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  • 2021-05-10 发布

2020年辽宁省营口市中考数学试卷(含解析)

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‎2020年辽宁省营口市中考数学试卷 一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)(2020•营口)﹣6的绝对值是(  )‎ A.6 B.﹣6 C.‎1‎‎6‎ D.‎‎-‎‎1‎‎6‎ ‎2.(3分)(2020•营口)如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的,它的俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(3分)(2020•营口)下列计算正确的是(  )‎ A.x2•x3=x6 B.xy2‎-‎‎1‎‎4‎xy2‎=‎‎3‎‎4‎xy2 ‎ C.(x+y)2=x2+y2 D.(2xy2)2=4xy4‎ ‎4.(3分)(2020•营口)如图,AB∥CD,∠EFD=64°,∠FEB的角平分线EG交CD于点G,则∠GEB的度数为 ‎(  )‎ A.66° B.56° C.68° D.58°‎ ‎5.(3分)(2020•营口)反比例函数y‎=‎‎1‎x(x<0)的图象位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎6.(3分)(2020•营口)如图,在△ABC中,DE∥AB,且CDBD‎=‎‎3‎‎2‎,则CECA的值为(  )‎ 第25页(共25页)‎ A.‎3‎‎5‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎4‎‎5‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎7.(3分)(2020•营口)如图,AB为⊙O的直径,点C,点D是⊙O上的两点,连接CA,CD,AD.若∠CAB=40°,则∠ADC的度数是(  )‎ A.110° B.130° C.140° D.160°‎ ‎8.(3分)(2020•营口)一元二次方程x2﹣5x+6=0的解为(  )‎ A.x1=2,x2=﹣3 B.x1=﹣2,x2=3 ‎ C.x1=﹣2,x2=﹣3 D.x1=2,x2=3‎ ‎9.(3分)(2020•营口)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:‎ 射击次数 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎1000‎ ‎“射中九环以上”的次数 ‎18‎ ‎68‎ ‎82‎ ‎168‎ ‎327‎ ‎823‎ ‎“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数)‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.82‎ ‎0.84‎ ‎0.82‎ ‎0.82‎ 根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是(  )‎ A.0.90 B.0.82 C.0.85 D.0.84‎ ‎10.(3分)(2020•营口)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的边OA在x 第25页(共25页)‎ 轴正半轴上,其中∠OAB=90°,AO=AB,点C为斜边OB的中点,反比例函数y‎=‎kx(k>0,x>0)的图象过点C且交线段AB于点D,连接CD,OD,若S△OCD‎=‎‎3‎‎2‎,则k的值为(  )‎ A.3 B.‎5‎‎2‎ C.2 D.1‎ 二、填空題(每小题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)(2020•营口)ax2﹣2axy+ay2=   .‎ ‎12.(3分)(2020•营口)长江的流域面积大约是1800000平方千米,1800000用科学记数法表示为   .‎ ‎13.(3分)(2020•营口)(3‎2‎‎+‎‎6‎)(3‎2‎‎-‎‎6‎)=   .‎ ‎14.(3分)(2020•营口)从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛,经过几轮初赛选拔,他们的平均成绩都是87.9分,方差分别是S甲2=3.83,S乙2=2.71,S丙2=1.52.若选取成绩稳定的一人参加比赛,你认为适合参加比赛的选手是   .‎ ‎15.(3分)(2020•营口)一个圆锥的底面半径为3,高为4,则此圆锥的侧面积为   .‎ ‎16.(3分)(2020•营口)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中OA=1,OB=2,则菱形ABCD的面积为   .‎ ‎17.(3分)(2020•营口)如图,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为   .‎ 第25页(共25页)‎ ‎18.(3分)(2020•营口)如图,∠MON=60°,点A1在射线ON上,且OA1=1,过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1,在射线ON上截取A1A2,使得A1A2=A1B1;过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2,在射线ON上截取A2A3,使得A2A3=A2B2;…;按照此规律进行下去,则A2020B2020长为   .‎ 三、解答题(19小题10分,20小题10分,共20分)‎ ‎19.(10分)(2020•营口)先化简,再求值:(‎4-xx-1‎‎-‎x)‎÷‎x-2‎x-1‎,请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值.‎ ‎20.(10分)(2020•营口)随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转,各地开始复工复学,某校复学后成立“防疫志愿者服务队”,设立四个“服务监督岗”:①洗手监督岗,②戴口罩监督岗,③就餐监督岗,④操场活动监督岗.李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作,学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.‎ ‎(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为   ;‎ ‎(2)用列表法或面树状图法,求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率.‎ 四、解答题(21小题12分,22小题12分,共24分)‎ ‎21.(12分)(2020•营口)“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚,某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法,随机调查了200名学生(每名学生必须选择且只能选择 第25页(共25页)‎ 一类看法),调查结果分为“A.很有必要”“B.有必要”“C.无所谓”“D.没有必要”四类.并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图(均不完整),请根据图中提供的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)补全条形统计图;‎ ‎(2)扇形统计图中“D.没有必要”所在扇形的圆心角度数为   ;‎ ‎(3)该校共有2500名学生,根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A.很有必要”的学生人数.‎ ‎22.(12分)(2020•营口)如图,海中有一个小岛A,它周围10海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由东向西航行,在B点测得小岛A在北偏西60°方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在北偏西30°方向上,如果渔船不改变方向继续向西航行,有没有触礁的危险?并说明理由.(参考数据:‎3‎‎≈‎1.73)‎ 五、解答题(23小题12分,24小题12分,共24分)‎ ‎23.(12分)(2020•营口)如图,△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点O为圆心,OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.‎ ‎(1)求证:AB为⊙O的切线;‎ ‎(2)若tanA‎=‎‎3‎‎4‎,AD=2,求BO的长.‎ 第25页(共25页)‎ ‎24.(12分)(2020•营口)某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每天的销售量为y(瓶).‎ ‎(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;‎ ‎(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?‎ 六、解答题(本题满分14分)‎ ‎25.(14分)(2020•营口)如图,在矩形ABCD中,AD=kAB(k>0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.‎ ‎(1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是   ;‎ ‎(2)如图2,若k≠1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示)‎ ‎(3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长.‎ 七、解答题(本题满分14分)‎ ‎26.(14分)(2020•营口)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3过点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴交于点C,顶点为点D.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点P为直线CD上的一个动点,连接BC;‎ 第25页(共25页)‎ ‎①如图1,是否存在点P,使∠PBC=∠BCO?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎②如图2,点P在x轴上方,连接PA交抛物线于点N,∠PAB=∠BCO,点M在第三象限抛物线上,连接MN,当∠ANM=45°时,请直接写出点M的坐标.‎ 第25页(共25页)‎ ‎2020年辽宁省营口市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)(2020•营口)﹣6的绝对值是(  )‎ A.6 B.﹣6 C.‎1‎‎6‎ D.‎‎-‎‎1‎‎6‎ ‎【解答】解:|﹣6|=6,‎ 故选:A.‎ ‎2.(3分)(2020•营口)如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的,它的俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:从上面看易得俯视图:‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎3.(3分)(2020•营口)下列计算正确的是(  )‎ A.x2•x3=x6 B.xy2‎-‎‎1‎‎4‎xy2‎=‎‎3‎‎4‎xy2 ‎ C.(x+y)2=x2+y2 D.(2xy2)2=4xy4‎ ‎【解答】解:A、x2•x3=x5,原计算错误,故此选项不符合题意;‎ B、xy2‎-‎‎1‎‎4‎xy2‎=‎‎3‎‎4‎xy2,原计算正确,故此选项符合题意;‎ C、(x+y)2=x2+2xy+y2,原计算错误,故此选项不符合题意;‎ D、(2xy2)2=4xy4,原计算错误,故此选项不符合题意.‎ 故选:B.‎ ‎4.(3分)(2020•营口)如图,AB∥CD,∠EFD=64°,∠FEB的角平分线EG交CD于 第25页(共25页)‎ 点G,则∠GEB的度数为 ‎(  )‎ A.66° B.56° C.68° D.58°‎ ‎【解答】解:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠BEF+∠EFD=180°,‎ ‎∴∠BEF=180°﹣64°=116°;‎ ‎∵EG平分∠BEF,‎ ‎∴∠GEB=58°.‎ 故选:D.‎ ‎5.(3分)(2020•营口)反比例函数y‎=‎‎1‎x(x<0)的图象位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解答】解:∵反比例函数y‎=‎‎1‎x(x<0)中,k=1>0,‎ ‎∴该函数图象在第三象限,‎ 故选:C.‎ ‎6.(3分)(2020•营口)如图,在△ABC中,DE∥AB,且CDBD‎=‎‎3‎‎2‎,则CECA的值为(  )‎ A.‎3‎‎5‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎4‎‎5‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎【解答】解:∵DE∥AB,‎ ‎∴CEAE‎=CDBD=‎‎3‎‎2‎,‎ 第25页(共25页)‎ ‎∴CECA的值为‎3‎‎5‎,‎ 故选:A.‎ ‎7.(3分)(2020•营口)如图,AB为⊙O的直径,点C,点D是⊙O上的两点,连接CA,CD,AD.若∠CAB=40°,则∠ADC的度数是(  )‎ A.110° B.130° C.140° D.160°‎ ‎【解答】解:如图,连接BC,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴∠B=90°﹣∠CAB=90°﹣40°=50°,‎ ‎∵∠B+∠ADC=180°,‎ ‎∴∠ADC=180°﹣50°=130°.‎ 故选:B.‎ ‎8.(3分)(2020•营口)一元二次方程x2﹣5x+6=0的解为(  )‎ A.x1=2,x2=﹣3 B.x1=﹣2,x2=3 ‎ C.x1=﹣2,x2=﹣3 D.x1=2,x2=3‎ ‎【解答】解:(x﹣2)(x﹣3)=0,‎ x﹣2=0或x﹣3=0,‎ 所以x1=2,x2=3.‎ 故选:D.‎ ‎9.(3分)(2020•营口)某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:‎ 第25页(共25页)‎ 射击次数 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎1000‎ ‎“射中九环以上”的次数 ‎18‎ ‎68‎ ‎82‎ ‎168‎ ‎327‎ ‎823‎ ‎“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数)‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.82‎ ‎0.84‎ ‎0.82‎ ‎0.82‎ 根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是(  )‎ A.0.90 B.0.82 C.0.85 D.0.84‎ ‎【解答】解:∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近,‎ ‎∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82.‎ 故选:B.‎ ‎10.(3分)(2020•营口)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的边OA在x轴正半轴上,其中∠OAB=90°,AO=AB,点C为斜边OB的中点,反比例函数y‎=‎kx(k>0,x>0)的图象过点C且交线段AB于点D,连接CD,OD,若S△OCD‎=‎‎3‎‎2‎,则k的值为(  )‎ A.3 B.‎5‎‎2‎ C.2 D.1‎ ‎【解答】解:根据题意设B(m,m),则A(m,0),‎ ‎∵点C为斜边OB的中点,‎ ‎∴C(m‎2‎,m‎2‎),‎ ‎∵反比例函数y‎=‎kx(k>0,x>0)的图象过点C,‎ 第25页(共25页)‎ ‎∴k‎=‎m‎2‎•m‎2‎‎=‎m‎2‎‎4‎,‎ ‎∵∠OAB=90°,‎ ‎∴D的横坐标为m,‎ ‎∵反比例函数y‎=‎kx(k>0,x>0)的图象过点D,‎ ‎∴D的纵坐标为m‎4‎,‎ 作CE⊥x轴于E,‎ ‎∵S△COD=S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD=S梯形ADCE,S△OCD‎=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴‎1‎‎2‎(AD+CE)•AE‎=‎‎3‎‎2‎,即‎1‎‎2‎(m‎4‎‎+‎m‎2‎)•(m‎-‎‎1‎‎2‎m)‎=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴m‎2‎‎8‎‎=‎1,‎ ‎∴k‎=m‎2‎‎4‎=‎2,‎ 故选:C.‎ 二、填空題(每小题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)(2020•营口)ax2﹣2axy+ay2= a(x﹣y)2 .‎ ‎【解答】解:ax2﹣2axy+ay2‎ ‎=a(x2﹣2xy+y2)‎ ‎=a(x﹣y)2.‎ 故答案为:a(x﹣y)2.‎ ‎12.(3分)(2020•营口)长江的流域面积大约是1800000平方千米,1800000用科学记数法表示为 1.8×106 .‎ ‎【解答】解:将1800000用科学记数法表示为 1.8×106,‎ 故答案为:1.8×106.‎ ‎13.(3分)(2020•营口)(3‎2‎‎+‎‎6‎)(3‎2‎‎-‎‎6‎)= 12 .‎ 第25页(共25页)‎ ‎【解答】解:原式=(3‎2‎)2﹣(‎6‎)2‎ ‎=18﹣6‎ ‎=12.‎ 故答案为:12.‎ ‎14.(3分)(2020•营口)从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛,经过几轮初赛选拔,他们的平均成绩都是87.9分,方差分别是S甲2=3.83,S乙2=2.71,S丙2=1.52.若选取成绩稳定的一人参加比赛,你认为适合参加比赛的选手是 丙 .‎ ‎【解答】解:∵平均成绩都是87.9分,S甲2=3.83,S乙2=2.71,S丙2=1.52,‎ ‎∴S丙2<S乙2<S甲2,‎ ‎∴丙选手的成绩更加稳定,‎ ‎∴适合参加比赛的选手是丙,‎ 故答案为:丙.‎ ‎15.(3分)(2020•营口)一个圆锥的底面半径为3,高为4,则此圆锥的侧面积为 15π .‎ ‎【解答】解:∵圆锥的底面半径为3,高为4,‎ ‎∴母线长为5,‎ ‎∴圆锥的侧面积为:πrl=π×3×5=15π,‎ 故答案为:15π ‎16.(3分)(2020•营口)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中OA=1,OB=2,则菱形ABCD的面积为 4 .‎ ‎【解答】解:∵OA=1,OB=2,‎ ‎∴AC=2,BD=4,‎ ‎∴菱形ABCD的面积为‎1‎‎2‎‎×‎2×4=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎17.(3分)(2020•营口)如图,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D,‎ 第25页(共25页)‎ 点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 3‎3‎ .‎ ‎【解答】解:过C作CF⊥AB交AD于E,‎ 则此时,CE+EF的值最小,且CE+EF的最小值=CF,‎ ‎∵△ABC为等边三角形,边长为6,‎ ‎∴BF‎=‎‎1‎‎2‎AB‎=‎1‎‎2‎×‎6=3,‎ ‎∴CF‎=BC‎2‎-BF‎2‎=‎6‎‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎=‎3‎3‎,‎ ‎∴CE+EF的最小值为3‎3‎,‎ 故答案为:3‎3‎.‎ ‎18.(3分)(2020•营口)如图,∠MON=60°,点A1在射线ON上,且OA1=1,过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1,在射线ON上截取A1A2,使得A1A2=A1B1;过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2,在射线ON上截取A2A3,使得A2A3=A2B2;…;按照此规律进行下去,则A2020B2020长为 ‎3‎(1‎+‎‎3‎)2019 .‎ 第25页(共25页)‎ ‎【解答】解:在Rt△OA1B1中,∵∠OA1B1=90°,∠MON=60°,OA1=1,‎ ‎∴A1B1=A1A2=OA1•tan60°‎=‎‎3‎,‎ ‎∵A1B1∥A2B2,‎ ‎∴A‎2‎B‎2‎A‎1‎B‎1‎‎=‎OA‎2‎OA‎1‎,‎ ‎∴A‎2‎B‎2‎‎3‎‎=‎‎1+‎‎3‎‎1‎,‎ ‎∴A2B2‎=‎‎3‎(1‎+‎‎3‎),‎ 同法可得,A3B3‎=‎‎3‎(1‎+‎‎3‎)2,‎ ‎…‎ 由此规律可知,A2020B2020‎=‎‎3‎(1‎+‎‎3‎)2019,‎ 故答案为‎3‎(1‎+‎‎3‎)2019.‎ 三、解答题(19小题10分,20小题10分,共20分)‎ ‎19.(10分)(2020•营口)先化简,再求值:(‎4-xx-1‎‎-‎x)‎÷‎x-2‎x-1‎,请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值.‎ ‎【解答】解:原式‎=‎‎4-x-x‎2‎+xx-1‎•‎x-1‎x-2‎ ‎=‎‎(2-x)(2+x)‎x-1‎‎•x-1‎x-2‎ ‎ ‎=﹣2﹣x.‎ ‎∵x≠1,x≠2,‎ ‎∴在0≤x≤2的范围内的整数选x=0.‎ 当x=0时,原式=﹣2﹣0=﹣2.‎ ‎20.(10分)(2020•营口)随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转,各地开始复工复学,某校复学后成立“防疫志愿者服务队”,设立四个“服务监督岗”:①洗手监督岗,②‎ 第25页(共25页)‎ 戴口罩监督岗,③就餐监督岗,④操场活动监督岗.李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作,学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.‎ ‎(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ‎1‎‎4‎ ;‎ ‎(2)用列表法或面树状图法,求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率.‎ ‎【解答】解:(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率‎=‎‎1‎‎4‎;‎ 故答案为:‎1‎‎4‎;‎ ‎(2)画树状图为:‎ 共有16种等可能的结果,其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4,‎ 所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率‎=‎4‎‎16‎=‎‎1‎‎4‎.‎ 四、解答题(21小题12分,22小题12分,共24分)‎ ‎21.(12分)(2020•营口)“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚,某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法,随机调查了200名学生(每名学生必须选择且只能选择一类看法),调查结果分为“A.很有必要”“B.有必要”“C.无所谓”“D.没有必要”四类.并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图(均不完整),请根据图中提供的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)补全条形统计图;‎ ‎(2)扇形统计图中“D.没有必要”所在扇形的圆心角度数为 18° ;‎ ‎(3)该校共有2500名学生,根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A.很有 第25页(共25页)‎ 必要”的学生人数.‎ ‎【解答】解:(1)A组学生有:200×30%=60(人),‎ C组学生有:200﹣60﹣80﹣10=50(人),‎ 补全的条形统计图,如右图所示;‎ ‎(2)扇形统计图中“D.没有必要”所在扇形的圆心角度数为:360°‎×‎10‎‎200‎=‎18°,‎ 故答案为:18°;‎ ‎(3)2500×30%=750(人),‎ 答:该校对“生活垃圾分类”认为“A.很有必要”的学生有750人.‎ ‎22.(12分)(2020•营口)如图,海中有一个小岛A,它周围10海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由东向西航行,在B点测得小岛A在北偏西60°方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在北偏西30°方向上,如果渔船不改变方向继续向西航行,有没有触礁的危险?并说明理由.(参考数据:‎3‎‎≈‎1.73)‎ ‎【解答】 解:没有触礁的危险;‎ 理由:如图,过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N,‎ 由题意得,∠ABE=60°,∠ACD=30°,‎ ‎∴∠ACN=60°,∠ABN=30°,‎ ‎∴∠ABC=∠BAC=30°,‎ ‎∴BC=AC=12,‎ 第25页(共25页)‎ 在Rt△ANC中,AN=AC•cos60°=12‎×‎3‎‎2‎=‎6‎3‎,‎ ‎∵AN=6‎3‎‎≈‎10.38>10,‎ ‎∴没有危险.‎ 五、解答题(23小题12分,24小题12分,共24分)‎ ‎23.(12分)(2020•营口)如图,△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点O为圆心,OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.‎ ‎(1)求证:AB为⊙O的切线;‎ ‎(2)若tanA‎=‎‎3‎‎4‎,AD=2,求BO的长.‎ ‎【解答】 (1)证明:过O作OH⊥AB于H,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴OC⊥BC,‎ ‎∵BO为△ABC的角平分线,OH⊥AB,‎ ‎∴OH=OC,‎ 即OH为⊙O的半径,‎ ‎∵OH⊥AB,‎ ‎∴AB为⊙O的切线;‎ ‎(2)解:设⊙O的半径为3x,则OH=OD=OC=3x,‎ 在Rt△AOH中,∵tanA‎=‎‎3‎‎4‎,‎ ‎∴OHAH‎=‎‎3‎‎4‎,‎ 第25页(共25页)‎ ‎∴‎3xAH‎=‎‎3‎‎4‎,‎ ‎∴AH=4x,‎ ‎∴AO‎=OH‎2‎+AH‎2‎=‎(3x‎)‎‎2‎+(4x‎)‎‎2‎=‎5x,‎ ‎∵AD=2,‎ ‎∴AO=OD+AD=3x+2,‎ ‎∴3x+2=5x,‎ ‎∴x=1,‎ ‎∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3,‎ ‎∴AC=OA+OC=5+3=8,‎ 在Rt△ABC中,∵tanA‎=‎BCAC,‎ ‎∴BC=AC•tanA=8‎×‎3‎‎4‎=‎6,‎ ‎∴OB‎=OC‎2‎+BC‎2‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=‎3‎5‎.‎ ‎24.(12分)(2020•营口)某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每天的销售量为y(瓶).‎ ‎(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;‎ ‎(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?‎ ‎【解答】解:(1)由题意得:y=80+20‎×‎‎20-x‎0.5‎,‎ ‎∴y=﹣40x+880;‎ ‎(2)设每天的销售利润为w元,则有:‎ w=(﹣40x+880)(x﹣16)‎ 第25页(共25页)‎ ‎=﹣40(x﹣19)2+360,‎ ‎∵a=﹣40<0,‎ ‎∴二次函数图象开口向下,‎ ‎∴当x=19时,w有最大值,最大值为360元.‎ 答:当销售单价为19元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为880元.‎ 六、解答题(本题满分14分)‎ ‎25.(14分)(2020•营口)如图,在矩形ABCD中,AD=kAB(k>0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.‎ ‎(1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是 AF=AE ;‎ ‎(2)如图2,若k≠1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示)‎ ‎(3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长.‎ ‎【解答】解:(1)AE=AF.‎ ‎∵AD=AB,四边形ABCD矩形,‎ ‎∴四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠BAD=90°,‎ ‎∵AF⊥AE,‎ ‎∴∠EAF=90°,‎ ‎∴∠EAB=∠FAD,‎ ‎∴△EAB≌△FAD(AAS),‎ ‎∴AF=AE;‎ 故答案为:AF=AE.‎ ‎(2)AF=kAE.‎ 第25页(共25页)‎ 证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠BAD=∠ABC=∠ADF=90°,‎ ‎∴∠FAD+∠FAB=90°,‎ ‎∵AF⊥AE,‎ ‎∴∠EAF=90°,‎ ‎∴∠EAB+∠FAB=90°,‎ ‎∴∠EAB=∠FAD,‎ ‎∵∠ABE+∠ABC=180°,‎ ‎∴∠ABE=180°﹣∠ABC=180°﹣90°=90°,‎ ‎∴∠ABE=∠ADF.‎ ‎∴△ABE∽△ADF,‎ ‎∴ABAD‎=‎AEAF,‎ ‎∵AD=kAB,‎ ‎∴ABAD‎=‎‎1‎k,‎ ‎∴AEAF‎=‎‎1‎k,‎ ‎∴AF=kAE.‎ ‎(3)解:①如图1,当点F在DA上时,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AB=CD,AB∥CD,‎ ‎∵AD=2AB=4,‎ ‎∴AB=2,‎ ‎∴CD=2,‎ ‎∵CF=1,‎ ‎∴DF=CD﹣CF=2﹣1=1.‎ 第25页(共25页)‎ 在Rt△ADF中,∠ADF=90°,‎ ‎∴AF‎=AD‎2‎+DF‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎17‎,‎ ‎∵DF∥AB,‎ ‎∴∠GDF=∠GBA,∠GFD=∠GAB,‎ ‎∴△GDF∽△GBA,‎ ‎∴GFGA‎=DFBA=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∵AF=GF+AG,‎ ‎∴AG‎=‎2‎‎3‎AF=‎‎2‎‎3‎‎17‎.‎ ‎∵△ABE∽△ADF,‎ ‎∴AEAF‎=ABAD=‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴AE‎=‎1‎‎2‎AF=‎1‎‎2‎×‎17‎=‎‎17‎‎2‎.‎ 在Rt△EAG中,∠EAG=90°,‎ ‎∴EG‎=AE‎2‎+AG‎2‎=‎(‎17‎‎2‎‎)‎‎2‎+(‎‎2‎‎17‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎17‎‎6‎,‎ ‎②如图2,当点F在DC的延长线上时,DF=CD+CF=2+1=3,‎ 在Rt△ADF中,∠ADF=90°,‎ ‎∴AF‎=AD‎2‎+DF‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎5.‎ ‎∵DF∥AB,‎ ‎∵∠GAB=∠GFD,∠GBA=∠GDF,‎ ‎∴△AGB∽△FGD,‎ ‎∴AGFG‎=ABFD=‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∵GF+AG=AF=5,‎ ‎∴AG=2,‎ 第25页(共25页)‎ ‎∵△ABE∽△ADF,‎ ‎∴AEAF‎=ABAD=‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴AE‎=‎1‎‎2‎AF=‎1‎‎2‎×5=‎‎5‎‎2‎,‎ 在Rt△EAG中,∠EAG=90°,‎ ‎∴EG‎=AE‎2‎+AG‎2‎=‎(‎5‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎=‎‎41‎‎2‎.‎ 综上所述,EG的长为‎5‎‎17‎‎6‎或‎41‎‎2‎.‎ 七、解答题(本题满分14分)‎ ‎26.(14分)(2020•营口)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3过点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴交于点C,顶点为点D.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点P为直线CD上的一个动点,连接BC;‎ ‎①如图1,是否存在点P,使∠PBC=∠BCO?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎②如图2,点P在x轴上方,连接PA交抛物线于点N,∠PAB=∠BCO,点M在第三象限抛物线上,连接MN,当∠ANM=45°时,请直接写出点M的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)y=ax2+bx﹣3=a(x+3)(x﹣1),‎ 解得:a=1,‎ 故抛物线的表达式为:y=x2+2x﹣3①;‎ ‎(2)由抛物线的表达式知,点C、D的坐标分别为(0,﹣3)、(﹣1,﹣4),‎ 第25页(共25页)‎ 由点C、D的坐标知,直线CD的表达式为:y=x﹣3;‎ tan∠BCO‎=‎‎1‎‎3‎,则cos∠BCO‎=‎‎2‎‎10‎;‎ ‎①当点P(P′)在点C的右侧时,‎ ‎∵∠PAB=∠BCO,‎ 故P′B∥y轴,则点P′(1,﹣2);‎ 当点P在点C的左侧时,‎ 设直线PB交y轴于点H,过点H作HN⊥BC于点N,‎ ‎∵∠PAB=∠BCO,‎ ‎∴△BCH为等腰三角形,则BC=2CH•cos∠BCO=2×CH‎×‎2‎‎10‎=‎‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎,‎ 解得:CH‎=‎‎5‎‎3‎,则OH=3﹣CH‎=‎‎4‎‎3‎,故点H(0,‎-‎‎4‎‎3‎),‎ 由点B、H的坐标得,直线BH的表达式为:y‎=‎‎4‎‎3‎x‎-‎‎4‎‎3‎②,‎ 联立①②并解得:x=-5‎y=-8‎,‎ 故点P的坐标为(1,﹣2)或(﹣5,﹣8);‎ ‎②∵∠PAB=∠BCO,而tan∠BCO‎=‎‎1‎‎3‎,‎ 故设直线AP的表达式为:y‎=‎‎1‎‎3‎x+s,将点A的坐标代入上式并解得:s=1,‎ 故直线AP的表达式为:y‎=‎‎1‎‎3‎x+1,‎ 联立①③并解得:x=‎‎4‎‎3‎y=‎‎13‎‎9‎,故点N(‎4‎‎3‎,‎13‎‎9‎);‎ 第25页(共25页)‎ 设△AMN的外接圆为圆R,‎ 当∠ANM=45°时,则∠ARM=90°,设圆心R的坐标为(m,n),‎ ‎∵∠GRA+∠MRH=90°,∠MRH+∠RMH=90°,‎ ‎∴∠RMH=∠GAR,‎ ‎∵AR=MR,∠AGR=∠RHM=90°,‎ ‎∴△AGR≌△RHM(AAS),‎ ‎∴AG=m+3=RH,RG=﹣n=MH,‎ ‎∴点M(m+n,n﹣m﹣3),‎ 将点M的坐标代入抛物线表达式得:n﹣m﹣3=(m+n)2+2(m+n)﹣3③,‎ 由题意得:AR=NR,即(m+3)2=(m‎-‎‎4‎‎3‎)2+(‎13‎‎9‎)2④,‎ 联立③④并解得:m=-‎‎2‎‎9‎n=-‎‎10‎‎9‎,‎ 故点M(‎-‎‎4‎‎3‎,‎-‎‎35‎‎9‎).‎ 第25页(共25页)‎