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- 2021-05-10 发布
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上海市16区2018届九年级上学期期末(一模)数学试卷分类汇编
几何证明专题
宝山区
23.(本题满分12分,每小题各6分)
如图,△ABC中,AB=AC,过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE的延长线于F,联结BF,交AC于点G.
(1)求证:;
(2)若AH平分∠BAC,交BF于H,求证:BH是HG和HF的比例中项.
长宁区
第23题图
23.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)
如图,在ABC中,点D在边BC上,联结AD,∠ADB=∠CDE,
DE交边AC于点E,DE交BA延长线于点F,且.
(1)求证:∽;
(2)求证:.
崇明区
23.(本题满分12分,每小题各6分)
(第23题图)
A
B
D
E
C
G
F
如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,联结DE,过顶点B作,垂足为F,BF交边DC于点G.
(1)求证:;
(2)联结CF,求证:.
奉贤区
C
E
A
B
D
F
第23题图
已知:如图,四边形ABCD,∠DCB=90°,对角线BD⊥AD,点E是边AB的中点,CE与BD相交于点F,
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)求证:.
虹口区
如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE、BC的延长线相交于点F,且.
(1)求证;
(2)当AB=12,AC=9,AE=8时,求BD的长与的值.
黄浦区
23.(本题满分12分)
如图,BD是△ABC的角平分线,点E位于边BC上,已知BD是BA与BE的比例中项.
E
D
C
B
A
(1)求证:∠CDE=∠ABC;
(2)求证:AD•CD=AB•CE.
嘉定区
23.
如图6,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,点E在对角线AC上,且满足∠ADE=∠BAC。
(1) 求证:CD·AE=DE·BC;
(2) 以点A为圆心,AB长为半径画弧交边BC于点F,联结AF。
求证:AF2=CE·CA。
金山区
23.(本题满分12分,每小题6分)
如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC > BC,CD是Rt△ABC的高,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线相交于点F.
(1)求证:DF是BF和CF的比例中项;
(2)在AB上取一点G,如果AE·AC=AG·AD,
求证:EG·CF=ED·DF.
静安区
23.(本题满分12分,其中第(1)小题6分,第(2)小题6分)
第23题图
A
B
E
F
C
D
已知:如图,梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BD ,AD⊥DB,点E是腰AD上一点,作∠EBC=45°,联结CE,交DB于点F.
(1)求证:△ABE∽△DBC;
(2)如果,求的值.
闵行区
23.(本题共2小题,每小题6分,满分12分)
如图,已知在△ABC中,∠BAC =2∠B,AD平分∠BAC,
DF//BE,点E在线段BA的延长线上,联结DE,交AC于点G,且∠E =∠C.
(第23题图)
A
B
D
C
E
F
G
(1)求证:;
(2)求证:.
A
(第23题图)
D
E
F
B
C
浦东新区
23.(本题满分12分,其中第(1)小题6分,第(2)小题6分)
如图,已知,在锐角△ABC中,CE⊥AB于点E,点D在边AC上,
联结BD交CE于点F,且.
(1)求证:BD⊥AC;
(2)联结AF,求证:.
普陀区
23.(本题满分12分)
已知:如图9,四边形的对角线和相交于点,,
E
D
C
B
图9
A
.
求证:(1)△∽△;
(2).
青浦区
23.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题8分)
如图8,已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上,线段BD与AE交于点F,且.
(1)求证:∠CAE=∠CBD;
图8
(2)若,求证:.
松江区
23. (本题满分12分,每小题各6分)
已知四边形ABCD中,∠BAD=∠BDC=90°,.
(1)求证:AD∥BC;
(第23题图)
D
A
C
B
(2) 过点A作AE∥CD交BC于点E.请完善图形并求证:.
徐汇区
23.(本题满分12分,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分7分)
第23题
如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在边BC、AB、AC上,且∠ADE=∠B,∠ADF=∠C,线段EF交线段AD于点G.
(1)求证:AE=AF;
(2)若,求证:四边形EBDF是平行四边形.
杨浦区
23.(本题满分12分,第(1)小题5分,第(2)小题7分)
已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=AB,对角线AC、BD交于点E,点F在边BC上,且∠BEF=∠BAC.
(第23题图)
A
B
C
D
F
E
(1)求证:△AED∽△CFE;
(2)当EF//DC时,求证:AE=DE.
参考答案
宝山区
长宁区
23.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)
证明:(1)∵ ∴
∵ ∴∽ (2分)
∴ (1分)
又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF
即∠BDF=∠CDA (2分)
∴∽ (1分)
(2)∵∽ ∴ (2分)
∵ ∴ (1分)
∵∽ ∴∴ (1分)
∴ ∴. (2分)
崇明区
23、(1)∵四边形是正方形
∴, …………………………1分
∵ ∴
∴
∵
∴ ………………………………………………2分
∴ ………………………………………………………1分
∴ ……………………………………………1分
∵
∴ ……………………………………………1分
(2)联结
∵
∴ ………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ………………………………………………2分
∴ ………………………………………………1分
∵四边形是正方形,BD是对角线
∴ ……………………………………1分
∴ ……………………………………………………1分
奉贤区
虹口区
黄浦区
23. 证:(1)∵BD是AB与BE的比例中项,
∴,————————————————————————(1分)
又BD是∠ABC的平分线,则∠ABD=∠DBE, ——————————(1分)
∴△ABD∽△DBE,——————————————————————(2分)
∴∠A=∠BDE. ———————————————————————(1分)
又∠BDC=∠A+∠ABD,
∴∠CDE=∠ABD=∠ABC,即证. ———————————————(1分)
(2)∵∠CDE=∠CBD,∠C=∠C, ——————————————————(1分)
∴△CDE∽△CBD,——————————————————————(1分)
∴.————————————————————————(1分)
又△ABD∽△DBE,
∴—————————————————————————(1分)
∴,————————————————————————(1分)
∴.———— —————————————————(1分)
嘉定区
23.
如图6,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,点E在对角线AC上,且满足∠ADE=∠BAC。
(1) 求证:CD·AE=DE·BC;
(2) 以点A为圆心,AB长为半径画弧交边BC于点F,联结AF。
求证:AF2=CE·CA。
【评析】(1)因为AD∥BC,所以∠DAE=∠ACB,又因为∠ADE=∠BAC,所以△ADE∽△CAB,因此,又因为AB=CD,所以,所以CD·AE=DE·BC。
(2)因为△ADE∽△CAB,所以∠AED=∠B,因为梯形ABCD是等腰梯形,所以∠B=∠DCB,即∠AED=∠DCB,又因为∠DCB+∠CDA=180°,∠AED+∠CED=180°,所以∠CDA=∠CED,又因为∠DCA=∠EDC,所以△CDA∽△CED,所以,即CD2=CE·CA,又因为半径为AB,所以AF=AB,即AF=CD,所以AF2=CE·CA
【解答】证明同上
金山区
静安区
23.证明:(1)∵AD=BD ,AD⊥DB,∴∠A=∠DBA =45°………………………(1分)
又∵DC∥AB ,∴∠CDB =∠DBA=45°, ∴∠CDB =∠A, ………………………(2分)
∵∠EBC=45°,∴∠EBC=∠DBA, ……………………………………………(1分)
∴∠EBC-∠DBE =∠DBA-∠DBE,即∠DBC =∠ABE ………………………(1分)
∴△ABE∽△DBC ……………………………………………………………………(1分)
(2)∵△ABE∽△DBC, ∴ ………………………………………………(2分)
∴,且∠EBC=∠DBA,∴△BCE∽△BDA ………………………………(2分)
又∵,∴. ……………………………………………(2分)
闵行区
23.证明:(1)∵AD平分∠BAD,∴∠BAD=∠CAD.
∵∠BAC=2∠B,∴∠BAD=∠CAD=∠B.……………………………(1分)
∵DF∥BE,∴∠BAD=∠ADF.…………………………………………(1分)
∴∠ADF=∠B.……………………………………………………………(1分)
∴△ABD∽△ADF.………………………………………………………(1分)
∴.……………………………………………………………(1分)
∴.………………………………………………………(1分)
(2)∵∠CAD=∠B,∠C=∠C,
∴△CDA∽△CAB.……………………………………………………(1分)
∴.……………………………………………………………(1分)
∵∠BAD=∠B, …………………………………………………………(1分)
∴AD=AB.
又∵∠CAD=∠B,∠E=∠C,
∴△CAD≌△EBD.………………………………………………………(1分)
∴DE=DC,BE=AC.
∴.……………………………………………………………(1分)
∴.……………………………………………………(1分)
浦东新区
23.证明:(1)∵ ,
A
(第23题图)
D
E
F
B
C
∴ . ………………………(1分)
∵ ∠EFB=∠DFC, …………………(1分)
∴ △EFB∽△DFC. …………………(1分)
∴ ∠FEB=∠FDC. ………………… (1分)
∵ CE⊥AB,
∴ ∠FEB= 90°.……………………… (1分)
∴ ∠FDC= 90°.
∴ BD⊥AC. ………………………… (1分)
(2)∵ △EFB∽△DFC,
∴ ∠ABD =∠ACE. …………………………………………… (1分)
∵ CE⊥AB,
∴ ∠FEB= ∠AEC= 90°.
∴ △AEC∽△FEB. ……………………………………………(1分)
∴ .……………………………………………………(1分)
∴ . …………………………………………………(1分)
∵ ∠AEC=∠FEB= 90°,
∴ △AEF∽△CEB.………………………………………………(1分)
∴ ,∴ . ………………………(1分)
普陀区
22. 证明:
(1)∵,∴. (1分)
又∵,∴△∽△. (1分)
∴. (1分)
∵,∴. (1分)
∴. (1分)
又∵,∴△∽△. (1分)
(2)∵△∽△,∴. (1分)
∴. (1分)
∵,∴△∽△. (1分)
∵△∽△,∴△∽△. (1分)
∴. (1分)
∴. (1分)
青浦区
23.(1)证明:∵,∴, ………………………………………(1分)
∵∠ECA=∠DCB,……………………………………………………………………(1分)
∴△CAE∽△CBD,……………………………………………………………………(1分)
∴∠CAE=∠CBD.……………………………………………………………………(1分)
(2)证明:过点C作CG//AB,交AE的延长线于点G.
∴,…………………………………………………………………………(1分)
∵,∴,……………………………………………………………(1分)
∴CG=CA, ……………………………………………………………………………(1分)
∴∠G=∠CAG,………………………………………………………………………(1分)
∵∠G=∠BAG,∴∠CAG=∠BAG.………………………………………………(1分)
∵∠CAE=∠CBD,∠AFD=∠BFE,∴∠ADF=∠BEF.…………………………(1分)
∴△ADF∽△AEB,……………………………………………………………………(1分)
∴,∴.…………………………………………………(1分)
松江区
23.证明(1)∵
D
A
C
B
(第23题图)
E
∴……………………………2分
又 ∵∠BAD=∠BDC=90°
∴△∽△……………………2分
∴ ……………………1分
∴AD∥BC…………………………………1分
(2)∵AD∥BC, ∠BAD =90°,
∴
又 ∵∠BDC=90°
∴…………………1分
∵AE∥CD
∴……………………………1分
∴△∽△………………………1分
∴
∴……………………1分
又 ∵AD∥BC AE∥CD
∴四边形ADCE是平行四边形
∴AE=CD……………………………………1分
∴…………………………1分
徐汇区
23.在△ABC中,∵∠EAD=∠BAD,∠ADE=∠B,
∴ ……………………………………………………(2分)
∴…………………………………………………………(1分)
同理有, ………………………………(1分)
∴,∴AE=AF. ……………………………………(1分)
(2)∵ AB=AC,AE=AF,∴,∴EF∥BC.………………………………(1分)
由(1)有,………………………………………(1分)
有, 且; ……………………………(1分)
∴,即 ………………………………………………(1分)
∵,∴, ………………………………………………(1分)
∵,∴, ……………………………………………………(1分)
∴ DF∥AB. ………………………………………………………………………(1分)
∴ 四边形EBDF是平行四边形.
杨浦区
23.(本题满分12分,第(1)小题5分,第(2)小题7分)
证明:(1)∵∠BEC=∠BAC+∠ABD,
∠BEC=∠BEF+∠FEC,
又∵∠BEF=∠BAC,∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ (1分)
∵AD=AB,∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- (1分)
∴∠FEC=∠ADB. -------------------------------------------------------- (1分)
∵AD//BC,∴∠DAE=∠ECF.--------------------------------------------------- (1分)
∴△AED∽△CFE. --------------------------------------------------------- (1分)
(2)∵EF//DC,∴∠FEC=∠ECD. --------------------------------------------------- (1分)
∵∠ABD=∠FEC ,∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- (1分)
∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB∽△DEC. ----------------------------------------------- (1分)
∴.------------------------------------------------------------------------------(1分)
∵AD//BC,∴.----------------------------------------------------------------(1分)
∴.即.-------------------------------------------(1分)
∴ AE=DE. ----------------------------------------------------------------------------- (1分)