上海市闸北区中考数学二模试卷含答案解析 18页

2016 年上海市闸北区中考数学二模试卷 　 一．选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．下列代数式中，属于分式的是（　　） A．﹣3 B． C． D．﹣4a3b 2． 的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．土 2 D．不存在 3．下列方程中，没有实数根的方程是（　　） A．x2+2x﹣1=0 B．x2+2x+1=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2﹣x﹣2=0 4．方程组 的解是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知∠BDA=∠CDA，则不一定能使△ABD≌△ACD 的条件是（　　） A．BD=DC B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD 6．若⊙O1 与⊙O2 相交于两点，且圆心距 O1O2=5cm，则下列哪一选项中的长度可能为此两 圆的半径？（　　） A．1cm、2cm B．2cm、3cm C．10cm、15cm D．2cm、5cm 　 二．填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．计算：a5÷a2=　　． 8．分解因式：3x2﹣6x=　　． 9．不等式组 的解集是　　． 10．函数 y= 的定义域是　　． 11．二次函数 y=x2﹣2x+b 的对称轴是直线 x=　　． 12．袋子里有 4 个黑球，m 个白球，它们除颜色外都相同．经过大量实验，从中任取一个球 恰好是黑球的概率是 ，则 m 的值是　　． 13．某中学九（1）班 5 个同学在体育测试“1 分钟跳绳”项目中，跳绳个数如下：126，134， 118，152，148．这组数据中，中位数是　　． 14．某企业 2013 年的年利润为 100 万元，2014 年和 2015 年连续增长，且这两年的增长率 相同，据统计 2015 年的年利润为 125 万元．若设这个相同的增长率为 x，那么可列出的方 程是　　． 15．如图，AB∥DE，△ACB 是等腰直角三角形，且∠C=90°，CB 的延长线交 DE 于点 G， 则∠CGE=　　度． 16．如图，在△ABC 中，点 D 在 AC 边上且 AD：DC=1：2，若 ， ，那么 =　　 （用向量 、 表示）． 17．在平面直角坐标系 xOy 中，⊙C 的半径为 r，点 P 是与圆心 C 不重合的点，给出如下定 义：若点 P′为射线 CP 上一点，满足 CP•CP′=r2，则称点 P′为点 P 关于⊙C 的反演点．如图 为点 P 及其关于⊙C 的反演点 P′的示意图．写出点 M （ ，0）关于以原点 O 为圆心，1 为半径的⊙O 的反演点 M′的坐标　　． 18．如图，底角为 α 的等腰△ABC 绕着点 B 顺时针旋转，使得点 A 与边 BC 上的点 D 重合， 点 C 与点 E 重合，联结 AD、CE．已知 tanα= ，AB=5，则 CE=　　． 　 三．解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．计算：cos30° +|1﹣ |﹣（ ）﹣1． 20．解方程： ． 21．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AD 是 BC 边上的中线，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，且 sin∠DAB= ，DB=3 ．求： （1）AB 的长； （2）∠CAB 的余切值． 22．甲骑自行车从 A 地出发前往 B 地，同时乙步行从 B 地出发前往 A 地，如图所示，y 甲、 y 乙分别表示甲、乙离开 A 地 y（km）与已用时间 x（h）之间的关系，且直线 y 甲与直线 y 乙相交于点 M． （1）求 y 甲与 x 的函数关系式（不必注明自变量 x 的取值范围）； （2）求 A、B 两地之间距离． 23．如图，直角梯形 ABCD 中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点 E 为边 BC 的中点． （1）求证：四边形 AECD 为平行四边形； （2）在 CD 边上取一点 F，联结 AF、AC、EF，设 AC 与 EF 交于点 G，且∠EAF=∠ CAD．求证：△AEC∽△ADF； （3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG 的比值． 24．如图，矩形 OMPN 的顶点 O 在原点，M、N 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，OM=6， ON=3，反比例函数 y= 的图象与 PN 交于 C，与 PM 交于 D，过点 C 作 CA⊥x 轴于点 A， 过点 D 作 DB⊥y 轴于点 B，AC 与 BD 交于点 G． （1）求证：AB∥CD； （2）在直角坐标平面内是否若存在点 E，使以 B、C、D、E 为顶点，BC 为腰的梯形是等 腰梯形？若存在，求点 E 的坐标；若不存在请说明理由． 25．如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，⊙B 与边 AB 相交于点 D，与边 BC 相交于点 E，设⊙B 的半径为 x． （1）当⊙B 与直线 AC 相切时，求 x 的值； （2）设 DC 的长为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）若以 AC 为直径的⊙P 经过点 E，求⊙P 与⊙B 公共弦的长． 　 2016 年上海市闸北区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 　 一．选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．下列代数式中，属于分式的是（　　） A．﹣3 B． C． D．﹣4a3b 【考点】分式的定义． 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字 母则不是分式． 【解答】解：A、3 是整式，故 A 错误； B、 a﹣b 是整式，故 B 错误； C、 是分式不是整式，故 C 正确； D、﹣4a3b 是整式，故 D 错误； 故选：C． 　 2． 的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．土 2 D．不存在 【考点】算术平方根． 【分析】直接根据算术平方根的定义求解． 【解答】解：因为 4 的算术平方根是 2，所以 =2． 故选 A． 　 3．下列方程中，没有实数根的方程是（　　） A．x2+2x﹣1=0 B．x2+2x+1=0 C．x2﹣x+2=0 D．x2﹣x﹣2=0 【考点】根的判别式． 【分析】分别求出每一个方程中判别式△的值，如果△＜0，那么一元二次方程没有实数 根． 【解答】解：A、∵△=4+4=8＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根； B、∵△=4﹣4=0，∴方程有两个相等的两个实数根； C、∵△=1﹣8=﹣7＜0，∴方程没有实数根； D、∵△=1+8=9＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根； 故选 C． 　 4．方程组 的解是（　　） A． B． C． D． 【考点】解二元一次方程组． 【分析】本题解法有多种．可用加减消元法或代入消元法解方程组 ，解得x、y 的值；也可以将 A、B、C、D 四个选项的数值代入原方程检验，能使每个方程的左右两边 相等的 x、y 的值即是方程的解． 【解答】解：将方程组中 4x﹣y=13 乘以 2，得 8x﹣2y=26①， 将方程①与方程 3x+2y=7 相加，得 x=3． 再将 x=3 代入 4x﹣y=13 中，得 y=﹣1． 故选 B． 　 5．如图，已知∠BDA=∠CDA，则不一定能使△ABD≌△ACD 的条件是（　　） A．BD=DC B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD 【考点】全等三角形的判定． 【分析】全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上定理逐个判断即 可． 【解答】解：A、BD=DC，∠BDA=∠CDA，AD=AD，符合全等三角形的判定定理 SAS， 能推出△ABD≌△ACD，故本选项错误； B、AB=AC，∠BDA=∠CDA，AD=AD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ ACD，故本选项正确； C、∠B=∠C，∠BDA=∠CDA，AD=AD，符合全等三角形的判定定理 AAS，能推出△ABD ≌△ACD，故本选项错误； D、∠BDA=∠CDA，AD=AD，∠BAD=∠CAD，符合全等三角形的判定定理 ASA，能推出△ ABD≌△ACD，故本选项错误； 故选 B． 　 6．若⊙O1 与⊙O2 相交于两点，且圆心距 O1O2=5cm，则下列哪一选项中的长度可能为此两 圆的半径？（　　） A．1cm、2cm B．2cm、3cm C．10cm、15cm D．2cm、5cm 【考点】圆与圆的位置关系． 【分析】由各选项中⊙O1 与⊙O2 的半径以及圆心距 O1O2=5cm，根据圆和圆的位置与两圆 的圆心距、半径的数量之间的关系，得出⊙O1 与⊙O2 的位置关系即可求解． 【解答】解：A、∵5＞2+1，∴d＞R+r，∴两圆外离，故本选项错误； B、∵5=2+3，∴d=R+r，∴两圆外切，故本选项错误； C、∵5=15﹣10，∴d=R﹣r，∴两圆内切，故本选项错误； D、∵5﹣2＜5＜5+2，∴R﹣r＜d＜R+r，∴两圆相交，故本选项正确； 故选 D． 　 二．填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．计算：a5÷a2=　a3　． 【考点】同底数幂的除法． 【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可． 【解答】解：a5÷a2=a5﹣2=a3． 　 8．分解因式：3x2﹣6x=　3x（x﹣2）　． 【考点】因式分解-运用公式法． 【分析】首先确定公因式为 3x，然后提取公因式 3x，进行分解． 【解答】解：3x2﹣6x=3x（x﹣2）． 故答案为：3x（x﹣2）． 　 9．不等式组 的解集是　1＜x＜3　． 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、 大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 x+1＞2，得：x＞1， 解不等式 2x＜6，得：x＜3， ∴不等式组的解集为：1＜x＜3， 故答案为：1＜x＜3． 　 10．函数 y= 的定义域是　x≤1　． 【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件． 【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意 义，被开方数是非负数． 【解答】解：根据题意得：1﹣x≥0， 解得 x≤1． 　 11．二次函数 y=x2﹣2x+b 的对称轴是直线 x=　1　． 【考点】二次函数的性质． 【分析】将二次函数配方成顶点式即可确定对称轴方程． 【解答】解：∵y=x2﹣2x+b =x2﹣2x+1+b﹣1 =（x+1）2+b﹣1 故对称轴是直线 x=1． 故答案为：1． 　 12．袋子里有 4 个黑球，m 个白球，它们除颜色外都相同．经过大量实验，从中任取一个球 恰好是黑球的概率是 ，则 m 的值是　4　． 【考点】概率公式． 【分析】根据概率公式列出从中任取一个球恰好是黑球的概率公式，求出 m 的值即可． 【解答】解：袋子里有4 个黑球，m 个白球，若从中任取一个球恰好是黑球的概率是 ， 根据题意可得： = ， 解得 m=4． 故答案为：4． 　 13．某中学九（1）班 5 个同学在体育测试“1 分钟跳绳”项目中，跳绳个数如下：126，134， 118，152，148．这组数据中，中位数是　134　． 【考点】中位数． 【分析】把这组数按从大到小（或从小到大）的顺序排列，因为数的个数是奇数个，所以中 间哪个数就是中位数． 【解答】解：按照从小到大的顺序排列为：118，126，134，148，152， 中位数为：134． 故答案为：134； 　 14．某企业 2013 年的年利润为 100 万元，2014 年和 2015 年连续增长，且这两年的增长率 相同，据统计 2015 年的年利润为 125 万元．若设这个相同的增长率为 x，那么可列出的方 程是　100（1+x）2=125　． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014 年年利润是 100（1+x）万元， 在 2014 年的基础上再增长 x，就是 2015 年的年利润，即可列出方程． 【解答】解：设增长率为 x，根据题意 2014 年为 100（1+x）万元，2015 年为 100（1+x）2 万元． 则 100（1+x）2=125； 故答案为：100（1+x）2=125． 　 15．如图，AB∥DE，△ACB 是等腰直角三角形，且∠C=90°，CB 的延长线交 DE 于点 G， 则∠CGE=　135　度． 【考点】平行线的性质；等腰直角三角形． 【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC 的度数，再由平行线的性质求出∠DGB 的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵△ACB 是等腰直角三角形，且∠C=90°， ∴∠ABC=45°． ∵AB∥DE， ∴∠DGB=∠ABC=45°， ∴∠CGE=180°﹣45°=135°． 故答案为：135． 　 16．如图，在△ABC 中，点 D 在 AC 边上且 AD：DC=1：2，若 ， ，那么 =　 2 +2 　（用向量 、 表示）． 【考点】*平面向量． 【分析】由 ， ，直接利用三角形法则求解，即可求得 ，又由点D 在 AC 边上 且 AD：DC=1：2，即可求得答案． 【解答】解：∵ ， ， ∴ = + = + ， ∵点 D 在 AC 边上且 AD：DC=1：2， ∴ =2 =2 +2 ． 故答案为：2 +2 ． 　 17．在平面直角坐标系 xOy 中，⊙C 的半径为 r，点 P 是与圆心 C 不重合的点，给出如下定 义：若点 P′为射线 CP 上一点，满足 CP•CP′=r2，则称点 P′为点 P 关于⊙C 的反演点．如图 为点 P 及其关于⊙C 的反演点 P′的示意图．写出点 M （ ，0）关于以原点 O 为圆心，1 为半径的⊙O 的反演点 M′的坐标　（2，0）　． 【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；点与圆的位置关系． 【分析】根据点 P′为射线 CP 上一点，满足 CP•CP′=r2，点 P′为点 P 关于⊙C 的反演点列式 计算即可． 【解答】解：设点 M′的坐标为（a，0）， 由题意得， a=12， 解得，a=2， 则设点 M′的坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）． 　 18．如图，底角为 α 的等腰△ABC 绕着点 B 顺时针旋转，使得点 A 与边 BC 上的点 D 重合， 点 C 与点 E 重合，联结 AD、CE．已知 tanα= ，AB=5，则 CE=　 　． 【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质． 【分析】如图，作 AH⊥BC 于 H，EF⊥BC 于 F，则 BH=CH，先利用三角形函数的定义和 勾股定理可计算出 BH=4，则 BC=2BH=8，再根据旋转的性质得∠CBE=α，BE=BC=8，接 着在 Rt△BEF 中利用三角函数的定义可计算出 EF 和 BF，然后在 Rt△CEF 中利用勾股定理 计算 CE． 【解答】解：如图，作 AH⊥BC 于 H，EF⊥BC 于 F，则 BH=CH， 在 Rt△ABH 中，tan∠ABH=tanα= = ， 设 AH=3t，则 BH=4t， ∴AB= =5t， ∴5t=5，解得 t=1， ∴BC=2BH=8， ∵等腰△ABC 绕着点 B 顺时针旋转，使得点 A 与边 BC 上的点 D 重合， ∴∠CBE=α，BE=BC=8， 在 Rt△BEF 中，tan∠EAF=tanα= = ， 设 AH=3x，则 BH=4x，BE=5x， ∴5x=8，解得 x= ， ∴EF= ，BF= ， ∴CF=8﹣ = ， 在 Rt△CEF 中，CE= = ． 故答案为 ． 　 三．解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．计算：cos30° +|1﹣ |﹣（ ）﹣1． 【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项分母有理化，第三项利用绝对值 的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式= + + ﹣1﹣3=2 ﹣ ． 　 20．解方程： ． 【考点】解分式方程． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到 分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x﹣5+x2﹣1=3x﹣3， 整理得：（x﹣3）（x+1）=0， 解得：x1=3，x2=﹣1， 经检验 x=﹣1 是增根，分式方程的解为 x=3． 　 21．已知：如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AD 是 BC 边上的中线，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，且 sin∠DAB= ，DB=3 ．求： （1）AB 的长； （2）∠CAB 的余切值． 【考点】解直角三角形． 【分析】（1）在 Rt△BDE 中，求得 BE=DE=3，在 Rt△ADE 中，得到 AE=4，根据线段的 和差即可得到结论； （2）作 CH⊥AB 于 H，根据已知条件得到 BC=6 ，由等腰直角三角形的性质得到 BH=CH=6，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）在 Rt△BDE 中，DE⊥AB，BD=3 ∠ABC=45°， ∴BE=DE=3， 在 Rt△ADE 中，sin∠DAB= ，DE=3， ∴AE=4，AB=AE+BE=4+3=7； （2）作 CH⊥AB 于 H， ∵AD 是 BC 边上是中线，BD=3 ， ∴BC=6 ， ∵∠ABC=45°， ∴BH=CH=6， ∴AH=7﹣6=1， 在 Rt△CHA 中，cot∠CAB= = ． 　 22．甲骑自行车从 A 地出发前往 B 地，同时乙步行从 B 地出发前往 A 地，如图所示，y 甲、 y 乙分别表示甲、乙离开 A 地 y（km）与已用时间 x（h）之间的关系，且直线 y 甲与直线 y 乙相交于点 M． （1）求 y 甲与 x 的函数关系式（不必注明自变量 x 的取值范围）； （2）求 A、B 两地之间距离． 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）设 y 甲=kx（k≠0），由点 M 的坐标利用待定系数法即可求出 y 甲关于 x 的函数 关系式； （2）设 y 乙=mx+n，由函数图象得出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法即可求出 y 乙 关于 x 的函数关系式，再令 x=0 求出 y 值即可得出结论． 【解答】解：（1）设 y 甲=kx（k≠0）， ∵点 M（0.5，7.5）在直线 y 甲的图象上， ∴0.5k=7.5，解得：k=15． ∴y 甲关于 x 的函数关系式为 y 甲=15x． （2）设 y 乙=mx+n， 将点（0.5，7.5），点（2，0）代入函数关系式得： ，解得： ． ∴y 乙关于 x 的函数关系式为 y 乙=﹣5x+10． 令 y 乙=﹣5x+10 中 x=0，则 y=10． ∴A、B 两地之间距离为 10 千米． 　 23．如图，直角梯形 ABCD 中，∠B=90°，AD∥BC，BC=2AD，点 E 为边 BC 的中点． （1）求证：四边形 AECD 为平行四边形； （2）在 CD 边上取一点 F，联结 AF、AC、EF，设 AC 与 EF 交于点 G，且∠EAF=∠ CAD．求证：△AEC∽△ADF； （3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG：EG 的比值． 【考点】相似形综合题． 【分析】（1）由 E 为 BC 中点，得到 BC=2CE，再由 BC=2AD，得到 CE=AD，再由 AD 与 CE 平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）由四边形 AECD 为平行四边形，得到对角相等，再由已知角相等，利用两对角相等的 三角形相似即可得证； （3）设 AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC 为等腰直角三角形，即 AB=BC=2a， 在 Rt△ABE 中，根据勾股定理表示出 AE，由三角形 AEC 与三角形 ADF 相似得比例，表示 出 DF．由 CD﹣DF 表示出 CF，再由 AE 与 DC 平行得比例，即可求出所求式子之比． 【解答】解：（1）∵BC=2AD，点 E 为 BC 中点， ∴BC=2CE， ∴AD=CE， ∵AD∥CE， ∴四边形 AECD 为平行四边形； （2）∵四边形 AECD 为平行四边形， ∴∠D=∠AEC， ∵∠EAF=∠CAD， ∴∠EAC=∠DAF， ∴△AEC∽△ADF， （3）设 AD=BE=CE=a，由∠ECA=45°，得到△ABC 为等腰直角三角形，即 AB=BC=2a， ∴在 Rt△ABE 中，根据勾股定理得：AE= = a， ∵△AEC∽△ADF， ∴ = ，即 = ， ∴DF= a， ∴CF=CD﹣DF= a﹣ a= a， ∵AE∥DC， ∴ = = = ． 　 24．如图，矩形 OMPN 的顶点 O 在原点，M、N 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，OM=6， ON=3，反比例函数 y= 的图象与 PN 交于 C，与 PM 交于 D，过点 C 作 CA⊥x 轴于点 A， 过点 D 作 DB⊥y 轴于点 B，AC 与 BD 交于点 G． （1）求证：AB∥CD； （2）在直角坐标平面内是否若存在点 E，使以 B、C、D、E 为顶点，BC 为腰的梯形是等 腰梯形？若存在，求点 E 的坐标；若不存在请说明理由． 【考点】反比例函数综合题． 【分析】（1）首先求得 C 和 D 的坐标，证明 = 即可证得； （2）分成 PN∥DB 和 CD∥AB 两种情况进行讨论，即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形 OMPN 是矩形，OM=6，ON=3， ∴P 的坐标是（6，3）． ∵点 C 和 D 都在反比例函数 y= 的图象上，且点 C 在 PN 上，点 D 在 PM 上， ∴点 C（2，3），点 D（6，1）． 又∵DB⊥y 轴，CA⊥x 轴， ∴A 的坐标是（2，0），B 的坐标是（0，1）． ∵BG=2，GD=4，CG=2，AG=1． ∴ = ， = = ， ∴ = ， ∴AB∥CD； （2）解：①∵PN∥DB， ∴当 DE1=BC 时，四边形 BCE1D 是等腰梯形，此时直角△CNB≌直角△E1PD， ∴PE1=CN=2， ∴点 E1 的坐标是（4，3）； ②∵CD∥AB，当 E2 在直线 AB 上，DE2=BC=2 ，四边形 BCDE2 为等腰梯形， 直线 AB 的解析式是 y=﹣ x+1， ∴设点 E2（x，﹣ x+1），DE2=BC=2 ， ∴（x﹣6）2+（ x）2=8， 解得：x1= ，x2=4（舍去）． ∴E2 的坐标是（ ，﹣ ）． 　 25．如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，⊙B 与边 AB 相交于点 D，与边 BC 相交于点 E，设⊙B 的半径为 x． （1）当⊙B 与直线 AC 相切时，求 x 的值； （2）设 DC 的长为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）若以 AC 为直径的⊙P 经过点 E，求⊙P 与⊙B 公共弦的长． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）根据勾股定理，求出 AG，再由割线定理，求出 BH 即可； （2）由相似得出比例式，表示出 DF，CF，由勾股定理建立函数关系式； （3）根据圆的性质求出 BE，CE，再用△BQP∽△BGE，求出 EG 即可， 【解答】解：（1）作 AG⊥BC，BH⊥AC， ∵AB=AC，AG⊥BC， ∴BG=CG=2， ∴AG= =4 ， ∵AG×BC=BH×AC， ∴BH= = ， ∴当⊙B 与直线 AC 相切时，x= ； （2）作 DF⊥BC， ∴DF∥AG， ∴ ， ∴ ， ∴DF= x， ∴CF=4﹣ x， 在 Rt△CFD 中，CD2=DE2+CF2， ∴y= = （＜x≤4）， （3）①作 PQ⊥BC， ∵EF 是⊙B，⊙P 的公共弦， ∵⊙P 经过点 E， ∴PA=PE=PC， ∴AE⊥BC， ∵AC=AB， ∴BE=CE=2， ∵PQ∥AE，且 P 是 AC 中点， ∴PQ= AE=2 ，CP=3， ∴CQ=1，BQ=3， ∴BP= ， ∵△BQP∽△BGE， ∴ ， ∴ ， ∴EG= ， ∴EF= ； ②当点 E，与点 C 重合时，EF= ． 　 2016 年 10 月 31 日