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- 2021-05-10 发布
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2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)
专题60:代数几何综合
一、选择题
1. (2012浙江义乌3分)一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在【 】
A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间
【答案】B。
【考点】算术平方根,估算无理数的大小。
【分析】∵一个正方形的面积是15,∴该正方形的边长为,
∵9<15<16,∴3<<4。故选B。
2. (2012浙江杭州3分)已知抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是【 】
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B。
【考点】抛物线与x轴的交点。
【分析】根据抛物线的解析式可得C(0,﹣3),再表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐标,再根据ABC是等腰三角形分三种情况讨论,求得k的值,即可求出答案:
根据题意,得C(0,﹣3).
令y=0,则,解得x=﹣1或x=。
设A点的坐标为(﹣1,0),则B(,0),
①当AC=BC时,OA=OB=1,B点的坐标为(1,0),∴=1,k=3;
②当AC=AB时,点B在点A的右面时,
∵,∴AB=AC=,B点的坐标为(﹣1,0),
∴;
③当AC=AB时,点B在点A的左面时,B点的坐标为(,0),
∴。
∴能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是3条。故选B。
3. (2012浙江湖州3分)如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于【 】
A. B. C.3 D.4
【答案】A。
【考点】二次函数的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】过B作BF⊥OA于F,过D作DE⊥OA于E,过C作CM⊥OA于M,
∵BF⊥OA,DE⊥OA,CM⊥OA,∴BF∥DE∥CM。
∵OD=AD=3,DE⊥OA,∴OE=EA=OA=2。
由勾股定理得:DE=。
设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,
∵BF∥DE∥CM,∴△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE。
∴,即,解得:。
∴BF+CM=。故选A。
4. (2012浙江嘉兴、舟山4分)已知△ABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠A等于【 】
A. 40° B. 60° C. 80° D. 90°
【答案】A。
【考点】一元一次方程的应用(几何问题),三角形内角和定理。
【分析】设∠A=x,则∠B=2x,∠C=x+20°,则x+2x+x+20°=180°,解得x=40°,即∠A=40°。故选A。
5. (2012江苏苏州3分)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示),点
B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上.若正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,
B1C1∥B2C2∥B3C3,则点A3到x轴的距离是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】正方形的性质,平行的性质,三角形内角和定理,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】过小正方形的一个顶点W作FQ⊥x轴于点Q,过点A3F⊥FQ于点F,
∵正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3,
∴∠B3C3 E4=60°,∠D1C1E1=30°,
∠E2B2C2=30°。
∴D1E1=D1C1=。
∴D1E1=B2E2=。
∴。
解得:B2C2=。
∴B3E4=。∴,解得:B3C3=。∴WC3=。
根据题意得出:∠WC3 Q=30°,∠C3 WQ=60°,∠A3 WF=30°,
∴WQ=,FW=WA3•cos30°=。
∴点A3到x轴的距离为:FW+WQ=。故选D。
6. (2012湖南永州3分)下列说法正确的是【 】
A.
B.
C.不等式2﹣x>1的解集为x>1
D.当x>0时,反比例函数的函数值y随自变量x取值的增大而减小
7. (2012湖南张家界3分)下列不是必然事件的是【 】
A. 角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 三角形任意两边之和大于第三边
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 三角形内心到三边距离相等
【答案】C。
【考点】随机事件,必然事件。
【分析】A.为必然事件,不符合题意;B.为必然事件,不符合题意;C.为不确定事件,面积相等的三角形不一定全等,符合题意;D.为必然事件,不符合题意。故选C。
8. (2012四川资阳3分)下列计算或化简正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】合并同类项,二次根式的化简,算术平方根,分式的基本性质。
【分析】根据合并同类项和二次根式的化简的运算法则,算术平方根的概念和分式的基本性质逐一判断:
A、a2和a3不是同类项,不可以全并,此选项错误;
B、,此选项错误;
C、,此选项错误;
D、,此选项正确。
故选D。
9. (2012四川南充3分)下列计算正确的是【 】
(A)x3+ x3=x6 (B)m2·m3=m6 (C)3-=3 (D)×=7
【答案】D。
【考点】合并同类项,同底数幂的乘法,二次根式的加减法,次根式的乘法。
【分析】对每一项分别进行解答,得出正确的结果,最后选出本题的答案即可:
A、x3+x3=2x3,故此选项错误; B、m2•m3=m5,故此选项错误;
C、3-再不能合并,故此选项错误;D、,故此选项正确。
故选D。
10. (2012四川攀枝花3分)下列运算正确的是【 】
A. B. C. (ab)2=ab2 D. (﹣a2)3=a6
【答案】A。
【考点】立方根,算术平方根,幂的乘方与积的乘方。
【分析】根据立方根,算术平方根,幂的乘方与积的乘方的知识,对各选项分析判断后利用排除法求解,即可求得答案:
A.,故本选项正确;B.,故本选项错误;
C.(ab)2=a2b2,故本选项错误;D.(﹣a2)3=﹣a6,故本选项错误。
故选A。
11. (2012四川泸州2分)已知三角形两边的长分别是3和6,第三边的长是方程x2 - 6x + 8 = 0的根,则这个三角形的周长等于【 】
A、13 B、11 C、11 或13 D、12或15
【答案】A。
【考点】因式分解法解一元二次方程,三角形三边关系。
【分析】首先由方程x2-6x+8=0,确定第三边的边长为2或4;其次考查2,3,6或4,3,6能否构成三角形,从而求出三角形的周长:
解方程x2-6x+8=0,得:x1=2或x2=4。
当第三边是2时,2+3<6,不能构成三角形,应舍去;
当第三边是4时,三角形的周长为4+3+6=13。故选A。
12. (2012四川广元3分) 一组数据2,3,6,8,x的众数是x,其中x又是不等式组的整数
解,则这组数据的中位数可能是【 】
A. 3 B. 4 C. 6 D. 3或6
【答案】D。
【考点】一元一次不等式组的整数解,众数,中位数。
【分析】先求出不等式组 2x-4>0x-7<0 的整数解,再根据众数、中位数的定义可求
,
解不等式①得x>2,解不等式②得x<7,∴不等式组的解为2<x<7。
∴不等式组的整数解为3,4,5,6。
∵一组数据2、3、6、8、x的众数是x,∴x=3或6。
如果x=3,排序后该组数据为2,3,3,6,8,则中位数为3;
如果x=6,排序后该组数据为2,3,6,6,8,则中位数为6。
故选D。
13. (2012辽宁本溪3分)已知一元二次方程x2-8x+15=0 的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长,则△ABC的周长为【 】:]
A、13 B、11或13 C、11 D、12
【答案】B。
【考点】因式分解法解一元二次方程,等腰三角形的性质,三角形三边关系。
【分析】∵x2-8x+15=0 ,∴(x-3)(x-5)=0。∴x-3=0或x-5=0,即x1=3,x2=5。
∵一元二次方程x2-8x+15=0 的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长,
∴当底边长和腰长分别为3和5时,3+3>5,∴△ABC的周长为:3+3+5=11;
∴当底边长和腰长分别为5和3时,3+5>5,∴△ABC的周长为:3+5+5=13。
∴△ABC的周长为:11或13。故选B。
14. (2012辽宁朝阳3分)如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数的图象上,若点A 的坐标为(-2,-3),则k的值为【 】
A.1 B. -5 C. 4 D. 1或-5
【答案】D。
【考点】矩形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征。
【分析】如图:∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形,
又∵BO为四边形HBEO的对角线,OD为四边形OGDF的对角线,
∴。
∴。
∴。
∴xy=k2+4k+1=6,解得,k=1或k=-5。故选D。
15. (2012贵州黔西南4分)三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程-的解,则第三边的长为【 】
(A)7 (B)3 (C)7或3 (D)无法确定
【答案】A。
【考点】因式分解法解一元二次方程,三角形三边关系。
【分析】由因式分解得:(x-3)(x-7)=0,解得:x1=3,x2=7。
∵三角形的第三边是的解,∴三角形的第三边为3或7。
当三角形第三边为3时,2+3<6,不能构成三角形,舍去;
当三角形第三边为7时,三角形三边分别为2,6,7,能构成三角形。
∴第三边的长为7。故选A。
16. (2012贵州安顺3分)下列说法中正确的是【 】
A. 是一个无理数
B. 函数的自变量的取值范围是x>﹣1
C. 若点P(2,a)和点Q(b,﹣3)关于x轴对称,则a﹣b的值为1
D. ﹣8的立方根是2
【答案】C。
【考点】无理数,函数自变量的取值范围,二次根式有意义的条件,关于x轴对称的点的坐标,立方根。
【分析】A、=3是有理数,故此选项错误;
B、函数的自变量的取值范围是x≥﹣1,故此选项错误;
C、若点P(2,a)和点Q(b,﹣3)关于x轴对称,则b=2,a=3,故a﹣b=3﹣2=1,故此选项正确;
D、﹣8的立方根式﹣2,故此选项错误。
故选C。
17. (2012贵州黔东南4分)如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M,则点M的坐标为【 】
A.(2,0) B.() C.() D.()
【答案】C。
【考点】实数与数轴,矩形的性质,勾股定理。
【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC,继而得出AM的长,结合数轴的知识可得出点M的坐标:
由题意得,。
∴AM= ,BM=AM﹣AB= ﹣3。
又∵点B的坐标为(2,0),∴点M的坐标为(﹣1,0)。故选C。
18. (2012贵州黔西南4分)如图,⊙O的半径为2,点A的坐标为,直线AB为⊙O的切线,B为切点,则B点的坐标为【 】
(A) (B) (C) (D)
【答案】D。
【考点】切线的判定和性质,坐标与图形性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,
∵⊙O的半径为2,点A的坐标为,即OC=2。∴AC是圆的切线。
∵OA=4,OC=2,∴∠AOC=60°。
又∵直线AB为⊙O的切线,∴∠AOB=∠AOC=60°。
∴∠BOD=180°-∠AOB-∠AOC=60°。
又∵OB=2,∴OD=1,BD=,即B点的坐标为。故选D。
19. (2012山东济南3分)已知⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根,若圆心距O1O2=5,则⊙O1和⊙O2的位置关系是【 】
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系,圆与圆的位置关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系,可知圆心距=两圆半径之和,再根据圆与圆的位置关系作出
判断,根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此,
∵⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根,∴两根之和=5=两圆半径之和。
又∵圆心距O1O2=5,∴两圆外切。故选B。
20. (2012山东潍坊3分)已知两圆半径r1、r2分别是方程x2—7x+10=0的两根,两圆的圆心距为7,则两圆的位置关系是【 】.
A.相交 B.内切 C.外切 D.外离
【答案】C。
【考点】圆与圆的位置关系,因式分解法解一元二次方程。
【分析】首先解方程x2—7x+10=0,求得两圆半径r1、r2的值,又由两圆的圆心距为7,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径r1、r2的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系:
∵,∴两圆半径r1、r2分别是2,5。
∵2+5=7,两圆的圆心距为7,∴两圆的位置关系是外切。故选C。
21. (2012河北省3分)如图,两个正方形的面积分别为16,9,两阴影部分的面积分别为a,b(a>b),则(a-b)等于【 】
A.7 B.6 C.5 D.4
【答案】A。
【考点】整式的加减。
【分析】设重叠部分面积为c,(a-b)可理解为(a+c)-(b+c),即两个正方形面积的差,所以。
A-b=(a+c)-(b+c)=16-9=7。故选A。
二、填空题
1. (2012重庆市4分)将长度为8厘米的木棍截成三段,每段长度均为整数厘米.如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法(如:5,2,1和1,5,2),那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是
▲ .
【答案】。
【考点】三角形三边关系,概率公式。
【分析】∵因为将长度为8厘米的木棍截成三段,每段长度均为整数厘米,共有4种情况,分别是1,2,5;1,3,4;2,3,3;4,2,2。其中能构成三角形的是:2,3,3一种情况。
∴截成的三段木棍能构成三角形的概率是。
2. (2012广东佛山3分)如图,边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形,若拼成的矩形一边长为4,则另一边长为 ▲
【答案】2m+4。
【考点】图形的变换,一元一次方程的应用(几何问题)。
【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积,列式整理即可得解:
设拼成的矩形的另一边长为x,
则4x=(m+4)2-m2=(m+4+m)(m+4-m)=8m+16,解得x=2m+4。
3. (2012广东珠海4分)如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上,B点坐标为(3,2),OB与AC交于点P,D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点,则四边形DEFG的周长为 ▲ .
【答案】5。
【考点】坐标与图形性质,矩形的性质,三角形中位线定理。
【分析】根据题意,由B点坐标知OA=BC=3,AB=OC=2;根据三角形中位线定理可求四边形DEFG的各边长度,从而求周长:
∵四边形OABC是矩形,∴OA=BC,AB=OC, BA⊥OA,BC⊥OC。
∵B点坐标为(3,2),∴OA=3,AB=2。
∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点,∴DE=GF=1.5; EF=DG=1。
∴四边形DEFG的周长为 (1.5+1)×2=5。
4. (2012浙江湖州4分)如图,将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形,这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形,若,则△ABC的边长是 ▲
【答案】12。
【考点】一元二次方程的应用(几何问题),菱形的性质,等边三角形的性质,锐角三角函数定义。
【分析】设正△ABC的边长为x,则由勾股定理,得高为,。
∵所分成的都是正三角形,
∴根据锐角三角函数定义,可得黑色菱形的较长的对角线为 ,较短的对角线为。
∴黑色菱形的面积=。
∴,整理得,11x2-144x+144=0。
解得(不符合题意,舍去),x2=12。
所以,△ABC的边长是12。
5. (2012江苏镇江2分)如图,在平面直角坐标系x0y中,直线AB过点A(-4,0),B(0,4),⊙O的半径为1(O为坐标原点),点P在直线AB上,过点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长PQ
的最小值为 ▲ 。
【答案】。
【考点】坐标和图形,切线的性质,矩形的判定和性质,垂直线段的性质,三角形边角关系,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】如图,过点O作OP1⊥AB,过点P1作⊙O的切线交⊙O于点Q1,连接OQ,OQ1。
当PQ⊥AB时,易得四边形P1PQO是矩形,即PQ=P1O。
∵P1 Q1是⊙O的切线, ∴∠OQ1P1=900。
∴在Rt△OP1Q1中,P1Q1<P1O,∴P1Q1即是切线长PQ的最小值。
∵A(-4,0),B(0,4),∴OA=OB=4。
∴△OAB是等腰直角三角形。∴△AOP1是等腰直角三角形。
根据勾股定理,得OP1=。
∵⊙O的半径为1,∴OQ1=1。
根据勾股定理,得P1 Q1=。
6. (2012江苏徐州2分)函数的图象如图所示,关于该函数,下列结论正确的是 ▲ (填序号)。
①函数图象是轴对称图形;②函数图象是中心对称图形;③当x>0时,函数有最小值;④点(1,4)在函数图象上;⑤当x<1或x>3时,y>4。
【答案】②③④。
【考点】函数的图象和性质,轴对称图形和中心对称图形,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据图象作出判断:
①函数图象不是轴对称图形。故结论①错误。
②函数图象是中心对称图形,对称中心是坐标原点。故结论②正确。
③∵当x>0时,,∴函数有最小值。故结论③正确。
④∵当x=1时,。∴点(1,4)在函数图象上。故结论④正确。
⑤∵当x<0时,y<0,∴当x<1时,y不大于4。故结论⑤错误。
∴结论正确的是②③④。
7. (2012江苏宿迁3分)如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积,则S1 ▲ S2.(填“>”“=”“ <”)
【答案】=。
【考点】黄金分割点,二次根式化简。
【分析】设AB=1,由P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,
根据黄金分割点的定义,AP=,BP=。
∴。∴S1=S2。
8. (2012江苏盐城3分)已知与的半径分别是方程的两根,且,
若这两个圆相切,则t= ▲ .
【答案】2或0。
【考点】圆与圆的位置关系,因式分解法解一元二次方程。
【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径,再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解:∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程的两根,解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3。
①当两圆外切时,圆心距O1O2=t+2=1+3=4,解得t=2;
②当两圆内切时,圆心距O1O2=t+2=3-1=2,解得t=0。
∴t为2或0。
9. (2012湖北黄石3分)如图所示,已知A点从点(1,0)出发,以每秒1个单位长的速度沿着x轴
的正方向运动,经过t秒后,以O、A为顶点作菱形OABC,使B、C点都在第一象限内,且∠AOC=600,
又以P(0,4)为圆心,PC为半径的圆恰好与OA所在直线相切,则t= ▲ .
【答案】。
【考点】切线的性质,坐标与图形性质,菱形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】∵已知A点从(1,0)点出发,以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动,
∴经过t秒后,∴OA=1+t。,
∵四边形OABC是菱形,∴OC=1+t。,
当⊙P与OA,即与x轴相切时,如图所示,则切点为O,此时PC=OP。
过点P作PE⊥OC,垂足为点E。
∴OE=CE=OC,即OE=(1+t)。
在Rt△OPE中,OP=4,∠OPE=900-∠AOC=30°,
∴OE=OP•cos30°=,即。
∴。
∴当PC为半径的圆恰好与OA所在直线相切时,。
10. (2012湖北荆州3分)如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同发t秒时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分),则下列结论:①AD=BE=5;②cos∠ABE=;③当0<t≤5时,;④当秒时,△ABE∽△QBP;其中正确的结论是 ▲ (填序号).
【答案】①③④。
【考点】动点问题的函数图象,矩形的性质,勾股定理,锐角三角函数定义,相似三角形的判定和性质。
【分析】根据图(2)可知,当点P到达点E时点Q到达点C,
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒,∴BC=BE=5。∴AD=BE=5。故结论①正确。
又∵从M到N的变化是2,∴ED=2。∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3。
在Rt△ABE中,,
∴。故结论②错误。
过点P作PF⊥BC于点F,
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠PBF,∴sin∠PBF=sin∠AEB=。
∴PF=PBsin∠PBF=t。
∴当0<t≤5时,。故结论③正确。
当秒时,点P在CD上,
此时,PD=-BE-ED=,PQ=CD-PD=4-。
∵,∴。
又∵∠A=∠Q=90°,∴△ABE∽△QBP。故结论④正确。
综上所述,正确的有①③④。
11. (2012湖北武汉3分)如图,点A在双曲线y=的第一象限的那一支上,AB垂直于x轴与点B,
点C在x轴正半轴上,且OC=2AB,点E在线段AC上,且AE=3EC,点D为OB的中点,若△ADE
的面积为3,则k的值为 ▲ .
【答案】。
【考点】反比例函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,同底三角形面积的计算,梯形中位线的性质。
【分析】如图,连接DC,
∵AE=3EC,△ADE的面积为3,∴△CDE的面积为1。
∴△ADC的面积为4。
∵点A在双曲线y=的第一象限的那一支上,
∴设A点坐标为()。
∵OC=2AB,∴OC=2。
∵点D为OB的中点,∴△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半,∴梯形BOCA的面积为8。
∴梯形BIEA的面积=,解得。
12. (2012湖北武汉3分)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点
C是第一象限内一点,且AC=2.设tan∠BOC=m,则m的取值范围是 ▲ .
【答案】。
【考点】锐角三角函数定义,勾股定理,一元二次方程根的判别式。
【分析】如图,设C点坐标为()。
∵tan∠BOC=m,∴,即。
∵A的坐标为(3,0),∴DA=。
又∵AC=2.∴由勾股定理,得,
即,整理得
由得。
∵tan∠BOC=m>0,∴。
13. (2012四川德阳3分) 有下列计算:①(m2)3=m6,②,③m6÷m2=m3,
④,⑤,其中正确的运算有 ▲ .
【答案】①④⑤。
【考点】幂的乘方,同底数幂的除法,二次根式的性质与化简,二次根式的四则运算。
【分析】∵(m2)3=m2×3=m6,∴①正确;
∵,∴②错误;
∵m6÷m2=m4,∴③错误;
∵,∴④正确;
∵,∴⑤正确。
∴正确的运算有:①④⑤。
14. (2012四川巴中3分)已知a、b、c是△ABC三边的长,且满足关系式 ,
则△ABC的形状为 ▲
【答案】等腰直角三角形。
【考点】非负数的性质,算术平方根,非负数的性质,勾股定理的逆定理,等腰直角三角形的判定。
【分析】∵ ,∴c2-a2-b2=0,且a-b=0。
由c2-a2-b2=0得c2=a2+b2,∴根据勾股定理的逆定理,得△ABC为直角三角形。
又由a-b=0得a=b,∴△ABC为等腰直角三角形。
15. (2012四川内江6分)已知A(1,5),B(3,-1)两点,在x轴上取一点M,使AM-BN取得最大值时,则M的坐标为 ▲
【答案】(,0)。
【考点】一次函数综合题,线段中垂线的性质,三角形三边关系,关于x轴对称的点的坐标,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,解二元一次方程组。
【分析】如图,作点B关于x轴的对称点B′,连接AB′并延长与x轴的交点,即为所求的M点。
此时AM-BM=AM-B′M=AB′。
不妨在x轴上任取一个另一点M′,连接M′A、M′B、M′B.
则M′A-M′B=M′A-M′B′<AB′(三角形两边之差小于第三边)。
∴M′A-M′B<AM-BM,即此时AM-BM最大。
∵B′是B(3,-1)关于x轴的对称点,∴B′(3,1)。
设直线AB′解析式为y=kx+b,把A(1,5)和B′(3,1)代入得:
,解得 。∴直线AB′解析式为y=-2x+7。
令y=0,解得x= 。∴M点坐标为(,0)。
16. (2012四川资阳3分)如图,O为矩形ABCD的中心,M为BC边上一点,N为DC边上一点,ON⊥OM,若AB=6,AD=4,设OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式为 ▲ .
【答案】y=x。
【考点】矩形的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】如图,作OF⊥BC于F,OE⊥CD于E,
∵ABCD为矩形,∴∠C=90°。
∵OF⊥BC,OE⊥CD,∴∠EOF=90°。∴∠EON+∠FON=90°。
∵ON⊥OM,∴∠EON=∠FOM。∴△OEN∽△OFM。
∴。
∵O为矩形ABCD的中心,∴。∴ ,即y=x。
17. (2012四川自贡4分)正方形ABCD的边长为1cm,M、N分别是BC.CD上两个动点,且始终保持AM⊥MN,当BM= ▲ cm时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为 ▲ cm2.
【答案】,。
【考点】正方形的性质,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值。
【分析】设BM=xcm,则MC=1﹣xcm,
∵∠AMN=90°,∠AMB+∠NMC=90°,∠NMC+∠MNC=90°,∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC。
∴△ABM∽△MCN,∴,即,解得CN=x(1﹣x)。
∴。
∵<0,∴当x=cm时,S四边形ABCN最大,最大值是cm2。
18. (2012辽宁朝阳3分)下列说法中正确的序号有 ▲ 。
①在Rt△ABC中,∠C=900,CD为AB边上的中线,且CD=2,则AB=4;
②八边形的内角和度数为10800;
③2、3、4、3这组数据的方差为0.5;
④分式方程的解为;
⑤已知菱形的一个内角为600,一条对角线为,则另一对角线为2。
【答案】①②③④。
【考点】直角三角形斜边上中线的性质,多边形内角和定理,方差,解分式方程,菱形的性质,等边三角形的判定,勾股定理。
【分析】①∵在Rt△ABC中,∠C=90°,CD为AB边上的中线,且CD=2,
∴根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质,得AB=2CD=4。∴①正确。
②∵八边形的内角和度数是(8-2)×180°=1080°。∴②正确。
③∵2、3、4、3的平均数是,
∴2、3、4、3的方差是。∴③正确。
④∵由去分母得:1=3x-1,解得:x=。经检验x=是原方程的解。∴④正确。
⑤∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC,OD=OB,AB=AD。
∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形。∴AB=AD=BD,AB=BD=2BO。
分为两种情况:
当BD==AB时,BO=,由勾股定理得:AO=3,AC=6。
当AC=时,AO=,由勾股定理得:BO=1,BD=2。
∴另一对角线为2或6。∴⑤错误。
故答案为:①②③④。
19. (2012贵州黔南5分)如图,四边形ABCD是矩形,A,B两点在x轴的正半轴上,C,D两点在抛物线上,设OA=m(0<m<3),矩形ABCD的周长为l,则l 与m的函数解析式为 ▲ 。
【答案】。
【考点】矩形的性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】求l与m的函数解析式就是把m当作已知量,求l,先求AD,它的长就是D点的纵坐标,再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标,C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长,用l=2(AD+AB),建立函数关系式:
把x=m代入抛物线中,得AD=,
把y=代入抛物线中,得,解得x1=m,x2=6-m。
∴C的横坐标是6-m。∴AB=6-m-m=6-2m。
∴矩形的周长是。
20. (2012山东济宁3分)在△ABC中,若∠A、∠B满足|cosA﹣|+(sinB﹣)2=0,则∠C= ▲ .
【答案】75°。
【考点】非负数的性质,绝对值,偶次方,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理。
【分析】∵|cosA﹣|+(sinB﹣)2=0,∴cosA﹣=0,sinB﹣=0。
∴cosA=,sinB=。∴∠A=60°,∠B=45°。
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°。
21. (2012广西北海3分)如图,点A的坐标为(-1,0),点B在直线y=2x-4上运动,当线段AB最
短时,点B的坐标是 ▲ 。
【答案】()。
【考点】直线上点的坐标与方程的关系,垂直线段最短的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】如图,由题意,根据垂直线段最短的性质,当线段AB最短时点B的位置B1,有AB1⊥BD。
过点B1作B1E垂直x轴于点E。
由点C、D在直线y=2x-4可得,C(2,0),D(0,-4)
设点B1(x ,2x-4),则E(x ,0)。
由A(-1,0),得AE= x+1,EB1=∣2x-4∣=4-2x,CO=2,DO=4。
易得△AB1E∽△DCO,∴,即。
解得。∴B1()。
∴当线段AB最短时,点B的坐标是()。
三、解答题
1. (2012海南省13分)如图,顶点为P(4,-4)的二次函数图象经过原点(0,0),点A在该图象上,
OA交其对称轴于点M,点M、N关于点P对称,连接AN、ON
(1)求该二次函数的关系式.
(2)若点A的坐标是(6,-3),求△ANO的面积.
(3)当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动,请解答下列问题:
①证明:∠ANM=∠ONM
②△ANO能否为直角三角形?如果能,请求出所有符合条件的点A的坐标,如果不能,请说明理由.
【答案】解:(1)∵二次函数图象的顶点为P(4,-4),∴设二次函数的关系式为。
又∵二次函数图象经过原点(0,0),∴,解得。
∴二次函数的关系式为,即。
(2)设直线OA的解析式为,将A(6,-3)代入得,解得。
∴直线OA的解析式为。
把代入得。∴M(4,-2)。
又∵点M、N关于点P对称,∴N(4,-6),MN=4。
∴。
(3)①证明:过点A作AH⊥于点H,,与x轴交于点D。则
设A(),
则直线OA的解析式为。
则M(),N(),H()。
∴OD=4,ND=,HA=,NH=。
∴。
∴。∴∠ANM=∠ONM。
②能。理由如下:分三种情况讨论:
情况1,若∠ONA是直角,由①,得∠ANM=∠ONM=450,
∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH,即。
整理,得,解得。
∴此时,点A与点P重合。故此时不存在点A,使∠ONA是直角。
情况2,若∠AON是直角,则。
∵ ,
∴。
整理,得,解得,。
舍去,(在左侧)。
当时,。
∴此时存在点A(),使∠AON是直角。
情况3,若∠NAO是直角,则△AMN∽△DMO∽△DON,∴。
∵OD=4,MD=,ND=,∴。
整理,得,解得。
∴此时,点A与点P重合。故此时不存在点A,使∠ONA是直角。
综上所述,当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时,存在点A(),使∠AON是直角,即△ANO为直角三角形。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,对称的性质,锐角三角函数定义,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程。
【分析】(1)由二次函数图象的顶点为P(4,-4)和经过原点,设顶点式关系式,用待定系数法即可求。
(2)求出直线OA的解析式,从而得到点M的坐标,根据对称性点N坐标,从而求得MN的长,从而求得△ANO的面积。
(3)①根据正切函数定义,分别求出∠ANM和∠ONM即可证明。
②分∠ONA是直角,∠AON是直角,∠NAO是直角三种情况讨论即可得出结论。
当∠AON是直角时,还可在Rt△OMNK中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解:
∵OP=PN=PM,OP=
∵ PN=-4 , ∴=-4 。 ∴。
2. (2012宁夏区10分)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),过点P作AP⊥PE,垂足为P,PE交CD于点E.
(1)连接AE,当△APE与△ADE全等时,求BP的长;
(2)若设BP为x,CE为y,试确定y与x的函数关系式。当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?
(3)若PE∥BD,试求出此时BP的长.
【答案】解:(1)∵△APE≌△ADE,∴AP=AD=3。
在Rt△ABP中,AB=2,∴BP=。
(2)∵AP⊥PE,∴Rt△ABP∽Rt△PCE。
∴ ,即。∴。
∵
∴当时,y的值最大,最大值是。
(2)设BP=x, 由(2)得。
∵PE∥BD,,∴△CPE∽△CBD。
∴, 即,
化简得。
解得或(不合题意,舍去)。
∴当BP= 时, PE∥BD。
【考点】矩形的性质,全等三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值,平行的性质,解一元二次方程。
【分析】(1)由△APE≌△ADE可得AP=AD=3,在Rt△ABP中,应用勾股定理即可求得BP的长。
(2)由AP⊥PE,得Rt△ABP∽Rt△PCE,根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。化为顶点式即可求得当时,y的值最大,最大值是。
(3)由PE∥BD,得△CPE∽△CBD,根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得BP的长。
3. (2012广东省9分)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC、AC.
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作直线l平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,连接CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).
【答案】解:(1)在中,
令x=0,得y=-9,∴C(0,﹣9);
令y=0,即,解得:x1=﹣3,x2=6,∴A(﹣3,0)、B(6,0)。
∴AB=9,OC=9。
(2)∵ED∥BC,∴△AED∽△ABC,∴,即:。
∴s=m2(0<m<9)。
(3)∵S△AEC=AE•OC=m,S△AED=s=m2,
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣(m﹣)2+。
∴△CDE的最大面积为,
此时,AE=m=,BE=AB﹣AE=。
又,
过E作EF⊥BC于F,则Rt△BEF∽Rt△BCO,得:,即:。
∴。
∴以E点为圆心,与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值,勾股定理,直线与圆相切的性质。
【分析】(1)已知抛物线的解析式,当x=0,可确定C点坐标;当y=0时,可确定A、B点的坐标,从而确定AB、OC的长。
(2)直线l∥BC,可得出△AED∽△ABC,它们的面积比等于相似比的平方,由此得到关于s、m的函数关系式;根据题目条件:点E与点A、B不重合,可确定m的取值范围。
(3)①首先用m列出△AEC的面积表达式,△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积,由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式,根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF,这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径,可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值,由此得解。
4. (2012广东深圳9分)如图,已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4,0)、B(1,0)、C(-2,6).
(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式;
(2)设直线BC交y轴于点E,连接AE,求证:AE=CE;
(3)设抛物线与y轴交于点D,连接AD交BC于点F,试问以A、B、F,为顶点的三角形与△ABC相似吗?
请说明理由.
【答案】解:(1)∵抛物线经过A(-4,0)、B(1,0),∴设函数解析式为:y=a(x+4)(x-1)。
又∵由抛物线经过C(-2,6),∴6=a(-2+4)(-2-1),解得: a=-1。
∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为:y=-(x+4)(x-1),即y=-x2-3x+4。
(2)证明:设直线BC的函数解析式为y=kx+b,
由题意得: ,解得:。
∴直线BC的解析式为y=-2x+2.
∴点E的坐标为(0,2)。
∴。
∴AE=CE。
(3)相似。理由如下:
设直线AD的解析式为y=k1x+b1,则 ,解得:。
∴直线AD的解析式为y=x+4。
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得:,解得:。
∴点F的坐标为( )。
则。
又∵AB=5,,
∴。∴。
又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA。
∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定。
【分析】(1)利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。
(2)求出直线BC的函数解析式,从而得出点E的坐标,然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。
(3)求出AD的函数解析式,然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标,根据勾股定理分别求出BF,BC 得出;由题意得∠ABF=∠CBA, 即可作出判断。
5. (2012广东广州14分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).
(1)当α=60°时,求CE的长;
(2)当60°<α<90°时,
①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
②连接CF,当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.
【答案】解:(1)∵α=60°,BC=10,∴sinα=,即sin60°=,解得CE=。
(2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF。理由如下:
连接CF并延长交BA的延长线于点G,
∵F为AD的中点,∴AF=FD。
在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠G=∠DCF。
在△AFG和△CFD中,
∵∠G=∠DCF, ∠G=∠DCF,AF=FD,
∴△AFG≌△CFD(AAS)。∴CF=GF,AG=CD。
∵CE⊥AB,∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。
∵AB=5,BC=10,点F是AD的中点,∴AG=5,AF=AD=BC=5。∴AG=AF。
∴∠AFG=∠G。
在△AFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF,
又∵∠CFD=∠AFG,∴∠CFD=∠AEF。
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,
因此,存在正整数k=3,使得∠EFD=3∠AEF。
②设BE=x,∵AG=CD=AB=5,∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x,
在Rt△BCE中,CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。
在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10﹣x)2+100﹣x2=200﹣20x。
∵CF=GF(①中已证),∴CF2=(CG)2=CG2=(200﹣20x)=50﹣5x。
∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣(x﹣)2+50+。
∴当x=,即点E是AB的中点时,CE2﹣CF2取最大值。
此时,EG=10﹣x=10﹣,CE=,
∴。
【考点】锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,平行四边形的性质,对顶角的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线性质,等腰三角形的性质,二次函数的最值,勾股定理。
【分析】(1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解。
(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G,利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=GF,AG=CD,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF,再根据AB、BC的长度可得AG=AF,然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G,然后推出∠EFD=3∠AEF,从而得解。
②设BE=x,在Rt△BCE中,利用勾股定理表示出CE2,表示出EG的长度,在Rt△CEG中,利用勾股定理表示出CG2,从而得到CF2,然后相减并整理,再根据二次函数的最值问题解答。
6. (2012浙江嘉兴、舟山14分)在平面直角坐标系xOy中,点P是抛物线:y=x2上的动点(点在第一象限内).连接 OP,过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ,交y轴于点M.作PA丄x轴于点A,QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.
(1)如图1,当m=时,
①求线段OP的长和tan∠POM的值;
②在y轴上找一点C,使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,求点C的坐标;
(2)如图2,连接AM、BM,分别与OP、OQ相交于点D、E.
①用含m的代数式表示点Q的坐标;
②求证:四边形ODME是矩形.
【答案】解:(1)①把x=代入 y=x2,得 y=2,∴P(,2),∴OP=。
∵PA丄x轴,∴PA∥MO.∴。
②设 Q(n,n2),∵tan∠QOB=tan∠POM,∴.∴。
∴Q()。∴OQ=。
∴当 OQ=OC 时,则C1(0,),C2(0,-)。
当 OQ=CQ 时,则 C3(0,1)。
(2)①∵点P的横坐标为m,∴P(m,m2)。设 Q(n,n2),
∵△APO∽△BOQ,∴。∴,得。
∴Q()。
②设直线PO的解析式为:y=kx+b,把P(m,m2)、Q()代入,得:
,解得b=1。∴M(0,1)。
∵,∠QBO=∠MOA=90°,∴△QBO∽△MOA。
∴∠MAO=∠QOB,∴QO∥MA。
同理可证:EM∥OD。
又∵∠EOD=90°,∴四边形ODME是矩形。
【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,平行的判定和性质,锐角三角函数定义,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,矩形的判定。
【分析】(1)①已知m的值,代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标;由此确定PA、OA的长,通过解直角三角形易得出结论。
②题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形,所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断:
QO=QC时,Q在线段OC的垂直平分线上,Q、O的纵坐标已知,C点坐标即可确定;
QO=OC时,先求出OQ的长,那么C点坐标可确定。
(2)①由∠QOP=90°,易求得△QBO∽△MOA,通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标。
②在四边形ODME中,已知了一个直角,只需判定该四边形是平行四边形即可,那么可通过证明两组对边平行来得证。
7. (2012浙江丽水、金华12分)在△ABC中,∠ABC=45°,tan∠ACB=.如图,把△ABC的一边BC放置在x轴上,有OB=14,OC=,AC与y轴交于点E.21世纪教育网
(1)求AC所在直线的函数解析式;
(2)过点O作OG⊥AC,垂足为G,求△OEG的面积;
(3)已知点F(10,0),在△ABC的边上取两点P,Q,是否存在以O,P,Q为顶点的三角形与△OFP全等,且这两个三角形在OP的异侧?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1) 在Rt△OCE中,OE=OCtan∠OCE=,∴点E(0,。
设直线AC的函数解析式为y=kx+,有,解得:k=。
∴直线AC的函数解析式为y=。
(2) 在Rt△OGE中,tan∠EOG=tan∠OCE=,
设EG=3t,OG=5t,,∴,得t=2。
∴EG=6,OG=10。∴/
(3) 存在。
①当点Q在AC上时,点Q即为点G,
如图1,作∠FOQ的角平分线交CE于点P1,
由△OP1F≌△OP1Q,则有P1F⊥x轴,
由于点P1在直线AC上,当x=10时,
y=
∴点P1(10,)。
②当点Q在AB上时,如图2,有OQ=OF,作∠FOQ的角平分线交CE于点P2,过点Q作QH⊥OB于点H,设OH=a,
则BH=QH=14-a,
在Rt△OQH中,a2+(14-a)2=100,
解得:a1=6,a2=8,∴Q(-6,8)或Q(-8,6)。
连接QF交OP2于点M.
当Q(-6,8)时,则点M(2,4);当Q(-8,6)时,则点M(1,3)。
设直线OP2的解析式为y=kx,则2k=4,k=2。∴y=2x。
解方程组,得。
∴P2();
当Q(-8,6)时,则点M(1,3).同理可求P2′()。
综上所述,满足条件的P点坐标为
(10,)或()或()。
【考点】一次函数综合题,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,锐角三角函数定义,全等三角形的判定和应用。
【分析】(1)根据三角函数求E点坐标,运用待定系数法求解。
(2)在Rt△OGE中,运用三角函数和勾股定理求EG,OG的长度,再计算面积。
(3)分两种情况讨论求解:①点Q在AC上;②点Q在AB上.求直线OP与直线AC的交点坐标即可。
8. (2012浙江杭州10分)有一组互不全等的三角形,它们的边长均为整数,每个三角形有两条边的长分别为5和7.
(1)请写出其中一个三角形的第三边的长;
(2)设组中最多有n个三角形,求n的值;
(3)当这组三角形个数最多时,从中任取一个,求该三角形周长为偶数的概率.
9. ((2012江苏南京9分)“?”的思考
下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。
题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?
解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,
根据题意,得x•2x=288.
解这个方程,得x1=-12(不合题意,舍去),x2=12
所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)
答:当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.
?
我的结果也正确
小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中划了一条横线,并打开了一个“?”
结果为何正确呢?
(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:
变化一下会怎样……
(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.
【答案】解:(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由。
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm.”前补充以下过程:
设温室的宽为ym,则长为2ym。
则矩形蔬菜种植区域的宽为(y-1-1)m,长为(2y-3-1)m。
∵,∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1。
(2)a+c b+d =2。理由如下:
要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,就要,即,
即 ,即a+c b+d =2。
【考点】一元二次方程的应用(几何问题),相似多边形的性质,比例的性质。
【分析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由,所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。
(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,利用相似多边形的性质,可得 ,然后利用比例的性质。
10. (2012江苏连云港12分)如图,甲、乙两人分别从A(1,)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶,th后,甲到达M点,乙到达N点.
(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行.
(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?
(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长,设s=MN2,求s与t之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小值.
【答案】解:(1)∵A坐标为(1,),∴OA=2,∠AOB=60°。
∵甲达到O点时间为t=,乙达到O点的时间为t=,
∴甲先到达O点,所以t=或t=时,O、M、N三点不能连接成三角形。
①当t<时,OM=2-4t,ON=6-4t,
假设MN∥AB。则△OMN∽△OAB。
∴,解得t=0。即在甲到达O点前,只有当t=0时,△OMN∽△OAB。
∴MN与AB不可能平行。
②当<t<时,
如图,∵∠PMN>∠PON>∠PAB
∴MN与AB不平行。
综上所述,在甲、乙两人到达O点前, MN与AB不可能平行。
(2) 由(1)知,当t≤时,△OMN不相似△OBA。
当t>时,OM=4t -2,ON=4t -6,
由解得t=2>,
∴当t=2时,△OMN∽△OBA。
(3)①当t≤时,如图1,过点M作MH⊥x轴,垂足为H,
在Rt△MOH中,∵∠AOB=60°,
∴MH=OMsin60°=(2-4t)×=(1-2t),
OH=0Mcos60°=(2-4t)×=1-2t,
∴NH=(6-4t)-(1-2t)=5-2t。
∴s=2+(5-2t)2=16t2-32t+28。
②当<t≤时,如图2,作MH⊥x轴,垂足为H,
在Rt△MNH中,MH=(4t-2)=(2t-1),
NH=(4t-2)+(6-4t)=5-2t,
∴s=2+(5-2t)2=16t2-32t+28。
③当t>时,同理可得s=16t2-32t+28。
综上所述,s=16t2-32t+28。
∵s=16t2-32t+28=16(t-1)2+12,
∴当t=1时,s有最小值为12,
∴甲、乙两人距离最小值为(km)。
【考点】反证法,坐标与图形性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角形外角性质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值。
【分析】(1)用反证法说明.根据已知条件分别表示相关线段的长度,根据三角形相似得比例式说明。
(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答。
(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式,运用函数性质解答问题。
11. (2012江苏连云港10分)如图,⊙O的圆心在坐标原点,半径为2,直线y=x+b(b>0)与⊙O交于A、B两点,点O关于直线y=x+b的对称点O′,
(1)求证:四边形OAO′B是菱形;
(2)当点O′落在⊙O上时,求b的值.
【答案】(1)证明:∵点O、O′关于直线y=x+b的对称,
∴直线y=x+b是线段OO′的垂直平分线,∴AO=AO′,BO=BO′。
又∵OA,OB是⊙O的半径,∴OA=OB。
∴AO=AO′=BO=BO′。∴四边形OAO′B是菱形.
(2)解:如图,设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是
N(-b,0),P(0,b),AB与OO′相交于点M。
则△ONP为等腰直角三角形,∴∠OPN=45°。
∵四边形OAO′B是菱形,∴OM⊥PN。
∴△OMP为等腰直角三角形。
当点O′落在圆上时,OM=OO′=1。
在Rt△OMP中,由勾股定理得:OP=,即b=。
【考点】一次函数综合题,线段中垂线的判定和性质,菱形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】(1)根据轴对称得出直线y=x+b是线段OO′D的垂直平分线,根据线段中垂线上的点到比下有余两端的距离相等得出AO=AO′,BO=BO′,从而得AO=AO′=BO=BO′,即可推出答案。
(2)设直线y=x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(-b,0),P(0,b),得出等腰直角三角形ONP,求出OM⊥NP,求出MP=OM=1,根据勾股定理求出即可。
12. (2012江苏扬州12分)如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,矩形对角线AC、OB相交于E,过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H.
(1)①直接写出点E的坐标: .
②求证:AG=CH.
(2)如图2,以O为圆心,OC为半径的圆弧交OA与D,若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F,求直线GH的函数关系式.
(3)在(2)的结论下,梯形ABHG的内部有一点P,当⊙P与HG、GA、AB都相切时,求⊙P的半径.
【答案】解:(1)① (1,)。
②证明:∵四边形OABC是矩形,∴CE=AE,BC∥OA。∴∠HCE=∠GAE。
∵在△CHE和△AGE中,∠HCE=∠GAE, CE=AE,∠HEC=∠G EA,
∴△CHE≌△AGE(ASA)。∴AG=CH。
(2)连接DE并延长DE交CB于M,连接AC,
则由矩形的性质,点E在AC上。
∵DD=OC=1=OA,∴D是OA的中点。
∵在△CME和△ADE中,
∠MCE=∠DAE, CE=AE,∠MEC=∠DEA,
∴△CME≌△ADE(ASA)。∴CM=AD=2-1=1。
∵BC∥OA,∠COD=90°,∴四边形CMDO是矩形。∴MD⊥OD,MD⊥CB。
∴MD切⊙O于D。
∵HG切⊙O于F,E(1,),∴可设CH=HF=x,FE=ED==ME。
在Rt△MHE中,有MH2+ME2=HE2,即(1-x)2+()2=(+x)2,解得x=。
∴H(,1),OG=2-。∴G(,0)。
设直线GH的解析式是:y=kx+b,
把G、H的坐标代入得:,解得:。
∴直线GH的函数关系式为。
(3)连接BG,
∵在△OCH和△BAG中,
CH=AG,∠HCO=∠GAB,OC=AB,
∴△OCH≌△BAG(SAS)。∴∠CHO=∠AGB。
∵∠HCO=90°,∴HC切⊙O于C,HG切⊙O于F。
∴OH平分∠CHF。∴∠CHO=∠FHO=∠BGA。
∵△CHE≌△AGE,∴HE=GE。
∵在△HOE和△GBE中,HE=GE,∠HEO=∠GEB,OE=BE,
∴△HOE≌△GBE(SAS)。∴∠OHE=∠BGE。21世纪教育网
∵∠CHO=∠FHO=∠BGA,∴∠BGA=∠BGE,即BG平分∠FGA。
∵⊙P与HG、GA、AB都相切,∴圆心P必在BG上。
过P做PN⊥GA,垂足为N,则△GPN∽△GBA。∴。
设半径为r,则,解得。
答:⊙P的半径是.
【考点】一次函数综合题,矩形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,切线的判定和性质,勾股定理,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,角平分线的判定和性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1))①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标。
②推出CE=AE,BC∥OA,推出∠HCE=∠EAG,证出△CHE≌△AGE即可。
(2)连接DE并延长DE交CB于M,求出DD=OC=OA,证△CME≌△ADE,推出四边形CMDO是矩形,求出MD切⊙O于D,设CH=HF=x,推出(1-x)2+()2=(+x)2,求出H、G的坐标,设直线GH的解析式是y=kx+b,把G、H的坐标代入求出即可。
(3)连接BG,证△OCH≌△BAG,求出∠CHO=∠AGB,证△HOE≌△GBE,求出∠OHE=∠BGE,得出BG平分∠FGA,推出圆心P必在BG上,过P做PN⊥GA,垂足为N,根据△GPN∽△GBA,得出,设半径为r,代入求出即可。
13. (2012江苏镇江11分)等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)。
(1)求证:AM=AN;
(2)设BP=x。
①若,BM=,求x的值;
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式以及S的最小值;
③连接DE,分别与边AB、AC交于点G、H(如图2),当x取何值时,∠BAD=150?并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由。
【答案】解:(1)证明:∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形,
∴AD=AP,∠DAP=∠BAC=600,∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。
∴△ADM≌△APN(ASA),∴AM=AN。
(2)①易证△BPM∽△CAP,∴,
∵BN=,AC=2,CP=2-x,∴,即。
解得x=或x=。
②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。
∵△ADM≌△APN,∴。
∴。
如图,过点P作PS⊥AB于点S,过点D作DT⊥AP于点T,则点T是AP的中点。
在Rt△BPS中,∵∠P=600,BP=x,
∴PS=BPsin600=x,BS=BPcos600=x。
∵AB=2,∴AS=AB-BC=2-x。
∴。
∴。
∴。
∴当x=1时,S的最小值为。
③连接PG,设DE交AP于点O。
若∠BAD=150,
∵∠DAP =600,∴∠PAG =450。
∵△APD和△APE都是等边三角形,
∴AD=DP=AP=PE=EA。
∴四边形ADPE是菱形。
∴DO垂直平分AP。
∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。
∴∠PGA =900。
设BG=t,
在Rt△BPG中,∠B=600,∴BP=2t,PG=。∴AG=PG=。
∴,解得t=-1。∴BP=2t=2-2。
∴当BP=2-2时,∠BAD=150。
猜想:以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
∵四边形ADPE是菱形,∴AO⊥DE,∠ADO=∠AEH=300。
∵∠BAD=150,∴易得∠AGO=450,∠HAO=150,∠EAH=450。
设AO=a,则AD=AE=2 a,OD=a。∴DG=DO-GO=(-1)a。
又∵∠BAD=150,∠BAC=600,∠ADO=300,∴∠DHA=∠DAH=750。
∵DH=AD=2a,
∴GH=DH-DG=2a-(-1)a=(3-)a,
HE=2DO-DH=2a-2a=2(-1)a。
∵,
,
∴。
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值,菱形的判定和性质,勾股定理和逆定理。
【分析】(1)由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系,从而用ASA证明。
(2)①由△BPM∽△CAP,根据对应边成比例得等式,解方程即可。
②应用全等三角形的判定和性质,锐角三角函数和勾股定理相关知识求得,
用x的代数式表示S,用二次函数的最值原理求出S的最小值。
③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形,应用相关知识求解。
求出DG、GH、HE的表达式,用勾股定理逆定理证明。
14. (2012江苏常州10分)在平面直角坐标系xOy中,已知动点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m>0)。以点P为圆心,为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C、D两点(D点在点C的上方)。点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)。
(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);
(2)连接DB、BE,设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D),连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?
(3)连接BC,求∠DBC-∠DBE的度数。
【答案】解:(1)B(3m,0),E(m,4m)。
(2)线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下:
由(1)知B(3m,0),E(m,4m),
∵根据圆的对称性,点D点B关于y=x对称,
∴D(0,3m)。
∴,,
。
∴。∴△BDE是直角三角形。
∴BE是△BDE的外接圆的直径。
设△BDE的外接圆的圆心为点G,则由B(3m,0),E(m,4m)得G(2m,2m)。
过点G作GI⊥DG于点I,则I(0,2m)。
根据垂径定理,得DI=IQ ,∴Q(0,m)。
∴。
∴BQ=EQ。
(3)延长EP交x轴于点H,则EP⊥AB,BH=2m。
根据垂径定理,得AH=BH=2m,AO= m。
根据圆的对称性,OC=OA= m。
又∵OB=3m,,,
∴。。
又∵∠COB=∠EDB=900,∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。
∴∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO。
又∵OB=OC,∴∠DBO=450。∴∠DBC-∠DBE=450。
【考点】直线上点的坐标与方程的关系,勾股定理和逆定理,圆的对称性,平行四边形的性质,中点坐标,圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)过点P 作PH⊥x轴于点H,PF⊥y轴于点F,连接OE,BP。
∵点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m>0),
∴ P(m,m),H(m,0),F(0,m),OH=OF=HP= m。
∵PB=,∴。
∴OB=3 m。∴B(3m,0)。
∵根据圆的对称性,点D点B关于y=x对称,∴D(0,3m)。
∵四边形DOPE是平行四边形,∴PE=OD=3m,HE=4m。∴E(m,4 m)。
(2)由勾股定理和逆定理,易知△BDE是直角三角形,从而根据圆周角定理和垂径定理可得点Q的坐标,从而根据勾股定理可求出BQ和EQ的长比较即得。
(3)求出有关线段的长,可得,从而证得△COB∽△EDB,得到∠OBC=∠DBE。因此∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO=450。
15. (2012江苏南京8分)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成,如图,在和扇形中,与、分别相切于A、B,,E、F事直线与、扇形的两个交点,EF=24cm,设的半径为x cm,
① 用含x的代数式表示扇形的半径;
② 若和扇形两个区域的制作成本分别为0.45元和0.06元,当的半径为多少时,该玩具成本最小?
【答案】解:(1)连接O1A。
∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B,
∴O1A⊥O2C,O2E平分∠CO2D。
∵,∴∠AO2O1=∠CO2D=30°。
在Rt△O1AO2中,,∴O1O2=A O1 sin∠AO2O1 =x sin30° =2x。
∵EF=24cm,∴FO2=EF-EO1-O1O2=24-3x,即扇形O2CD的半径为(24-3x)cm。
(2)设该玩具的制作成本为y元,则
。
∴当x=4时,y的值最小。
答:当⊙O1的半径为4cm时,该玩具的制作成本最小。
【考点】切线的性质,锐角三角函数定义,扇形面积的计算,二次函数的最值。
【分析】(1)连接O1A.由切线的性质知∠AO2O1=∠CO2D=30°;然后在Rt△O1AO2中利用锐角三角函数的定义求得O1O2=2x;最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O2CD的半径FO2。
(2)设该玩具的制作成本为y元,则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系,然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本。
16. (2012江苏徐州10分)如图,直线与x轴、y轴分别相交于点A、B,与正比例函数的图象相交于点C、D(点C在点D的左侧),⊙O是以CD长为半径的圆。CE∥x轴,DE∥y轴,CE、DE相交于点E。
(1)△CDE是 ▲ 三角形;点C的坐标为 ▲ ,点D的坐标为 ▲ (用含有b的代数式表示);
(2)b为何值时,点E在⊙O上?
(3)随着b取值逐渐增大,直线与⊙O有哪些位置关系?求出相应b的取值范围。
【答案】解:(1)等腰直角;;。
(2)当点E在⊙O上时,如图,连接OE。则OE=CD。
∵直线与x轴、y轴相交于点A(-b,0),B(0,b),CE∥x轴,DE∥y轴,
∴△DCE、△BDO是等腰直角三角形。
∵整个图形是轴对称图形,
∴OE平分∠AOB,∠AOE=∠BOE=450。
∵CE∥x轴,DE∥y轴,
∴四边形CAOE、OEDB是等腰梯形。
∴OE=AC=BD。
∵OE=CD,∴OE=AC=BD=CD。
过点C作CF⊥x轴,垂足为点F。
则△AFC∽△AOB。∴。∴。
∴,解得。
∵,∴。
∴当时,点E在⊙O上。
(3)当⊙O与直线相切于点G时,
如图 ,连接OG。
∵整个图形是轴对称图形,
∴点O、E、G在对称轴上。
∴GC=GD=CD=OG=AG。∴AC=CG=GD=DB。∴AC=AB。
过点C作CH⊥x轴,垂足为点H。 则△AHC∽△AOB。
∴。∴。
∴,解得。
∵,∴。
∴当时,直线与⊙O相切;
当时,直线与⊙O相离;
当时,直线与⊙O相交。
【考点】反比例函数和一次函数交点问题,等腰直角三角形的判定和性质,曲线上点的坐标与方程的关系,轴对称图形的性质,等腰梯形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,直线和圆的位置关系。
【分析】(1)∵直线与x轴、y轴相交于点A(-b,0),B(0,b),CE∥x轴,DE∥y轴,
∴△DCE是等腰直角三角形。
解得,或。
∵点C在点D的左侧,∴点C的坐标为,点D的坐标为。
(2)连接OE,过点C作CH⊥x轴于点H。由整个图形是轴对称图形,可求得OE=AC=BD=CD。由△AFC∽△AOB可求得,代入CF、BO关于b的关系式求解即得所求。
(3)讨论直线与⊙O相切时,b的取值即可得到直线与⊙O的位置关系。
当⊙O与直线相切于点G时,连接OG,过点C作CH⊥x轴于点H。由整个图形是轴对称图形,可求得AC=CG=GD=DB,即AC=AB。由△AHC∽△AOB可求得,代入CH、BO关于b的关系式求解即得⊙O与直线相切时相应b的值。从而得到直线与⊙O相离和相交时相应b的取值范围。
17. (2012福建莆田14分) 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0,0),A(0,3),B(6,3),C(6,0),抛物线过点A。
(1)(2分)求c的值; .
(2)(6分)若a=-l,且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E,求△ADE的面积S的最大值;
(3)(6分)若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N,线段MN的垂直平分线l过点O,交线段BC于点
F。当BF=1时,求抛物线的解析式.
【答案】解:(1)∵抛物线过点A(0,3),∴c=3。
(2) ∵a=-l,∴
如图①,当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时, 抛物线与直线x=6的交点应落在C点或C点下方。
∴ 当x=6时,y≤0。
∴,即。
又∵对称轴在y轴右侧,∴b>0。∴0<。
由抛物线的对称性可知: 。
又∵△ADE的高=BC=3,∴S=×b×3=。
∵>0,∴S随b的增大而增大。
∴当b=时,S的最大值=。
如图②,当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边上时,抛物线与直线
x=6的交点应落在线段BC上且不与点B重合,即0≤<3。
当x=6,则,
∴0≤6b—33<3,∴≤b<6。
∴BE=3-(6b-33)=36—6b。
∴S=AD·BE=·b·(36—6b)=-3b2+18b。
∵对称轴b=3<,∴随b的增大而减小。
∴当b=时,S的最大值=。
综上所述:S的最大值为。
(3)当a>0时,符合题意要求的抛物线不存在。
当a<0时,符合题意要求的抛物线有两种情况:
①当点M、N分别在AB、OC边上时.
如图③过M点作MG⊥OC于点G,连接OM.
∴MG=OA=3.∠2+∠MNO=90°。
∵OF垂直平分MN.
∴OM=ON,∠1+∠MNO=90°,∠1=∠2。
∵FB=1,FC=3-1=2。
∴tan∠1=,tan∠2==tan∠1=。
∴GN=GM=1。
设N(n,0),则G(n-1,0),∴M(n-1,3)。 ∴AM=n-1,ON=n=OM。
在Rt△AOM中,,
∴,解得n=5。∴ M(4,3),N(5,0)。
把M(4,3),N(5,0)分别代入,得
,解得。
∴抛物线的解析式为。
②当点M、N分别在AB、BC边上时.如图④,连接MF.
∵OF垂直平分MN,
∴∠1+∠NFO=90°,MF=FN。
又∵∠0CB=90°,∴∠2+∠CFO=90°。
∴∠1=∠2。
∵BF=1, ∴FC=2。
∴tan∠1=tan∠2=。
在Rt△MBN,tan∠1=,∴BN=3MB。
设N(6,n).则FN=2-n,BN=3一n。∴MF=2-n,MB=。
在Rt△MBF中,∵,∴。
解得: (不合题意舍去),∴。
∴AM=6-=,∴ M(,3),N(6,) 。
把M(,3),N(6,)分别代人,得
,解得 。
∴抛物线的解析式为。
综上所述,抛物线的解析式为或。
【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,矩形的性质,锐角三角函数定义,勾股定理,解二元一次方程组。
【分析】(1)将点A的坐标代入即可求得c的值。
(2)分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用二次函数性质分别求解。
(3)分抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上和抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、BC边两种情况应用待定系数法分别求解。
18. (2012湖北随州13分)在一次数学活动课上,老师出了一道题:
(1)解方程x2-2x-3=0.
巡视后老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法)。
接着,老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题:
(2)解关于x的方程mx2+(m-3)x-3=0(m为常数,且m≠0).
老师继续巡视,及时观察、点拨大家.再接着,老师将第二道题变式为第三道题:
(3)已知关于x的函数y=mx2+(m-3)x-3(m为常数).
①求证:不论m为何值,此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点(设x轴上的定点为A,y轴上的定点为C);
②若m≠0时,设此函数的图象与x轴的另一个交点为点B,当△ABC为锐角三角形时,求m的取值范围;当△ABC为钝角三角形时,观察图象,直接写出m的取值范围.
请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.
【答案】解:(1)由x2-2x-3=0,得(x+1)(x-3)=0,∴x1=1,x2=3 。
(2)由mx2+(m-3)x-3=0得(x+1)·(mx-3)=0
∵m≠0, ∴x1=-1,x2= 。
(3)①1°当m=0时,函数y= mx2+(m-3)x-3为y=-3x-3,
令y=0,得x=-1;令x=0,则y=-3。
∴直线y=-3x-3过定点A(-1,0),C(0,-3)。
2°当m≠0时,函数y= mx2+(m-3)x-3为y=(x+1)·(mx-3),
∴抛物线y=(x+1)·(mx-3)恒过两定点A(-1,0),C(0,-3)。
综上所述,不论m为何值,此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点A(-1,0),C(0,-3)。
②当m>0时,由①可知抛物线开口向上,且过点A(-1,0),C(0,-3)和
B(,0),
观察图象,可知,当△ABC为Rt△时,
△AOC∽△COB
∴,即。∴OB=9。
∴B(9,0) 。
∴当,即:m>时,△ABC为锐角三角形。
当△ABC为钝角三角形时,090º,
当m<0且m≠-3时,点B在x轴的负半轴上,B与A不重合,∠ABC>90º。
综上所述,当△ABC为钝角三角形时,0OB.请解答下列问题:
(1)求直线AB的解析式;
(2)若P为AB上一点,且;,求过点P的反比例函数的解析式;
(3)在坐标平面内是否存在点Q,使得以A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形? 若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(1)解x2-12x+32=0得x1=4,x2=8。
∵OA、OB的长分别是关于x的方程x2-12x+32=0的两根,且OA>OB,
∴OA=8,OB=4。∴A(-8,0),B(0,4)。
设直线AB的解析式为,则
,解得。
∴直线AB的解析式为。
(2)过点P作PH⊥x轴于点H。
设P(x,y),由AH= x+8。
∵,∴,即。
解得 x=-6。
∵点P在上,∴。∴P(-6,1)。
设过点P的反比例函数的解析式为,则。∴。
∴点P的反比例函数的解析式为。
(3)存在。点Q的坐标为(-2,1)或或。
【考点】一次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,解一元二次方程和二元一次方程组,平行线的性质,等腰梯形的判定和性质。
【分析】(1)求出方程x2-12x+32=0的两根得到A、B两点的坐标,用待定系数法即可求得直线AB的解析式。
(2)求出点P 的坐标,即可求得过点P的反比例函数的解析式。
(3)根据等腰梯形的性质,
当AO是等腰梯形的的底边时,AO的中垂线为x=-4,则点P(-6,1)关于x=-4的对称点为Q1(-2,1),此时四边形AOQ1P是等腰梯形。
当PO是等腰梯形的的底边时,PO的中点坐标为C(-3,),PO: ,由O(0,0),P(-6,1)求得,解得。∴PO:。
过点C与PO垂直的直线CD:,过点A与PO平行的直线AD:,
二者联立,,解得,∴点D的坐标为,则点A(-8,0)关于点D的对称点为Q2,此时四边形AQ2PO是等腰梯形。
当AP是等腰梯形的的底边时,AP的中点坐标为C(-7,),AB:。
过点E与AB垂直的直线EF:,过点O与AB平行的直线FO:,
二者联立,,解得,∴点F的坐标为,则点O(0,0)关于点F的对称点为Q3,此时四边形APOQ3是等腰梯形。