图2,若k≠1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示)
(3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长.
【解答】解:(1)AE=AF.
∵AD=AB,四边形ABCD矩形,
∴四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=90°,
∴∠EAB=∠FAD,
∴△EAB≌△FAD(AAS),
∴AF=AE;
故答案为:AF=AE.
(2)AF=kAE.
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证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ABC=∠ADF=90°,
∴∠FAD+∠FAB=90°,
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=90°,
∴∠EAB+∠FAB=90°,
∴∠EAB=∠FAD,
∵∠ABE+∠ABC=180°,
∴∠ABE=180°﹣∠ABC=180°﹣90°=90°,
∴∠ABE=∠ADF.
∴△ABE∽△ADF,
∴ABAD=AEAF,
∵AD=kAB,
∴ABAD=1k,
∴AEAF=1k,
∴AF=kAE.
(3)解:①如图1,当点F在DA上时,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∵AD=2AB=4,
∴AB=2,
∴CD=2,
∵CF=1,
∴DF=CD﹣CF=2﹣1=1.
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在Rt△ADF中,∠ADF=90°,
∴AF=AD2+DF2=42+12=17,
∵DF∥AB,
∴∠GDF=∠GBA,∠GFD=∠GAB,
∴△GDF∽△GBA,
∴GFGA=DFBA=12,
∵AF=GF+AG,
∴AG=23AF=2317.
∵△ABE∽△ADF,
∴AEAF=ABAD=24=12,
∴AE=12AF=12×17=172.
在Rt△EAG中,∠EAG=90°,
∴EG=AE2+AG2=(172)2+(2173)2=5176,
②如图2,当点F在DC的延长线上时,DF=CD+CF=2+1=3,
在Rt△ADF中,∠ADF=90°,
∴AF=AD2+DF2=42+32=5.
∵DF∥AB,
∵∠GAB=∠GFD,∠GBA=∠GDF,
∴△AGB∽△FGD,
∴AGFG=ABFD=23,
∵GF+AG=AF=5,
∴AG=2,
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∵△ABE∽△ADF,
∴AEAF=ABAD=24=12,
∴AE=12AF=12×5=52,
在Rt△EAG中,∠EAG=90°,
∴EG=AE2+AG2=(52)2+22=412.
综上所述,EG的长为5176或412.
七、解答题(本题满分14分)
26.(14分)(2020•营口)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3过点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴交于点C,顶点为点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为直线CD上的一个动点,连接BC;
①如图1,是否存在点P,使∠PBC=∠BCO?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②如图2,点P在x轴上方,连接PA交抛物线于点N,∠PAB=∠BCO,点M在第三象限抛物线上,连接MN,当∠ANM=45°时,请直接写出点M的坐标.
【解答】解:(1)y=ax2+bx﹣3=a(x+3)(x﹣1),
解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=x2+2x﹣3①;
(2)由抛物线的表达式知,点C、D的坐标分别为(0,﹣3)、(﹣1,﹣4),
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由点C、D的坐标知,直线CD的表达式为:y=x﹣3;
tan∠BCO=13,则cos∠BCO=210;
①当点P(P′)在点C的右侧时,
∵∠PAB=∠BCO,
故P′B∥y轴,则点P′(1,﹣2);
当点P在点C的左侧时,
设直线PB交y轴于点H,过点H作HN⊥BC于点N,
∵∠PAB=∠BCO,
∴△BCH为等腰三角形,则BC=2CH•cos∠BCO=2×CH×210=32+12,
解得:CH=53,则OH=3﹣CH=43,故点H(0,-43),
由点B、H的坐标得,直线BH的表达式为:y=43x-43②,
联立①②并解得:x=-5y=-8,
故点P的坐标为(1,﹣2)或(﹣5,﹣8);
②∵∠PAB=∠BCO,而tan∠BCO=13,
故设直线AP的表达式为:y=13x+s,将点A的坐标代入上式并解得:s=1,
故直线AP的表达式为:y=13x+1,
联立①③并解得:x=43y=139,故点N(43,139);
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设△AMN的外接圆为圆R,
当∠ANM=45°时,则∠ARM=90°,设圆心R的坐标为(m,n),
∵∠GRA+∠MRH=90°,∠MRH+∠RMH=90°,
∴∠RMH=∠GAR,
∵AR=MR,∠AGR=∠RHM=90°,
∴△AGR≌△RHM(AAS),
∴AG=m+3=RH,RG=﹣n=MH,
∴点M(m+n,n﹣m﹣3),
将点M的坐标代入抛物线表达式得:n﹣m﹣3=(m+n)2+2(m+n)﹣3③,
由题意得:AR=NR,即(m+3)2=(m-43)2+(139)2④,
联立③④并解得:m=-29n=-109,
故点M(-43,-359).
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