中考数学一轮复习 图形的变化 图形的旋转 29页

图形的旋转 第三十讲 第六章　图形的变化 知识盘点 1 ．旋转的概念 2 ．旋转变换的性质 3 ．中心对称和中心对称图形 4 、旋转的三条件 1 ． 中心对称与中心对称图形的区别和联系 区 别 ：中心 对 称是两个 图 形的位置关系 ， 必 须 涉及两个 图 形 ， 中心 对 称 图 形是指一个 图 形；中心 对 称是指其中 一个 图 形沿 对 称中心旋 转 180° 后 ， 两个 图 形重合；中心 对 称 图 形是指 该图 形 绕对 称中心旋 转 180° ， 与原 图 形重合． 联 系：如果把两个成中心 对 称的 图 形拼在一起 ， 看成一个整体 ， 那么它就是中心 对 称 图 形；如果把中心 对 称 图 形看成以 对 称中心 为 分点的两个 图 形 ， 那么 这 两个 图 形成中心 对 称． 难点与易错点 2 ． 中心对称与轴对称的区别和联系 区 别 ：中心对称有一个 对 称中心 —— 点； 图 形 绕 中心旋 转 180° ， 旋 转 后与另一个 图 形重合． 轴对 称有一条 对 称 轴 —— 直 线．图 形沿直 线 翻折 180° ， 翻折后与另一个 图 形 重合． 联 系：如果一个 轴对 称 图 形有两条互相垂直的 对 称 轴 ， 那么它必是中心 对 称 图 形 ， 这 两条 对 称 轴 的交点就是它的 对 称中心 ， 但中心 对 称 图 形不一定是 轴对 称 图 形． 3 ． 旋转作图 (1) 旋 转 作 图 的依据是旋 转 的特征． (2) 旋 转 作 图 的步 骤 如下： ① 确定旋 转 中心、旋 转 方向和旋 转 角度； ② 确定 图 形的关 键 点 ( 如三角形的三个 顶 点 ) ， 并 标 上相 应 字母； ③ 将 这 些关 键 点沿旋 转 方向 转动 一定的角度； ④ 按照原 图 形的 连 接方式 ， 顺 次 连 接 这 些 对应 点 ， 得到旋 转 后的 图 形 ， 写出 结论． D 1 ． ( 2015 · 广州 ) 将图中所示的图案以圆心为中心 ， 旋转 180° 后得到的图案是 ( ) 夯实基础 B 2 ． ( 2015 · 重庆 ) 下列图形是我国国产品牌汽车的标识 ， 在这些汽车标识中 ， 是中心对称图形的是 ( ) C 3 ． ( 2015 · 哈尔滨 ) 如图 ， 在 Rt △ABC 中 ， ∠ BAC ＝ 90° ， 将△ ABC 绕点 A 顺时针旋转 90° 后得到的△ AB′C′( 点 B 的对应点是点 B′ ， 点 C 的对应点是点 C′) ， 连接 CC′. 若∠ CC′B′ ＝ 32° ， 则∠ B 的大小是 ( ) A ． 32° B ． 64° C ． 77° D ． 87° A 4 ． ( 2015 · 贵港 ) 在平面直角坐标系中 ， 若点 P(m ， m － n) 与点 Q( － 2 ， 3) 关于原点对称 ， 则点 M(m ， n) 在 ( ) A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 D 类型一：识别中心对称图形 【 例 1 】 　 ( 2015 · 杭州 ) 下列图形是中心对称图形的是 ( ) A 【 点评 】 　把一个 图 形 绕 着某一个点旋 转 180° ， 如果旋 转 后的 图 形能 够 与原来的 图 形重合 ， 这样 的 图 形才是中心 对 称 图 形． 典例探究 [ 对应训练 ] 1 ． ( 2015 · 绥化 ) 下列图案中 ， 既是中心对称图形又是轴对称图形的个数有 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 B 类型二：根据旋转的性质解决问题 【 例 2 】 　 (1) ( 2015 · 钦州 ) 如图 ， 在 4×4 的正方形网格中 ， 每个小正方形的边长均为 1 ， 将△ AOB 绕点 O 逆时针旋转 90° 得到△ COD ， 则旋转过程中形成的阴影部分的面积为 __________ ． (2) 如图 ， △ ABC 中 ， AB ＝ AC ＝ 1 ， ∠ BAC ＝ 45° ， △ AEF 是由△ ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的 ， 连接 BE ， CF 相交于点 D. ① 求证： BE ＝ CF ； ②当四边形 ACDE 为菱形时 ， 求 BD 的长． 解： ① 证明： ∵△ AEF 是由 △ ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的 ， ∴ AE ＝ AB ， AF ＝ AC ， ∠ EAF ＝ ∠ BAC ， ∴∠ EAF ＋ ∠ BAF ＝ ∠ BAC ＋ ∠ BAF ， 即 ∠ EAB ＝ ∠ FAC ， ∵ AB ＝ AC ， ∴ AE ＝ AF ， ∴△ AEB 可由 △ AFC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到 ， ∴ BE ＝ CF 　 【点评】 　 (1) 抓住旋 转 中的 “ 变 ” 与 “ 不 变 ” ； (2) 找准旋 转 前后的 对应 点和 对应线 段、旋 转 角等； ( 3) 充分利用旋 转过 程中 线 段、角之 间 的关系． [ 对应训练 ] 2 ． (1) ( 2015 · 吉林 ) 如图 ， 在 Rt △ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， AC ＝ 5 cm ， BC ＝ 12 cm ， 将△ ABC 绕点 B 顺时针旋转 60° ， 得到△ BDE ， 连接 DC 交 AB 于点 F ， 则△ ACF 与△ BDF 的周长之和为 ______cm. 42 (2) ( 2015 · 日照 ) 如图 ， 已知 ， 在△ ABC 中 ， CA ＝ CB ， ∠ ACB ＝ 90° ， E ， F 分别是 CA ， CB 边的三等分点 ， 将△ ECF 绕点 C 逆时针旋转 α 角 (0° ＜ α ＜ 90°) ， 得到△ MCN ， 连接 AM ， BN. ① 求证： AM ＝ BN ； ②当 MA∥CN 时 ， 试求旋转角 α 的余弦值． 类型三：与旋转有关的作图 【 例 3 】 　 ( 2015 · 昆明 ) 如图 ， △ ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2 ， 4) ， B(1 ， 1) ， C(4 ， 3) ． (1) 请画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A 1 B 1 C 1 ， 并写出点 A 1 的坐标； (2) 请画出△ ABC 绕点 B 逆时针旋转 90° 后的△ A 2 BC 2 ； (3) 求出 (2) 中 C 点旋转到 C 2 点所经过的路径长． ( 结果保留根号和 π ) ． 解： ( 1 ) 根据关于 x 轴对称点的坐标特点可知： A 1 ( 2 ， － 4 ) ， B 1 ( 1 ， － 1 ) ， C 1 ( 4 ， － 3 ) ， 如图：连接 A 1 ， B 1 ， C 1 即可得到△ A 1 B 1 C 1 ( 2 ) 如图： 【 点评 】 　本 题 考 查 了利用旋 转变换 作 图 ， 利用 轴对 称 变换 作 图 ， 熟 练 掌握网格 结 构准确找出 对应 点的位置是解 题 的关 键． [ 对应训练 ] 3 ． ( 2015 · 厦门 ) 在平面直角坐标系中 ， 已知点 A( － 3 ， 1) ， B( － 2 ， 0) ， C(0 ， 1) ， 请在图中画出△ ABC ， 并画出与△ ABC 关于原点 O 对称的图形． 解：作图如右 类型四：轴对称、平移、旋转的综合应用 【 例 4 】 　 ( 2015 · 东营 ) 如图 ， 两个全等的△ ABC 和△ DFE 重叠在一起 ， 固定△ ABC ， 将△ DEF 进行如下变换： (1) 如图① ， △ DEF 沿直线 CB 向右平移 ( 即点 F 在线段 CB 上移动 ) ， 连接 AF ， AD ， B D . 请直接写出 S △ABC 与 S 四边形 AFBD 的关系； (2) 如图② ， 当点 F 平移到线段 BC 的中点时 ， 若四边形 AFBD 为正方形 ， 那么△ ABC 应满足什么条件？请给出证明． 解： ( 1 ) S △ ABC ＝ S 四边形 AFBD ， 理由：由题意可得： AD∥EC ， 则 S △ ADF ＝ S △ ABD ， 故 S △ ACF ＝ S △ ADF ＝ S △ ABD ， 则 S △ ABC ＝ S 四边形 AFBD 　 【 点评 】 　本 题 主要考 查 了正方形的 判定以及等腰直角三角形的性 质 等知 识 ， 熟 练应 用正方形的判定方法是解 题 关 键． [ 对应训练 ] 4 ． 如图 ， 点 P 是正方形 ABCD 内一点 ， 点 P 到点 A ， B 和 D 的距离分别为 1 ， 2 ，， △ ADP 沿点 A 旋转至△ ABP ′ ， 连接 PP ′ ， 并延长 AP 与 BC 相交于点 Q . (1) 求证：△ APP ′ 是等腰直角三角形； (2) 求∠ BPQ 的大小； (3) 求 CQ 的长． 解： ( 1 ) ∵△ADP 沿点 A 旋转至 △ ABP′ ， ∴根据旋转的性质可知 ， △ APD ≌△ AP ′ B ， ∴ AP ＝ AP′ ， ∠ PAD ＝ ∠ P′AB ， ∵∠ PAD ＋ ∠ PAB ＝ 90 ° ， ∴∠ P ′ AB ＋ ∠ PAB ＝ 90 ° ， 即 ∠ PAP′ ＝ 90 ° ， ∴△ APP ′ 是等腰直角三角形 试题 　如图 ， 正方形 ABCD 的顶点 A 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合 ， 将△ AEF 绕其顶点 A 旋转 ， 在旋转过程中 ， 当 BE ＝ DF 时 ， ∠ BAE 的大小是 ____ ． 错解 　 15° 　解析：∵正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合 ， BE ＝ DF ， ∴ AB ＝ AD ， AE ＝ AF ， ∴△ ABE ≌△ ADF (SSS) ， ∴∠ BAE ＝∠ FAD .∵∠ EAF ＝ 60° ， ∴∠ BAE ＋∠ FAD ＝ 30° ， ∴∠ BAE ＝∠ FAD ＝ 15°. 剖析 　正三角形 AEF 可以在正方形的内部也可以在正方形的外部 ， 所以要分两种情况分 别 求解． 易错： 正解 　 15 ° 或 165 ° 解析： ( 1 ) 当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的内部时 ， 如图 ① ， ∵ 正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合 ， BE ＝ DF ， ∴ AB ＝ AD ， AE ＝ AF ， ∴△ ABE ≌△ ADF ( SSS ) ， ∴∠ BAE ＝ ∠ FAD. ∵∠ EAF ＝ 60 ° ， ∴∠ BAE ＋ ∠ FAD ＝ 30 ° ， ∴∠ BAE ＝ ∠ FAD ＝ 15 ° . ( 2 ) 当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部时 ， 如图 ② ， ∵ 正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合 ， BE ＝ DF ， AB ＝ AD ， AE ＝ AF ， ∴△ ABE ≌△ ADF ( SSS ) ， ∴∠ BAE ＝ ∠ FAD ， ∵∠ EAF ＝ 60 ° ， ∴ 2 ∠ BAE － ∠ EAF ＋ 90 ° ＝ 360 ° ， ∴∠ BAE ＝ 165 ° . 故答案为 15 ° 或 165 °