中考数学第一轮复习图形的相似一 75页

一、 选择题 ( 每小题 6 分，共 30 分 ) 1.(2010· 桂林中考 ) 如图，已知△ ADE 与 △ ABC 的相似比为 1∶2 ，则△ ADE 与△ ABC 的面积比为 ( ) (A)1∶2 (B)1∶4 (C)2∶1 (D)4∶1 【 解析 】 选 B. 相似三角形的面积之比等于相似比的平方 . A 2. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比 值越接近 0.618 时，越给人一种美感．如图，某 女士身高 165 cm ，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60 ，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟 鞋的高度约为 ( ) (A)4 cm (B)6 cm (C)8 cm (D)10 cm 【 解析 】 选 C. 设鞋高为 a cm, 则 ≈ 0.618 ， 即 ≈ 0.618 ，解得 a≈8. 3. 如图所示，给出下列条件： ①∠ B=∠ACD ； ②∠ ADC=∠ACB ； ④ AC 2 =AD·AB ． 其中单独能够判定△ ABC∽△ACD 的个数为 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【 解析 】 选 C. 图形中已隐含有一对公共角，要判定△ ABC∽ △ACD ，再找一对对应角相等即可；或找边关系，只要公共角的两邻边对应成比例就可以，所以①、②、④正确 . 4.(2010· 烟台中考 ) 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是 ( ) 【 解析 】 选 D. 根据相似多边形的定义，对应角相等，对应边成比例， D 中对应边不成比例 . 5. 如图，在正三角形 ABC 中， D ， E ， F 分别 是 BC ， AC ， AB 上的点， DE⊥AC ， EF⊥AB ， FD⊥BC ，则△ DEF 的面积与△ ABC 的面积之 比等于 ( ) (A)1∶3 (B)2∶3 (C) ∶2 (D) ∶3 【 解析 】 选 A. 根据有两个角是 60° 的三角形是等边三角形，可得△ DEF 是等边三角形，所以有△ DEF∽△ABC ；若设 CE=a ，则 DE= a ， CD=2a ， BD=a ，所以 DE∶BC= ∶3 ，故它们的面积之比是 1∶3. 二、填空题 ( 每小题 6 分，共 24 分 ) 6.(2010· 上海中考 ) 如图，△ ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ ACD=∠B ，若 AC=2 ， AD= 1 ，则 DB=_____. 【 解析 】 ∵∠ACD=∠B ，∠ A 为公共角，可得△ ADC∽△ACB ， 故 ，∴ AB=4 ，∴ BD=3. 答案： 3 7.(2010· 芜湖中考 ) 如图，光源 P 在横杆 AB 的正上方， AB 在灯光下的影子为 CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=6 m, 点 P 到 CD 的距离是 2.7 m, 则 AB 与 CD 的距离为 _____m. 【 解析 】 ∵AB∥CD ，∴△ PAB∽△PCD ，根据相似三角形对应边上的高等于相似比可得， P 到 AB 的距离为 0.9 m ， ∴ AB 与 CD 的距离为 2.7-0.9=1.8(m). 答案： 1.8 8. 如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割．已知 AB=10 cm ，则 AC 的长 约为 _____cm ． ( 结果精确到 0.1cm) 【 解析 】 本题考查黄金分割的有关知识，由题意知 AC 2 =BC · AB ， ∴ AC 2 =(10 － AC)×10 ，解得 x≈6.2. 答案： 6.2 9. 如图，点 M 是△ ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于△ ABC 的各边，所形成的三个小三角形△ 1 、△ 2 、△ 3 ( 图中阴影部分 ) 的面积分别是 4 ， 9 和 49 ．则△ ABC 的面积是 _____ ． 【 解析 】 三角形△ 1 、△ 3 相似，且面积分别是 4 和 49 ，得 MN∶DE=2∶7 ，所以 MN∶BE=2∶9 ，所以△ BEH 的面积是 81 ，同理可得：△ CDG 的面积为 100 、△ ANF 的面积为 25 ，故△ ABC 的面积 =100+81+25 － (4+9+49)=144 ． 答案： 144 三、解答题 ( 共 46 分 ) 10.(10 分 ) 如图所示，已知等腰△ ABC 的面积为 8 cm 2 ， D ， E 分别是 AB ， AC 边的中点，求梯形 DBCE 的面积 . 【 解析 】 ∵DE 是△ ABC 的中位线， ∴ DE∥BC ， ，∴∠ ADE=∠B, 又∠ A=∠A. ∴△ADE∽△ABC ， 11.(12 分 )(2010· 芜湖中考 ) 如图，直角梯形 ABCD 中，∠ ADC=90°,AD∥BC, 点 E 在 BC 上，点 F 在 AC 上，∠ DFC=∠AEB, (1) 求证：△ ADF∽△CAE (2) 当 AD=8,DC=6, 点 E 、 F 分别是 BC 、 AC 的中点时，求直角梯形 ABCD 的面积 【 解析 】 (1) 在梯形 ABCD 中， AD∥BC, ∴∠DAF=∠ACE ∵∠DFC=∠AEB,∠DFC=∠DAF+∠ADF,∠AEB=∠ACE+∠CAE ∴∠ADF=∠CAE,∴△ADF∽△CAE. (2)∵AD=8,DC=6 ，∠ ADC=90° ， ∴ AC=10. 又∵ F 是 AC 的中点，∴ AF=5. ∵△ADF∽△CAE ， 13.(12 分 ) 如图，△ ABC 中，∠ C=90° ， AC=4 ， BC=3. 半径为 1 的圆的圆心 P 以 1 个单位 /s 的速度由点 A 沿 AC 方向在 AC 上移动，设移动时间为 t( 单位： s). (1) 当 t 为何值时，⊙ P 与 AB 相切； (2) 作 PD⊥AC 交 AB 于点 D ，如果⊙ P 和线段 BC 交于点 E ，证明：当 t= s 时，四边形 PDBE 为平行四边形 . 【 解析 】 (1) 当⊙ P 在移动中与 AB 相切时，设切点为 M ，连 PM ，则∠ AMP=90°. ∴△APM∽△ABC. (2)∵BC⊥AC ， PD⊥AC ，∴ BC∥DP. ∴PD=BE. ∴ 当 t= s 时，四边形 PDBE 为平行四边形．