河北中考数学复习 　一元二次方程 8页

第7讲　一元二次方程 ‎1. (2019，河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时，对于b2－4ac>0的情况，她是这样做的：‎ 由于a≠0，方程ax2＋bx＋c＝0变形为：‎ x2＋x＝－，…第一步 x2＋x＋＝－＋，…第二步 ＝ ，…第三步 x＋＝(b2－4ac>0)，…第四步 x＝.…第五步 ‎(1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是（ x＝ ）；‎ ‎(2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.‎ ‎【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x2＋px＋q＝0型．第一步，移项，把常数项移到方程右边；第二步，配方，左、右两边加上一次项系数一半的平方；第三步，左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax2＋bx＋c＝0型．方程两边同时除以二次项系数，即化成x2＋px＋q＝0型，然后配方．‎ 解：(1)四　x＝ ‎(2)移项，得x2－2x＝24.‎ 配方，得x2－2x＋1＝24＋1，即(x－1)2＝25.‎ 开方，得x－1＝±5.‎ ‎∴x1＝6，x2＝－4.‎ ‎2. (2019，河北)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是(B)‎ A. a＜1 B. a＞1 C. a≤1 D. a≥1‎ ‎【解析】 ∵关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，∴b2－4ac＝22－4×1×a＜0.解得a＞1.‎ ‎3. (2019，河北)a，b，c为常数，且(a－c)2>a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(B)‎ A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为0‎ ‎【解析】 由(a－c)2>a2＋c2得出－2ac＞0，∴Δ＝b2－4ac＞0.∴方程有两个不相等的实数根．‎ ‎　一元二次方程的概念及解法 例1 解下列方程：‎ ‎(1)x2－2x－1＝0；‎ ‎(2)x2－1＝2(x＋1)；‎ ‎(3)x2＋3x＝－.‎ ‎【思路分析】 根据所给方程的形式，选择合适的方法解方程．‎ 解：(1)a＝1，b＝－2，c＝－1.‎ Δ＝b2－4ac＝4＋4＝8＞0.‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根．‎ ‎∴x＝＝＝1±，‎ 即x1＝1＋，x2＝1－.‎ ‎(2)移项，得x2－1－2(x＋1)＝0，‎ ‎(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0，‎ 因式分解，得(x＋1)(x－1－2)＝0，‎ 于是，得x＋1＝0或x－3＝0.‎ ‎∴x1＝－1，x2＝3.‎ ‎(3)配方，得x2＋3x＋＝－＋，‎ ＝2.‎ 由此可得x＋＝±.‎ ‎∴x1＝－＋，x2＝－－.‎ 针对训练1(2019，邯郸一模) 用配方法解一元二次方程2x2－4x－2＝1的过程中，变形正确的是(C)‎ A. 2(x－1)2＝1 B. 2(x－2)2＝5 ‎ C. (x－1)2＝ D. (x－2)2＝ ‎【解析】 2x2－4x－2＝1，2x2－4x＝3，x2－2x＝，x2－2x＋1＝＋1，(x－1)2＝.也可以把各选项中的方程展开化为一般形式，和题干中的方程做对比.‎ ‎　一元二次方程根的判别式 例2 (2019，扬州)如果关于x的方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（ m＜且m≠0 ）.‎ ‎【解析】 ∵方程有两个不相等的实数根，∴4－12m>0.解得m<.但当m＝0时，原方程不是一元二次方程，所以m≠0.‎ 针对训练2(2019，石家庄桥西区一模)常数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(B)‎ 训练2题图 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 ‎【解析】 从数轴上可知，a，c异号，则b2－4ac>0，所以方程有两个不相等的实数根.‎ 针对训练3 (2019，张家口桥东区模拟)若关于x的一元二次方程x2＋x＋tan α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(D)‎ A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°‎ ‎【解析】 ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝()2－4××tan α＝0.解得tan α＝.∴α＝60°.‎ ‎　一元二次方程的实际应用 例3 (2019，宜昌，导学号5892921)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理．若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善．‎ ‎(1)求n的值；‎ ‎(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；‎ ‎(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年用甲方案治理降低的Q值相等．第三年，用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．‎ ‎【思路分析】 (1)平均数×数量＝总数．(2)按相同增长率，第一年40家，第二年40(1＋m)家，第三年40(1＋m)2家，三年总和等于190家列方程求解即可．(3)先求出第二年用甲方案治理降低的Q值，再根据第三年用甲方案使Q值降低了39.5，列方程组求解即可．‎ 解：(1)∵40n＝12，∴n＝0.3.‎ ‎(2)根据题意，得40＋40(1＋m)＋40(1＋m)2＝190.‎ 解得m1＝，m2＝－(舍去)．‎ ‎∴m＝50%.‎ ‎∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1＋m)＝40×(1＋50%)＝60(家)．‎ ‎(3)设第一年用甲方案治理降低的Q值为x.‎ 第二年Q值用乙方案治理降低了100n＝100×0.3＝30.‎ 根据题意，得 解得 针对训练4(2019，白银)如图，某小区计划在一块长为32 m、宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(A)‎ 训练4题图 A. (32－2x)(20－x)＝570 B. 32x＋2×20x＝32×20－570‎ C. (32－x)(20－x)＝32×20－570 D. 32x＋2×20x－2x2＝570‎ ‎【解析】 设道路的宽为x m．根据题意，得(32－2x)(20－x)＝570.‎ 针对训练5 (2019，眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．‎ ‎(1)若生产的某批次蛋糕产品每件利润为14元，此批次蛋糕产品属第几档次产品？‎ ‎(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？‎ ‎【思路分析】 (1)利润增加的量除以2即为档次提高的量．(2)设生产的是第x档次产品，则相应的产量是76－4(x－1)，每件利润是10＋2(x－1)；等量关系是：每件利润×产量＝总利润．‎ 解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．‎ 答：此批次蛋糕产品属第三档次产品．‎ ‎(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品．‎ 根据题意，得[76－4(x－1)][10＋2(x－1)]＝1 080.‎ 整理，得x2－16x＋55＝0.‎ 解得x1＝5，x2＝11(不合题意，舍去)．‎ 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．‎ 一、 选择题 ‎1. 已知关于x的方程x2－mx＋3＝0的一个解为x＝－1，则m的值为(A)‎ A. －4 B. 4 C. －2 D. 2‎ ‎【解析】 把x＝－1代入原方程，得m＝－4.‎ ‎2. (2019，石家庄28中质检)若x2＋4x－4＝0，则3(x－2)2－6(x＋1)(x－1)的值为(B)‎ A. －6 B. 6 C. 18 D. 30‎ ‎【解析】 已知条件转化为x2＋4x＝4，原式＝－3x2－12x＋18＝－3(x2＋4x)＋18＝6.‎ ‎3. (2019，石家庄40中二模)用配方法解方程x2＋x－1＝0，配方后所得方程是(C)‎ A. ＝ B. ＝ ‎ C. ＝ D. ＝ ‎【解析】 配方过程x2＋x＝1，x2＋x＋2＝1＋2，2＝.‎ ‎4. (2019，唐山路南区一模)已知关于x的方程x2＋mx－1＝0的根的判别式的值为5，则m的值为(D)‎ A. ±3 B. 3 C. 1 D. ±1‎ ‎【解析】 根据题意，得Δ＝m2＋4＝5.解得m＝±1.‎ ‎5. (2019，唐山丰南区一模)现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－a·b＋b.如：3★5＝32－3×5＋5.若x★2＝10，则实数x的值为(C)‎ A. －4或－1 B. 4或－1 C. 4或－2 D. －4或2‎ ‎【解析】 根据题意，得x★2＝x2－2x＋2.∴x2－2x＋2＝10.解得x1＝4，x2＝－2.‎ ‎6. (2019，唐山路南区二模)下列方程中，没有实数根的是(D)‎ A. x2－2x＝0 B. x2－2x－1＝0‎ C. x2－2x＋1＝0 D. x2－2x＋2＝0‎ ‎【解析】 选项A，Δ＝4>0；选项B，Δ＝8>0；选项C，Δ＝0；选项D，Δ＝－4<0.‎ ‎7. (2019，娄底)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是(A)‎ A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 ‎ C. 无实数根 D. 不能确定 ‎【解析】 ∵Δ＝2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0，∴方程有两个不相等的实数根．‎ ‎8. (2019，定西)关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是(C)‎ A. k≤－4 B. k＜－4 ‎ C. k≤4 D. k＜4‎ ‎【解析】 因为方程有实数根，所以Δ＝16－4k≥0.解得k≤4.‎ ‎9. (2019，桂林)已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0有两个相等的实数根，则k 的值为(A)‎ A. ±2 B. ± C. 2或3 D. 或 ‎【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝k2－24＝0.解得k＝±2.‎ ‎10. (2019，秦皇岛海港区模拟)某城市2019年底已有绿化面积300 hm2，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2019年底已达到363 hm2.设绿化面积的年平均增长率为x.根据题意，所列方程正确的是(B)‎ A. 300(1＋x)＝363 B. 300(1＋x)2＝363‎ C. 300(1＋2x)＝363 D. 363(1－x)2＝300‎ ‎【解析】 2019年底的绿化面积是300(1＋x) hm2，2019年底的绿化面积是300(1＋x)2 hm2，可得方程．‎ ‎11. (2019，绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．若一共碰杯55次，则参加酒会的有(C)‎ A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 ‎【解析】 设参加酒会的有x人，则每人碰杯(x－1)次．因为每两人都只碰一次杯，所以共碰杯次，得方程＝55，取正根x＝11.‎ 二、 填空题 ‎12. (2019，淮安)一元二次方程x2－x＝0的根是 x1＝0，x2＝1 .‎ ‎【解析】 x(x－1)＝0，得x1＝0，x2＝1.‎ ‎13. (2019，秦皇岛海港区模拟)已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为 1 .‎ ‎【解析】 把x＝1代入方程，得m＋n＝－1，则m2＋2mn＋n2＝(m＋n)2＝1.‎ ‎14. (2019，南充)若2n(n≠0)是关于x的方程x2－2mx＋2n＝0的根，则m－n的值为（ ）.‎ ‎【解析】 把x＝2n代入方程，得(2n)2－2m·2n＋2n＝0, 变形为2n(2n－2m＋1)＝0，∵2n≠0，∴2n－2m＋1＝0.∴m－n＝.‎ ‎15. (2019，邵阳)已知关于x的方程x2 ＋3x－m＝0的一个解为x＝－3，则它的另一个解是 x＝0 .‎ ‎【解析】 把x＝－3代入方程解得m＝0，则原方程为x2 ＋3x＝0，可求出另一个解是x＝0.‎ ‎16. (2019，唐山丰南区一模)若关于x的方程x2－6x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 9 .‎ ‎【解析】 因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝36－4c＝0.解得c＝9.‎ ‎17. (2019，威海)关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数值是 4 .‎ ‎【解析】 因为方程有实数根， 所以Δ＝4－8(m－5)≥0.解得 m≤.又因为m≠5，所以m的最大整数值是4.‎ 三、 解答题 ‎18. 解下列方程：‎ ‎(1)x2－3x＋1＝0；‎ ‎(2)x2－2x＝6－3x；‎ ‎(3)(2x＋3)2＝8.‎ ‎【思路分析】 针对各个方程的特点，选择适当的解法．(1)用公式法．(2)用因式分解法．(3)用直接开平方法．‎ 解：(1)这里a＝1，b＝－3，c＝1.‎ ‎∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5＞0，‎ ‎∴x＝，即x1＝，x2＝.‎ ‎(2)原方程可化为x(x－2)＝－3(x－2)．‎ 移项，因式分解，得(x－2)(x＋3)＝0.‎ 于是，得x－2＝0或x＋3＝0.‎ x1＝2，x2＝－3.‎ ‎(3)2x＋3＝±2，‎ ‎2x＝±2－3，‎ x1＝，x2＝.‎ ‎19. (2019，北京)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.‎ ‎(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；‎ ‎(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．‎ ‎【思路分析】 (1)把b＝a＋2代入根的判别式，判断出正负即可．(2)由Δ＝0得出a，b之间的关系，任取一组符合条件的值，再解方程．‎ 解：(1)Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，‎ 所以方程有两个不相等的实数根．‎ ‎(2)∵方程有两个相等的实数根，‎ ‎∴Δ＝b2－4a＝0.‎ 令b＝2，a＝1，此时方程为x2＋2x＋1＝0，‎ ‎∴x1＝x2＝－1.‎ ‎20. 【发现思考】‎ 已知等腰三角形ABC的两边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？‎ 如图所示的是涵涵的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．‎ ‎【探究应用】‎ 请解答以下问题：‎ 已知等腰三角形ABC的两边长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个实数根．‎ ‎(1)当m＝2时，求等腰三角形ABC的周长；‎ ‎(2)当△ABC为等边三角形时，求m的值．‎ 涵涵的作业 解：x2－7x＋10＝0.‎ a＝1，b＝－7，c＝10.‎ ‎∵b2－4ac＝9＞0，‎ ‎∴x＝＝.‎ ‎∴x1＝5，x2＝2.‎ ‎∴当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边长分别为5，5，2.‎ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.‎ 第20题图 ‎【思路分析】 一要检查解方程的过程和结果，二要考虑方程的解是三角形的边，需满足任意两边之和大于第三边．‎ 解：【发现思考】错误之处：当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5.‎ 错误原因：此时不能构成三角形(或不符合三角形的三边关系)．‎ ‎【探究应用】(1)当m＝2时，‎ 方程为x2－2x＋＝0.‎ 解得x1＝，x2＝.‎ 当为腰时，因为＋<，所以不能构成三角形．‎ 当为腰时，等腰三角形的三边长分别为，，.此时周长为＋＋＝.‎ ‎(2)若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根．‎ ‎∴Δ＝m2－4＝m2－2m＋1＝0.‎ ‎∴m1＝m2＝1，即m的值为1.‎ ‎21. (2019，盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售、增加赢利，该店采取了降价措施，在每件赢利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．‎ ‎(1)若降价3元，则平均每天可售出 26 件；‎ ‎(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1 200元？‎ ‎【思路分析】 (1)20＋3×2＝26.(2)设降价x元，则销量为(20＋2x)件，每件赢利(40－x)元．等量关系是每件赢利×销量＝总赢利．最后要选择符合条件的解．‎ 解：(1)26‎ ‎(2)设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1 200元，则平均每天售出(20＋2x)件，每件赢利(40－x)元，且40－x≥25，即x≤15.‎ 根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200.‎ 整理，得x2－30x＋200＝0.‎ 解得x1＝10，x2＝20(舍去)．‎ 答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1 200元．‎ ‎22. (2019，德州)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备的成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．‎ ‎(1)求年销售量y与销售单价x之间的函数关系式；‎ ‎(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元．如果该公司想获得10 000万元的年利润，那么该设备的销售单价应定为多少万元？‎ ‎【思路分析】 (1)用待定系数法求一次函数关系式．(2)等量关系是：每台利润×销量＝总利润．根据条件决定方程的根的取舍．‎ 解：(1)设年销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．‎ 将(40，600)，(45，550)代入y＝kx＋b，得 解得 ‎∴年销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝－10x＋1 000.‎ ‎(2)设该设备的销售单价应定为x万元，则每台设备的利润为(x－30)万元，销售量为(－10x＋1 000)台．‎ 根据题意，得(x－30)(－10x＋1 000)＝10 000.‎ 整理，得x2－130x＋4 000＝0.‎ 解得x1＝50，x2＝80.‎ ‎∵此设备的销售单价不得高于70万元，‎ ‎∴x＝50.‎ 答：该设备的销售单价应定为50万元．‎ ‎1. (2019，福建A，导学号5892921)已知一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，则下列判断正确的是(D) ‎ A. 1一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根 B. 0一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根 C. 1和－1都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根 D. 1和－1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根 ‎【解析】 方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，则有(2b)2－4(a＋1)2＝0，且a＋1≠0.解得b＝a＋1或b＝－(a＋1)，且a＋1≠0.若b＝a＋1，则－1是方程x2＋bx＋a＝0的根；若b＝－(a＋1)，则1是方程x2＋bx＋a＝0的根．∵a＋1≠0，∴a＋1≠－(a＋1)．故1和－1不会同时是方程x2＋bx＋a＝0的根．‎ ‎2. (2019，舟山)欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝.则该方程的一个正根是(B)‎ 第2题图 A. AC的长 B. AD的长 ‎ C. BC的长 D. CD的长 ‎【解析】 用配方法解方程x2＋ax＝b2，易得正根x＝－.据勾股定理知AB＝.∵AD＝AB－BD＝－，∴AD的长是方程的正根．‎ ‎3. (2019，河北，导学号5892921)对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－，－}＝ － ；若min{(x－1)2，x2}＝1，则x＝ 2或－1 .‎ ‎【解析】 min{－，－}＝－.∵min{(x－1)2，x2}＝1，∴当(x－1)2＜x2时，(x－1)2＝1.解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)．当(x－1)2≥x2时，x2＝1.解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1.‎ ‎4. (2019，内江B，导学号5892921)已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为 1 .‎ ‎【解析】 把(x＋1)看作一个整体，据已知条件可得x＋1＝1或x＋1＝2，所以x1＝0，x2＝1.所以和为1.‎