- 321.50 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2015年福建省厦门一中中考数学一模试卷
一、选择题(本大题有10小题,每小题4分,共40分)
1.sin45°的值等于( )
A. B. C. D.1
2.下列图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.9的算术平方根是( )
A.81 B.3 C.﹣3 D.±3
4.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x=1 B.x≥1 C.x>1 D.x<1
5.两条直线相交所成的四个角中,下列说法正确的是( )
A.一定有一个锐角 B.一定有一个钝角
C.一定有一个直角 D.一定有一个不是钝角
6.2015年的世界无烟日期间,小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟,随机调查了100个成年人,结果其中20个成年人吸烟,对于这个关于数据收集与处理的问题,下列说法正确的是( )
A.调查的方式是普查
B.本地区约有20%的成年人吸烟
C.样本是20个吸烟的成年人
D.本地区只有80个成年人不吸烟
7.有一组数据0、1、2、3、4、x、6的中位数是3,则这组数据x的取值范围( )
A.5 B.x≥4 C.x≥3 D.x≤3
8.如图,已知点A,B在半径为1的⊙O上,∠AOB=60°,延长OB至C,过点C作直线OA的垂线记为l,则下列说法正确的是( )
A.当BC等于0.5时,l与⊙O相离 B.当BC等于2时,l与⊙O相切
C.当BC等于1时,l与⊙O相交 D.当BC不为1时,l与⊙O不相切
9.二次函数y=(x﹣1)(x﹣2)﹣1与x轴的交点x1,x2,x1<x2,则下列结论正确的是( )
A.x1<1<x2<2 B.x1<1<2<x2 C.x2<x1<1 D.2<x1<x2
10.已知点A在半径为3的⊙O内,OA等于1,点B是⊙O上一点,连接AB,当∠OBA取最大值时,AB长度为( )
A. B.2 C.3 D.2
二、填空题(本大题6小题,每题4分,共24分)
11.2的相反数是 .
12.已知∠α=30°,∠α的余角为 .
13.不等式2x﹣4>0的解集是 .
14.如图,大圆半径为6,小圆半径为2,在如图所示的圆形区域中,随机撒一把豆子,多次重复这个实验,若把“豆子落在小圆区域A中”记作事件W,请估计事件W的概率P(W)的值 .
15.已知⊙O的半径4,点A,M为⊙O上两点,连接OM,AO,∠MOA=60°,作点M关于圆心O的对称点N,连接AN,则弧AN的长是 .
16.如图,在直角坐标系中,直线y=﹣x+4交矩形OACB于F与G,交x轴于D,交y轴于E.若∠FOG=45°,求矩形OACB的面积 .
三、解答题(本大题有9小题,共89分)
17.在直角坐标系中画出双曲线y=.
18.解分是方程:.
19.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F,若CE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.
20.有3张扑克牌,分别是红桃3、红桃4和黑桃5,把牌洗匀后先抽取一张,记下颜色和数字后将牌放回,洗匀后再抽取一张,则两次抽得相同颜色的概率是多少?
21.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC,求点B到直线MC的距离.
22.在数学活动中,我们已经学习了四点共圆的条件:如果一个四边形对角互补,那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上,简称“四点共圆”.如图,已知四边形ABCD,AD=4,CD=3,AC=5,cos∠BCA=sin∠BAC=,求∠BDC的大小.
23.据统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2,现要把一块长100米,宽50米的长方形土地,分为两块小长方形土地,分别种植这两种作物,是否存在一种划分这块土地的方法,使甲乙两种作物的总产量的比是3:4?请说明理由.
24.如图,已知A、B、C、D是⊙O上四点,点E在弧AD上,连接BE交AD于点Q,若∠AQE=∠EDC,∠CQD=∠E,求证:AQ=BC.
25.已知双曲线y=和直线y=﹣2x,点C(a,b)(ab<2)在第一象限,过点C作x轴的垂线交双曲线于F,交直线于B,过点C作y轴的垂线交双曲线于E,交直线于A.
(1)若b=1,则结论“A、E不能关于直线FB对称”是否正确?若正确,请证明;若不正确,请举反例.
(2)若∠CAB=∠CFE,设w=AC•EC,当1≤a<2时,求w的取值范围.
26.若抛物线y=ax2+bx+c上有两点A,B关于原点对称,则称它为“完美抛物线”.
(1)请猜猜看:抛物线y=x2+x﹣1是否是“完美抛物线”?若猜是,请写出A,B坐标,若不是,请说明理由;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c是“完美抛物线”与y轴交于点C,与x轴交于(﹣,0),若S△ABC=,求直线AB解析式.
2015年福建省厦门一中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题有10小题,每小题4分,共40分)
1.sin45°的值等于( )
A. B. C. D.1
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可.
【解答】解:sin45°=.
故选B.
【点评】此题比较简单,只要熟记特殊角度的三角函数值即可.
2.下列图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故错误;
B、不是轴对称图形,故错误;
C、是轴对称图形,故正确;
D、不是轴对称图形,故错误.
故选C.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.
3.9的算术平方根是( )
A.81 B.3 C.﹣3 D.±3
【考点】算术平方根.
【分析】如果一个非负数x的平方等于a,那么x是a的算术平方根,根据此定义即可求出结果.
【解答】解:∵32=9,
∴9算术平方根为3.
故选B.
【点评】此题主要考查了算术平方根,其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误.
4.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x=1 B.x≥1 C.x>1 D.x<1
【考点】二次根式有意义的条件.
【分析】二次根式有意义:被开方数是非负数.
【解答】解:由题意,得
x﹣1≥0,
解得,x≥1.
故选B.
【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念:式子(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
5.两条直线相交所成的四个角中,下列说法正确的是( )
A.一定有一个锐角 B.一定有一个钝角
C.一定有一个直角 D.一定有一个不是钝角
【考点】相交线.
【专题】分类讨论.
【分析】根据两条直线相交有垂直相交和斜交两种情况,所以A、B、C均考虑不全面,故选D.
【解答】解:因为两条直线相交,分为垂直相交和斜交,故分两种情况讨论:
①当两直线垂直相交时,四个角都是直角,故A、B错误;
②当两直线斜交时,有两个角是锐角,两个角是钝角,所以C错误;
综上所述,D正确.
故选:D.
【点评】本题考查了相交线,需要灵活掌握相交直线的两种情况.
6.2015年的世界无烟日期间,小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟,随机调查了100个成年人,结果其中20个成年人吸烟,对于这个关于数据收集与处理的问题,下列说法正确的是( )
A.调查的方式是普查
B.本地区约有20%的成年人吸烟
C.样本是20个吸烟的成年人
D.本地区只有80个成年人不吸烟
【考点】全面调查与抽样调查;总体、个体、样本、样本容量.
【分析】根据调查方式,可判断A,根据样本估计总体,可判断B,D,根据样本容量的定义,可判断D.
【解答】解:A、调查方式是抽样调查,故A错误;
B、根据调查结果知20%的成年人吸烟,故B正确;
C、样本是100个成年人,故C错误;
D、本地区80%的成年人不吸烟,故D错误;
故选:B.
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量,利用样本估计总体是解题关键.
7.有一组数据0、1、2、3、4、x、6的中位数是3,则这组数据x的取值范围( )
A.5 B.x≥4 C.x≥3 D.x≤3
【考点】中位数.
【分析】根据中位数的概念求解.
【解答】解:∵这组数据共有7个,3为中位数,
∴x≥3.
故选C.
【点评】本题考查了中位数的知识,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
8.如图,已知点A,B在半径为1的⊙O上,∠AOB=60°,延长OB至C,过点C作直线OA的垂线记为l,则下列说法正确的是( )
A.当BC等于0.5时,l与⊙O相离 B.当BC等于2时,l与⊙O相切
C.当BC等于1时,l与⊙O相交 D.当BC不为1时,l与⊙O不相切
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据圆心到直线的距离大于半径,直线与圆相离,圆心到直线的距离小于半径,直线与圆相交;圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,可得答案.
【解答】解:A、∵BC=0.5,∴OC=OB+CB=1.5;∵∠AOB=60°,∴∠ACO=30°,AO=OC=0.5<1,∴l与⊙O相交,故A错误;
B、∵BC=2,∴OC=OB+CB=3;∵∠AOB=60°,∴∠ACO=30°,AO=OC=1.5>1,∴l与⊙O相离,故B错误;
C、∵BC=1,∴OC=OB+CB=2;∵∠AOB=60°,∴∠ACO=30°,AO=OC=1,∴l与⊙O相切,故C错误;
D、∵BC≠1,∴OC=OB+CB≠2;∵∠AOB=60°,∴∠ACO=30°,AO=OC≠1,∴l与⊙O不相切,故D正确;
故选:D.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,利用了直线与圆的位置关系:圆心到直线的距离大于半径,直线与圆相离;圆心到直线的距离小于半径,直线与圆相交;圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切.
9.二次函数y=(x﹣1)(x﹣2)﹣1与x轴的交点x1,x2,x1<x2,则下列结论正确的是( )
A.x1<1<x2<2 B.x1<1<2<x2 C.x2<x1<1 D.2<x1<x2
【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】由y=0,解方程求出x1、x2,根据x1、x2的大小,即可得出结果.
【解答】解:当y=(x﹣1)(x﹣2)﹣1=0时,
解得:x1=,x2=,
∵0<<1,2<<3,
∴x1<1<2<x2.
故选:B.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标的求法;熟练掌握抛物线与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键.
10.已知点A在半径为3的⊙O内,OA等于1,点B是⊙O上一点,连接AB,当∠OBA取最大值时,AB长度为( )
A. B.2 C.3 D.2
【考点】垂径定理.
【分析】当AB⊥OA时,AB取最小值,∠OBA取得最大值,然后在直角三角形OBA中利用勾股定理求PA的值即可.
【解答】解:在△OBA中,当∠OBA取最大值时,OA取最大值,
∴BA取最小值,
又∵OA、OB是定值,
∴BA⊥OA时,BA取最小值;
在直角三角形OBA中,OA=1,OB=3,
∴ABA==2.
故选B.
【点评】本题考查了解直角三角形.解答此题的关键是找出“当BA⊥OA时,BA取最小值”即“BA⊥OA时,∠OBA取最大值”这一隐含条件.
二、填空题(本大题6小题,每题4分,共24分)
11.2的相反数是 ﹣2 .
【考点】相反数.
【分析】根据相反数的定义可知.
【解答】解:﹣2的相反数是2.
【点评】主要考查相反数的定义:只有符号相反的两个数互为相反数.0的相反数是其本身.
12.已知∠α=30°,∠α的余角为 60° .
【考点】余角和补角.
【分析】本题考查角互余的概念:和为90度的两个角互为余角.
【解答】解:根据定义∠α的余角度数是90°﹣30°=60°.
故答案为:60°.
【点评】此题考查了余角,属于基础题,较简单,主要记住互为余角的两个角的和为90度.
13.不等式2x﹣4>0的解集是 x>2 .
【考点】解一元一次不等式.
【分析】两边同时加4,再同时除以2,不等号不变.
【解答】解:∵2x﹣4>0,
∴2x>4,
∴x>2.
【点评】不等式两边同时加上一个数或除以一个正数,不等式方向不变.
14.如图,大圆半径为6,小圆半径为2,在如图所示的圆形区域中,随机撒一把豆子,多次重复这个实验,若把“豆子落在小圆区域A中”记作事件W,请估计事件W的概率P(W)的值 .
【考点】模拟实验;几何概率.
【分析】本题可以按照几何概型来估计事件W的概率P(W)的值,首先求出两个圆的面积,再由小圆的面积:大圆的面积,其比值即为P(W)的值.
【解答】解:∵大圆半径为6,小圆半径为2,
∴S大圆=36π,S小圆=4π,
∴P(W)==,
故答案为:.
【点评】本题考查模拟方法估计概率,是一个基础题,题目的运算比较简单,注意不要丢分.
15.已知⊙O的半径4,点A,M为⊙O上两点,连接OM,AO,∠MOA=60°,作点M关于圆心O的对称点N,连接AN,则弧AN的长是 .
【考点】弧长的计算.
【分析】首先求得圆心角∠AON,然后利用弧长公式即可求解.
【解答】解:∠AON=180°﹣60°=120°,
则弧AN的长是: =.
故答案是:.
【点评】本题考查了弧长公式,正确记忆公式是关键.
16.如图,在直角坐标系中,直线y=﹣x+4交矩形OACB于F与G,交x轴于D,交y轴于E.若∠FOG=45°,求矩形OACB的面积 8 .
【考点】一次函数综合题.
【分析】根据一次函数解析式求得OD=OE=4,则△EOD是等腰直角三角形,得出∠ODE=∠OED=45°,由∠OGE=∠ODF+∠DOG=45°+∠DOG,∠DOF=∠EOF++∠DOG=45°+∠DOG得出∠DOF=∠OGE,从而证得△DOF∽△EGO,得出=,DF•EG=OE•OD=16,过点F作FM⊥x轴于点M,过点G作GN⊥y轴于点N.则易知DF=b,GE=a,得出DF•GE=2ab=16,求得ab=8.
【解答】解:∵直线y=﹣x+4与x轴,y轴分别交于点D,点E,
∴OD=OE=4,
∴∠ODE=∠OED=45°;
∴∠OGE=∠ODF+∠DOG=45°+∠DOG,
∵∠EOF=45°,
∴∠DOF=∠EOF++∠DOG=45°+∠DOG,
∴∠DOF=∠OGE,
∴△DOF∽△EGO,
∴=,
∴DF•EG=OE•OD=16,
过点F作FM⊥x轴于点M,过点G作GN⊥y轴于点N.
∴△DMF和△ENG是等腰直角三角形,
∵NG=AC=a,FM=BC=b,
∴DF=b,GE=a,
∴DF•GE=2ab,
∴2ab=16,
∴ab=8,
∴矩形OACB的面积=ab=8.
故答案为8.
【点评】本题是一次函数的综合题,考查了一次函数图象上点的坐标特征,三角形相似的判定和性质找出辅助线构建等腰直角三角形,求得DF=b,GE=a是解题的关键.
三、解答题(本大题有9小题,共89分)
17.在直角坐标系中画出双曲线y=.
【考点】反比例函数的图象.
【分析】用描点法画反比例函数的图象,步骤:列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线.
【解答】解:列表如下:
x
﹣
1
﹣1
2
﹣2
y
4
﹣4
2
﹣2
1
﹣1
函数图象如下:
.
【点评】本题考查了反比例函数的图象.列表取值时,x≠0,因为x=0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y值.
18.解分是方程:.
【考点】解分式方程.
【专题】计算题.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:x=2,
经检验x=2是增根,分式方程无解.
【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
19.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F,若CE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.
【考点】平行四边形的判定.
【专题】证明题.
【分析】根据角平分线的性质可得∠1=∠2,再根据平行线的性质可得∠1=∠F,由CE=CF,可得∠F=∠3,再利用等量代换可得∠2=∠3,进而可得判定AD∥BC,然后可得四边形ABCD是平行四边形.
【解答】证明:∵∠BAD的平分线交直线BC于点E,
∴∠1=∠2,
∵AB∥CD,
∴∠1=∠F,
∵CE=CF,
∴∠F=∠3,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴AD∥BC,
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定,关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
20.有3张扑克牌,分别是红桃3、红桃4和黑桃5,把牌洗匀后先抽取一张,记下颜色和数字后将牌放回,洗匀后再抽取一张,则两次抽得相同颜色的概率是多少?
【考点】列表法与树状图法.
【专题】计算题.
【分析】红桃3、红桃4和黑桃5分别用A、B、C表示,画出树状图,展示所有9种等可能的结果数,找出两次抽得相同颜色的结果数,然后利用概率公式求解.
【解答】解:画树状图:红桃3、红桃4和黑桃5分别用A、B、C表示,
共有9种等可能的结果数,其中两次抽得相同颜色的结果数为5种,
所有两次抽得相同颜色的概率=.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求事件A或B的概率.
21.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC,求点B到直线MC的距离.
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】利用勾股定理求出BC,过B向MC作垂线,利用三角形相似求BE.
【解答】解:如图:在Rt△ABC中,
BC==3,
作BE⊥MC,垂足是E,
∵∠ACB=∠BEC=90°,
∴△ACB∽△BCE,
∴,
∴,
∴BE=,
∴点B到直线MC的距离.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键.
22.在数学活动中,我们已经学习了四点共圆的条件:如果一个四边形对角互补,那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上,简称“四点共圆”.如图,已知四边形ABCD,AD=4,CD=3,AC=5,cos∠BCA=sin∠BAC=,求∠BDC的大小.
【考点】圆内接四边形的性质;解直角三角形.
【专题】新定义.
【分析】先利用勾股定理的逆命题得到∠ADC=90°,再根据特殊角的三角函数值得到∠BCA=60°,∠BAC=30°,则∠ABC=90°,根据新定义得到四边形ABCD的四个点在以AC为直径的圆上,然后根据圆周角定理即可得到∠BDC=∠BAC=30°.
【解答】解:∵AD=4,CD=3,AC=5,
∴AD2+CD2=AC2,
∴△ADC为直角三角形,∠ADC=90°,
∵cos∠BCA=sin∠BAC=,
∴∠BCA=60°,∠BAC=30°,
∴∠ABC=180°﹣60°﹣30°=90°,
∴四边形ABCD的四个点在以AC为直径的圆上,
∴∠BDC=∠BAC=30°.
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.也考查了解直角三角形和圆周角定理.
23.据统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2,现要把一块长100米,宽50米的长方形土地,分为两块小长方形土地,分别种植这两种作物,是否存在一种划分这块土地的方法,使甲乙两种作物的总产量的比是3:4?请说明理由.
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】可设种植作物甲的面积是x平方米,则种植农作物乙的面积是(100×50﹣x)平方米,根据甲、乙两种作物的总产量的比为3:4,列出方程求解即可.
【解答】解:设种植作物甲的面积是x平方米,则种植农作物乙的面积是(100×50﹣x)平方米,依题意有
x:[2(100×50﹣x)]=3:4,
解得x=3000,
100×50﹣x
=5000﹣3000
=2000.
故种植作物甲的面积是3000平方米,种植作物乙的面积是2000平方米,使甲、乙两种作物的总产量的比为3:4.
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,得出两部分面积之比.
24.如图,已知A、B、C、D是⊙O上四点,点E在弧AD上,连接BE交AD于点Q,若∠AQE=∠EDC,∠CQD=∠E,求证:AQ=BC.
【考点】圆周角定理.
【专题】证明题.
【分析】首先根据圆周角定理,可得∠A=∠E,再根据∠CQD=∠E,可得∠CQD=∠A,所以AB∥CQ;然后根据圆内接四边形的性质,以及∠AQE=∠EDC,判断出BC∥AQ,即可判断出四边形ABCQ是平行四边形,所以AQ=BC,据此解答即可.
【解答】证明:如图:
,
根据圆周角定理,可得∠A=∠E,
∵∠CQD=∠E,
∴∠CQD=∠A,
∴AB∥CQ,
∵∠EBC+∠EDC=180°,∠AQB+∠AQE=180°,
∴∠EBC+∠EDC=∠AQB+∠AQE,
∵∠AQE=∠EDC,
∴∠EBC=∠AQE,
∴BC∥AQ,
又∵AB∥CQ,
∴四边形ABCQ是平行四边形,
∴AQ=BC.
【点评】(1)此题主要考查了圆周角定理的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
(2)此题还考查了平行四边形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确平行四边形的判定方法,以及平行四边形的性质:①边:平行四边形的对边相等.②角:平行四边形的对角相等.③对角线:平行四边形的对角线互相平分.
(3)此题还考查了圆内接四边形的性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①圆内接四边形的对角互补. ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).
25.已知双曲线y=和直线y=﹣2x,点C(a,b)(ab<2)在第一象限,过点C作x轴的垂线交双曲线于F,交直线于B,过点C作y轴的垂线交双曲线于E,交直线于A.
(1)若b=1,则结论“A、E不能关于直线FB对称”是否正确?若正确,请证明;若不正确,请举反例.
(2)若∠CAB=∠CFE,设w=AC•EC,当1≤a<2时,求w的取值范围.
【考点】反比例函数综合题;因式分解-提公因式法;二次函数的性质;相似三角形的判定与性质.
【专题】综合题;反比例函数及其应用.
【分析】(1)要说明一个结论错误,只需举一个反例即可,事实上,当a=时,可证到A、E关于直线FB对称;
(2)根据点C的坐标可得到点A、E、B、F的坐标(用a和b的代数式表示),由ab<2可证到点F在点C的上方,结合图象用a和b的代数式分别表示出CA、CE、CB、CF的长,然后由∠CAB=∠CFE证到△ACB∽△FCE,运用相似三角形的性质可得到CA•CE=CB•CF,由此结合因式分解可得到a与b的等量关系,从而得到w与a的函数关系,然后只需运用函数的增减性就可解决问题.
【解答】解:(1)结论“A、E不能关于直线FB对称”不正确.
反例:当a=时,
由b=1可得yA=yE=1.
∵点A在直线y=﹣2x上,点E在双曲线y=上,
∴xA=﹣,xE=2,
∴AC=﹣(﹣)=,CE=2﹣=,
∴AC=CE.
∵AE⊥BF,
∴A、E关于直线FB对称,
∴结论“A、E不能关于直线FB对称”不正确;
(2)由题可得:yA=yE=yC=b,xB=xF=xC=a.
∵点A、B在直线y=﹣2x上,点E、F在双曲线y=上,
∴xA=﹣,yB=﹣2a,xE=,yF=.
∵ab<2,
∴b<,
∴yC<yF,
∴点F在点C的上方(如图所示),
∴AC=a﹣(﹣)=a+=,
CE=﹣a=,
CF=﹣b=,
CB=b﹣(﹣2a)=b+2a,
∴w=AC•EC=•.
∵∠CAB=∠CFE,∠ACB=∠FCE=90°,
∴△ACB∽△FCE,
∴=,即CA•CE=CB•CF,
∴•=(b+2a)•,
∴a(2a+b)(2﹣ab)=2b(2a+b)(2﹣ab),
∴a(2a+b)(2﹣ab)﹣2b(2a+b)(2﹣ab)=0,
∴(a﹣2b)(2a+b)(2﹣ab)=0.
∵a>0,b>0,
∴2a+b>0.
又∵ab<2,
∴2﹣ab>0,
∴a﹣2b=0,
∴w=•=﹣a2+5.
∵﹣<0,
∴当a>0时,w随a的增大而减小.
∵1≤a<2,
∴﹣×22+5<w≤﹣×12+5,即0<w≤,
∴w的取值范围为0<w≤.
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、因式分解、二次函数的增减性等知识,在解决问题的过程中,用到了反证法,它是证明一个命题是假命题的常用的方法;另外,运用相似三角形性质及因式分解得到a与b的等量关系,是解决第(2)小题的关键.
26.若抛物线y=ax2+bx+c上有两点A,B关于原点对称,则称它为“完美抛物线”.
(1)请猜猜看:抛物线y=x2+x﹣1是否是“完美抛物线”?若猜是,请写出A,B坐标,若不是,请说明理由;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c是“完美抛物线”与y轴交于点C,与x轴交于(﹣,0),若S△ABC=,求直线AB解析式.
【考点】二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求一次函数解析式.
【专题】新定义.
【分析】(1)首先设A点的坐标是(m,n),根据A,B关于原点对称,判断出B点的坐标是(﹣m,﹣n);然后根据A,B都是抛物线y=x2+x﹣1上的点,求出m、n的值各是多少,判断出抛物线y=x2+x﹣1是“完美抛物线”,并写出A,B坐标即可.
(2)首先根据抛物线y=ax2+bx+c上有两点A,B关于原点对称,可得直线AB经过原点,设直线AB解析式是:y=kx;设点A的坐标是(p,q),则B点的坐标是(﹣p,﹣q);然后根据A、B都是抛物线y=x2+x﹣1上的点,抛物线与x轴交于(﹣,0),可得2b﹣ac=4;最后根据S△ABC=,求出b的值是多少,进而判断出直线AB的斜率是多少,求出直线AB解析式即可.
【解答】解:(1)设A点的坐标是(m,n),
∵A,B关于原点对称,
∴B点的坐标是(﹣m,﹣n),
∵A,B都是抛物线y=x2+x﹣1上的点,
∴,
解得m=1或m=﹣1,
①当m=1时,
n=12+1﹣1=1,
②当m=﹣1时,
n=(﹣1)2﹣1﹣1=﹣1,
∴抛物线y=x2+x﹣1是“完美抛物线”,
A(1,1)、B(﹣1,﹣1)或A(﹣1,﹣1)、B(1,1).
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c上有两点A,B关于原点对称,
∴直线AB经过原点,
∴设直线AB解析式是:y=kx,
设点A的坐标是(p,q),
则B点的坐标是(﹣p,﹣q),
∴,
∴ap2+c=0,
∴bp=q,
∴,
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于(﹣,0),
∴,
∴2b﹣ac=4,
∵点C的坐标是(0,c),
∴|cp×2|=,
∴,
∴p2=,
又∵,
∴,
∴b2=﹣ac,
又∵2b﹣ac=4,
∴b2+2b﹣4=0,
∴b=﹣1,
∵S△ABC=>0,
∴b>0,
∴b=﹣1,
又∵bp=q,
∴,
即直线AB的斜率是:k=,
∴直线AB解析式是:y=(﹣1)x.
【点评】(1)此题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征,以及对“完美抛物线”的含义的理解,要熟练掌握.
(2)此题还考查了直线的解析式的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是求出直线AB的斜率是多少.