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- 2021-05-10 发布
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1.(本小题满分10分)
已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D 作 DG//BC,交AB于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE、BD.
D
A
B
C
G
E
F
(第22题图)
(1)求证:△AGE≌△DAB;
(2)过点E作EF//DB,交BC于点F,连AF,求∠AEF的度数.
2、(本小题满分12分)
O
C
B
A
(第24题图)
如图,菱形OABC放在平面直角坐标系内,点A在轴的正半轴上,点B在第一象限,其坐标为(8,4).抛物线过点O、A、C.
(1)求抛物线的解析式?
(2)将菱形向左平移,设抛物线与线段AB的交点为D,连接CD.
① 当点C又在抛物线上时求点D的坐标?
② 当△BCD是直角三角形时,求菱形的平移的距离?
3、(本题12分)如图,在平面直角坐标系中,等腰梯形OABC,CB//OA,且点A在x轴正半轴上.已知C(2,4),BC= 4.
(1)求过O、C、B三点的抛物线解析式,并写出顶点坐标和对称轴;
(2)经过O、C、B三点的抛物线上是否存在P点(与原点O不重合),使得P点到两坐标轴的距离相等.如果存在,求出P点坐标;如果不存在,请说明理由.
4、 (本题12分)如图,AD//BC,点E、F在BC上,∠1=∠2,AF⊥DE,垂足为点O.
(1)求证:四边形AEFD是菱形;
(2)若BE=EF=FC,求∠BAD+∠ADC的度数;
(3)若BE=EF=FC,设AB = m,CD = n,求四边形ABCD的面积.
5、 (本题14分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与
x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于C点,顶点为D.过点
C、D的直线与x轴交于E点,以OE为直径画⊙O1,交直线CD于P、E
两点.
(1)求E点的坐标;
(2)联结PO1、PA.求证:~;
(3) ①以点O2 (0,m)为圆心画⊙O2,使得⊙O2与⊙O1相切,
当⊙O2经过点C时,求实数m的值;
②在①的情形下,试在坐标轴上找一点O3,以O3为圆心画
⊙O3,使得⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切.直接写出满足条件的点O3的坐标(不需写出计算过程).
6.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)
如图,EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线,EF与边AD、BC分别交于点E、F.
(1)求证:四边形BFDE是菱形;
(2)若E为线段AD的中点,求证:AB⊥BD.
A
D
E
B
F
C
第23题图
OA
7.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)
在平面直角坐标系中,抛物线经过点(0,2)和点(3,5).
1
2
3
4
1
2
3
4
-1
O
第24题图
-1
5
(1)求该抛物线的表达式并写出顶点坐标;
(2)点P为抛物线上一动点,如果直径为4的
⊙P与轴相切,求点P的坐标.
8.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)
如图,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,AB=3,AC=4,AD是BC边上的高,点E、F分别是AB边和AC边上的动点,且∠EDF= 90°.
(1)求DE︰DF的值;
(2)联结EF,设点B与点E间的距离为,△DEF的面积为,求关于的函数解析式,并写出
的取值范围;
(3)设直线DF与直线AB相交于点G,△EFG能否成为等腰三角形?若能,请直接写出线段BE的长;若不能,请说明理由.
A
A
备用图1
B
C
D
第25题图
B
C
D
E
F
A
备用图2
B
C
D
9.(本题满分12分,每小题各4分)
C
B
A
O
y
x
(图10)
如图10,已知抛物线与轴负半轴交于点,与轴正半轴交于点,且.
(1) 求的值;
(2) 若点在抛物线上,且四边形是
平行四边形,试求抛物线的解析式;
(3) 在(2)的条件下,作∠OBC的角平分线,
与抛物线交于点P,求点P的坐标.
10.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)
如图11,已知⊙O的半径长为1,PQ是⊙O的直径,点M是PQ延长线上一点,以点M为圆心作圆,与⊙O交于A、B两点,联结PA并延长,交⊙M于另外一点C.
(1) 若AB恰好是⊙O的直径,设OM=x,AC=y,试在图12中画出符合要求的大致图形,并求y关于x的函数解析式;
(2) 联结OA、MA、MC,若OA⊥MA,且△OMA与△PMC相似,求OM的长度和⊙M的半径长;
(3) 是否存在⊙M,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边?若存在,试求OM的长度和⊙M的半径长;若不存在,试说明理由.
A
B
图11
C
Q
P
O
M
图12
Q
P
O
M
答案:
1.(1)∵△ABC是等边三角形,DG//BC,∴△AGD是等边三角形.
AG=GD=AD,∠AGD=60°.
∵DE=DC,∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB.
∵∠AGD=∠BAD,AG=AD,∴△AGE≌△DAB. …………………………(5分)
(2)由(1)知AE=BD,∠ABD=∠AEG…………………………………………(6分)
∵EF∥DB,DG∥BC,∴四边形BFED是平行四边形 ………………………… (7分)
∴∠DBC=∠DEF,∴∠AEF=∠AEG+∠DEF=∠ABD+∠DBC=∠ABC=60°(8分)
2、(本题12分)
(1)A(0,3),C(3,0)
∵3m=3
∴m=1
∴抛物线的解析式为………2分
(2)∵m=1 ∴ ∴AO=3
点),连结OD
当y=0时,即,解得x1=-1 x2=3 ∴OC=3
∴S= S△AOD+ S△DOC=
∴S与x的函数关系式S=(0<x<3) …………………………4分
当符合(0<x<3) S最大值=
……6分
(3)
…………………………………………7分
假设存在点P,使AC把△PCD分成面积之比为2:1的两部分,分两种情况讨论:
(ⅰ)当△CDE与△CEP的面积之比为2:1时,DE=2EP ∴DP=3EP
即 整理得:
解得; (不合题意,舍去), 此时点P的坐标是(2,0)… 9分
(ⅱ)当△CEP与△CDE的面积之比为2:1时, , ∴
即 整理得:
解得: (不合题意,舍去),此时点P的坐标是(,0)
…………………………………………11分
综上所述,使直线AC把△PCD分成面积之比为2:1两部分的点P存在,点P的坐标是(2,0)或(,0)……………………… 12分
3、(12分)解:(1) ( 6分)∵C(2,4), BC=4 且 BC//OA ∴ B(6,4) 1分
设抛物线为
将O(0,0),C(2,4),B(6,4)代入得 解得 3分
∴ 1分
∴顶点 对称轴:直线 2分
(2) (6分)据题意,设或 1分
将代入抛物线得 解得(舍) 2分
将代入抛物线得 解得(舍) 2分
∴符合条件的点和 1分
4、(12分)(1)( 4分)证明:(方法一)∵AF⊥DE
∴∠1+∠3=90° 即:∠3=90°-∠1
∴∠2+∠4=90° 即:∠4=90°-∠2
又∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴AE = EF
∵AD//BC ∴∠2=∠5
∵∠1=∠2 ∴∠1=∠5
∴AE = AD ∴EF = AD 2分
∵AD//EF
∴四边形AEFD是平行四边形 1分
又∵AE = AD
∴四边形AEFD是菱形 1分
(方法二)∵AD//BC ∴∠2=∠5
∵∠1=∠2 ∴∠1=∠5
∵AF⊥DE ∴∠AOE=∠AOD=90°
在△AEO和△ADO中 ∴△AEO△ADO ∴EO=OD
6
在△AEO和△FEO中 ∴△AEO△FEO ∴AO=FO 2分
∴AF与ED互相平分 1分
∴四边形AEFD是平行四边形
又∵AF⊥DE
∴四边形AEFD是菱形 1分
(2)( 5分)∵菱形AEFD ∴AD=EF
∵BE=EF ∴AD=BE
又∵AD//BC ∴四边形ABED是平行四边形 1分
∴AB//DE ∴∠BAF=∠EOF
同理可知 四边形AFCD是平行四边形
∴AF//DC ∴∠EDC=∠EOF
又∵AF⊥ED ∴∠EOF=∠AOD=90°
∴∠BAF=∠EDC=∠EOF=90° 2分
∴∠5 +∠6=90° 1分
∴∠BAD+∠ADC=∠BAF+∠6 +∠5+∠EDC =270° 1分
(3)( 3分)由(2)知∠BAF =90°平行四边形AFCD ∴AF=CD=n
又∵AB=m 1分
由(2)知 平行四边形ABED ∴DE=AB=m
由(1)知OD= 1分
1分
5、(14分)解:(1) ( 3分) ∴ 1分
设直线CD: 将C、D代入得 解得
∴CD直线解析式: 1分 1分
(2) ( 4分)令y=0 得 解得
∴ 1分
又∵、 ∴以OE为直径的圆心、半径.
设
由 得 解得(舍)
∴ 2分
∴
又
∴ 1分 ∴~
(3) ( 7分)①
据题意,显然点在点C下方
当⊙O2与⊙O1外切时
代入得 解得 (舍)2分
当⊙O2与⊙O1内切时
代入得 解得 (舍) 2分
∴
② 3分
6、.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形
∴ED∥BF,得∠EDB=∠FBD ……………………………………………………(2分)
∵EF垂直平分BD
∴BO=DO,∠DOE=∠BOF=90°
∴△DOE≌△BOF……………………………………………………………………(2分)
∴ EO=FO
∴四边形BFDE是平行四边形 ……………………………………………………(1分)
又∵EF⊥BD
∴四边形BFDE是菱形 ……………………………………………………………(1分)
(2)∵四边形BFDE是菱形
∴ED=BF
∵AE=ED
∴AE=BF………………………………………………………………………………(2分)
又∵AE∥BF
∴四边形ABFE是平行四边形………………………………………………………(1分)
∴AB∥EF ……………………………………………………………………………(1分)
∴∠ABD=∠DOE ……………………………………………………………………(1分)
∵∠DOE=90°
∴∠ABD=90°
即AB⊥BD……………………………………………………………………………(1分)
7.解:(1)把(0,2)、(3,5)分别代入
得 解得 ……………………………………………(3分)
∴抛物线的解析式为 ………………………………………………(1分)
∴抛物线的顶点为………………………………………………………………(2分)
(2)设点P到y轴的距离为d,⊙的半径为r
∵⊙与轴相切 ∴
∴点P的横坐标为…………………………………………………………………(2分)
当时, ∴点P的坐标为 …………………………………(2分)当时, ∴点P的坐标为 ………………………………(2分)
∴点P的坐标为或.
8.解:(1)∵∠BAC= 90° ∴∠B +∠C =90°,
∵AD是BC边上的高 ∴∠DAC+∠C=90°
∴∠B =∠DAC ………………………………………………………………………(1分)
又∵∠EDF= 90°
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF +∠EDA = 90°
∴∠BDE =∠ADF
∴△BED∽△AFD ……………………………………………………………………(1分)
∴ …………………………………………………………………………(1分)
∵
∴DE︰DF =…………………………………………………………………………(1分)
(2)由△BED∽△AFD 得
∴ …………………………………………………………………(1分)
∵ ∴
∵∠BAC= 90°
∴………………………………………(1分)
∵DE︰D F =3︰4,∠EDF =90°
∴ED=EF,FD=EF…………………………………………………………………(1分)
∴
∴ ………………………………………………(2分)
(3)能. 的长为.……………………………………………………………(5分)
(说明:的长一个正确得3分,全对得5分)
9、解:(1)由题意得:点B的坐标为,其中, (1分)
∵,点在轴的负半轴上,∴点的坐标为 (1分)
∵点在抛物线上,∴ (1分)
∴ (因为) (1分)
(2)∵四边形是平行四边形
∴,又∥轴,点B的坐标为
∴点的坐标为 (1分)
又点在抛物线上,
∴ ∴或(舍去) (1分)
又 由(1)知:
∴,. 抛物线的解析式为. (2分)
(3)过点作轴,,垂足分别为、
∵ 平分 ∴ (1分)
设点的坐标为
∴ (1分)
解得:或(舍去) (1分)
所以,点的坐标为 (1分)
10、(1)图画正确 (1分)
过点作,垂足为
∴
由题意得:, 又是圆的直径
∴ ∴,
∴ (1分)
在Rt△中,
又,
∴
∴ y关于x的函数解析式为 () (2分)
(2)设圆M的半径为
因为 OA⊥MA,∴∠OAM=90°,
又△OMA与△PMC相似,所以△PMC是直角三角形。
因为OA=OP,MA=MC,所以∠CPM、∠PCM都不可能是直角。
所以∠PMC=90°. (1分)
又≠∠P, 所以,∠AMO=∠P (1分)
即若△OMA与△PMC相似,其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应.
∴ , 即 , 解得 (2分)
从而
所以,,圆的半径为. (1分)
(3)假设存在⊙M,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边
联结OA、MA、MC、AQ,设公共弦与直线相交于点
由正五边形知 , (1分)
∵ 是公共弦,所以,,
从而 ,
∴
∴,即圆的半径是 (1分)
∵ ,
∴
∴
∴ △∽△ (1分)
∴
∵ ,
∴ ,解得:(负值舍去)
∴ (2分)
所以,存在⊙M,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边,
此时的,圆的半径是.