杭州二中2011学年第一学期高一年级期中考数学试卷 5页

杭州二中2011学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 ‎ ‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分，‎ 满分100 分，考试时间 90 分钟.‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答卷相应空格中）‎ 1. 满足的集合共有（ ）‎ ‎ A.2个 B. 4个 C. 8个 D. 16个 2. 三个数之间的大小关系是 （ ）‎ A． B. C. D. ‎ 3. 下列函数中是偶函数的是 ( )‎ ‎ A . B. C. D.‎ 4. 已知，则]的值为 （ ）‎ ‎ A．－2 B．‎2 ‎C．－3 D．3‎ 5. 已知函数，用二分法求方程内近似解的过程中，取区间中点，那么下一个有根区间为 ( )‎ A．（1,2） B．（2,3） C．（1,2）或（2,3）都可以 D．不能确定 6. 函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 7. 已知为上奇函数，当时,，则当时，( ).‎ A. B. C. D. ‎ 8. 甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度与（＜）. 甲前一半的路程使用速度，后一半的路程使用速度；乙前一半的时间使用速度，后一半时间使用速度.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴表示时间，纵轴表示路程，C是AB的中点），则其中可能正确的图示分析为 （ ）‎ A .（1） B. （2） C.（3） D . （4）‎ 9. 已知函数满足:对任意实数,当时,总有,那么实数的取值范围是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 10. 定义：区间的长度为．已知函数的定义域为，值域为，记区间的最大长度为m, 最小长度为n．则函数的零点个数是 （ ） ‎ ‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．0 D．3‎ 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分 ．把答案填在答卷中相应横线上）‎ 11. 函数的值域是 ▲ . ‎ 12. 已知集合，那么集合为 ▲ . ‎ 13. 设函数 ，若是奇函数，则的值是 ▲ . ‎ 14. 方程的两根均大于1，则实数的范围是 ▲ . ‎ 15. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是 ▲ . ‎ 16. 定义运算，例如，，则函数的最大值为 ‎ ▲ . ‎ 17. 下列说法： ‎ ‎①函数的单调增区间是； ‎ ②若函数定义域为且满足，则它的图象关于轴对称； ‎ ③函数的值域为；‎ ④函数的图象和直线的公共点个数是，则的值可能是0,2,3,4； ‎ ‎⑤若函数在上有零点，则实数的取值范围是.‎ 其中正确的序号是 .‎ 杭州二中2011学年第一学期高一年级期中考试数学答题卷 一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ 题号 ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ 答案 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）‎ ‎11. . 12. . 13. . 14. . ‎ ‎15. . 16. . 17. .‎ 三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）‎ 1. ‎ ( 本小题满分8分）‎ ‎(Ⅰ) 计算： ‎ ‎（Ⅱ）已知，求的值. ks5u 2. ‎（本小题满分8分）若集合，‎ ‎ （Ⅰ）若，求集合； ‎ ‎ （Ⅱ）若，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ 3. ‎（本小题满分11分）已知函数，且.‎ ‎（Ⅰ）判断的奇偶性并说明理由； ‎ ‎ （Ⅱ）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）若在区间上，不等式恒成立，试确定实数的取值范围.‎ 4. ‎（本小题满分12分）已知幂函数，且在上单调递增.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；‎ ‎（II）若在区间上不单调，求实数的取值范围；‎ ‎（III）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为. 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 杭州二中2011学年第一学期高一年级期中考试数学答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ 题号 ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ 答案 B C D C A D B A A B 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）‎ ‎11. . 12. . 13. . 14. . ‎ ‎15. . 16. . 17. ③ ④ ⑤.‎ 三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）‎ ‎18. ( 本小题满分8分）‎ ‎(Ⅰ) ‎ ‎（Ⅱ）已知，求的值. ks5u 解：∵，∴，∴，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴‎ ‎19.（本小题满分8分）若集合，‎ ‎ （Ⅰ）若，求集合； ‎ ‎ （Ⅱ）若，求实数的取值范围．‎ 解:（Ⅰ）若，，则 ‎ ‎ 得或 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ （Ⅱ）因为，所以，，‎ 当时，，；‎ 当时，，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎20.（本小题满分11分）已知函数，且.‎ ‎（Ⅰ）判断的奇偶性并说明理由； ‎ ‎ （Ⅱ）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）若在区间上，不等式恒成立，试确定实数的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）由得： ‎ ‎ ∴，其定义域为 ‎ 又 ‎ ∴函数在上为奇函数。 ‎ ‎（II）函数在上是增函数，证明如下：ks5u ‎ 任取，且，则，‎ ‎ 那么 ‎ 即 ∴函数在上是增函数。‎ ‎（III）由，得 ‎，在区间上，的最小值是，，得，所以实数的取值范围是.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知幂函数，且在上单调递增.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；‎ ‎（II）若在区间上不单调，求实数的取值范围；‎ ‎（III）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为. 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 解: （Ⅰ）由题意知 解得 ‎ 又 ∴或，分别代入原函数得. ‎ ‎（II）由已知得. ‎ 要使函数不单调，则，则.‎ ‎（III）由已知，‎ 法一：假设存在这样的正数符合题意，则函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为 因而，函数在上的最小值只能在或处取得 又，从而必有 解得 此时，，其对称轴 ‎∴在上的最大值为符合题意．‎ 法二： 由(1)知，假设存在这样的正数，符合题意，则函数 的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为 ， ‎ ‎（1）当，且，即时，在上单调递减，‎ ‎ ，则与矛盾，故不可能； ‎ ‎（2）当，且，即时，有 得或（舍去）. ks5u 所以 ，此时，，符合题意 综上所述，存在正数，使函数在区间上的值域为.‎