2020年中考数学二轮复习压轴专题二次函数（含解析） 35页

二次函数 ‎1．如图，平面直角坐标系中，点A.点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（a＜0）经过A.B.C三点．‎ ‎（1）求线段OB.OC的长．‎ ‎（2）求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；‎ ‎（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）y＝ax2﹣8ax+12a＝a（x﹣6）（x﹣2），‎ 故OA＝2，OB＝6，‎ ‎△OCA∽△OBC，则，即：OC2＝OA•OB，‎ 解得：CO＝2；‎ ‎（2）过点C作CD⊥x轴于点D，‎ ‎[中*国教^&%育#出版网]‎ ‎△OCA∽△OBC，则，‎ 设AC＝2x，则BC＝2x，而AB＝4，‎ 第 35 页 共 35 页 故16＝（2x）2+（2x）2，解得：x＝1，‎ 故AC＝2，BC＝2，‎ S△ABC＝AB×CD＝AC×BC，解得：CD＝，[中~*国教^育出版#网@]‎ 故OD＝3，‎ 故点C（3，）；‎ 将点C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，‎ 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x﹣4；[来源^:*&@中~教网]‎ ‎（3）设点P（m，0），而点B.C的坐标分别为：（6，0）、（3，）；‎ 则BC2＝12，PB2＝（m﹣6）2，PC2＝（m﹣3）2+3，‎ 当BC＝PB时，12＝（m﹣6）2，解得：m＝6；[来源:zzst%ep#.&@com^]‎ 当BC＝PC时，同理可得：m＝6（舍去）或0；‎ 当PB＝PC时，同理可得：m＝4，‎ 综上点P的坐标为：（6，0）或（0，0）或（4，0）．‎ ‎2．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A.B两点．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式；‎ ‎（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；‎ ‎①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[来#%源:中*国教育出^版网~]‎ 第 35 页 共 35 页 解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A.B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），‎ 将点A.B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，[中国教%育出版@#~&网]‎ 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；‎ ‎（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2+m+2），点N（m，﹣m+2），‎ 则：△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，‎ 当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；‎ ‎②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，﹣a+2）；‎ ‎（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，[中国#教%@育*出版网&]‎ 第 35 页 共 35 页 则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，[来源:&@中国教育出^%*版网]‎ 解得：a＝，‎ 故点M1（，）；‎ ‎（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，‎ 则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，‎ 作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N，‎ 则tan∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，‎ 故直线QH表达式中的k为2，‎ 设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，‎ 故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，‎ M2、M1关于B对称，‎ ‎∴M2（﹣，）；‎ 综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．‎ ‎3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；[来源@~^%:中教网*]‎ ‎（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD相似时，求N点的坐标．‎ 第 35 页 共 35 页 解：（1）将点B（4，m）代入y＝x+，‎ ‎∴m＝，[来@源:中教~#&网%]‎ 将点A（﹣1，0），B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，‎ 解得a＝，b＝﹣1，c＝﹣，‎ ‎∴函数解析式为y＝x2﹣x﹣；‎ ‎（2）设P（n， n2﹣n﹣），‎ 则经过点P且与直线y＝x+垂直的直线解析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，‎ 直线y＝x+与其垂线的交点G（n2+n﹣， n2+n+），‎ ‎∴GP＝（﹣n2+3n+4），[中国教&育%出@版网*#]‎ 当n＝时，GP最大，此时△PAB的面积最大，‎ ‎∴P（，），‎ ‎∵AB＝，PG＝，‎ ‎∴△PAB的面积＝××＝；‎ ‎（3）∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），D（3，0），‎ ‎∴AM＝2，AB＝4，MD＝2，[来源:中*&国^教育出#版网@]‎ ‎∴△MAD是等腰直角三角形，‎ ‎∵△QMN与△MAD相似，‎ ‎∴△QMN是等腰直角三角形，‎ 设N（t， t2﹣t﹣）‎ ‎①如图1，当MQ⊥QN时，N（3，0）；‎ ‎②如图2，当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴，过点M作MS⊥RN交于点S，‎ ‎∵QN＝MN，∠QNM＝90°，‎ ‎∴△MNS≌△NMS（AAS）‎ ‎∴t﹣1＝﹣t2+t+，[来@源:中国教育&出^*%版网]‎ 第 35 页 共 35 页 ‎∴t＝±，‎ ‎∴t＞1，‎ ‎∴t＝，‎ ‎∴N（，1﹣）；‎ ‎③如图3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点N作NR∥x轴，与过M点的垂线分别交于点S、R；‎ ‎∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，‎ ‎∴△MQR≌△QNS（AAS），[来~@^#源&:中教网]‎ ‎∴SQ＝QR＝2，‎ ‎∴t+2＝1+t2﹣t﹣，‎ ‎∴t＝5，‎ ‎∴N（5，6）；‎ ‎④如图4，当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，‎ 过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；‎ ‎∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，[w~ww.zz#s^te%p@.com]‎ ‎∴△MNR≌△NQS（AAS），‎ ‎∴SQ＝RN，‎ ‎∴t2﹣t﹣＝t﹣1，‎ ‎∴t＝2±，[www.zz&^st#ep.co*m~]‎ ‎∵t＞1，‎ ‎∴t＝2+，‎ ‎∴N（2+，1+）；‎ 综上所述：N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）．‎ 第 35 页 共 35 页 ‎[来源:中国^*&教@#育出版网]‎ 第 35 页 共 35 页 ‎4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线的解析式为y＝ax2+bx．‎ ‎（1）如图1，若抛物线经过A，D两点，直接写出A点的坐标　（4，8）　；抛物线的对称轴为直线　6　；‎ ‎（2）如图2：①若抛物线经过A.C两点，求抛物线的表达式．‎ ‎②若点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AC于点E，过点E作EF⊥AD于点F交抛物线于点G．当线段EG最长时，求点E的坐标；‎ ‎（3）若a＝﹣1，且抛物线与矩形ABCD没有公共点，直接写出b的取值范围．‎ 解：（1）点A的坐标为：（4，8）；函数的对称轴为：x＝（4+8）＝6；‎ 故答案为：（4，8）；6；‎ ‎（2）①将点A.C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，b＝4，‎ 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；‎ ‎②由点A.C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣2x+16；‎ 第 35 页 共 35 页 设点E（x，﹣2x+16），则点G（x，﹣x2+4x），‎ EG＝﹣x2+4x﹣（﹣2x+16）＝﹣x2+6x﹣16，‎ 当x＝6时，EG由最大值为：2，此时点E（2，4）；‎ ‎（3）若a＝﹣1，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx，‎ 当抛物线过点B和点D时，抛物线与矩形有一个交点，‎ 将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，[ww~w.zz@st^ep&.#com]‎ 将点D的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝9，‎ 故b的取值范围为：b＜4或b＞9．‎ ‎5．如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相交于A.D两点．抛物线的顶点为C，连结AC．‎ ‎（1）求A，D两点的坐标；‎ ‎（2）点P为该抛物线上一动点（与点A.D不重合），连接PA.PD．‎ ‎①当点P的横坐标为2时，求△PAD的面积；‎ ‎②当∠PDA＝∠CAD时，直接写出点P的坐标．‎ 解：（1）联立方程组，‎ 解得，，，[来@源%:&中国*教~育出版网]‎ ‎∴A（1，0），D（4，3），‎ ‎（2）①过P作PE⊥x轴，与AD相交于点E，‎ 第 35 页 共 35 页 ‎∵点P的横坐标为2，[来源#:中教网@~%^]‎ ‎∴P（2，3），E（2，1），‎ ‎∴PE＝3﹣1＝2，‎ ‎∴＝3；‎ ‎②过点D作DP∥AC，与抛物线交于点P，则∠PDA＝∠CAD，‎ ‎∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，[来@源:中*&国教%育#出版网]‎ ‎∴C（3，4），‎ 设AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），‎ ‎∵A（1，0），[来@源&:中*国教育出版网#~]‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC的解析式为：y＝2x﹣2，[来源^:zz#~&step.@com]‎ 设DE的解析式为：y＝2x+n，‎ 第 35 页 共 35 页 把D（4，3）代入，得3＝8+n，‎ ‎∴n＝﹣5，‎ ‎∴DE的解析式为：y＝2x﹣5，[中国教育出版&网^*#%]‎ 联立方程组，‎ 解得，，，‎ ‎∴此时P（0，﹣5），[中国教@^育*出版网#%]‎ 当P点在直线AD上方时，延长DP，与y轴交于点F，过F作FG∥AC，FG与AD交于点G，‎ 则∠FGD＝∠CAD＝∠PDA，‎ ‎∴FG＝FD，‎ 设F（0，m），‎ ‎∵AC的解析式为：y＝2x﹣2，‎ ‎∴FG的解析式为：y＝2x+m，‎ 联立方程组，‎ 解得，，‎ ‎∴G（﹣m﹣1，﹣m﹣2），‎ ‎∴FG＝，FD＝，‎ ‎∵FG＝FD，[来源:zz*ste^&p.co~m%]‎ 第 35 页 共 35 页 ‎∴＝，‎ ‎∴m＝﹣5或1，‎ ‎∵F在AD上方，‎ ‎∴m＞﹣1，‎ ‎∴m＝1，‎ ‎∴F（0，1），‎ 设DF的解析式为：y＝qx+1（q≠0），‎ 把D（4，3）代入，得4q+1＝3，‎ ‎∴q＝，‎ ‎∴DF的解析式为：y＝x+1，‎ 联立方程组[来^源:中国教育出#版*~%网]‎ ‎∴，，‎ ‎∴此时P点的坐标为，‎ 综上，P点的坐标为（0，﹣5）或．[www.z@zste&p*~.com#]‎ ‎6．综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A.B.C，已知点C（0，4），△AOC∽△COB，且，点P为抛物线上一点（异于A，B）[中*国教育^@出~版网#]‎ ‎（1）求抛物线和直线AC的表达式 ‎（2）若点P是直线AC上方抛物线上的点，过点P作PF⊥AB，与AC交于点E，垂足为F．当PE＝EF时，求点P的坐标 ‎（3）若点M为x轴上一动点，是否存在点P，使得由B，C，P，M四点组成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 第 35 页 共 35 页 解：（1），则OA＝4OC＝8，故点A（﹣8，0）；‎ ‎△AOC∽△COB，则△ABC为直角三角形，‎ 则CO2＝OA•OB，解得：OB＝2，故点B（2，0）；‎ 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+8），将点C的坐标代入上式并解得：‎ a＝﹣，[www.z%@z#step~.co&m]‎ 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+4；[来源:z^z#s*tep.~co&m]‎ 由点A.C的坐标可得直线AC的表达式为：y＝x+4；[来源%@:中^教&#网]‎ ‎（2）设点P（x，﹣x2﹣x+4），则点E（x， x+4），‎ PE＝EF，即﹣x2﹣x+4﹣x﹣4＝x+4；‎ 解得：x＝﹣8（舍去）或﹣2，‎ 故点P（﹣2，6）；‎ ‎[来源&:中教网@*#^]‎ ‎（3）设点P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，点M（s，0），而点B.C的坐标分别为：（2，0）、（0，4）；‎ ‎①当BC是边时，‎ 点B向左平移2个单位向上平移4个单位得到C，‎ 同样点P（M）向左平移2个单位向上平移4个单位得到M（P），‎ 即m﹣2＝s，n+4＝0或m+2＝s，n﹣4＝0，[ww%w.z^zste*&p.com~]‎ 解得：m＝﹣6或﹣3，‎ 故点P的坐标为：（﹣6，4）或（﹣3，﹣4）或（﹣﹣3，﹣4）；‎ ‎②当BC是对角线时，‎ 由中点公式得：2＝m+s，n＝4，‎ 第 35 页 共 35 页 故点P（﹣6，4）；‎ 综上，点P的坐标为：（﹣6，4）或（﹣3，﹣4）或（﹣﹣3，﹣4）．‎ ‎7．如图1，抛物线y＝x2+mx+4m与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2满足x12+x22＝20，若对称轴在y轴的右侧．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图2，若点P为线段AB上的一动点（不与A.B重合），分别以AP、BP为斜边，在直线AB的同侧作等腰直角三角形△APM和△BPN，试确定△MPN最大时P点的坐标．‎ ‎（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，求a的取值范围．‎ ‎[来源:中国^教&@育出*版网~]‎ 解：（1）x1+x2＝﹣2m，x1x2＝8m，‎ 则x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝20，‎ 即（﹣2m）2﹣16m＝20，‎ 解得：m＝5（舍去）或﹣1；‎ 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；‎ ‎（2）令y＝0，则x＝﹣2或4，故点A.B的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0），则AB＝6；‎ 设：AP＝a，则PN＝6﹣a，∠MPN＝180°﹣∠MPA﹣∠NPB＝90°；‎ S△MPN＝×PN×PM ‎＝a××（6﹣a）‎ 第 35 页 共 35 页 ‎＝a（6﹣a）‎ ‎＝﹣（a﹣3）2+；‎ ‎∴当a＝3时，S△MPN最大，此时OP＝1，故点P（1，0）；‎ ‎（3）函数的对称轴为x＝1，如图，‎ x＝﹣2.5和x＝关于函数对称轴对称，纵坐标均为，[来@源:中*&国%教育#出版网]‎ 由图象看，a≥﹣且a+2≤，‎ 解得：﹣≤a≤．‎ ‎8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C，D的坐标分别（1，0），（3，0），（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PE⊥x轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t（秒）．[ww&w.zz*step.co#~m@]‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若PN分△ACD的面积为1：2的两部分，求t的值；‎ ‎（3）若动点P从A出发的同时，点Q从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形，求t的值．‎ 第 35 页 共 35 页 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0），C（3，0），D（3，4），‎ ‎∴A（1，4），‎ 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，‎ 将C（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，‎ 得0＝4a+4，‎ 解得a＝﹣1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，‎ ‎∴PE∥DC，‎ ‎∴△APN∽△ADC，‎ ‎∵PN分△ACD的面积为1：2的两部分，‎ ‎∴＝或，‎ 当＝时，＝＝，‎ ‎∵AD＝2，‎ ‎∴AP＝，‎ ‎∴t的值为×2＝；‎ 当＝时，＝＝，‎ 第 35 页 共 35 页 ‎∵AD＝2，‎ ‎∴AP＝，‎ ‎∴t的值为×2＝，‎ 综上所述，t的值为或；‎ ‎[www.~z#zste&*p%.com]‎ ‎（3）如图2﹣1，当CN为菱形的对角线时，‎ 点P，N的横坐标均为，[中国教育*&出版@网~#]‎ 设直线AC的解析式为y＝kx+b，‎ 将A（1，4），C（3，0）代入y＝kx+b，‎ 得，‎ 解得，‎ ‎∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+6，‎ 将点N的横坐标代入y＝﹣2x+6，[中%国教&*^育出版@网]‎ 得，‎ 即EN＝4﹣t，‎ 由菱形CQNH可得，CQ＝NH＝t＝CH，‎ 可得EH＝（4﹣t）﹣t＝4﹣2t，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 在Rt△CHE中，‎ ‎∵CE2+EH2＝CH2，‎ ‎∴，‎ 解得，t1＝，t2＝4（舍）；‎ 如图2﹣2，当CN为菱形的边时，‎ 第 35 页 共 35 页 由菱形CQHN可得，CQ＝CN＝t，‎ 在Rt△CNE中，‎ ‎∵NE2+CE2＝CN2，‎ ‎∴（4﹣t）2+（2﹣t）2＝t2，‎ 解得，t1＝20﹣8，t2＝20+8（舍）；‎ 综上所述，t的值为或．[来源%#:@中教&^网]‎ 第 35 页 共 35 页 ‎9．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD面积最大时点D的坐标；‎ ‎（3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A.C.A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0）‎ ‎∵顶点，‎ ‎∴，[来源:zzst^ep%.c~om@&]‎ 又∵图象过原点，‎ ‎∴，‎ 解出：，[中&%国教*^育出版~网]‎ ‎∴，‎ 即；[来源:%中@国教~育#出&版网]‎ ‎（2）令y＝0，即，‎ 解得：x1＝0，x2＝4，‎ ‎∴A（4，0），‎ 设直线AC的解析式为y＝kx+b，‎ 第 35 页 共 35 页 将点A（4，0），代入，[中%国教育@出版&#网*]‎ 得，‎ 解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，‎ 过点D作DF∥y轴交AC于点F，‎ 设，则，‎ ‎∴，[中国#*教%育出^版@网]‎ ‎∴＝，‎ ‎∴当m＝3时，S△ACD有最大值，‎ 当m＝3时，，[中国~#教育出&版网^%]‎ ‎∴；‎ ‎（3）∵∠CBO＝∠CBA＝90°，OB＝AB＝2，，‎ ‎∴，‎ ‎∴OA＝OC＝AC＝4，‎ ‎∴△AOC为等边三角形，‎ ‎①如图3﹣1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA'，‎ ‎∴四边形ACA'O是菱形，‎ ‎∴；‎ ‎②作点C关于x轴的对称点C'，当点A'与点C'重合时，OC＝AC＝AA'＝OA'，‎ ‎∴四边形OCAA'是菱形，‎ ‎∴点P是∠AOA'的角平分线与对称轴的交点，记为P2，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠OBP2＝90°，OB＝2，‎ 第 35 页 共 35 页 ‎∴OP2＝2BP2，‎ ‎∵∠OBP2＝90°，OB＝2，‎ ‎∴OP2＝2BP2，‎ 设BP2＝x，‎ ‎∴OP2＝2x，‎ 又∵，‎ ‎∴（2x）2＝22+x2，‎ 解得或，[来源:中教^网%@*&]‎ ‎∴；‎ 综上所述，点P的坐标为或．‎ 第 35 页 共 35 页 ‎10．已知二次函数与x轴交于A.B（A在B的左侧）与y轴交于点C，连接AC.BC．‎ ‎（1）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，当△PBC面积最大时，点M、N分别为x、y轴上的动点，连接PM、PN、MN，求△PMN的周长最小值；‎ 第 35 页 共 35 页 ‎（2）如图2，点C关于x轴的对称点为点E，将抛物线沿射线AE的方向平移得到新的拋物线y'，使得y'交x轴于点H、B（H在B的左侧）．将△CHB绕点H顺时针旋转90°至△C'HB'．抛物线y'的对称轴上有一动点S，坐标系内是否存在一点K，使得以O、C'、K、S为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．[来源^#:中国教育*%&出版网]‎ 解：（1）如图1，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），[中国教#&~@育出%版网]‎ ‎∴直线BC的解析式为，‎ 过点P作y轴平行线，交线段BC于点Q，‎ 设，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵0＜m＜8，‎ ‎∴P（4，6）．‎ 作P点关于y轴的对称点P1，P点关于x轴的对称点P2，连接P1P2交x轴、y轴分别为M，N，[中国*教育^#&出版网%]‎ 此时△PMN的周长最小，其周长等于线段P1P2的长；‎ ‎∵P1（﹣4，6），P2（4，﹣6），‎ ‎∴．‎ ‎（2）如图2中，∵E（0，﹣4），平移后的抛物线经过E，B，[来源:z@%zs~tep.^com*]‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx﹣4，把B（8，0）代入得到b＝4，‎ ‎∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x+4x﹣4＝﹣（x﹣2）（x﹣8），‎ 令y＝0，得到x＝2或8，‎ ‎∴H（2，0），‎ ‎∵△CHB绕点H顺时针旋转90°至△C′HB′，‎ ‎∴C′（6，2），‎ 当OC′＝C′S时，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S2K2，‎ ‎∵OC′＝C′S＝＝2，‎ ‎∴可得S1（5，2﹣），S2（5，2+），‎ ‎∵点C′向左平移一个单位，向下平移得到S1，[中@#国教育出~&版*网]‎ 第 35 页 共 35 页 ‎∴点O向左平移一个单位，向下平移个单位得到K1，[来源&#:~zzst@ep^.com]‎ ‎∴K1（﹣1，﹣），同法可得K2（﹣1，），‎ 当OC′＝OS时，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K4S4，‎ 同法可得K3（11，2﹣），K4（11，2+），‎ 当OC′是菱形的对角线时，设S5（5，m），则有52+m2＝12+（2﹣m）2，‎ 解得m＝﹣5，‎ ‎∴S5（5，﹣5），‎ ‎∵点O向右平移5个单位，向下平移5个单位得到S5，‎ ‎∴C′向上平移5个单位，向左平移5个单位得到K5，‎ ‎∴K5（1，7），‎ 综上所述，满足条件的点K的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（11，2﹣）或（11，2+）或（1，7）．‎ 第 35 页 共 35 页 ‎11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎[中#@国%教育&出^版网]‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD.BD.BC.AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；‎ ‎（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，[www#.zz%st*ep.c@om~]‎ ‎∴抛物线解析式为；‎ ‎（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，‎ 第 35 页 共 35 页 把x＝0代入中，得：y＝2，‎ ‎∴C点坐标是（0，2），又B（3，0）‎ ‎∴直线BC的解析式为，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴＝，‎ 由S△BCD＝2S△AOC得：[w^w#w~.zzst*ep.c&om]‎ ‎∴，‎ 整理得：m2﹣3m+2＝0‎ 解得：m1＝1，m2＝2‎ ‎∵0＜m＜3[来*@#&源:^中教网]‎ ‎∴m的值为1或2；‎ ‎（3）存在，理由：[来源^#:%中教&@网]‎ 设：点M的坐标为：（m，n），n＝﹣x2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），‎ ‎①当BC是平行四边形的边时，‎ 当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，‎ 同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），‎ 故：m+3＝1，n﹣2＝s或m﹣3＝1，n+2＝s，‎ 解得：m＝﹣2或4，‎ 故点M坐标为：（﹣2，﹣）或（4，﹣）；‎ ‎②当BC为对角线时，[中国#*%教育出^版~网]‎ 第 35 页 共 35 页 由中点公式得：m+1＝3，n+3＝2，‎ 解得：m＝2，故点M（2，2）；‎ 综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．‎ ‎12．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A.B（A左B右），且AB＝4，与y轴交于C点．[来~源:中^教&*网@]‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图，证明：对于任意给定的一点P（0，b）（b＞3），存在过点P的一条直线交抛物线于M、N两点，使得PM＝MN成立；‎ ‎（3）将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n≤6，求t的取值范围．[www~.zzste^p.c@o*#m]‎ 解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣1，0）、B（3，0）．‎ 把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，∴a＝﹣1．[来&%源:中教网@~^]‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．‎ ‎（2）如图，过M作GH⊥x轴，PG∥x轴，NH∥x轴，‎ 第 35 页 共 35 页 由PM＝MN，则△PMG≌△NMH（AAS），‎ ‎∴PG＝NH，MG＝MH．‎ 设M（m，﹣m2+2m+3），则N（2m，﹣4m2+4m+3），‎ ‎∵P（0，b），GM＝MH，‎ ‎∴yG+yH＝2yM，‎ 即b+（﹣4m2+4m+3）＝2（﹣m2+2m+3），∴2m2＝b﹣3，‎ ‎∵b＞3，‎ ‎∴关于m的方程总有两个不相等的实数根，‎ 此即说明了点M、N存在，并使得PM＝MN．证毕；‎ ‎（3）图象翻折前后如右图所示，其顶点分别为D（1，4）、D′（1，2t﹣4）．‎ ‎①当D′在点H（4，﹣5）上方时，‎ ‎2t﹣4≥﹣5，∴t≥﹣，‎ 此时，m＝t，n＝﹣5，∵m﹣n≤6，∴t+5≤6，∴t≤1，‎ ‎∴﹣≤t≤1；[来源:zzst@e#p&*^.com]‎ ‎②当点D′在点H（4，﹣5）下方时，‎ 同理可得：t＜﹣，m＝t，n＝2t﹣4，[来^源~:中国教#育出版网%@]‎ 由m﹣n≤6，得t﹣（2t﹣4）≤6，‎ ‎∴t≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣．‎ 综上所述，t的取值范围为：﹣2≤t≤1．[来源:中@国教育出~%#&版网]‎ ‎13．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥‎ 第 35 页 共 35 页 x轴于点D，交直线BC于点E．‎ ‎（1）求抛物线解析式；‎ ‎（2）若点P在第一象限内，当OD＝4PE时：‎ ‎①求点D.P、E的坐标；‎ ‎②求四边形POBE的面积．‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴x＝﹣＝1，解得：a＝，b＝﹣，‎ 抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；‎ ‎（2）令y＝x2﹣x﹣2＝0，（x﹣4）（x+2）＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，‎ 当x＝0时，y＝﹣2，[来源:*中#教&@网~]‎ 由B（4，0），C（0，﹣2），得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2‎ 设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m， m﹣2），P（m， m2﹣m﹣2），‎ ‎∵OD＝4PE，‎ ‎∴m＝4（m2﹣m﹣2﹣m+2），[来~&源:中^国教育%*出版网]‎ ‎∴m＝5，m＝0（舍去），‎ ‎∴D（5，0），P（5，），E（5，），‎ 第 35 页 共 35 页 ‎∴四边形POBE的面积＝S△OPD﹣S△EBD＝×5×﹣×1×＝；‎ ‎（3）存在，设M（n， n﹣2），‎ ‎①以BD为对角线，如图1，‎ ‎∵四边形BNDM是菱形，‎ ‎∴MN垂直平分BD，‎ ‎∴n＝4+，‎ ‎∴M（，），[w%~w@w.zzstep*.^com]‎ ‎∵M，N关于x轴对称，‎ ‎∴N（，﹣）；[www^~.&zzstep.co@m%]‎ ‎②以BD为边，如图2，‎ ‎∵四边形BDMN是菱形，‎ ‎∴MN∥BD，MN＝BD＝MD＝1，[中^国教育出版&#网~@]‎ 过M作MH⊥x轴于H，‎ ‎∴MH2+DH2＝DM2，‎ 第 35 页 共 35 页 即（n﹣2）2+（n﹣5）2＝12，‎ ‎∴n1＝4（不合题意），n2＝5.6，‎ ‎∴N（4.6，），‎ 同理（n﹣2）2+（4﹣n）2＝1，[来~源*:中国教育出版^&@网]‎ ‎∴n1＝4+（不合题意，舍去），n2＝4﹣，‎ ‎∴N（5﹣，﹣），‎ ‎③以BD为边，如图3，[来源:zz@s&te~p.c%o#m]‎ 过M作MH⊥x轴于H，‎ ‎∴MH2+BH2＝BM2，‎ 即（n﹣2）2+（n﹣4）2＝12，‎ ‎∴n1＝4+，n2＝4﹣（不合题意，舍去），[来&源:^zzstep.c#~o%m]‎ ‎∴N（5+，），‎ 综上所述，点N坐标为：（）或 （，）或（5﹣，）或 （5+，）．[w&ww.zz*^step.c~om@]‎ ‎14．如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4，3），抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于C，E两点．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，与此同时，点Q从点A出发，在线段AC上以每秒 第 35 页 共 35 页 个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接DP、DQ、PQ，设运动时间为t（秒）．‎ ‎①当t为何值时，△DPQ的面积最小？‎ ‎②是否存在某一时刻t，使△DPQ为直角三角形？‎ 若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）点A（0，3），点C（4，0），[来~源:中国教&育^出%版网#]‎ 将点A.C的坐标代入抛物线表达式，解得：b＝，c＝3，‎ 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；‎ ‎（2）y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）（x+2），故点E（﹣2，0）；‎ 抛物线的对称轴为：x＝1，则点D（2，3），[www.zzs%t*ep.~#co@m]‎ 由题意得：点Q（t，3﹣t），点P（4，t），‎ ‎①△DPQ的面积＝S△ABC﹣（S△ADQ+S△PQC+S△BPD）＝3×4﹣ [2×t+2（3﹣t）+（5﹣）×t×]＝t2﹣2t．[中国教^&%育*出版网@]‎ ‎∵＞0，故△DPQ的面积有最小值，此时，t＝；‎ ‎②点D（2，3），点Q（t，3﹣t），点P（4，t），[来源%^:*@中~教网]‎ ‎（Ⅰ）当PQ是斜边时，如图1，‎ 第 35 页 共 35 页 过点Q作QM⊥AB于点M，则MQ＝t，MD＝2﹣t，BD＝4﹣2＝2，PB＝3﹣t，‎ 则tan∠MQD＝tan∠BDP，即，解得：t＝（舍去）；‎ ‎（Ⅱ）当PD为斜边时，‎ 过点Q作y轴的平行线交AB于点N，交过点P于x轴的平行线于点M，‎ 则ND＝2﹣t，QN＝t，MP＝4﹣t，QM＝3﹣t﹣t＝3﹣2t，‎ 同理可得：，[来源:zzst@e#p&*^.com]‎ 解得：t＝或；‎ ‎（Ⅲ）当QD为斜边时，[来^源~:中国教#育出版网%@]‎ 同理可得：故t＝；‎ 综上，t＝或或或．‎ ‎15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B.D）重合．[来源:中@国教育出~%#&版网]‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；‎ ‎（2）过点P作PE⊥y轴于点E，求△PBE面积的最大值及取得最大值时P点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．[www.~z#zste&p*%.com]‎ 第 35 页 共 35 页 解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）[来源:中&%国教育#出版*~网]‎ ‎∴所以二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3‎ ‎∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4‎ ‎∴D的坐标为（1，4）；[来~源*:中国教育出版&@网^]‎ ‎（2）设BD的解析式为y＝kx+b ‎∵过点B（3，0），D（1，4）‎ ‎∴解得 BD的解析式为y＝﹣2x+6‎ 设P（m，﹣2m+6），[来*源&#@^:中教网]‎ ‎∵PE⊥y轴于点E，‎ ‎∴PE＝m，‎ ‎△BPE的PE边上的高h＝﹣2m+6，‎ ‎∴S△BPE＝×PE×h＝m（﹣2m+6）‎ ‎＝﹣m2+3m＝，‎ ‎∵a＝﹣1＜0，‎ 第 35 页 共 35 页 ‎∴当m＝时△BPE的面积取得最大值为，‎ 当m＝时，y＝﹣2×+6＝3，‎ ‎∴P的坐标是（，3）；‎ ‎（3）设点M（s，0），点N（m，n），n＝﹣m2+2m+3，‎ ‎①当BP是边时，‎ 点P向右平移个单位向下平移3个单位得到B，[来@源:z%zstep.&^co*m]‎ 同理点M（N）向右平移个单位向下平移3个单位得到N（M），‎ 即s＝m，0±3＝n，‎ 解得：s＝﹣或或；‎ ‎②当PB为对角线时，‎ m+s＝3+，n＝3，‎ 解得：s＝或，[ww~w.zzs#t^ep&.@com]‎ 故：M点的坐标为：；；；；；　‎ 第 35 页 共 35 页