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  • 2021-05-10 发布

2020年中考数学专题复习二次函数与图形综合培优

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二次函数与图形综合[来~源:@中%国教*育出#版网]‎ 知识互联网 题型一:坐标系中(函数图象上)动点产生三角形问题 思路导航 坐标系中(函数图象上)动点产生三角形的问题我们主要讲解3类:①因动点产生的等腰三角形问题②因动点产生的直角三角形问题③因动点产生的相似三角形问题.‎ 一、方法与技巧:已知线段和直线,在直线上找点,使为等腰三角形.‎ ‎ ‎ 几何法:①分别以点、为圆心,为半径作圆,找点,,,.(检验)‎ 第 21 页 共 21 页 ‎②作线段的垂直平分线,找点.(检验)‎ 代数法:设点的坐标为,求出、、的长度,分类讨论:‎ ‎①;②;③.求出点.(检验)‎ 二、方法与技巧:已知线段和直线,在直线上找点,使为直角三角形.‎ 几何法:①分别过点、作线段的垂线,找点,.(检验)‎ ‎②以线段为直径作圆,利用直径所对的圆周角为,找点,.(检验)‎ 代数法:设点的坐标为,求出、、的长度,分类讨论:‎ ‎①;②;③.‎ 求出点.(检验)‎ 三、方法与技巧:以点、、为顶点的三角形和相似.[中*@国&教育^出~版网]‎ 根据“两组角对应相等,两三角形相似.”进行分类讨论:[来源%@:中^教&#网]‎ ‎①,②,‎ ‎③,④,‎ ‎⑤,⑥.(检验)‎ 典题精练 第 21 页 共 21 页 已知二次函数的图象与轴的一个交点为,与轴交于点.‎ ⑴ 求此二次函数关系式和点的坐标;‎ ⑵ 在轴的正半轴上是否存在点.使得是以为底边的等腰三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】⑴ 把点代入二次函数有:‎ 得:‎ 所以二次函数的关系式为:.‎ 当时,‎ ‎∴点的坐标为.‎ ‎⑵ 如图:‎ 作的垂直平分线交轴于点,连接,‎ 则:‎ 设,则,[来源:zzs@t%ep.~c&*om]‎ 在直角中,‎ 即:‎ 解得:‎ ‎∴‎ 所以点的坐标为:‎ 可以把“是以为底边的等腰三角形”拓展为“是等腰三角形”.[www&.@^zzst%#ep.com]‎ ‎[来#%源:中国教育&出版网^@]‎ 在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数的图象交于点和点.‎ ‎⑴当时,求反比例函数的解析式;‎ 第 21 页 共 21 页 ‎⑵要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大,求应满足的条件以及的取值范围;‎ ‎⑶设二次函数的图象的顶点为,当是以为斜边的直角三角形时,求的值.[来源@^:&%中~教网]‎ ‎【解析】 ⑴当时,,[www@#.zzst%e~*p.com]‎ ‎∵在反比例函数图象上,‎ ‎∴设反比例函数的解析式为:,‎ 代入得:,‎ 解得:,‎ ‎∴反比例函数的解析式为:,‎ ‎⑵∵要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大,‎ ‎∴,‎ ‎∵二次函数,的对称轴为:直线,[中%&^国#教育@出版网]‎ 要使二次函数满足上述条件,在的情况,必须在对称轴左边,‎ 即时,才能使得随着的增大而增大,‎ ‎∴综上所述,且;‎ ‎⑶由⑵可得:,‎ ‎∵是以为斜边的直角三角形,点与点关于原点对称,(如图是其中的一种情况)‎ ‎∴原点平分,∴,作,,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 第 21 页 共 21 页 解得:.‎ 如图,在矩形中,,,沿直线折叠矩形的一边,使点B落在边上的点E处.分别以,所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线经过O,D,C三点.‎ ‎⑴求的长及抛物线的解析式;‎ ‎⑵一动点P从点E出发,沿以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与相似?‎ ‎【解析】 ⑴∵四边形为矩形,‎ ‎∴,‎ ‎,.[来源:zz@%s~tep.^com*]‎ 由题意得,.‎ ‎∴,,.‎ 由勾股定理易得.∴.[来@源:中*&~国%教育出版网]‎ 设,则,[来~*源:中^国教育%&出版网]‎ 由勾股定理,得.‎ 解之得,,∴.‎ ‎∵抛物线过点,∴.‎ ‎∵抛物线过点,,[来源@:*zzstep.^c%om&]‎ ‎∴.解之得.‎ 第 21 页 共 21 页 ‎∴抛物线的解析式为:.[w~#ww.zz&ste^p.com@]‎ ‎⑵∵,,‎ ‎∴.[来~源^*:&中教%网]‎ 由⑴可得,,.[来源:中@#国教*育出版~网^]‎ 而,,∴.‎ 当时,,[来源#:*中国教%育出~&版网]‎ ‎∴,即,解得.‎ 当时,,‎ ‎∴,即,解得.[来源:中国#%&教育出*@版网]‎ ‎∴当或时,以,,为顶点的三角形与相似.‎ 题型二:坐标系中(函数图象上)动点产生四边形问题 思路导航 坐标系中(函数图象上)动点产生四边形问题:主要讲解两类问题:⑴因动点产生的平行四边形问题 ⑵因动点产生的梯形问题.[来源%@:中^教#*网]‎ ‎⑴因动点产生的平行四边形问题的方法与技巧:‎ 已知以点、点为顶点的四边形为平行四边形,寻找平行四边形的另外两个顶点.‎ ‎①为边:平移型,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形.‎ ‎②为对角线:旋转型,利用对角线互相平分的四边形为平行四边形.‎ 第 21 页 共 21 页 ‎⑵因动点产生的梯形问题的方法与技巧:‎ 如图,已知和直线,在直线上找点,使以点、、、为顶点的四边形为梯形.‎ ‎①分别过点、、作、、的平行线与直线相交.‎ ‎②检验以点、、、为顶点的四边形是否为平行四边形.‎ 第 21 页 共 21 页 典题精练 在平面直角坐标系中,以点为圆心、半径为的圆与轴相交于点、(点在点的左边),与轴相交于点、(点在点的下方).‎ ‎⑴求以直线为对称轴,且经过点、的抛物线的解析式;[来源:中~国教育^出*版&网@]‎ ‎⑵若为这条抛物线对称轴上的点,则在抛物线上是否存在这样的点,使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎⑴如图,∵圆以点为圆心,半径为5,‎ ‎∴此圆与轴交于点,.‎ 连接OD在中,,‎ ‎∵,,∴.∴点的坐标为.‎ 设抛物线的解析式为,[www.z&^zs#tep.c*o~m]‎ ‎∵抛物线经过点,,‎ 且对称轴为,∴‎ 解得,,.‎ ‎∴抛物线的解析式为 .[来#%源:中国教育&出版网^@]‎ ‎⑵存在符合条件的点F,使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形.[www.@^*z~zstep.c#om]‎ 情况1:当为平行四边形的一边时,∵,‎ ‎∴.‎ 设点,,,将点、‎ 第 21 页 共 21 页 分别代入抛物线的解析式,‎ 得,.[www@#.zzst%e~*p.com]‎ 情况2:当为平行四边形的对角线时,,‎ 又∵点在抛物线上,‎ ‎∴点必为抛物线的顶点.‎ ‎∴.‎ 综上所述,,使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形.‎ 抛物线经过直线与坐标轴的两个交点,抛物线与轴的另一个交点为,抛物线的顶点为.[来源*:中&~#^教网]‎ ‎⑴求此抛物线的解析式;‎ ‎⑵试判断的形状,并证明你的结论;‎ ‎⑶在坐标轴上是否存在点使得以点、、、为顶点的四边形是梯形.若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎⑴∵直线与坐标轴的两个交点坐标分别为,‎ 又抛物线经过这两个点,‎ 则可得,解得,‎ ‎∴此抛物线的解析式为.‎ ‎⑵由⑴可知:点坐标为,顶点的坐标为,‎ 过点作轴于,‎ 可知,∴,‎ 第 21 页 共 21 页 ‎∵,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴是直角三角形.‎ ‎⑶分以下三种情况讨论:‎ ‎①若为底,则与轴交于点,‎ 由易知,直线的解析式为,‎ ‎∴直线的解析式为,∴.‎ ‎②若为底,则与轴交于点,[中*%@国教育^出版#网]‎ 由易知,直线的解析式为,‎ ‎∴直线的解析式为,∴.‎ ‎③若为底,则与轴、轴分别交于,‎ 已知直线的解析式为,‎ ‎∴直线的解析式为,∴.[中国教育&%出版@网*#]‎ 综上所述,满足以为顶点的四边形是梯形的点坐标为,,,.‎ 第 21 页 共 21 页 ‎[中^~#国教育出版网&%]‎ 如图,已知抛物线:的顶点为,与轴相交于两点(点在点的左边),点的横坐标是.‎ y x A O B P M 图1‎ C1‎ C2‎ C3‎ 图⑴‎ ‎ ‎y x A O P P N 图2‎ C1‎ C4‎ Q E F 图⑵‎ ‎⑴求点坐标及的值;‎ ‎⑵如图⑴,抛物线与抛物线关于轴对称,将抛物线向右平移,平移后的抛物线记为,的顶点为,当点关于点成中心对称时,求的解析式;‎ ‎⑶如图⑵,点是轴正半轴上一点,将抛物线绕点旋转后得到抛物线.抛物线的顶点为,与轴相交于两点(点在点的左边),当以点为顶点的三角形是直角三角形时,求点的坐标.‎ y x A O B P M 图⑴‎ C1‎ C2‎ C3‎ H G ‎⑴由抛物线:得顶点的坐标为 ‎∵点在抛物线上,∴,解得.‎ ‎⑵连接,作轴于,作轴于 ‎∵点关于点成中心对称,‎ ‎∴过点,且[来源:#&zzstep^@.%com]‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴顶点的坐标为[w*ww.#@zz&step.^com]‎ y x A O B P N 图⑵‎ Q E F H G K 抛物线关于轴对称得到,再平移得到[中%国教育出版@&网#~]‎ 第 21 页 共 21 页 ‎∴抛物线的解析式为[w~ww.zz#s^tep%@.com]‎ ‎⑶∵抛物线由绕着轴上的点旋转得到 ‎∴顶点关于点成中心对称 由⑵得点的纵坐标为,设点坐标为[来源:*中国教育出^版网@&#]‎ 作轴于,作轴于,作于 ‎∵旋转中心在轴上,∴,‎ ‎∴,点坐标为,坐标为,坐标为,‎ 根据勾股定理得,,‎ ‎,‎ ‎①当时,,解得,∴点坐标为[来~源:zz*^st@%ep.com]‎ ‎②当时,,解得,∴点坐标为 ‎③∵,∴‎ 综上,当点坐标为或时,以点为顶点的三角形是直角三角形.‎ ‎[w@ww%.zzste^p.#com~]‎ 第 21 页 共 21 页 复习巩固 题型一 坐标系中(函数图象上)动点产生三角形问题 巩固练习 如图,抛物线与轴相交于、两点(点在点右侧),过点的直线交抛物线于另一点,点的坐标为.‎ ‎⑴求的值及直线的函数关系式;‎ ‎⑵是线段上一动点,过点作轴的平行线,交抛物线于点,[中~国#教育出&版网^%]‎ 交轴于点.‎ ‎①求线段长度的最大值;‎ ‎②在抛物线上是否存在这样的点,使得与相似?如 果存在,请直接写出所有满足条件的点的坐标(不必写解答过程);如果不存在,请说明理由.‎ ‎[来~源^@:中教&网%]‎ ‎⑴由题意得,∴‎ ‎∴抛物线的函数解析式为,与轴交于、‎ 设直线的解析式为,则有,解得,‎ ‎∴直线的解析式为[来#源:中教@~网%^]‎ ‎⑵ ①设的横坐标为,则,‎ ‎∴[中国*^教育&#出版网~]‎ ‎∴当时,的最大值为.‎ ‎②;‎ 第 21 页 共 21 页 提示:通过观察容易得到,需要计算过点且与垂直的直线与抛物线的交点,比较复杂;亦或过作的垂线,垂足为,则,得到,设点的横坐标为,通过点坐标与线段的转化,利用比例关系求出,进一步求出点坐标.‎ ‎[来源:zzs@te#%^*p.com]‎ ‎[ww&w.~z*zs@tep.co#m]‎ 题型二 坐标系中(函数图象上)动点产生四边形问题 巩固练习 已知:如图所示,关于的抛物线与轴交于点、点,与轴交于点.‎ ‎⑴求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;‎ ‎⑵在抛物线上有一点,使四边形为等腰梯形,写出点的坐标,并求出直线的[中&国教育#*~出^版网]‎ 解析式;‎ ‎⑶在⑵的条件下直线交抛物线的对称轴于点,抛物线上有一动点,轴上有一动点,是否存在以、、、为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点的坐标;如果不存在,请说明理由.[来^源@:&%中~教网]‎ ‎⑴根据题意,得,解得 ‎∴抛物线的解析式为,顶点坐标是.‎ ‎⑵‎ 设直线的解析式为 第 21 页 共 21 页 ‎∵直线经过点,点 ‎∴,解得,∴.‎ ‎⑶存在.,,,.[ww~w.zzs@t#%ep.&com]‎ 在平面直角坐标系中,以点为圆心、半径为的圆与轴相交于点、(点在点的左边),与轴相交于点、(点在点的下方).[来源~:@中^国#教%育出版网]‎ ‎⑴求以直线为对称轴,且经过点、的抛物线的解析式;‎ ‎⑵若点是该抛物线对称轴上的一个动点,求的取值范围;‎ ‎⑶若为这个抛物线对称轴上的点,则在抛物线上是否存在这样的点,使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎⑴由的圆心为,半径为,及各点的位置可知 ‎,‎ ‎∵抛物线的对称轴是,且经过点,∴该抛物线一定经过点,‎ ‎∴设抛物线解析式为,代入,可得 ‎,解得,∴抛物线解析式为.[中国教育*出&@^#版网]‎ ‎⑵由两点关于对称轴对称,则连结与对称轴交于一点,‎ 此时最小,又知,‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎⑶①若,则点横坐标为或,‎ 这两点关于对称轴对称,∴,‎ 第 21 页 共 21 页 ‎∴点的坐标为.‎ ‎②若互相平分,则点在对称轴上,‎ ‎∴点坐标为.‎ ‎∴存在点,坐标为.‎ ‎[来#源:中~^%*国教育出版网]‎ 如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴的交点为点,与x轴的交点为点A,过点作轴的平行线,交抛物线于点,连接.现有两动点,分别从,两点同时出发,点以每秒4个单位的速度沿向终点移动,点以每秒1个单位的速度沿向点移动,点停止运动时,点也同时停止运动,线段,相交于点,过点作,交于点,射线交轴于点.设动点,移动的时间为(单位:秒)‎ ‎⑴求,,三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;‎ ‎⑵当为何值时,四边形为平行四边形?请写出计算过程;‎ ‎⑶当时,的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;‎ ‎⑷当为何值时,为等腰三角形?请写出解答过程.‎ ‎⑴∵,令,得,,‎ ‎∴或,∴;‎ 在中,令,得,即;‎ 由于,故点的纵坐标为,‎ 由,得或 第 21 页 共 21 页 即,且易求出顶点坐标为,‎ 于是,,顶点坐标为.‎ ‎⑵若四边形为平行四边形,‎ 由于.故只要即可,‎ 而,故,得;[来#%源&:~中教^网]‎ ‎⑶设点运动秒,则,,‎ 说明在线段上,且不与点、重合,‎ 由于知,故,‎ ‎∴,∴.‎ 又点到直线的距离,‎ ‎∴,‎ 于是的面积总为.‎ ‎⑷由⑶知,.‎ 构造直角三角形后易得,‎ ‎.‎ ‎①若,即,故,‎ ‎∵,∴,∴.‎ ‎②若,即,无的满足条件;[来~%源:zz#s*tep.c&om]‎ ‎③若,即,得,[中&国教育出版@*#%网]‎ ‎∴或都不满足,故无的满足方程;[ww@w.zzs%t&ep.^#com]‎ 第 21 页 共 21 页 综上所述:当时,是等腰三角形.‎ 如图,抛物线与轴分别相交于点、,它的顶点为,连接,把所在的直线沿轴向上平移,使它经过原点,得到直线,设是直线上一动点.[来#源:中*国教育出版^网%~]‎ ‎⑴求点的坐标;‎ ‎⑵以点、、、为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、‎ 直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点的坐标;‎ ‎⑶设以点、、、为顶点的四边形的面积为,点的横 坐标为,当时,求的取值范围.‎ ‎[来源:zzst*^ep#@.c~om]‎ ‎⑴由,知点的坐标为.‎ ‎⑵ ①如图2,菱形的顶点的坐标为.‎ ‎②如图3,等腰梯形的顶点的坐标为.‎ ‎③如图4,直角梯形的顶点的坐标为,‎ 直角梯形的顶点的坐标为.‎ ‎ ‎ ‎⑶ 直线的解析式为,那么点的坐标可表示为.[ww#w%.zzstep^.*com~]‎ 的面积.‎ 第 21 页 共 21 页 ‎① 当在轴上方时,.‎ 解不等式组,得.[中^国教#育&*%出版网]‎ ‎② 当在轴下方时,与是同底等高的三角形,面积相等.‎ 因此.‎ 解不等式组,得.‎ 综上所述,的取值范围.是或 课后测 ‎【测试1】点在轴的负半轴上,,.将绕坐标原点顺时针旋转,得到,再继续旋转,得到.抛物线经过、两点.‎ ⑴ 求抛物线的解析式;‎ ⑵ 点是否在此抛物线上,请说明理由;‎ ⑶ 在该抛物线上找一点,使得是以为底的等腰三角形,求出所有符合条件的点的坐标;‎ ⑷ 在该抛物线上,是否存在两点、,使得原点是线段中点,若存在,直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】⑴ 过点作于点,‎ ‎∵,∴.‎ 又,∴.‎ ‎∴.∴,.[中国*教育^#出&版网%]‎ 第 21 页 共 21 页 ‎∵抛物线经过、两点,‎ ‎∴ 解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为.[中~&国^教育出%版网@]‎ ‎⑵ ∵当时,,‎ ‎∴点不在此抛物线上.‎ ‎⑶ 点应在线段的垂直平分线上,由题意可知,且平分,‎ ‎∴点在直线上.‎ 可求得所在直线的解析式为.‎ 又点是直线与抛物线的交点,‎ 由,解得,.‎ ‎∴符合条件的点有两个,即点和.[来源:z#zstep%.&c~om^]‎ ‎⑷ 存在.和.‎ ‎ ‎ 关注“初中教师园地”公众号 关注“中一教师园地”公众号 第 21 页 共 21 页 初中同步备课资料陆续推送中 中考备考资料陆续推送中 快快告诉你身边的小伙伴们吧~ 速速转到班级群/朋友圈 第 21 页 共 21 页