浙教版中考数学九年级圆中考题精选 59页

‎2017年01月22日九年级圆中考题精选 ‎　‎ 一．选择题（共8小题）‎ ‎1．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（　　）‎ A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB ‎2．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　）‎ A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°‎ ‎3．圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（　　）‎ A．20° B．30° C．70° D．110°‎ ‎4．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　）‎ A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F ‎5．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　）‎ A．2＜r≤ B．＜r≤3 C．＜r≤5 D．5＜r≤‎ ‎6．在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（　　）‎ A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直 B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点 C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径 ‎7．△ABC是⊙O内接三角形，∠BOC=80°，那么∠A等于（　　）‎ A．80° B．40° C．140° D．40°或140°‎ ‎8．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎9．点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH=AC，则∠ABC所对的弧长等于　　（长度单位）．‎ ‎10．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值　　（单位：秒）‎ ‎11．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD+∠CAO=　　°．‎ ‎12．如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°．O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则CG=　　．‎ ‎13．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．‎ ‎①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是　　；‎ ‎②若正方形DEFG的面积为100，且△‎ ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共18小题）‎ ‎14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．AC=3，cosB=‎ ‎（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，证明你的结论，并求出OC的长．‎ ‎15．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．‎ 如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．‎ ‎16．在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣x，y=x的图象分别是直线l1，l2，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l1，l2中的两条相切．例如（，1）是其中一个圆P的圆心坐标．‎ ‎（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；‎ ‎（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．‎ ‎17．如图，是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．‎ ‎（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；‎ ‎（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明＞π．‎ ‎18．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．‎ ‎（1）求∠COB的度数；‎ ‎（2）求⊙O的半径R；‎ ‎（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．‎ ‎19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．‎ ‎（1）求证：AC平分∠DAB；‎ ‎（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（3）若CD=4，AC=4，求垂线段OE的长．‎ ‎20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：FE⊥AB；‎ ‎（2）当EF=6，=时，求DE的长．‎ ‎21．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．‎ ‎（1）说明本次台风是否会影响B市；‎ ‎（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．‎ ‎22．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2． T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2‎ 分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．‎ ‎（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；‎ ‎（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．‎ ‎23．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：AC∥DE；‎ ‎（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．‎ ‎24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．‎ ‎（1）求证：△ACD是等边三角形；‎ ‎（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．‎ ‎25．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．‎ 特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时．‎ ‎①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；‎ ‎②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；‎ ‎（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．‎ ‎26．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．‎ ‎（1）求证：AC=CD；‎ ‎（2）若OB=2，求BH的长．‎ ‎27．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：∠EPD=∠EDO；‎ ‎（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．‎ ‎28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，﹣2），F（2，0）．‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时，‎ ‎①在点D、E、F中，⊙O的关联点是　　．‎ ‎②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；‎ ‎（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．‎ ‎29．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．‎ ‎（1）求证：BE与⊙O相切；‎ ‎（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长．‎ ‎30．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．‎ ‎（1）求证：直线BF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．‎ ‎31．如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．‎ ‎（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；‎ ‎（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；‎ 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；‎ ‎（3）已知▱AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年01月22日九年级圆中考题精选 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共8小题）‎ ‎1．（2016•杭州）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（　　）‎ A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB ‎【分析】连接EO，只要证明∠D=∠EOD即可解决问题．‎ ‎【解答】解：连接EO．‎ ‎∵OB=OE，‎ ‎∴∠B=∠OEB，‎ ‎∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，‎ ‎∴∠B+∠D=3∠D，‎ ‎∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，‎ ‎∴∠DOE=∠D，‎ ‎∴ED=EO=OB，‎ 故选D．‎ A、错误．假设DE=EB，则△EOB是等边三角形，则∠AOB=3∠D=90°，OB⊥AD，显然与题目不符．‎ B、错误．假设DE=EB，则△EOB是等腰直角三角形，则∠AOB=3∠D=67.5°，显然与题目不符．‎ C、错误．假设DE=EB，则△EOB是等腰三角形，且底角∠B=30°，则∠AOB=45°，显然不符合题意．‎ ‎【点评】本题考查圆的有关知识、三角形的外角等知识，解题的关键是添加除以辅助线，利用等腰三角形的判定方法解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎2．（2016•泰安）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　）‎ A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根据圆周角定理计算即可．‎ ‎【解答】解：连接OB，‎ ‎∵四边形ABCO是平行四边形，‎ ‎∴OC=AB，又OA=OB=OC，‎ ‎∴OA=OB=AB，‎ ‎∴△AOB为等边三角形，‎ ‎∵OF⊥OC，OC∥AB，‎ ‎∴OF⊥AB，‎ ‎∴∠BOF=∠AOF=30°，‎ 由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2015•杭州）圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（　　）‎ A．20° B．30° C．70° D．110°‎ ‎【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，‎ ‎∴∠A+∠C=180°，‎ ‎∴∠C=180°﹣70°=110°．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．‎ ‎　‎ ‎4．（2016•宜昌）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　）‎ A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F ‎【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小．最后得到哪些树需要移除．‎ ‎【解答】解：∵OA==，‎ ‎∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内，‎ OF=2＜OA，所以点F在⊙O内，‎ OG=1＜OA，所以点G在⊙O内，‎ OH==2＞OA，所以点H在⊙O外，‎ 故选A ‎【点评】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键．点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内．‎ ‎　‎ ‎5．（2016•连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（　　）‎ A．2＜r≤ B．＜r≤3 C．＜r≤5 D．5＜r≤‎ ‎【分析】如图求出AD、AB、AE、AF即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，∵AD=2，AE=AF=，AB=3，‎ ‎∴AB＞AE＞AD，‎ ‎∴＜r≤3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎6．（2013•杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（　　）‎ A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直 B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点 C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径 ‎【分析】根据直线与圆的位置关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A、圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，故本选项错误；‎ B、当圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点；‎ C、两条不平行弦所在直线可能有一个交点，故本选项正确；‎ D、两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径，故本选项错误，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理，解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系．‎ ‎　‎ ‎7．（2016•惠阳区一模）△ABC是⊙O内接三角形，∠BOC=80°，那么∠A等于（　　）‎ A．80° B．40° C．140° D．40°或140°‎ ‎【分析】‎ 因为点A可能在优弧BC上，也可能在劣弧BC上，则根据圆周角定理，得∠BAC=40°或140°．‎ ‎【解答】解：应分为两种情况：‎ 点A在优弧BC上时，∠BAC=40°；‎ 点A在劣弧BC上时，∠BAC=140°；‎ 所以∠BAC的大小为40°或140°．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆周角定理．能够注意到此题的两种情况是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（2013•北京）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=AP=x，再根据勾股定理可计算出OC=，然后根据三角形面积公式得到y=x•（0≤x≤2），再根据解析式对四个图形进行判断．‎ ‎【解答】解：作OC⊥AP，如图，则AC=AP=x，‎ 在Rt△AOC中，OA=1，OC===，‎ 所以y=OC•AP=x•（0≤x≤2），‎ 所以y与x的函数关系的图象为A选项．‎ 故选：A．‎ 排除法：‎ 很显然，并非二次函数，排除B选项；‎ 采用特殊位置法；‎ 当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S△PAO=0；‎ 当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S△PAO=0；‎ 当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO=；‎ 排除B、C、D选项，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎9．（2014•杭州）点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H．若BH=AC，则∠ABC所对的弧长等于　πr或r　（长度单位）．‎ ‎【分析】作出图形，根据同角或等角的余角相等求出∠H=∠C，再根据两角对应相等，两三角形相似求出△ACD和△BHD相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再利用锐角三角函数求出∠ABC，然后根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠ABC所对的弧长所对的圆心角，然后利用弧长公式列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，‎ ‎∴∠H+∠DBH=90°，‎ ‎∠C+∠DBH=90°，‎ ‎∴∠H=∠C，‎ 又∵∠BDH=∠ADC=90°，‎ ‎∴△ACD∽△BHD，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BH=AC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠ABC=30°，‎ ‎∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2=60°，‎ ‎∴∠ABC所对的弧长==πr．‎ 如图2，当∠ABC=150°时，则∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°，‎ ‎∴∠ABC所对的弧长==πr．‎ 故答案为：πr或r．‎ ‎【点评】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，判断出相似三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．‎ ‎　‎ ‎10．（2013•杭州）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值　t=2或3≤t≤7或t=8　（单位：秒）‎ ‎【分析】求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，‎ ‎∵QN∥AC，AM=BM．‎ ‎∴N为BC中点，‎ ‎∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，‎ 分为三种情况：‎ ‎①如图1，‎ 当⊙P切AB于M′时，连接PM′，‎ 则PM′=cm，∠PM′M=90°，‎ ‎∵∠PMM′=∠BMN=60°，‎ ‎∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，‎ ‎∴QP=4cm﹣2cm=2cm，‎ 即t=2；‎ ‎②如图2，‎ 当⊙P于AC切于A点时，连接PA，‎ 则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，‎ ‎∴PM=1cm，‎ ‎∴QP=4cm﹣1cm=3cm，‎ 即t=3，‎ 当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，‎ 则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，‎ ‎∴P′N=1cm，‎ ‎∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，‎ 即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；‎ ‎③如图3，‎ 当⊙P切BC于N′时，连接PN′‎ 则PN′=cm，∠PN′N=90°，‎ ‎∵∠PNN′=∠BNM=60°，‎ ‎∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，‎ ‎∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，‎ 即t=8；‎ 注意：由于对称性可知，当P点运动到AB右侧时也存在⊙P切AB，此时PM也是为2，即P点为N点，同理可得P点在M点时，⊙P切BC．这两点都在第二种情况运动时间内．‎ 故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．‎ ‎　‎ ‎11．（2011•杭州）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD+∠CAO=　48　°．‎ ‎【分析】在等腰△OAC和△OCD中，根据等腰三角形的两个底角相等的性质求得∠OCD=∠ODC、∠CAO=∠OCA，所以由三角形的内角和求得∠OCD=48°；然后根据角平分线的性质求得∴∠OCA=∠ACD=24°；最后由圆周角定理知：∠ABD=∠AOD，∠OCA=∠AOD．所以∠ABD=∠CAO，进而求得∠ABD+∠CAO=48°．‎ ‎【解答】解：∵圆心角的度数和它们对的弧的度数相等，‎ ‎∴的度数等于84°，即∠COD=84°；‎ 在△COD中，OC=OD（⊙O的半径），‎ ‎∴∠OCD=∠ODC（等边对等角）；‎ 又∵∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，‎ ‎∴∠OCD=48°；‎ 而CA是∠OCD的平分线，‎ ‎∴∠OCA=∠ACD，‎ ‎∴∠OCA=∠ACD=24°；‎ 在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径），‎ ‎∴∠CAO=∠OCA（等边对等角）；‎ ‎∵∠ABD=∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），‎ ‎∠DCA=∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），‎ ‎∴∠ABD=∠DCA，‎ ‎∴∠ABD+∠CAO=48°；‎ 故答案为：48°．‎ ‎【点评】本题综合考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．解答此题的关键点是利用“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”求得∠COD=84°．‎ ‎　‎ ‎12．（2010•杭州）如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°．O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则CG=　3+3　．‎ ‎【分析】连接OD，则OD⊥AC、OD∥CB，易证得OD是△ABC的中位线，则OD=3；由此可求得OF、BF的长；根据OD∥CB，可证得△ODF、△BFG都是等腰三角形，所以BF=BG=3﹣3，再由CG=BC+BG即可求出CG的长．‎ ‎【解答】解：连接OD，则OD⊥AC；‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴OD∥CB；‎ ‎∵O是AB的中点，‎ ‎∴OD是△ABC的中位线，即OD=BC=3；‎ ‎∵AC=BC=6，∠C=90°，‎ ‎∴AB=6，则OB=3，‎ ‎∵OD∥CG，‎ ‎∴∠ODF=∠G；‎ ‎∵OD=OF，则∠ODF=∠OFD，‎ ‎∴∠BFG=∠OFD=∠G，‎ ‎∴BF=BG=OB﹣OF=3﹣3，‎ ‎∴CG=BC+BG=6+3﹣3=3+3．‎ ‎【点评】此题主要考查了切线的性质，三角形中位线定理及等腰三角形的性质等知识的综合应用，能够发现△BFG是等腰三角形是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2009•杭州）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．‎ ‎①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是　：2　；‎ ‎②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=　21　．‎ ‎【分析】①根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF，在直角三角形FGH中，利用勾股定理可得HF=，从而用含a的代数式表示半圆的半径为a，正方形边长为2a，所以可求得半圆的半径与正方形边长的比；‎ ‎②连接EB、AE，OH、OI，可得OHCI是正方形，且边长是4，可设BD=x，AD=y，则BD=BH=x，AD=AI=y，分别利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作为相等关系列方程组求解即可求得半圆的直径AB=21．‎ ‎【解答】解：①如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF，‎ H为半圆的圆心，不妨设GH=a，则GF=2a，‎ 在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=．由此可得，半圆的半径为 a，正方形边长为2a，‎ 所以半圆的半径与正方形边长的比是a：2a=：2；‎ ‎②因为正方形DEFG的面积为100，所以正方形DEFG边长为10．‎ 连接EB、AE，OI、OJ，‎ ‎∵AC、BC是⊙O的切线，‎ ‎∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，‎ 设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，‎ 在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；‎ 在直角三角形AEB中，‎ ‎∵∠AEB=90°，ED⊥AB，‎ ‎∴△ADE∽△BDE∽△ABE，‎ 于是得到ED2=AD•BD，即102=x•y②．‎ 解①式和②式，得x+y=21，‎ 即半圆的直径AB=21．‎ ‎【点评】本题综合考查了圆、三角形、方程等知识，是一道综合性很强的题目，难度偏上，需要正确理解相关知识点及懂得运用方能很好的解答本题．‎ ‎　‎ 三．解答题（共18小题）‎ ‎14．（2015•杭州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．AC=3，cosB=‎ ‎（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，证明你的结论，并求出OC的长．‎ ‎【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出BO，进而以点O为圆心，OC为半径作⊙O即可；‎ ‎（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎；‎ ‎（2）相切；过O点作OD⊥AB于D点，‎ ‎∵BO平分∠ABC，‎ ‎∴OC=OD，即d=r，‎ ‎∴⊙O与直线AB相切，‎ ‎∵∠ACB=90°，AC=3，，‎ ‎∴BC=4，AB=5．‎ ‎∵∠A=∠A，∠ADC=∠C，‎ ‎∴△AOD∽△ABC，‎ ‎∴，，即OC=．‎ ‎【点评】此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2015•杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．‎ 如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．‎ ‎【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′=2，OB′=4，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．‎ ‎【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，‎ ‎∵OA′•OA=42，‎ 而r=4，OA=8，‎ ‎∴OA′=2，‎ ‎∵OB′•OB=42，‎ ‎∴OB′=4，即点B和B′重合，‎ ‎∵∠BOA=60°，OB=OC，‎ ‎∴△OBC为等边三角形，‎ 而点A′为OC的中点，‎ ‎∴B′A′⊥OC，‎ 在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，‎ ‎∴A′B′=4sin60°=2．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力．‎ ‎　‎ ‎16．（2014•杭州）在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=﹣x，y=x的图象分别是直线l1，l2，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l1，l2中的两条相切．例如（，1）是其中一个圆P的圆心坐标．‎ ‎（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；‎ ‎（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．‎ ‎【分析】（1）对圆P与直线l和l2都相切、圆P与直线l和l1都相切、圆P与直线l1和l2都相切三种情况分别考虑，利用切线长定理和特殊角的三角函数值即可求出点P的坐标．‎ ‎（2）由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，它的所有的边都相等．只需求出其中的一条边就可以求出它的周长．‎ ‎【解答】解：（1）①若圆P与直线l和l2都相切，‎ 当点P在第四象限时，‎ 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，连接OP，如图1所示．‎ 设y=x的图象与x轴的夹角为α．‎ 当x=1时，y=．‎ ‎∴tanα=．‎ ‎∴α=60°．‎ ‎∴由切线长定理得：∠POH=×（180°﹣60°）=60°．‎ ‎∵PH=1，‎ ‎∴tan∠POH===．‎ ‎∴OH=．‎ ‎∴点P的坐标为（，﹣1）．‎ 同理可得：‎ 当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣，1）；‎ 当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，﹣1）；‎ ‎②若圆P与直线l和l1都相切，如图2所示．‎ 同理可得：当点P在第一象限时，点P的坐标为（，1）；‎ 当点P在第二象限时，点P的坐标为（﹣，1）；‎ 当点P在第三象限时，点P的坐标为（﹣，﹣1）；‎ 当点P在第四象限时，点P的坐标为（，﹣1）．‎ ‎③若圆P与直线l1和l2都相切，如图3所示．‎ 同理可得：‎ 当点P在x轴的正半轴上时，点P的坐标为（，0）；‎ 当点P在x轴的负半轴上时，点P的坐标为（﹣，0）；‎ 当点P在y轴的正半轴上时，点P的坐标为（0，2）；‎ 当点P在y轴的负半轴上时，点P的坐标为（0，﹣2）．‎ 综上所述：其余满足条件的圆P的圆心坐标有：‎ ‎（，﹣1）、（﹣，1）、（﹣，﹣1）、‎ ‎（，1）、（﹣，1）、（﹣，﹣1）、（，﹣1）、‎ ‎（，0）、（﹣，0）、（0，2）、（0，﹣2）．‎ ‎（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4所示．‎ 由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，‎ 由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等．‎ ‎∴该图形的周长=12×（﹣）=8．‎ ‎【点评】本题考查了切线长定理、特殊角的三角函数值、对称性等知识，考查了作图的能力，培养了学生的审美意识，是一道好题．‎ ‎　‎ ‎17．（2012•杭州）如图，是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．‎ ‎（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；‎ ‎（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明＞π．‎ ‎【分析】（1）在数轴上截取AC=5a，再以A，C为圆心3a，4a为半径，画弧交点为B；‎ ‎（2）利用△ABC的外接圆的面积为S圆，根据直角三角形外接圆的性质得出AC为外接圆直径，求出的比值即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）∵△ABC的外接圆的面积为S圆，‎ ‎∴S圆=π×（）2=π，‎ ‎△ABC的面积S△ABC=×3a×4a=6a2，‎ ‎∴==π＞π．‎ ‎【点评】此题主要考查了复杂作图以及直角三角形外接圆的性质，根据已知得出外接圆直径为AC是解题关键．‎ ‎　‎ ‎18．（2012•杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．‎ ‎（1）求∠COB的度数；‎ ‎（2）求⊙O的半径R；‎ ‎（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△‎ OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．‎ ‎【分析】（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE与CE垂直，又OB与AT垂直，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数；‎ ‎（2）在直角三角形AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB垂直于MN，由垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在直角三角形OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在直角三角形OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE﹣OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；‎ ‎（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合，在EF的同一侧，这样的三角形共有3个．延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示，由第二问求出半径，的长直径ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形EFD的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比．‎ ‎【解答】解：（1）∵AE切⊙O于点E，‎ ‎∴AE⊥CE，又OB⊥AT，‎ ‎∴∠AEC=∠CBO=90°，‎ 又∠BCO=∠ACE，‎ ‎∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，‎ ‎∴∠COB=∠A=30°；‎ ‎（2）∵AE=3，∠A=30°，‎ ‎∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3，‎ ‎∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2，‎ ‎∴MB=MN=，‎ 连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，‎ ‎∴OB==，‎ 在△COB中，∠BOC=30°，‎ ‎∵cos∠BOC=cos30°==，‎ ‎∴BO=OC，‎ ‎∴OC=OB=，‎ 又OC+EC=OM=R，‎ ‎∴R=+3，‎ 整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，‎ 解得：R=﹣23（舍去）或R=5，‎ 则R=5；‎ ‎（3）以EF为斜边，有两种情况，以EF为直角边，有四种情况，所以六种，‎ 画直径FG，连接EG，延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示：‎ ‎∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，‎ ‎∴FD=5，‎ 则C△EFD=5+10+5=15+5，‎ 由（2）可得C△COB=3+，‎ ‎∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1．‎ ‎∵EF=5，直径FG=10，可得出∠FGE=30°，‎ ‎∴EG=5，‎ 则C△EFG=5+10+5=15+5，‎ ‎∴C△EFG：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1．‎ ‎【点评】此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（2011•贺州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．‎ ‎（1）求证：AC平分∠DAB；‎ ‎（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（3）若CD=4，AC=4，求垂线段OE的长．‎ ‎【分析】（1）连接OC，由CD为圆O的切线，根据切线性质得到OC与CD垂直，又AD与CD垂直，根据平面上垂直于同一条直线的两直线平行得到AD与OC平行，由平行得一对内错角相等，又因为两半径OA与OC相等，根据等边对等角，得到一对相等的角，利用等量代换，即可得到∠DAC=∠OAC，即AC为∠DAB的平分线；‎ ‎（2）以O为圆心，以大于O到AC的距离为半径画弧，与AC交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间距离的一半长为半径在AC的另一侧画弧，两弧交于一点，经过此点与点O确定一条直线，即为所求的直线，如图所示；‎ ‎（3）在直角三角形ACD中，由CD和AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再根据垂径定理，由OE与AC 垂直，得到E为AC中点，求出AE的长，由（1）推出的角平分线得一对角相等，再由一对直角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，由相似得比例即可求出OE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，‎ ‎∵CD切⊙O于点C，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ 又∵AD⊥CD，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∴∠OCA=∠DAC，‎ ‎∵OC=OA，‎ ‎∴∠OCA=∠OAC，‎ ‎∴∠OAC=∠DAC，‎ ‎∴AC平分∠DAB；‎ ‎（2）解：点O作线段AC的垂线OE如图所示：‎ ‎∴直线OE所求的直线；‎ ‎（3）解：在Rt△ACD中，CD=4，AC=4，‎ ‎∴AD===8，‎ ‎∵OE⊥AC ‎∴AE=AC=2，‎ ‎∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，‎ ‎∴△AEO∽△ADC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OE=×CD=×4=‎ 即垂线段OE的长为．‎ ‎【点评】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理．遇到圆的切线时，往往连接切点与圆心，运用切线性质将相切转化为垂直，来解决数学问题，同时要求学生作下一问时，要善于利用前面得出的结论．此题的第二问是尺规作图题，锻炼了学生的动手操作能力．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•庆阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：FE⊥AB；‎ ‎（2）当EF=6，=时，求DE的长．‎ ‎【分析】（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质证明D是BC的中点，得到OD是△ABC的中位线，根据切线的性质证明结论；‎ ‎（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式计算得到答案．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AD、OD，‎ ‎∵AC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴CD=DB，又CO=AO，‎ ‎∴OD∥AB，‎ ‎∵FD是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥EF，‎ ‎∴FE⊥AB；‎ ‎（2）∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵OD∥AB，‎ ‎∴==，又EF=6，‎ ‎∴DE=9．‎ ‎【点评】本题考查的是切线的性质和平行线分线段成比例定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径和等腰三角形的三线合一是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（2010•杭州）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．‎ ‎（1）说明本次台风是否会影响B市；‎ ‎（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．‎ ‎【分析】（1）作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，利用特殊角的三角函数值求出BH的长与260千米相比较即可．‎ ‎（2）以B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1、P2两点，根据垂径定理即可求出P1P2的长，进而求出台风影响B市的时间．‎ ‎【解答】解：（1）作BH⊥PQ于点H．‎ 在Rt△BHP中，‎ 由条件知，PB=480，∠BPQ=75°﹣45°=30°，‎ ‎∴BH=480sin30°=240＜260，‎ ‎∴本次台风会影响B市．‎ ‎（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．‎ 由（1）得BH=240，由条件得BP1=BP2=260，‎ ‎∴P1P2=2=200，‎ ‎∴台风影响的时间t==5（小时）．‎ 故B市受台风影响的时间为5小时．‎ ‎【点评】本题考查的是直角三角形的性质及垂径定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是构造出直角三角形及圆．‎ ‎　‎ ‎22．（2009•杭州）如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2． T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．‎ ‎（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；‎ ‎（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．‎ ‎【分析】（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；‎ ‎（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．‎ ‎【解答】解：（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．‎ 所以r：a=1：1；‎ 连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，‎ 所以r：b=AO：BO=sin60°=：2；‎ ‎（2）T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2=（a：b）2=3：4．‎ ‎【点评】计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．‎ ‎　‎ ‎23．（2016•北京）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：AC∥DE；‎ ‎（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．‎ ‎【分析】（1）欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．‎ ‎（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵ED与⊙O相切于D，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∵F为弦AC中点，‎ ‎∴OD⊥AC，‎ ‎∴AC∥DE．‎ ‎（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．‎ 首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．（方法二：证明△ADE的面积等于四边形ACDE的面积的一半）‎ ‎∵AC∥DE，AE=AO，‎ ‎∴OF=DF，‎ ‎∵AF⊥DO，‎ ‎∴AD=AO，‎ ‎∴AD=AO=OD，‎ ‎∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，‎ ‎∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DO=a，‎ ‎∴AO∥CD，又AE=CD，‎ ‎∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=a，‎ ‎∴平行四边形ACDE面积=a2．‎ ‎【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎24．（2015•北京）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．‎ ‎（1）求证：△ACD是等边三角形；‎ ‎（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．‎ ‎【分析】（1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到，于是得到，问题即可得证；‎ ‎（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r则ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=2+，BE=AE=，在Rt△DEF与Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，‎ ‎∴AB⊥BE，‎ ‎∵CD∥BE，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ ‎∴，‎ ‎∵=，‎ ‎∴，‎ ‎∴AD=AC=CD，‎ ‎∴△ACD是等边三角形；‎ ‎（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，‎ ‎∴∠DAC=60°‎ ‎∵AD=AC，CD⊥AB，‎ ‎∴∠DAB=30°，‎ ‎∴BE=AE，ON=AO，‎ 设⊙O的半径为：r，‎ ‎∴ON=r，AN=DN=r，‎ ‎∴EN=2+，BE=AE=，‎ 在Rt△NEO与Rt△BEO中，‎ OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，‎ 即（）2+（2+）2=r2+，‎ ‎∴r=2，‎ ‎∴OE2=+25=28，‎ ‎∴OE=2．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙‎ C的反称点P′的示意图．‎ 特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时．‎ ‎①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；‎ ‎②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；‎ ‎（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．‎ ‎【分析】（1）①根据反称点的定义，可得当⊙O的半径为1时，点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；T（1，）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；‎ ‎②由OP≤2r=2，得出OP2≤4，设P（x，﹣x+2），由勾股定理得出OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，解不等式得出0≤x≤2．再分别将x=2与0代入检验即可；‎ ‎（2）先由y=﹣x+2，求出A（6，0），B（0，2），则=，∠OBA=60°，∠OAB=30°．再设C（x，0），分两种情况进行讨论：①C在OA上；②C在A点右侧．‎ ‎【解答】解：（1）当⊙O的半径为1时．‎ ‎①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；‎ N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；‎ T（1，）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；‎ ‎②∵OP≤2r=2，OP2≤4，设P（x，﹣x+2），‎ ‎∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，‎ ‎∴2x2﹣4x≤0，‎ x（x﹣2）≤0，‎ ‎∴0≤x≤2．‎ 当x=2时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意；‎ 当x=0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意；‎ ‎∴0＜x＜2；‎ ‎（2）∵直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，‎ ‎∴A（6，0），B（0，2），‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．‎ 设C（x，0）．‎ ‎①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r=2，‎ 所以AC≤4，‎ C点横坐标x≥2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；‎ ‎②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为C点到AB的垂线段AC长，AC最大值为2，‎ 所以C点横坐标x≤8．‎ 综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．‎ ‎【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到一次函数图象上点的坐标特征，特殊角的三角函数值，勾股定理，一元二次不等式的解法，利用数形结合、正确理解反称点的意义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．（2014•北京）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．‎ ‎（1）求证：AC=CD；‎ ‎（2）若OB=2，求BH的长．‎ ‎【分析】（1）连接OC，由C是的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；‎ ‎（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=，由AB是直径，得BH⊥‎ AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，‎ ‎∵C是的中点，AB是⊙O的直径，‎ ‎∴CO⊥AB，‎ ‎∵BD是⊙O的切线，‎ ‎∴BD⊥AB，‎ ‎∴OC∥BD，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴AC=CD；‎ ‎（2）解：∵E是OB的中点，‎ ‎∴OE=BE，‎ 在△COE和△FBE中，‎ ‎，‎ ‎∴△COE≌△FBE（ASA），‎ ‎∴BF=CO，‎ ‎∵OB=2，‎ ‎∴BF=2，‎ ‎∴AF==2，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴BH⊥AF，‎ ‎∴△ABF∽△BHF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AB•BF=AF•BH，‎ ‎∴BH===．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．‎ ‎　‎ ‎27．（2013•北京）如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：∠EPD=∠EDO；‎ ‎（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．‎ ‎【分析】（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠EPD=∠EDO；‎ ‎（2）连接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，‎ ‎∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，‎ ‎∴∠PAO=90°，‎ ‎∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，‎ ‎∴∠APO=∠EDO，‎ ‎∴∠EPD=∠EDO；‎ ‎（2）解：连接OC，‎ ‎∴PA=PC=6，‎ ‎∵tan∠PDA=，‎ ‎∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，‎ ‎∴CD=4，‎ ‎∵tan∠PDA=，‎ ‎∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，‎ ‎∵∠EPD=∠ODE，‎ ‎∴△OED∽△DEP，‎ ‎∴===2，‎ ‎∴DE=2OE 在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52，‎ ‎∴OE=．‎ ‎【点评】本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎28．（2013•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，﹣2），F（2，0）．‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时，‎ ‎①在点D、E、F中，⊙O的关联点是　D，E　．‎ ‎②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠‎ GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；‎ ‎（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．‎ ‎【分析】（1）①根据关联点的定义得出E点是⊙O的关联点，进而得出F、D，与⊙O的关系；‎ ‎②若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，进而得出PC的长，进而得出点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r，再考虑临界点位置的P点，进而得出m的取值范围；‎ ‎（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；再考虑临界情况，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，即可得出圆的半径r的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，‎ ‎∵⊙O的半径为1，∴RO=1，‎ ‎∵EO=2，‎ ‎∴∠OER=30°，‎ 根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，‎ ‎∴E点是⊙O的关联点，‎ ‎∵D（，），E（0，﹣2），F（2，0），‎ ‎∴OF＞EO，DO＜EO，‎ ‎∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60°，‎ 故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E；‎ 故答案为：D，E；‎ ‎②如图2，由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，‎ 需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，‎ 由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，‎ 连接BC，则PC==2BC=2r，‎ ‎∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；‎ 由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，‎ 如图3，点P1到原点的距离OP1=2×1=2，‎ 过点O作直线l的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF===，‎ ‎∴∠OGF=60°，‎ ‎∴OH=OGsin60°=；‎ sin∠OP1H==，‎ ‎∴∠OP1H=60°，‎ 可得点P1与点G重合，‎ 过点P2作P2M⊥x轴于点M，‎ 可得∠P2OM=30°，‎ ‎∴OM=OP2cos30°=，‎ 从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上，‎ ‎∴0≤m≤；‎ ‎（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；‎ 考虑临界情况，如图4，‎ 即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，‎ 此时，r=1，‎ 故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥‎ ‎1．‎ ‎【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及切线判定与性质以及锐角三角函数关系和新概念等知识，注意临界点位置的应用是解题关键．‎ ‎　‎ ‎29．（2012•北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．‎ ‎（1）求证：BE与⊙O相切；‎ ‎（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长．‎ ‎【分析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．‎ ‎（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．‎ ‎【解答】证明：（1）连接OC，‎ ‎∵OD⊥BC，‎ ‎∴∠COE=∠BOE，‎ 在△OCE和△OBE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△OCE≌△OBE，‎ ‎∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，‎ ‎∵OB是⊙O半径，‎ ‎∴BE与⊙O相切．‎ ‎（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，‎ ‎∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，‎ ‎∴△ODH∽△OBD，‎ ‎∴==‎ 又∵sin∠ABC=，OB=9，‎ ‎∴OD=6，‎ 易得∠ABC=∠ODH，‎ ‎∴sin∠ODH=，即=，‎ ‎∴OH=4，‎ ‎∴DH==2，‎ 又∵△ADH∽△AFB，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∴FB=．‎ ‎【点评】‎ 此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用．‎ ‎　‎ ‎30．（2016•新疆）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．‎ ‎（1）求证：直线BF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．‎ ‎【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．‎ ‎（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AE，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°．‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠1=∠CAB．‎ ‎∵∠CBF=∠CAB，‎ ‎∴∠1=∠CBF ‎∴∠CBF+∠2=90°‎ 即∠ABF=90°‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴直线BF是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：过点C作CG⊥AB于G．‎ ‎∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，‎ ‎∴sin∠1=，‎ ‎∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，‎ ‎∴BE=AB•sin∠1=，‎ ‎∵AB=AC，∠AEB=90°，‎ ‎∴BC=2BE=2，‎ 在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，‎ ‎∴sin∠2===，cos∠2===，‎ 在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，‎ ‎∴AG=3，‎ ‎∵GC∥BF，‎ ‎∴△AGC∽△ABF，‎ ‎∴‎ ‎∴BF==‎ ‎【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．‎ ‎　‎ ‎31．（2011•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．‎ ‎（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；‎ ‎（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；‎ 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；‎ ‎（3）已知▱AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；‎ ‎（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可；‎ ‎（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，‎ ‎∵点D在以AB为直径的半圆上，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴BD⊥AD，‎ 在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=，‎ ‎∵AE∥BF，‎ ‎∴两条射线AE、BF所在直线的距离为．‎ ‎（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=或﹣1＜b＜1；‎ 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜‎ ‎（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：‎ ‎①当点M在射线AE上时，如图2‎ ‎∵AMPQ四点按顺时针方向排列，‎ ‎∴直线PQ必在直线AM的上方，‎ ‎∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合，‎ ‎∴0＜PQ＜．‎ ‎∵AM∥PQ且AM=PQ，‎ ‎∴0＜AM＜‎ ‎∴﹣2＜x＜﹣1，‎ ‎②当点M在弧AD上时，如图3‎ ‎∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，‎ ‎∴直线PQ必在直线AM的下方，‎ 此时，不存在满足题意的平行四边形．‎ ‎③当点M在弧BD上时，‎ 设弧DB的中点为R，则OR∥BF，‎ 当点M在弧DB上时，如图4，‎ 过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点．‎ ‎∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形，‎ ‎∴0≤x＜．‎ 当点M在弧RB上时，如图5，‎ 直线PQ必在直线AM的下方，‎ 此时不存在满足题意的平行四边形．‎ ‎④当点M在射线BF上时，如图6，‎ 直线PQ必在直线AM的下方，‎ 此时，不存在满足题意的平行四边形．‎ 综上，点M的横坐标x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1或0≤x＜．‎ ‎【点评】本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分类讨论思想．‎ ‎　‎