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  • 2021-05-10 发布

上海市各区县历年中考数学模拟压轴题汇总及答案

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‎1.(本小题满分10分)‎ 已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D 作 DG//BC,交AB于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE、BD.‎ D A B C G E F ‎(第22题图)‎ ‎(1)求证:△AGE≌△DAB;‎ ‎(2)过点E作EF//DB,交BC于点F,连AF,求∠AEF的度数.‎ ‎2、(本小题满分12分) ‎ O C B A ‎(第24题图)‎ 如图,菱形OABC放在平面直角坐标系内,点A在轴的正半轴上,点B在第一象限,其坐标为(8,4).抛物线过点O、A、C.‎ ‎(1)求抛物线的解析式?‎ ‎(2)将菱形向左平移,设抛物线与线段AB的交点为D,连接CD.‎ ‎① 当点C又在抛物线上时求点D的坐标?‎ ‎② 当△BCD是直角三角形时,求菱形的平移的距离?‎ ‎3、(本题12分)如图,在平面直角坐标系中,等腰梯形OABC,CB//OA,且点A在x轴正半轴上.已知C(2,4),BC= 4.‎ ‎(1)求过O、C、B三点的抛物线解析式,并写出顶点坐标和对称轴;‎ ‎(2)经过O、C、B三点的抛物线上是否存在P点(与原点O不重合),使得P点到两坐标轴的距离相等.如果存在,求出P点坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎4、 (本题12分)如图,AD//BC,点E、F在BC上,∠1=∠2,AF⊥DE,垂足为点O.‎ ‎(1)求证:四边形AEFD是菱形;‎ ‎(2)若BE=EF=FC,求∠BAD+∠ADC的度数;‎ ‎(3)若BE=EF=FC,设AB = m,CD = n,求四边形ABCD的面积.‎ ‎5、 (本题14分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与 x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于C点,顶点为D.过点 C、D的直线与x轴交于E点,以OE为直径画⊙O1,交直线CD于P、E 两点.‎ ‎(1)求E点的坐标;‎ ‎(2)联结PO1、PA.求证:~;‎ ‎(3) ①以点O2 (0,m)为圆心画⊙O2,使得⊙O2与⊙O1相切,‎ 当⊙O2经过点C时,求实数m的值;‎ ‎②在①的情形下,试在坐标轴上找一点O3,以O3为圆心画 ‎⊙O3,使得⊙O3与⊙O1、⊙O2同时相切.直接写出满足条件的点O3的坐标(不需写出计算过程).‎ ‎6.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)‎ 如图,EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线,EF与边AD、BC分别交于点E、F.‎ ‎(1)求证:四边形BFDE是菱形;‎ ‎(2)若E为线段AD的中点,求证:AB⊥BD.‎ A D E B F C 第23题图 OA ‎7.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)‎ 在平面直角坐标系中,抛物线经过点(0,2)和点(3,5).‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎-1‎ O 第24题图 ‎-1‎ ‎5‎ ‎(1)求该抛物线的表达式并写出顶点坐标;‎ ‎(2)点P为抛物线上一动点,如果直径为4的 ‎⊙P与轴相切,求点P的坐标.‎ ‎8.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)‎ 如图,在Rt△ABC中,∠BAC= 90°,AB=3,AC=4,AD是BC边上的高,点E、F分别是AB边和AC边上的动点,且∠EDF= 90°.‎ ‎(1)求DE︰DF的值;‎ ‎(2)联结EF,设点B与点E间的距离为,△DEF的面积为,求关于的函数解析式,并写出 的取值范围;‎ ‎(3)设直线DF与直线AB相交于点G,△EFG能否成为等腰三角形?若能,请直接写出线段BE的长;若不能,请说明理由.‎ A A 备用图1‎ B C D 第25题图 B C D E F A 备用图2‎ B C D ‎9.(本题满分12分,每小题各4分)‎ C B A O y x ‎(图10)‎ 如图10,已知抛物线与轴负半轴交于点,与轴正半轴交于点,且. ‎ ‎(1) 求的值;‎ ‎(2) 若点在抛物线上,且四边形是 平行四边形,试求抛物线的解析式;‎ ‎(3) 在(2)的条件下,作∠OBC的角平分线,‎ 与抛物线交于点P,求点P的坐标.‎ ‎10.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)‎ 如图11,已知⊙O的半径长为1,PQ是⊙O的直径,点M是PQ延长线上一点,以点M为圆心作圆,与⊙O交于A、B两点,联结PA并延长,交⊙M于另外一点C.‎ ‎(1) 若AB恰好是⊙O的直径,设OM=x,AC=y,试在图12中画出符合要求的大致图形,并求y关于x的函数解析式;‎ ‎(2) 联结OA、MA、MC,若OA⊥MA,且△OMA与△PMC相似,求OM的长度和⊙M的半径长;‎ ‎(3) 是否存在⊙M,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边?若存在,试求OM的长度和⊙M的半径长;若不存在,试说明理由.‎ A B 图11‎ C Q P O M 图12‎ Q P O M 答案:‎ ‎1.(1)∵△ABC是等边三角形,DG//BC,∴△AGD是等边三角形.‎ AG=GD=AD,∠AGD=60°.‎ ‎∵DE=DC,∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB.‎ ‎∵∠AGD=∠BAD,AG=AD,∴△AGE≌△DAB. …………………………(5分)‎ ‎(2)由(1)知AE=BD,∠ABD=∠AEG…………………………………………(6分)‎ ‎∵EF∥DB,DG∥BC,∴四边形BFED是平行四边形 ………………………… (7分)‎ ‎∴∠DBC=∠DEF,∴∠AEF=∠AEG+∠DEF=∠ABD+∠DBC=∠ABC=60°(8分)‎ ‎2、(本题12分)‎ ‎(1)A(0,3),C(3,0)‎ ‎∵3m=3‎ ‎∴m=1‎ ‎∴抛物线的解析式为………2分 ‎(2)∵m=1 ∴ ∴AO=3‎ 点),连结OD 当y=0时,即,解得x1=-1 x2=3 ∴OC=3‎ ‎∴S= S△AOD+ S△DOC=‎ ‎∴S与x的函数关系式S=(0<x<3) …………………………4分 当符合(0<x<3) S最大值=‎ ‎……6分 ‎(3)‎ ‎…………………………………………7分 假设存在点P,使AC把△PCD分成面积之比为2:1的两部分,分两种情况讨论:‎ ‎(ⅰ)当△CDE与△CEP的面积之比为2:1时,DE=2EP ∴DP=3EP 即 整理得:‎ 解得; (不合题意,舍去), 此时点P的坐标是(2,0)… 9分 ‎(ⅱ)当△CEP与△CDE的面积之比为2:1时, , ∴‎ 即 整理得:‎ 解得: (不合题意,舍去),此时点P的坐标是(,0)‎ ‎…………………………………………11分 综上所述,使直线AC把△PCD分成面积之比为2:1两部分的点P存在,点P的坐标是(2,0)或(,0)……………………… 12分 ‎3、(12分)解:(1) ( 6分)∵C(2,4), BC=4 且 BC//OA ∴ B(6,4) 1分 设抛物线为 ‎ 将O(0,0),C(2,4),B(6,4)代入得 解得 3分 ‎∴ 1分 ‎∴顶点 对称轴:直线 2分 ‎(2) (6分)据题意,设或 1分 将代入抛物线得 解得(舍) 2分 将代入抛物线得 解得(舍) 2分 ‎∴符合条件的点和 1分 ‎4、(12分)(1)( 4分)证明:(方法一)∵AF⊥DE ‎ ‎∴∠1+∠3=90° 即:∠3=90°-∠1‎ ‎ ∴∠2+∠4=90° 即:∠4=90°-∠2‎ ‎ 又∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴AE = EF ‎ ‎∵AD//BC ∴∠2=∠5 ‎ ‎∵∠1=∠2 ∴∠1=∠5‎ ‎∴AE = AD ∴EF = AD 2分 ‎∵AD//EF ‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形 1分 又∵AE = AD ‎ ‎∴四边形AEFD是菱形 1分 ‎(方法二)∵AD//BC ∴∠2=∠5‎ ‎ ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠5‎ ‎∵AF⊥DE ∴∠AOE=∠AOD=90°‎ 在△AEO和△ADO中 ∴△AEO△ADO ∴EO=OD ‎6‎ 在△AEO和△FEO中 ∴△AEO△FEO ∴AO=FO 2分 ‎∴AF与ED互相平分 1分 ‎∴四边形AEFD是平行四边形 又∵AF⊥DE ‎∴四边形AEFD是菱形 1分 ‎(2)( 5分)∵菱形AEFD ∴AD=EF ‎ ‎∵BE=EF ∴AD=BE 又∵AD//BC ∴四边形ABED是平行四边形 1分 ‎∴AB//DE ∴∠BAF=∠EOF 同理可知 四边形AFCD是平行四边形 ‎∴AF//DC ∴∠EDC=∠EOF 又∵AF⊥ED ∴∠EOF=∠AOD=90°‎ ‎∴∠BAF=∠EDC=∠EOF=90° 2分 ‎∴∠5 +∠6=90° 1分 ‎∴∠BAD+∠ADC=∠BAF+∠6 +∠5+∠EDC =270° 1分 ‎(3)( 3分)由(2)知∠BAF =90°平行四边形AFCD ∴AF=CD=n ‎ 又∵AB=m 1分 由(2)知 平行四边形ABED ∴DE=AB=m 由(1)知OD= 1分 ‎ 1分 ‎5、(14分)解:(1) ( 3分) ∴ 1分 ‎ 设直线CD: 将C、D代入得 解得 ‎ ‎ ∴CD直线解析式: 1分 1分 ‎(2) ( 4分)令y=0 得 解得 ‎∴ 1分 又∵、 ∴以OE为直径的圆心、半径.‎ 设 ‎ 由 得 解得(舍)‎ ‎∴ 2分 ‎∴ ‎ 又 ‎ ‎∴ 1分 ∴~ ‎ ‎(3) ( 7分)① ‎ 据题意,显然点在点C下方 ‎ ‎ 当⊙O2与⊙O1外切时 ‎ 代入得 解得 (舍)2分 当⊙O2与⊙O1内切时 ‎ 代入得 解得 (舍) 2分 ‎∴ ‎ ‎② 3分 ‎ ‎ ‎6、.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴ED∥BF,得∠EDB=∠FBD ……………………………………………………(2分)‎ ‎∵EF垂直平分BD ‎∴BO=DO,∠DOE=∠BOF=90°‎ ‎∴△DOE≌△BOF……………………………………………………………………(2分)‎ ‎∴ EO=FO ‎∴四边形BFDE是平行四边形 ……………………………………………………(1分)‎ 又∵EF⊥BD ‎∴四边形BFDE是菱形 ……………………………………………………………(1分)‎ ‎(2)∵四边形BFDE是菱形 ‎∴ED=BF ‎∵AE=ED ‎∴AE=BF………………………………………………………………………………(2分)‎ 又∵AE∥BF ‎∴四边形ABFE是平行四边形………………………………………………………(1分)‎ ‎∴AB∥EF ……………………………………………………………………………(1分)‎ ‎∴∠ABD=∠DOE ……………………………………………………………………(1分)‎ ‎∵∠DOE=90°‎ ‎∴∠ABD=90°‎ 即AB⊥BD……………………………………………………………………………(1分)‎ ‎7.解:(1)把(0,2)、(3,5)分别代入 得 解得 ……………………………………………(3分)‎ ‎∴抛物线的解析式为 ………………………………………………(1分)‎ ‎∴抛物线的顶点为………………………………………………………………(2分)‎ ‎(2)设点P到y轴的距离为d,⊙的半径为r ‎∵⊙与轴相切 ∴‎ ‎∴点P的横坐标为…………………………………………………………………(2分)‎ 当时, ∴点P的坐标为 …………………………………(2分)当时, ∴点P的坐标为 ………………………………(2分)‎ ‎∴点P的坐标为或.‎ ‎8.解:(1)∵∠BAC= 90° ∴∠B +∠C =90°,‎ ‎∵AD是BC边上的高 ∴∠DAC+∠C=90°‎ ‎∴∠B =∠DAC ………………………………………………………………………(1分)‎ 又∵∠EDF= 90°‎ ‎∴∠BDE+∠EDA=∠ADF +∠EDA = 90°‎ ‎∴∠BDE =∠ADF ‎∴△BED∽△AFD ……………………………………………………………………(1分)‎ ‎∴ …………………………………………………………………………(1分)‎ ‎∵‎ ‎∴DE︰DF =…………………………………………………………………………(1分)‎ ‎(2)由△BED∽△AFD 得 ‎∴ …………………………………………………………………(1分) ‎ ‎∵ ∴‎ ‎∵∠BAC= 90°‎ ‎∴………………………………………(1分)‎ ‎∵DE︰D F =3︰4,∠EDF =90°‎ ‎∴ED=EF,FD=EF…………………………………………………………………(1分)‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ………………………………………………(2分)‎ ‎(3)能. 的长为.……………………………………………………………(5分)‎ ‎(说明:的长一个正确得3分,全对得5分)‎ ‎9、解:(1)由题意得:点B的坐标为,其中, (1分)‎ ‎ ∵,点在轴的负半轴上,∴点的坐标为 (1分)‎ ‎ ∵点在抛物线上,∴ (1分)‎ ‎ ∴ (因为) (1分)‎ ‎ (2)∵四边形是平行四边形 ‎ ∴,又∥轴,点B的坐标为 ‎ ∴点的坐标为 (1分)‎ ‎ 又点在抛物线上,‎ ‎ ∴ ∴或(舍去) (1分)‎ ‎ 又 由(1)知:‎ ‎ ∴,. 抛物线的解析式为. (2分)‎ ‎ (3)过点作轴,,垂足分别为、‎ ‎ ∵ 平分 ∴ (1分)‎ ‎ 设点的坐标为 ‎ ∴ (1分)‎ ‎ 解得:或(舍去) (1分)‎ ‎ 所以,点的坐标为 (1分)‎ ‎10、(1)图画正确 (1分)‎ 过点作,垂足为 ‎∴‎ 由题意得:, 又是圆的直径 ‎∴ ∴, ‎ ‎∴ (1分)‎ 在Rt△中,‎ 又,‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ y关于x的函数解析式为 () (2分) ‎ ‎(2)设圆M的半径为 ‎ 因为 OA⊥MA,∴∠OAM=90°, ‎ 又△OMA与△PMC相似,所以△PMC是直角三角形。‎ 因为OA=OP,MA=MC,所以∠CPM、∠PCM都不可能是直角。‎ 所以∠PMC=90°. (1分)‎ 又≠∠P, 所以,∠AMO=∠P (1分)‎ 即若△OMA与△PMC相似,其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应. ‎ ‎∴ , 即 , 解得 (2分)‎ 从而 所以,,圆的半径为. (1分)‎ ‎(3)假设存在⊙M,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边 ‎ 联结OA、MA、MC、AQ,设公共弦与直线相交于点 ‎ 由正五边形知 , (1分) ‎ ‎ ∵ 是公共弦,所以,, ‎ 从而 ,‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴,即圆的半径是 (1分)‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴ △∽△ (1分) ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ ,解得:(负值舍去)‎ ‎∴ (2分)‎ 所以,存在⊙M,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边,‎ 此时的,圆的半径是. ‎