中考数学复习专题 方程与方程组 11页

‎1、一次方程 ‎【知识梳理】‎ ‎ 1.方程的分类 ‎ ‎ ‎2.方程的有关概念 ‎（1）方程：含有 的等式叫方程。‎ ‎（2）方程的解： 叫做方程的解。‎ ‎（3）解方程： _叫做解方程。‎ ‎（4）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。‎ ‎（5）分式方程：___________________________________中含有未知数的方程。‎ ‎3．①解方程的理论根据是：_________________________‎ ‎　 ②在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验；‎ ‎4．解一元一次方程的一般步骤及注意事项：‎ 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 等式性质 去括号 乘法分配 律、去括 号法则 移项 移项法则 合并 同 类项 合并同 类 项法则 系数 化 为1‎ 等式性质 ‎【练习】‎ ‎ 1. 若∶2＝∶5，则＝ 。‎ ‎2. 如果与的值互为相反数，则＝ 。‎ ‎3. 若单项式与是同类项，则＝（ ）‎ ‎ A.2 B.±2 C.－2 D.4‎ ‎ 4. 若2x+1= 7，则x的值为（ ）‎ ‎ A．4 B、3 C、2 D、－3‎ ‎5. 有一个密码系统，其原理由下面的框图所示： 输入x → x+6 → 输出 ‎ 当输出为10时，则输人的x＝______‎ ‎6. 三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数为（ ）‎ ‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎7. 已知2x+5y＝3，用含y的代数式表示x，则x=___________；当y=1时，x=________‎ ‎8. 解方程：（1） ‎ ‎9. 已知是实数，且，解关于的方程： ‎ ‎10.若关于的方程：与方程的解相同，求的值。‎ ‎2.一元二次方程 ‎【知识梳理】‎ ‎ 1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。它的一般形式是 （其中 、 ）‎ ‎ 它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方程有 实数根；当△＜0时，方程有 实数根；‎ 一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ）‎ ‎2．一元二次方程的解法：‎ ‎⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的绝对值一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．‎ ‎⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 ‎ ‎ 注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。‎ ‎⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．‎ ‎【练习】‎ ‎ 1. 用直接开平方法解方程，得方程的根为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎2. 方程的根是（ ）‎ ‎ A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1 ‎ ‎3. 方程的解是（ ）‎ ‎ ‎ ‎4. 已知x1，x2是方程x2－x－3=0的两根，那么x12+x22的值是（ ）‎ ‎ A．1 B．5 C．7 D、‎ 5. 设是方程的两个实数根，则=__________。‎ ‎6. 关于x的方程 是一元二次方程，则a=__________.‎ ‎7.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是_____。‎ ‎8. 已知，求的值。‎ ‎ ‎ ‎9. 阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．‎ 已知：m是关于x的方程mx2 －2x＋m＝0的一个根，求m的值． ‎ ‎ 解：把x=m代人原方程，化简得m3=m，两边同时除以m，得m2 =1，所以m=l，‎ 把=l代入原方程检验可知：m=1符合题意，答：m的值是1．‎ ‎10. 已知三角形的两边长分别是方程的两根，第三边的长是方程的根，求这个三角形的周长。‎ ‎11. 解下列方程：‎ ‎ ； ‎ ‎12. 已知△ABC的两边AB、AC的长是关于的一元二次方程 的两个实数根，第三边BC的长是5。‎ ‎（1）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；‎ ‎（2）为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。‎ ‎3.一次方程组 ‎【知识梳理】‎ 一、 二元方程组的有关概念 1. 二元一次方程：含有_______个未知数，并且未知数的项的次数都是______的方程。‎ 2. 二元一次方程组：含有_______个未知数的两个______方程组成的一组方程。‎ 3. 二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组_____值，叫做二元一次方程的一个解。‎ 4. 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的_________解。‎ 二、 二元一次方程组的解法．‎ ‎ （1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．‎ ‎ （2）减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．‎ 三、 两个方程二元一次方程与一次函数的关系．‎ ‎1.区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系． ‎ 联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；（2）在一次函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程．‎ ‎2.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点，‎ ‎【练习】‎ 解方程组（1）； （2）‎ ‎1. 已知是方程组的解，则＝ 。‎ ‎2. 已知方程组与有相同的解，则、的值为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3. 要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）‎ A. 5种 B. 6种 C. 8种 D. 10种 ‎4. 方程没有解，由此一次函数y=2－x与y=－x的图象必定（ ）‎ ‎ A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断 ‎ 5.二元一次方程组的解是_______；那么一次函数y=2x—1和y=2x+3的图象的交点坐标是 ；‎ ‎6. 在代数式中，当时，它的值是零；当 时，它的值是4；求的值。‎ 7. 若与是同类二次根式，求a、b的值.‎ ‎8.在坐标系中，两直线的交点坐标如图所示，交点坐标可以看作哪个方程组的解？的面积是多少？‎ ‎ ‎ ‎4、分式方程及应用 ‎【知识梳理】‎ ‎1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．‎ ‎2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；‎ ‎3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。验根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。‎ ‎4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．‎ ‎5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。‎ ‎6. 分式方程的解法有 和 。‎ ‎【练习】‎ ‎ 解分式方程： （2） （3） ‎ ‎ 1. 把分式方程的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ）‎ A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2‎ ‎2. 方程的根是（ ）‎ ‎ A.－2 B. C.－2， D.－2，1‎ ‎3. 当=_____时，方程的根为 ‎4. 如果，则 A=____ B＝________.‎ ‎5. 若方程有增根，则增根为_____，a=_____‎ ‎6. 若关于x的分式方程有增根，求m的值。‎ ‎9. 就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数．‎ ‎4. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m3，求该市今年居民用水的价格．‎ ‎ ‎ ‎5. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：‎ 方案一：将蔬菜全部进行粗加工；‎ 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；‎ 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？‎ 5. 方程及方程组的应用 ‎【知识梳理】‎ ‎ 1.列方程解应用题常用的相等关系 题型 基本量、基本数量关系 寻找思路方法 工作 ‎（工程）‎ 问题 工作量、工作效率、工作时间 把全部工作量看作1‎ 工作量=工作效率×工作时间 相等关系：各部分工作量之和=1‎ 常从工作量、工作时间上考虑相等关系 比例问题 相等关系：各部分量之和=总量。设其中一分为，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式 年龄问题 大小两个年龄差不会变 抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。‎ 浓度问题 稀释问题 溶剂（水）、溶质（盐、纯酒精）、溶液（盐水、酒精溶液）‎ 溶质=溶液×百分比浓度 由加溶剂前后溶质不变。两个相等关系：‎ 加溶剂前溶质质量=加溶剂后溶质质量 加溶剂前溶液质量+加入溶剂质量=加入溶剂后的溶液质量 加浓问题 同 上 由加溶质前后溶剂不变。两个相等关系：‎ 加溶质前溶剂质量=加溶质后溶剂质量 加溶质前溶液质量+加入溶质质量=加入溶质后的溶液质量 混合配制问题 等量关系：‎ 混合前甲、乙种溶液所含溶质的和=混合后所含溶质 混合前甲、乙种溶液所含溶剂的和=混合后所含溶剂 利息 问题 本息和、本金、利息、利率、期数关系：利息=本金×利率×期数 相等关系：‎ 本息和=本金+利息 行程问题 追击问题 路程、速度、时间的关系：‎ 路程=速度×时间 ‎1：同地不同时出发：前者走的路程=追击者走的路程 ‎2：同时不同地出发：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程 相遇问题 同 上 相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地间的路程 航行问题 顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度 逆水（风）速度=静水（风）速度－水流（风）速度 ‎1：与追击、相遇问题的思路方法类似 ‎2：抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。‎ 数字问题 多位数的表示方法：是一个多位数可以表示为（其中0＜a、b、c＜10的整数）‎ ‎1：抓住数字间或新数、原数间的关系寻找相等关系。‎ ‎2：常常设间接未知数。‎ 商品利 润 率问题 商品利润=商品售价－商品进价 首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降价等含义。‎ ‎ 2.列方程解应用题的步骤:‎ ‎ （1）审题：仔细阅读题，弄清题意；‎ ‎ （2）设未知数：直接设或间接设未知数；‎ ‎ （3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程；‎ ‎ （4）解方程；‎ ‎ （5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意；‎ ‎ （6）答：注意带单位．‎ ‎【练习】‎ ‎ 1. 某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对于进货价），则该商品的进货价是 ‎ ‎2. 甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为 元和 元 ‎3. 某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为 ‎ ‎ 4. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，如果甲乙二人分别从A、‎ B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，求甲乙二人 的骑车速度．‎ ‎5. 某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？‎ ‎6. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。‎ ‎（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？‎ ‎（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？‎ ‎7. 某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，‎ 其中团体票占总票数的．若提前购票，则给予不同程度的优惠，在5月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的，零售票每张16元，共售出零售票数的一半．如果在6月份内，团体票要按每张16元出售，并计划在6月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？‎ ‎8. 要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少？‎ ‎9.北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客 运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1‎ 小时，求列车提速前的速度（只列方程）．‎ ‎10. 一水池有甲、乙两水管，已知单独打开甲管比单独打开乙管灌满水池需多用10小时．现在首先打开乙管10小时，然后再打开甲管，共同再灌6小时，可将水池注满，如果一开始就把两管一同打开，那么需要几小时就能将水池注满？‎ ‎11. 甲、乙两组工人合做某项工作，4天以后，因甲另有任务，乙组再单独做5天才能完成。如果单独完成这项工作，甲组比乙组少用5天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。‎