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- 2021-05-10 发布
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二次函数与图形综合[来~源:@中%国教*育出#版网]
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题型一:坐标系中(函数图象上)动点产生三角形问题
思路导航
坐标系中(函数图象上)动点产生三角形的问题我们主要讲解3类:①因动点产生的等腰三角形问题②因动点产生的直角三角形问题③因动点产生的相似三角形问题.
一、方法与技巧:已知线段和直线,在直线上找点,使为等腰三角形.
几何法:①分别以点、为圆心,为半径作圆,找点,,,.(检验)
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②作线段的垂直平分线,找点.(检验)
代数法:设点的坐标为,求出、、的长度,分类讨论:
①;②;③.求出点.(检验)
二、方法与技巧:已知线段和直线,在直线上找点,使为直角三角形.
几何法:①分别过点、作线段的垂线,找点,.(检验)
②以线段为直径作圆,利用直径所对的圆周角为,找点,.(检验)
代数法:设点的坐标为,求出、、的长度,分类讨论:
①;②;③.
求出点.(检验)
三、方法与技巧:以点、、为顶点的三角形和相似.[中*@国&教育^出~版网]
根据“两组角对应相等,两三角形相似.”进行分类讨论:[来源%@:中^教网]
①,②,
③,④,
⑤,⑥.(检验)
典题精练
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已知二次函数的图象与轴的一个交点为,与轴交于点.
⑴ 求此二次函数关系式和点的坐标;
⑵ 在轴的正半轴上是否存在点.使得是以为底边的等腰三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】⑴ 把点代入二次函数有:
得:
所以二次函数的关系式为:.
当时,
∴点的坐标为.
⑵ 如图:
作的垂直平分线交轴于点,连接,
则:
设,则,[来源:zzs@t%ep.~c&*om]
在直角中,
即:
解得:
∴
所以点的坐标为:
可以把“是以为底边的等腰三角形”拓展为“是等腰三角形”.[www&.@^zzst%#ep.com]
[来#%源:中国教育&出版网^@]
在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数的图象交于点和点.
⑴当时,求反比例函数的解析式;
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⑵要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大,求应满足的条件以及的取值范围;
⑶设二次函数的图象的顶点为,当是以为斜边的直角三角形时,求的值.[来源@^:&%中~教网]
【解析】 ⑴当时,,[www@#.zzst%e~*p.com]
∵在反比例函数图象上,
∴设反比例函数的解析式为:,
代入得:,
解得:,
∴反比例函数的解析式为:,
⑵∵要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大,
∴,
∵二次函数,的对称轴为:直线,[中%&^国#教育@出版网]
要使二次函数满足上述条件,在的情况,必须在对称轴左边,
即时,才能使得随着的增大而增大,
∴综上所述,且;
⑶由⑵可得:,
∵是以为斜边的直角三角形,点与点关于原点对称,(如图是其中的一种情况)
∴原点平分,∴,作,,
∴,
∵,
∴,
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解得:.
如图,在矩形中,,,沿直线折叠矩形的一边,使点B落在边上的点E处.分别以,所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线经过O,D,C三点.
⑴求的长及抛物线的解析式;
⑵一动点P从点E出发,沿以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与相似?
【解析】 ⑴∵四边形为矩形,
∴,
,.[来源:zz@%s~tep.^com*]
由题意得,.
∴,,.
由勾股定理易得.∴.[来@源:中*&~国%教育出版网]
设,则,[来~*源:中^国教育%&出版网]
由勾股定理,得.
解之得,,∴.
∵抛物线过点,∴.
∵抛物线过点,,[来源@:*zzstep.^c%om&]
∴.解之得.
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∴抛物线的解析式为:.[w~#ww.zz&ste^p.com@]
⑵∵,,
∴.[来~源^*:&中教%网]
由⑴可得,,.[来源:中@#国教*育出版~网^]
而,,∴.
当时,,[来源#:*中国教%育出~&版网]
∴,即,解得.
当时,,
∴,即,解得.[来源:中国#%&教育出*@版网]
∴当或时,以,,为顶点的三角形与相似.
题型二:坐标系中(函数图象上)动点产生四边形问题
思路导航
坐标系中(函数图象上)动点产生四边形问题:主要讲解两类问题:⑴因动点产生的平行四边形问题 ⑵因动点产生的梯形问题.[来源%@:中^教#*网]
⑴因动点产生的平行四边形问题的方法与技巧:
已知以点、点为顶点的四边形为平行四边形,寻找平行四边形的另外两个顶点.
①为边:平移型,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形.
②为对角线:旋转型,利用对角线互相平分的四边形为平行四边形.
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⑵因动点产生的梯形问题的方法与技巧:
如图,已知和直线,在直线上找点,使以点、、、为顶点的四边形为梯形.
①分别过点、、作、、的平行线与直线相交.
②检验以点、、、为顶点的四边形是否为平行四边形.
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典题精练
在平面直角坐标系中,以点为圆心、半径为的圆与轴相交于点、(点在点的左边),与轴相交于点、(点在点的下方).
⑴求以直线为对称轴,且经过点、的抛物线的解析式;[来源:中~国教育^出*版&网@]
⑵若为这条抛物线对称轴上的点,则在抛物线上是否存在这样的点,使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
⑴如图,∵圆以点为圆心,半径为5,
∴此圆与轴交于点,.
连接OD在中,,
∵,,∴.∴点的坐标为.
设抛物线的解析式为,[www.z&^zs#tep.c*o~m]
∵抛物线经过点,,
且对称轴为,∴
解得,,.
∴抛物线的解析式为 .[来#%源:中国教育&出版网^@]
⑵存在符合条件的点F,使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形.[www.@^*z~zstep.c#om]
情况1:当为平行四边形的一边时,∵,
∴.
设点,,,将点、
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分别代入抛物线的解析式,
得,.[www@#.zzst%e~*p.com]
情况2:当为平行四边形的对角线时,,
又∵点在抛物线上,
∴点必为抛物线的顶点.
∴.
综上所述,,使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形.
抛物线经过直线与坐标轴的两个交点,抛物线与轴的另一个交点为,抛物线的顶点为.[来源*:中&~#^教网]
⑴求此抛物线的解析式;
⑵试判断的形状,并证明你的结论;
⑶在坐标轴上是否存在点使得以点、、、为顶点的四边形是梯形.若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
⑴∵直线与坐标轴的两个交点坐标分别为,
又抛物线经过这两个点,
则可得,解得,
∴此抛物线的解析式为.
⑵由⑴可知:点坐标为,顶点的坐标为,
过点作轴于,
可知,∴,
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∵,∴,
∴,
∴是直角三角形.
⑶分以下三种情况讨论:
①若为底,则与轴交于点,
由易知,直线的解析式为,
∴直线的解析式为,∴.
②若为底,则与轴交于点,[中*%@国教育^出版#网]
由易知,直线的解析式为,
∴直线的解析式为,∴.
③若为底,则与轴、轴分别交于,
已知直线的解析式为,
∴直线的解析式为,∴.[中国教育&%出版@网*#]
综上所述,满足以为顶点的四边形是梯形的点坐标为,,,.
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[中^~#国教育出版网&%]
如图,已知抛物线:的顶点为,与轴相交于两点(点在点的左边),点的横坐标是.
y
x
A
O
B
P
M
图1
C1
C2
C3
图⑴
y
x
A
O
P
P
N
图2
C1
C4
Q
E
F
图⑵
⑴求点坐标及的值;
⑵如图⑴,抛物线与抛物线关于轴对称,将抛物线向右平移,平移后的抛物线记为,的顶点为,当点关于点成中心对称时,求的解析式;
⑶如图⑵,点是轴正半轴上一点,将抛物线绕点旋转后得到抛物线.抛物线的顶点为,与轴相交于两点(点在点的左边),当以点为顶点的三角形是直角三角形时,求点的坐标.
y
x
A
O
B
P
M
图⑴
C1
C2
C3
H
G
⑴由抛物线:得顶点的坐标为
∵点在抛物线上,∴,解得.
⑵连接,作轴于,作轴于
∵点关于点成中心对称,
∴过点,且[来源:#&zzstep^@.%com]
∴,∴,
∴顶点的坐标为[w*ww.#@zz&step.^com]
y
x
A
O
B
P
N
图⑵
Q
E
F
H
G
K
抛物线关于轴对称得到,再平移得到[中%国教育出版@&网#~]
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∴抛物线的解析式为[w~ww.zz#s^tep%@.com]
⑶∵抛物线由绕着轴上的点旋转得到
∴顶点关于点成中心对称
由⑵得点的纵坐标为,设点坐标为[来源:*中国教育出^版网@]
作轴于,作轴于,作于
∵旋转中心在轴上,∴,
∴,点坐标为,坐标为,坐标为,
根据勾股定理得,,
,
①当时,,解得,∴点坐标为[来~源:zz*^st@%ep.com]
②当时,,解得,∴点坐标为
③∵,∴
综上,当点坐标为或时,以点为顶点的三角形是直角三角形.
[w@ww%.zzste^p.#com~]
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复习巩固
题型一 坐标系中(函数图象上)动点产生三角形问题 巩固练习
如图,抛物线与轴相交于、两点(点在点右侧),过点的直线交抛物线于另一点,点的坐标为.
⑴求的值及直线的函数关系式;
⑵是线段上一动点,过点作轴的平行线,交抛物线于点,[中~国#教育出&版网^%]
交轴于点.
①求线段长度的最大值;
②在抛物线上是否存在这样的点,使得与相似?如
果存在,请直接写出所有满足条件的点的坐标(不必写解答过程);如果不存在,请说明理由.
[来~源^@:中教&网%]
⑴由题意得,∴
∴抛物线的函数解析式为,与轴交于、
设直线的解析式为,则有,解得,
∴直线的解析式为[来#源:中教@~网%^]
⑵ ①设的横坐标为,则,
∴[中国*^教育出版网~]
∴当时,的最大值为.
②;
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提示:通过观察容易得到,需要计算过点且与垂直的直线与抛物线的交点,比较复杂;亦或过作的垂线,垂足为,则,得到,设点的横坐标为,通过点坐标与线段的转化,利用比例关系求出,进一步求出点坐标.
[来源:zzs@te#%^*p.com]
[ww&w.~z*zs@tep.co#m]
题型二 坐标系中(函数图象上)动点产生四边形问题 巩固练习
已知:如图所示,关于的抛物线与轴交于点、点,与轴交于点.
⑴求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
⑵在抛物线上有一点,使四边形为等腰梯形,写出点的坐标,并求出直线的[中&国教育#*~出^版网]
解析式;
⑶在⑵的条件下直线交抛物线的对称轴于点,抛物线上有一动点,轴上有一动点,是否存在以、、、为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点的坐标;如果不存在,请说明理由.[来^源@:&%中~教网]
⑴根据题意,得,解得
∴抛物线的解析式为,顶点坐标是.
⑵
设直线的解析式为
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∵直线经过点,点
∴,解得,∴.
⑶存在.,,,.[ww~w.zzs@t#%ep.&com]
在平面直角坐标系中,以点为圆心、半径为的圆与轴相交于点、(点在点的左边),与轴相交于点、(点在点的下方).[来源~:@中^国#教%育出版网]
⑴求以直线为对称轴,且经过点、的抛物线的解析式;
⑵若点是该抛物线对称轴上的一个动点,求的取值范围;
⑶若为这个抛物线对称轴上的点,则在抛物线上是否存在这样的点,使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
⑴由的圆心为,半径为,及各点的位置可知
,
∵抛物线的对称轴是,且经过点,∴该抛物线一定经过点,
∴设抛物线解析式为,代入,可得
,解得,∴抛物线解析式为.[中国教育*出&@^#版网]
⑵由两点关于对称轴对称,则连结与对称轴交于一点,
此时最小,又知,
∴的取值范围是.
⑶①若,则点横坐标为或,
这两点关于对称轴对称,∴,
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∴点的坐标为.
②若互相平分,则点在对称轴上,
∴点坐标为.
∴存在点,坐标为.
[来#源:中~^%*国教育出版网]
如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴的交点为点,与x轴的交点为点A,过点作轴的平行线,交抛物线于点,连接.现有两动点,分别从,两点同时出发,点以每秒4个单位的速度沿向终点移动,点以每秒1个单位的速度沿向点移动,点停止运动时,点也同时停止运动,线段,相交于点,过点作,交于点,射线交轴于点.设动点,移动的时间为(单位:秒)
⑴求,,三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
⑵当为何值时,四边形为平行四边形?请写出计算过程;
⑶当时,的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;
⑷当为何值时,为等腰三角形?请写出解答过程.
⑴∵,令,得,,
∴或,∴;
在中,令,得,即;
由于,故点的纵坐标为,
由,得或
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即,且易求出顶点坐标为,
于是,,顶点坐标为.
⑵若四边形为平行四边形,
由于.故只要即可,
而,故,得;[来#%源&:~中教^网]
⑶设点运动秒,则,,
说明在线段上,且不与点、重合,
由于知,故,
∴,∴.
又点到直线的距离,
∴,
于是的面积总为.
⑷由⑶知,.
构造直角三角形后易得,
.
①若,即,故,
∵,∴,∴.
②若,即,无的满足条件;[来~%源:zz#s*tep.c&om]
③若,即,得,[中&国教育出版@*#%网]
∴或都不满足,故无的满足方程;[ww@w.zzs%t&ep.^#com]
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综上所述:当时,是等腰三角形.
如图,抛物线与轴分别相交于点、,它的顶点为,连接,把所在的直线沿轴向上平移,使它经过原点,得到直线,设是直线上一动点.[来#源:中*国教育出版^网%~]
⑴求点的坐标;
⑵以点、、、为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、
直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点的坐标;
⑶设以点、、、为顶点的四边形的面积为,点的横
坐标为,当时,求的取值范围.
[来源:zzst*^ep#@.c~om]
⑴由,知点的坐标为.
⑵ ①如图2,菱形的顶点的坐标为.
②如图3,等腰梯形的顶点的坐标为.
③如图4,直角梯形的顶点的坐标为,
直角梯形的顶点的坐标为.
⑶ 直线的解析式为,那么点的坐标可表示为.[ww#w%.zzstep^.*com~]
的面积.
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① 当在轴上方时,.
解不等式组,得.[中^国教#育&*%出版网]
② 当在轴下方时,与是同底等高的三角形,面积相等.
因此.
解不等式组,得.
综上所述,的取值范围.是或
课后测
【测试1】点在轴的负半轴上,,.将绕坐标原点顺时针旋转,得到,再继续旋转,得到.抛物线经过、两点.
⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 点是否在此抛物线上,请说明理由;
⑶ 在该抛物线上找一点,使得是以为底的等腰三角形,求出所有符合条件的点的坐标;
⑷ 在该抛物线上,是否存在两点、,使得原点是线段中点,若存在,直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】⑴ 过点作于点,
∵,∴.
又,∴.
∴.∴,.[中国*教育^#出&版网%]
第 21 页 共 21 页
∵抛物线经过、两点,
∴ 解得.
∴抛物线的解析式为.[中~&国^教育出%版网@]
⑵ ∵当时,,
∴点不在此抛物线上.
⑶ 点应在线段的垂直平分线上,由题意可知,且平分,
∴点在直线上.
可求得所在直线的解析式为.
又点是直线与抛物线的交点,
由,解得,.
∴符合条件的点有两个,即点和.[来源:z#zstep%.&c~om^]
⑷ 存在.和.
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初中同步备课资料陆续推送中 中考备考资料陆续推送中
快快告诉你身边的小伙伴们吧~ 速速转到班级群/朋友圈
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