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- 2021-05-10 发布
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绵阳市2013年初中学业考试暨高中阶段学校招生考试
数学
第一卷(选择题,共36分)
一.选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( C )
A. B. C. D.
[解析]考查相反数,前面加个负号即可,故选 C。
2.下列“数字”图形中,有且仅有一条对称轴的是( A )
[解析]B不是轴对称图形,C、D都有2条对称轴。
3.2013年,我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感,H7N9是一种新型禽流感,其病毒颗粒呈多形性,其中球形病毒的最大直径为0.00000012米,这一直径用科学记数法表示为( D )
A.1.2×10-9米 B.1.2×10-8米 C.12×10-8米 D.1.2×10-7米
[解析]科学记数法写成:形式,其中,再数小数位知,选D>
4.设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体,现用天平秤两次,情况如图所示,那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为( C )
A.■、●、▲ B.▲、■、●
C.■、▲、● D.●、▲、■
解析:
5.把右图中的三棱柱展开,所得到的展开图是( B )
[解析]两个全等的三角形,再侧面三个长方形的两侧,这样的图形围成的是三棱柱,一个底面相邻可以是三个长方形,只有B。
6.下列说法正确的是( D )[来源
A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形[
C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
[解析]由矩形的性质可知,只有D正确。平行四边形的对角线是互相平行,菱形的对角线互相平分且垂直,故A、C错,等腰梯形的对角线相等B也错。
7.如图,要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为( C )
7题图
A. B.12mm
C. D.
来源:中#国&*教育出@版~网]
[解析]画出正六边形,如图,通过计算 可知,ON=3,MN=6,选C。
8.朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果,如果每人3个还差3个,如果每人2个又多2个,请问共有多少个小朋友?( B )
A.4个 B.5个 C.10个 D.12个
[解析](x个朋友,3x-3=2x+2,x=5)
9.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60º,又从A点测得D点的俯角β为30º,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( A )
A.20米 B.米 C.米 D.米
[解析]GE//AB//CD,BC=2GC,GE=15米,AB=2GE=30米,AF=BC=AB•cot∠ACB=30×cot60º=10米,DF=AF•tan30º=10×=10米,
CD=AB-DF=30-10=20米。
10题图
10.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于G,则GH=( B )
A. B. C. D.
[解析]OA=4,OB=3,AB=5,△BDH∽△BOA,
BD/AB=BH/OB=DH/OA,6/5=BH/3,BH=18/5,
AH=AB-BH=5-18/5=7/5,△AGH∽△ABO,
GH/BO=AH/AO,GH/3=7/5 / 4,GH=21/20。
11.“服务他人,提升自我”,七一学校积极开展志愿者服务活动,来自初三的5名同学(3男两女)成立了“交通秩序维护”
小分队,若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护,则恰好是一男一女的概率是( D )
A. B. C. D.
解析:
男A
男B
男C
女1
女2
男A
×
男B男A
男C男A
女1男A
女2男A
男B
男A男B
×
男C男B
女1男B
女2男B
男C
男A男C
男B男C
×
女1男C
女2男C
女1
男A女1
男B女1
男C女1
×
女2女1
女2
男A女2
男B女2
男C女2
女1女2
×
上表中共有20种可能的组合,相同组合(同种颜色表示相同组合)只算一种,余10种组合,其中1男1女的组合有6组,所以一男一女的概率=6/10=3/5.
12.把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…,现用等式AM=(i,j)表示正奇数M是第i组第j个数(从左往右数),如A7=(2,3),则A2013=( C )
A.(45,77) B.(45,39) C.(32,46) D.(32,23)
[解析]第1组的第一个数为1,第2组的第一个数为3,第3组的第一个数为9,第4组的第一个数为19,第5组的第一个数为33……将每组的第一个数组成数列:1,3,9,19,33…… 分别计作a1,a2,a3,a4,a5……an, an表示第n组的第一个数,
a1 =1
a2 = a1+2
a3 = a2+2+4×1
a4 = a3+2+4×2
a5 = a4+2+4×3
……
an = an-1+2+4×(n-2)
将上面各等式左右分别相加得:
a n =1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n2-4n+3 (上面各等式左右分别相加时,抵消了相同部分a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …… + a n-1),
当n=45时,a n = 3873 > 2013 ,2013不在第45组
当n=32时,a n = 1923 < 2013 ,(2013-1923)÷2+1=46, A2013=(32,46).
如果是非选择题:则2n2-4n+3≤2013,2n2-4n-2010≤0,假如2013是某组的第一个数,则2n2-4n-2010=0,解得n=1+ ,
31<<32,322,以4、4、2为边长能构成等腰三角形,所以△ABC的周长=4+4+2=10。
18.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:①2a+b>0;②b>a>c;③若-1<m<n<1,则m+n<;④3|a|+|c|<2|b|。其中正确的结论是 ① ③ ④ (写出你认为正确的所有结论序号).
[解析]抛物线开口向下,a <0, 2a<0,对称轴x= >1,-b<2a ,2a+b>0 ,①正确; -b<2a ,b>-2a>0>a ,令抛物线的解析式为y=- x2 +bx- ,此时,a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为 和2,
则(+2)/2=-b/(- ),b= , 抛物线y=- x2 + x- 符合“开口向下,与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间,对称轴在直线x=1右侧”的特点,而此时a=c(其实a>c,a1,>2,m+n<,③正确; 当x=1时,a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0,
3a+c>-2b, -3a-c<2b , a<0 , c<0 , b>0 ,
3|a|+|c|=-3a-c<2b=2|b|,④正确。
三.解答题:本大题共7个小题,共90分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。
19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分)
(1)计算:;
解: 原式= - +|1- |×2(+1)
= - +(-1) ×2(+1)
= - +2[()2 -12]
= 2-
=
(2)解方程:
解: =
x+2 = 3
x = 1
经检验,x = 1是原方程的增根,原方程无解。
20.(本题满分12分)
为了从甲.乙两名选手中选拔一个参加射击比赛,现对他们进行一次测验,两个人在相同条件下各射靶10次,为了比较两人的成绩,制作了如下统计图表:
图1 甲、乙射击成绩统计表
平均数
中位数
方差
命中10
环的次数
甲
7
7
4
0
乙
7
7.5
5.4
1
图2 甲、乙射击成绩折线图
(1)请补全上述图表(请直接在表中填空和补全折线图);
(2)如果规定成绩较稳定者胜出,你认为谁应胜出?说明你的理由;
答:甲胜出。因为S甲2 1, 过点Q作QE⊥直线l ,
垂足为E,△BPQ为等腰直角三角形,PB=PQ,∠PEQ=∠PDB,
∠EPQ=∠DBP,△PEQ≌△BDP,QE=PD,PE=BD,
① 当P的坐标为(m,)时,
m-x = , m=0 m=1
2x2-2- = m-1, x= x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;
② 当P的坐标为(m,)时,
x-m= m=- m=1
2x2-2- = m-1, x=- x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;
③ 当P的坐标为(m,2m-2)时,
m-x =2m-2 m= m=1
2x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;
④当P的坐标为(m,2-2m)时,
x- m = 2m-2 m= m=1
2x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件;
综上所述,不存在满足条件的点Q。
25.(本题满分14分)
我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质,如在关线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:;
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG.S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值。
解:(1)证明:如图1,连结CO并延长交AB于点P,连结PD。
∵点O是△ABC的重心,
∴P是AB的中点,D是BC的中点,PD是△ABC的中位线,AC=2PD, AC // PD,
∠DPO=∠ACO,∠PDO=∠CAO,
△OPD∽△CA,= = , = ,∴;
(2)点O是是△ABC的重心。
证明:如图2,作△ABC的中线CP,与 AB边交于点P,与△ABC的另一条中线AD交于点Q,则点Q是△ABC的重心,根据(1)中的证明可知 ,
而 ,点Q与点O重合(是同一个点),所以点O是△ABC的重心;
(3)如图3,连结CO交AB于F,连结BO交AC于E,过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON,分别
与AC、AB交于点M、N,
∵点O是△ABC的重心,
∴ = , = ,
∵ 在△ABE中,OM//AB,= = ,OM = AB,
在△ACF中,ON//AC,= = ,ON = AC,
在△AGH中,OM//AH,= ,
在△ACH中,ON//AH,= ,
∴ + = +=1, + =1, + = 3 ,
令= m , = n , m=3-n,
∵ = ,
= =
= -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- )2 + ,
∴ 当 = n = ,GH//BC时, 有最大值 。
附:或 的另外两种证明方法的作图。
方法一:分别过点B、C作AD的平行线BE、CF,分别交直线GH于点E、F。
方法二:分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线,垂足分别为E、F、N、M。
下面的图解也能说明问题: