部分省市中考数学试题分类汇编共28专题171四边形平行四边形矩形菱形正方形答案 29页

‎2010年部分省市中考数学试题分类汇编 （1）‎ ‎ 平行四边形、 矩形、菱形与正方形 ‎ ‎1. (2010重庆市潼南县) 如图24,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.‎ ‎（1）证明：△ABE≌△DAF；‎ ‎（2）若∠AGB=30°，求EF的长.‎ 解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ‎ ‎ ∴AB=AD 在△ABE和△DAF中 ‎∴△ABE≌△DAF-----------------------4分 ‎（2）∵四边形ABCD是正方形 ‎∴∠1+∠4=900‎ ‎∵∠3=∠4‎ ‎∴∠1+∠3=900‎ ‎∴∠AFD=900----------------------------6分 在正方形ABCD中， AD∥BC ‎∴∠1=∠AGB=300‎ 在Rt△ADF中，∠AFD=900 AD=2 ‎ ‎∴AF= DF =1----------------------------------------8分 由(1)得△ABE≌△ADF ‎∴AE=DF=1‎ ‎∴EF=AF-AE= -----------------------------------------10分 ‎2. （2010年青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．‎ ‎（1）求证：BE = DF；‎ A D B E F O C M 第21题图 ‎（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．‎ ‎【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．‎ ‎∵AE = AF，‎ ‎∴．‎ ‎∴BE＝DF． ‎ ‎（2）四边形AEMF是菱形．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．‎ ‎∵BE＝DF，‎ ‎∴BC－BE = DC－DF. 即．‎ ‎∴．‎ ‎∵OM = OA，‎ ‎∴四边形AEMF是平行四边形．‎ ‎∵AE = AF，‎ ‎∴平行四边形AEMF是菱形．‎ ‎3.（2010福建龙岩中考）20.（10分）‎ 如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，且BE=DF.‎ ‎（1）请你写出图中所有的全等三角形 ‎（2）试在上述各对全等三角形中找出一对加以证明.‎ ‎4．（2010年益阳市）如图7，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．‎ ‎(1) 求∠ABD 的度数；‎ ‎ (2)求线段的长．‎ ‎【关键词】菱形性质、等边三角形、‎ ‎【答案】解:⑴　在菱形中,，‎ ‎∴为等边三角形 ‎ ‎∴ ‎ ‎⑵由（1）可知　 ‎ 又∵为的中点 ‎∴ ‎ 又∵，及 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎5.（2010年山东省青岛市）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．‎ ‎（1）求证：BE = DF；‎ ‎（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．‎ ‎【关键词】菱形的判定 ‎【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．‎ ‎∵AE = AF，‎ ‎∴．‎ ‎∴BE＝DF． ‎ A D B E F O C M 第21题图 ‎（2）四边形AEMF是菱形．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．‎ ‎∵BE＝DF，‎ ‎∴BC－BE = DC－DF. 即．‎ ‎∴．‎ ‎∵OM = OA，‎ ‎∴四边形AEMF是平行四边形．‎ ‎∵AE = AF，‎ ‎∴平行四边形AEMF是菱形．‎ ‎6. (2010年浙江省绍兴市) (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.‎ 求证：BE＝CF.‎ ‎(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,‎ 第23题图1‎ BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF ‎＝4.求GH的长.‎ ‎ (3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,‎ ‎∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：‎ ‎①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；‎ ‎ ②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).‎ 第23题图4‎ 第23题图3‎ 第23题图1‎ ‎【答案】(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ‎ ‎∴ ∠EAB+∠AEB=90°.‎ ‎∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,‎ ‎∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC， ‎ ‎∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． ‎ 第23题图2‎ O′‎ N M ‎(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，‎ 过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，‎ 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ‎ ‎∴ EF=BN,GH=AM， ‎ ‎∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,‎ 故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN，‎ ‎∴ GH=EF=4． ‎ ‎(3) ① 8．② 4n． ‎ ‎7．（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.‎ ‎⑴ 求证：△AMB≌△ENB；‎ ‎⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；‎ ‎②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；‎ E A D B C N M ‎⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.‎ ‎【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，‎ ‎∴BA＝BE，∠ABE＝60°.‎ ‎∵∠MBN＝60°，‎ ‎∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.‎ 即∠BMA＝∠NBE.‎ 又∵MB＝NB，‎ ‎∴△AMB≌△ENB（SAS）.‎ ‎⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.‎ F E A D B C N M ‎②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，‎ AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，‎ ‎∴AM＝EN.‎ ‎∵∠MBN＝60°，MB＝NB，‎ ‎∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴BM＝MN.‎ ‎∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ‎ 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ‎∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.‎ ‎⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，‎ ‎∴∠EBF＝90°－60°＝30°.‎ 设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.‎ 在Rt△EFC中，‎ ‎∵EF2＋FC2＝EC2，‎ ‎∴（）2＋（x＋x）2＝. ‎ 解得，x＝（舍去负值）.‎ ‎∴正方形的边长为. ‎ ‎8.（2010年四川省眉山市）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．‎ ‎（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．‎ ‎【关键词】平行四边形的判定、菱形的性质与判定和面积、矩形的性质 ‎【答案】解：（1）四边形OCED是菱形．‎ ‎∵DE∥AC，CE∥BD，‎ ‎∴四边形OCED是平行四边形，‎ 又 在矩形ABCD中，OC=OD，‎ ‎∴四边形OCED是菱形． ‎ ‎（2）连结OE．由菱形OCED得：CD⊥OE， ‎ ‎ ∴OE∥BC ‎ 又 CE∥BD ‎∴四边形BCEO是平行四边形 ‎∴OE=BC=8‎ ‎∴S四边形OCED=‎ ‎9．（2010年浙江省东阳市）（6分）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．‎ A B C D F E （1） 请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请证明 你的结论．‎ ‎（2）连接BF、CE，若四边形BFCE是菱形，则△ABC中应 添加一个条件 ▲ ‎ ‎【关键词】三角形的全等 ‎【答案】（1）AD是△ABC的中线.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分 理由如下：∵ＢＥ⊥ＡＤ，ＣＦ⊥ＡＤ，∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°．．．．．．．．．１分 又∵ＢＥ＝ＣＦ，∠ＢＤＥ＝∠ＣＦＤ　∴△ＢＤＥ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）．．．．．．．２分 ‎（２）ＡＢ＝ＡＣ或∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ或ＡＤ⊥ＢＣ或ＡＤ平分∠ＢＡＣ．．．．．．．２分 ‎10. （2010年安徽中考）如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC ‎⑴求证：四边形BCEF是菱形 ‎⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE。‎ ‎【关键词】菱形、三角形的全等 ‎【答案】‎ ‎(1)证明：∵AD∥FE，∴∠FEB=∠2，∵∠1＝∠2，∴∠FEB=∠1‎ ‎∴BF=EF∵BF=BC，∴BC=EF ‎∴四边形BCEF是平行四边形 ‎∵BF=BC ‎∴四边形BCEF是菱形 ‎（2）证明：∵EF=BC，AB=BC=CD，AD∥FE ‎∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形 ‎∴AF=BE，FC=ED 又∵AC=2BC=BD ‎∴△ACF≌△BDE ‎11（2010辽宁省丹东市）20． 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=‎4cm，矩形ABCD的周长为‎32cm，求AE的长．‎ 第20题图 B C A E D F ‎【关键词】矩形 ‎【答案】‎ ‎11．解：在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°， ‎ ‎∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，‎ ‎∴∠AEF=∠ECD． 3分 又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC ‎∴Rt△AEF≌Rt△DCE． 5分 AE=CD． 6分 AD=AE+4．‎ ‎∵矩形ABCD的周长为‎32 cm， ‎ ‎∴2（AE+AE+4）=32． 8分 解得， AE=6 （cm）． 10分 ‎12.(2010福建泉州市惠安县)如图，点E、F分别是菱形ABCD中BC、CD边上的点（E、F不与B、C、D重合）；在不作任何辅助线的情况下，请你添加一个适当的条件，能推出AE=AF，并予以证明.‎ A F D C B E ‎【关键词】菱形的性质 ‎【答案】添加的条件是：BE=DF，‎ 证明：在菱形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D ‎ 又∵BE=DF ‎ ∴△ABE≌△ADF（S.A.S）‎ ‎∴AE=AF ‎ ‎13..(2010年山东聊城)如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE ‎（1）求∠CAE的度数；‎ ‎（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形 ‎【关键词】矩形 第22题 A C B D E F ‎【答案】（1）∵AD是等边△ABC的中线，∴∠CAD=∠BAD=300‎ 又△ADE为等边三角形，∴∠DAE =600‎ ‎∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=600-300=300.‎ ‎（2）∵CF为等边△ABC的中线，∴CF⊥AB，‎ 又∠BAE=∠BAC+∠CAE=600+300=900.‎ ‎∴AE∥FC，‎ ‎∵AD、CF都是等边△ABC的中线，∴AD=CF，‎ ‎∵△ADE为等边三角形，∴AE=AD=FC，∴四边形AFCE是平行四边形.‎ 又∠AFC为直角，‎ ‎∴∴四边形AFCE是矩形 ‎14、（2010年宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，，。‎ D A B C ‎（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四 边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开，‎ 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。‎ ‎（图1）‎ ‎（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4‎ 中用实线画出拼成的平行四边形。‎ ‎（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）‎ D A B C D A B C D A B C ‎（图4）‎ ‎（图3）‎ ‎（图2）‎ ‎ 周长为__________ 周长为__________‎ ‎（第21题）‎ ‎21、解：（1）‎ D A B C 周长为26‎ D A B C 周长为22‎ D A B C 答案不唯一 ‎15（2010哈尔滨）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数 为 度．125‎ ‎16（2010珠海）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝‎4cm，‎ 则点P到BC的距离是_____cm. 4‎ ‎16（2010红河自治州）18.‎ ‎ (本小题满分9分)如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论.‎ 解：根据题目条件可判断DE//BF.‎ 证明如下：‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=AD，∠BAF+∠2=90°.‎ ‎∵AF=AE+EF，又AF=BF+EF ‎∴AE=BF ‎∵∠1=∠2，∴△ABF≌△DAE（SAS）.‎ ‎∴∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE.‎ ‎∴∠ADE+∠2=90°，‎ ‎∴∠AED=∠BFA=90°.‎ ‎∴DE//BF. ‎ ‎（第9题）‎ ‎17(2010台州市)如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，‎ AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．‎ 则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）(▲)‎ ‎ ‎ ‎ A．a B． 　 C． D． ‎ 答案：C ‎ 18(2010遵义市)（10分）如图（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．‎ ‎(1)求证:CF＝CH；‎ ‎(2)如图(2)，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．‎ ‎ ‎ ‎ （图1） （图2）‎ ‎ （24题图）‎ 解:(1)(5分) 证明:在△ACB和△ECD中 ‎ ∵∠ACB=∠ECD=‎ ‎ ∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB, ‎ ‎ ∴∠1=∠2‎ ‎ 又∵AC=CE=CB=CD, ‎ ‎ ∴∠A=∠D=‎ ‎ ∴△ACB≌△ECD, ‎ ‎ ∴CF=CH ‎ (2)(5分) 答: 四边形ACDM是菱形 ‎ 证明: ∵∠ACB=∠ECD=, ∠BCE=‎ ‎ ∴∠1=, ∠2=‎ ‎ 又∵∠E=∠B=,‎ ‎ ∴∠1=∠E, ∠2=∠B ‎ ∴AC∥MD, CD∥AM , ∴ACDM是平行四边形 ‎ 又∵AC=CD, ∴ACDM是菱形 ‎（玉溪市2010）‎图9‎ 19. 如图9，在ABCD中，E是AD的中点，请添加适 当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由.‎ 解：添加的条件是连结B、E,过D作DF∥BE交BC于 点F,是△ABE与△CDF. …………4分 ‎ 理由： ∵平行四边形ABCD，AE=ED, …………5分 ‎ ‎∴在△ABE与△CDF中，‎ AB=CD, …………6分 ‎∠EAB=∠FCD, …………7分 AE=CF ， …………8分 ‎ ∴△ABE≌△CDF. …………9分 ‎20（桂林2010）．（本题满分8分） 求证：矩形的对角线相等．‎ 解答：(本题8 分)已知：四边形ABCD是矩形, AC与BD是对角线 ……………2分 求证：AC=BD ………………………………………3分 证明： ∵四边形ABCD是矩形 ‎ ‎∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°…………4分 又∵BC=CB …………………………5分 ‎∴△ABC≌△DCB …………6分 ‎∴AC=BD ……………………7分 所以矩形的对角线相等. …………8分 ‎21（2010年连云港）．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）‎ A．BA＝BC B．AC、BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD 答案 B ‎ ‎22（2010年连云港）18．矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD 上的B’处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为________．‎ 第22题 AD BAD CFEBAD B’‎ D E P 答案 ‎ ‎ ‎ ‎23（2010年连云港）27．（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．‎ ‎（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；‎ ‎（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ABE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；‎ ‎（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．‎ AD BAD EBAD CFEBAD DQFEBAD 图1‎ AD BAD CFEBAD DQFEBAD 图2‎ 答案(1) 中线所在的直线 ..........................................................................................................2分 ‎(2)法一：连接BE，因为AB∥CE,AB=CE，所以四边形ABEC为平行四边形 所以BE∥AC ......................................................................................................................3分 ‎ ‎ 所以△ABC 和△AEC的公共边AC上的高也相等 所以有 所以 ...................................................5分 法二： ‎ 设 AE与BC相交于点F 因为AB∥CE，所以 又因为 AB=CE 所以 ‎ 所以 过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如右图（1）所示 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3)能.连接AC,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,连接AE.‎ ‎ 因为BE∥AC,所以△ABC 和△AEC的公共边AC上的高也相等 ‎ 所以有 ‎ 所以 因为 所以面积等分线必与CD相交,取DE中点F 则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线 作图如右图(2)所示 ‎24（2010宁波市）如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC＝8，BD＝6．‎ A B C D 图1‎ ‎（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分分拼成一个平 行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD剪 开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形；并直接写出这两个平行 四边形的周长．‎ ‎（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4‎ 中用实线画出拼成的平行四边形．‎ ‎（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）‎ ‎（第24题）‎ A B C D 图3‎ 周长________‎ A B C D 图4‎ A B C D 图2‎ 周长________‎ ‎25．（2010年长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．‎ ‎（1）求证：△BEC≌△DEC；‎ ‎（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．‎ 第25图 A F D E B C 答案：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ‎∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°‎ 又EC＝EC …………………………2分 ‎∴△ABE≌△ADE ……………………3分 ‎（2）∵△ABE≌△ADE ‎∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED …………4分 ‎ ‎∵∠BED＝120°∴∠BEC＝60°＝∠AEF ……………5分 ‎∴∠EFD＝60°+45°＝105° …………………………6分 第23题 ‎26（2010年湖南郴州市）23．已知：如图，把绕边BC的中点O旋转得到.‎ 求证：四边形ABDC是平行四边形.‎ 答案23.证明：因为 是由旋转所得 ………………2分 所以点A、D，B、C关于点O中心对称 ……………………4分 所以OB=OC OA=OD ………………………………6分 所以四边形ABCD是平行四边形 ………………………………8分 ‎ （注：还可以利用旋转变换得到AB=CD ，AC=BD相等；或证明证ABCD是平行四边形）‎ ‎27.(2010湖北省荆门市)(本题满分9分)将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图(1)；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．‎ ‎ (1) (2)‎ ‎ 第19题图 答案19．‎ 图1 图2‎ 证明：由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，∴∠1＝∠2……………………2分 由第二次折叠可知：∠CAB＝∠EDF，从而，∠3＝∠4………………………………4分 ‎∵AD是△AED和△AFD的公共边，∴△AED≌△AFD(ASA)………………………6分 ‎∴AE＝AF，DE＝DF 又由第二次折叠可知：AE＝ED，AF＝DF ‎∴AE＝ED＝DF＝AF…………………………………………………………………………8分 故四边形AEDF是菱形．……………………………………………………………………9分 ‎28．（2010湖北省咸宁市）如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，‎ 则线段AC的长为 A．3 B．‎6 ‎ C． D．‎ 答案：D ‎29. （2010年郴州市）如图，已知平行四边形，是延长线上一点，连结交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使，这个条件是 ．（只要填一个）‎ A B E F D C 第13题 答案：或或 或F为DE的中点或F为BC的中点或或B为AE的中点 ‎ ‎30．（2010年怀化市）如图２，在菱形ABCD中，‎ 对角线AC=4，∠BAD=120°，‎ 则菱形ABCD的周长为（ ）‎ A．20 B．18 ‎ C．16 D．15‎ 答案：C ‎31．（2010年怀化市）如图5，在直角梯形ABCD中，‎ AB∥CD，AD⊥CD，AB=‎1cm，‎ AD=‎6cm，CD=‎9cm，则BC= cm．‎ 答案：10‎ 第32题 ‎32．（2010年郴州市）已知：如图，把绕边BC的中点O旋转得到.‎ 求证：四边形ABDC是平行四边形.‎ ‎32.证明：因为 是由旋转所得 所以点A、D，B、C关于点O中心对称 ‎ 所以OB=OC OA=OD ‎ 所以四边形ABCD是平行四边形 ‎ ‎ （注：还可以利用旋转变换得到AB=CD ，AC=BD相等；或证明证ABCD是平行四边形）‎ ‎33. （2010年怀化市）图7‎ 如图7，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.‎ 求证：四边形AECF是平行四边形.‎ ‎33. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB,OA=OC …………………1分 ‎………………………………………………2分 ‎∴∠DFO=∠BEO, ∠FDO=∠EBO……………………………………………3分 ‎∴△FDO≌△EBO……………………………………………………………4分 ‎∴OF=OE …………………………………………………………………5分 ‎∴四边形AECF是平行四边形 ‎ ‎34北京. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 ‎ ‎(A) 20 (B) 16 (C) 12 (D) 10。‎ ‎35北京19. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=2，BC=4。‎ ‎ 求ÐB的度数及AC的长。‎ ‎36．(10湖南怀化)如图2，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为( )C A．20 B．‎18 C．16 D．15‎ ‎37．(10湖南怀化)如图5，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB=‎1cm，AD=‎6cm，CD=‎9cm，则BC=______cm．10‎ ‎38、已知四边形中，，如果添加 一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）．‎ ‎（第16题图）‎ A． B． C． D．‎ 答案：D ‎39、大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成，‎ 把图中阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，‎ 那么新正方形的边长是 ‎ 答案：‎ ‎40（2010陕西省）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为 （A）‎ ‎ A 16 B ‎8 C 4 D 1‎ ‎41（2010陕西省）．如图，A、B、C三点在同一条直线上AB=2BC，分别以AB,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN,EC.‎ ‎ 求证：FN=EC ‎ 证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中 ‎ AB=BE=EF,BC=BN, ∠FEN=∠EBC=90°‎ ‎ ∵ AB=2BC ‎ ∴ EN=BC ‎ ∴△FNE≌△EBC ‎ ∴FN=EC ‎42（2010年天津市）下列命题中正确的是（D）‎ ‎（A）对角线相等的四边形是菱形 ‎ ‎（B）对角线互相垂直的四边形是菱形 ‎（C）对角线相等的平行四边形是菱形 ‎（D）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ‎43（2010宁夏）．点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有 （ C ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎44（2010宁夏 (10分)‎ 在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．‎ ‎(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．‎ ‎44.解：（1）∵ADBC ‎△AEB是由△ADB折叠所得 ‎∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=，BE=BD, AE=AD 又∵△AFC是由△ADC折叠所得 ‎∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=，FC=CD，AF=AD ‎∴AE=AF---------------------------------------------2分 ‎ 又∵∠1+∠2=， ‎ ‎ ∴∠3+∠4=‎ ‎∴∠EAF=--------------------------------------3分 ‎∴四边形AEMF是正方形。---------------------5分 第16题图 F A E B C D ‎45.（2010宁德）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，‎ 则FC等于_____．4‎ ‎46（2010黄冈）如图矩形纸片ABCD，AB＝‎5cm，BC＝‎10cm，CD上有一点E，ED＝‎2cm，AD上有一点P，PD＝‎3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是____________cm. ‎ 第9题图 ‎47. （2010黄冈）（6分）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。‎ ‎ 第18题图 提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE可证△HAE≌△CEF，从而得到 AE＝EF.‎ ‎48、（2010山东济南）如图所示，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=DC，点M是AD的中点．‎ B A C D M 第18题图 求证：BM=CM．‎ 答案： 证明：∵BC∥AD，AB=DC，‎ ‎ ∴∠BAM=∠CDM， 1分 ‎ ∵点M是AD的中点，‎ ‎ ∴AM=DM， 2分 ‎∴△ABM≌△DCM， 3分 ‎ ∴BM=CM. 4分 ‎49．（2010山东德州）在四边形中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是 （只要写出一种即可）．‎ ‎50．（2010山东德州）粉笔是校园中最常见的必备品．图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支．图2是它的横截面（矩形ABCD），已知每支粉笔的直径为‎12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_______ mm．(，结果精确到‎1 mm)‎ 第16题图2‎ 第16题图1‎ A B C D ‎51．（2010四川宜宾）‎ 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；‎ ‎20题图 ‎④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC．其中正确结论的序号是 ．‎ 答案：‎ ‎1．答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求．如：正方形、矩形、等腰梯形等 ‎2．300． ‎ ‎3．①②④⑤．‎ ‎52（2010株洲市）．如图，四边形是菱形，对角线和相交于点，，，则这个菱形的面积是 16 ．‎ 第14题图 ‎53（2010株洲市）19．（本题满分6分）如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求的度数．‎ ‎53.（1）如图，在中，得，‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 又，∴，∴ …… 3分 ‎（2）由得，‎ 又，‎ ‎∴ ∴‎ ‎∵，∴，‎ 得：． 　　　　　　　　　　　　　……6分 ‎54（2010年常州）.（本小题满分7分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.‎ A B C D 图2‎ ‎55（2010河北省）4．如图2，在□ABCD中，AC平 分∠DAB，AB = 3， 则□ABCD的周长为 A．6 B．9 ‎ C．12 D．15‎ ‎56（2010河北省）14．如图7，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上， CD = 6，点A对应的数为，则点B所对应的数为 5 ．‎ A ‎0‎ 图7‎ B C D ‎57（2010河南）17．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．‎ ‎（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；‎ ‎（2）求证：△AB’O≌△CDO．‎ （1） ‎△ABB’、 △AOC和△BB’C （2） 在□ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠D，由轴对称知：‎ AB=AB’，∠ABC=∠AB’C ‎∴AB’=CD，∠AB’O=∠D 又∠A O B’ =∠COD ‎∴△AB’O≌△CDO．‎ A B C D E F 第18题图 ‎58（2010广东中山）．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º，‎ EF⊥AB，垂足为F，连结DF。‎ ‎（1）试说明AC=EF；‎ ‎（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。‎ ‎58、（1）提示： ‎ ‎（2）提示：，AD∥EF且AD=EF ‎59．（2010山东烟台）如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是 A、等腰梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 答案：C ‎60.（2010山东青岛市）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = ‎3 cm，BC = ‎5 cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm2．‎ A B C F E ‎′‎ 第13题图 ‎（）‎ D ‎ ‎ 答案：5.1‎ ‎61、（2010山东烟台）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=_____________。‎ 答案：90° ‎ ‎62.（2010山东青岛市）问题再现 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.‎ O 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.‎ 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个 正六边形的内角．‎ 问题提出 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？‎ 问题解决 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？‎ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．‎ 验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：‎ ‎，整理得：，‎ 我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 ． ‎ 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．‎ 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．‎ 验证2：‎ 结论2： ‎ ‎ ． ‎ 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．‎ 问题拓广 请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．‎ 猜想3： . ‎ 验证3：‎ 结论3： ‎ ‎ .‎ 解：3个； 1分 验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼 成一个周角．根据题意，可得方程：‎ ‎． ‎ 整理得：， ‎ 可以找到两组适合方程的正整数解为和． 3分 结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或 者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时 用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 5分 猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶 嵌？ 6分 验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形 的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程：‎ ‎，‎ 整理得：，‎ 可以找到惟一一组适合方程的正整数解为. 8分 结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. （说明：本题答案不惟一，符合要求即可.） 10分 ‎63（2010·浙江温州）(本题10分)如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E．F．已知BE=BP．‎ ‎ 求证：(1)∠E=∠F(2)□ABCD是菱形．‎ ‎64（2010·浙江温州）如图，AC；BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE／／AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的 三角形共有(D)‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎ 65(苏州2010中考题14)．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，‎ ‎ 使AE=AC，则∠BCE的度数是 ▲ °．‎ 答案：22.5‎ ‎66(苏州2010中考题)．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，‎ ‎ 则平行四边形ABCD的周长是 ▲ ．‎ 答案：12‎ ‎67（益阳市2010年中考题）．如图7，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．‎ ‎(1) 求∠ABD 的度数；‎ ‎ (2)求线段的长．‎ 答案：16．解:⑴　在菱形中,，‎ ‎∴为等边三角形 ‎ ‎∴ ……………………………4分 ‎⑵由（1）可知　 ‎ 又∵为的中点 ‎∴ ……………………………6分 又∵，及 ‎∴‎ ‎∴ ……………………………8分 ‎68 （莱芜）在□ ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.‎ ‎（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；‎ ‎（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是 ；‎ ‎（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是 ；‎ ‎（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.‎ H G F E O D C B A 图①‎ H G F E O D C B A 图②‎ A B C D O E F G H 图③‎ A B C D O E F G H 图④‎ ‎（第23题图）‎ 解：（1）四边形EGFH是平行四边形． …………………………1分 证明：∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O．‎ ‎∴点O是 ABCD的对称中心．‎ ‎∴EO=FO，GO=HO．‎ ‎∴四边形EGFH是平行四边形． …………………………4分 ‎（2）菱形． …………………………5分 ‎（3）菱形． …………………………6分 ‎（4）四边形EGFH是正方形． …………………………7分 证明：∵AC=BD，∴ ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴ ABCD是菱形．‎ ‎∴ ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．‎ ‎∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．‎ ‎∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF． …………………………9分 由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH.‎ ‎∴四边形EGFH是正方形． ……………………10分 ‎69（2010·绵阳）．已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB = 6，∠BDC = 30°，‎ 则菱形的面积为 ．答案：18‎ ‎70（2010·浙江湖州）．如图，已知在□ABCD中，AD＝‎3cm，AB＝‎2 cm，则□ABCD的周长等于（A）‎ A B C D 第4题 A．‎10cm B．‎6cm C．‎5cm D．‎‎4cm ‎71．（2010，安徽芜湖）下列命题是真命题的是（ ）‎ A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ‎ B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 ‎ C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 ‎ D．两边相等的平行四边形是菱形 ‎【答案】C ‎72．（2010，浙江义乌）下列说法不正确的是 A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 ‎【答案】D ‎73．（2010，浙江义乌）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是 ‎①△BDF是等腰三角形 ②DE＝BC ‎③四边形ADFE是菱形 ④‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎ A B C D E F ‎【答案】C