重庆中考数学题专题 21页

重庆中考几何 一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质 ‎1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．‎ ‎（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；‎ ‎（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．‎ ‎（1）证明：∵HE=HG，‎ ‎∴∠HEG=∠HGE，‎ ‎∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，‎ ‎∴∠BEH=∠FGC，‎ ‎∵G是HC的中点，‎ ‎∴HG=GC，‎ ‎∴HE=GC，‎ ‎∵∠HBE=∠CFG=90°．‎ ‎∴△EBH≌△GFC； （2）解：过点H作HI⊥EG于I，‎ ‎∵G为CH的中点，‎ ‎∴HG=GC，‎ ‎∵EF⊥DC，‎ HI⊥EF，‎ ‎∴∠HIG=∠GFC=90°，‎ ‎∠FGC=∠HGI，‎ ‎∴△GIH≌△GFC，‎ ‎∵△EBH≌△EIH（AAS），‎ ‎∴FC=HI=BH=1，‎ ‎∴AD=4-1=3．‎ ‎2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．‎ ‎（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；‎ ‎（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．‎ 证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，‎ ‎∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，‎ ‎∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，‎ 在△DAC和△BAE中，‎ ‎ AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，‎ ‎∴△DAC≌△BAE（SAS），‎ ‎∴DC=BE； ‎ ‎（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，‎ 由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，‎ ‎∴∠DGF=∠FAE=90°，‎ 又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，‎ ‎∴∠ABC=60°，‎ 又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，‎ ‎∴∠DBG=∠ABC=60°，‎ 在△DGB和△ACB中，‎ ‎ ∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，‎ ‎∴△DGB≌△ACB（AAS），‎ ‎∴DG=AC，‎ 又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，‎ ‎∴DG=AE，‎ 在△DGF和△EAF中，‎ ‎ ∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，‎ ‎∴△DGF≌△EAF（AAS），‎ ‎∴DF=EF，即F为DE中点．‎ ‎3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．‎ ‎（1）求证：CF=CG；‎ ‎（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长． 解答：（1）证明：连接AC，‎ ‎∵DC∥AB，AB=BC，‎ ‎∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，‎ ‎∴∠1=∠2；‎ ‎∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，‎ ‎∴△ADC≌△AEC，‎ ‎∴CD=CE；‎ ‎∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，‎ ‎∴△FDC≌△GEC，‎ ‎∴CF=CG．‎ ‎（2）解：由（1）知，CE=CD=2，‎ ‎∴BE=4CE=8，‎ ‎∴AB=BC=CE+BE=10，‎ ‎∴在Rt△ABE中，AE= AB2-BE2 =6，‎ ‎∴在Rt△ACE中，AC= AE2+CE2 =‎ 由（1）知，△ADC≌△AEC，‎ ‎∴CD=CE，AD=AE，‎ ‎∴C、A分别是DE垂直平分线上的点，‎ ‎∴DE⊥AC，DE=2EH；（8分）‎ 在Rt△AEC中，S△AEC= AE•CE= AC•EH，‎ ‎∴EH= = =‎ ‎∴DE=2EH=2×=‎ ‎4、如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；‎ 求证：‎ ‎（1）△BCQ≌△CDP；‎ ‎（2）OP=OQ．‎ 证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，‎ ‎∴∠2+∠3=90°，‎ 又∵DP⊥CQ，‎ ‎∴∠2+∠1=90°，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ 在△BCQ和△CDP中，‎ ‎ ∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ．‎ ‎∴△BCQ≌△CDP． （2）连接OB．‎ 由（1）：△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABC=90°，AB=BC，‎ 而点O是AC中点，‎ ‎∴BO=AC=CO，∠4=∠ABC=45°=∠PCO，‎ 在△BCQ和△CDP中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO ‎∴△BOQ≌△COP，‎ ‎∴OQ=OP．‎ A B D E C F ‎5、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.‎ ‎⑴求证：△ABE≌△CFB;‎ ‎⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.‎ 解：（1）证明：连结CE，‎ 在△BAE与△FCB中，‎ ‎∵ BA=FC，∠A=∠BCF，， AE=BC，‎ ‎∴△BAE≌△FCB； （2）延长BC交EF于点G，作AH⊥BG于H，作AM⊥BG，‎ ‎∵△BAE≌△FCB，∴∠AEB=∠FBG，BE=BF，∴△BEF为等腰三角形，又∵AE∥BC，‎ ‎∴∠AEB=∠EBG，∴∠EBG=∠FBG，∴BG⊥EF，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°，‎ ‎∴四边形AMGE为矩形，∴AM=EG，‎ 在Rt△ABM中，AM=AB•sin60°=6× = ，∴EG=AM=，‎ BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan∠EBC=‎ ‎6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F ‎（1）求证：BF=AD+CF；‎ ‎（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．‎ ‎（1）证明： 如图（1），延长AD交FE的延长线于N ‎∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC DE=EC ‎∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF ∵AB∥FN，‎ AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形 ‎∴BF=AD+DN=AD+FC （2）解：∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，‎ ‎∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵ BC+AD=7+1∴ BF+CF+AD=8‎ 而由（1）知CF+AD=BF ‎∴ BF+BF=8‎ ‎∴2BF=8，‎ ‎∴BF=4，∴BF=EF=4‎ ‎7、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积． ‎ ‎（1）证明：连接BF ‎∵ABCD为矩形 ‎∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC ‎∴△ABE为直角三角形 ‎∵F是AE的中点 ‎∴AF=BF=BE ‎∴∠FAB=∠FBA ‎∴∠DAF=∠CBF ‎∵ AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,‎ ‎ ∴△DAF≌△CBF ‎∴∠ADF=∠BCF ‎∴∠FDC=∠FCD ‎∴∠FGH=∠FHG ‎∴FG=FH；‎ ‎（2）解：∵AC=CE∠E=60°‎ ‎∴△ACE为等边三角形 ‎∴CE=AE=8‎ ‎∵AB⊥BC ‎∴BC=BE==4‎ ‎∴根据勾股定理AB=‎ ‎∴梯形AECD的面积=×(AD+CE)×CD=×(4+8)×=‎ ‎8、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE．‎ ‎（1）求证：BC=CD；‎ ‎（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．求证：CD垂直平分EG；‎ ‎（3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．‎ 证明：（1）延长DE交BC于F，‎ ‎∵AD∥BC，AB∥DF，‎ ‎∴AD=BF，∠ABC=∠DFC．‎ 在Rt△DCF中，‎ ‎∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，‎ ‎∴ =2，‎ 即CD=2CF，‎ ‎∵CD=2AD=2BF，‎ ‎∴BF=CF，‎ ‎∴BC=BF+CF=CD+ CD=CD．‎ 即BC=CD． （2）∵CE平分∠BCD，‎ ‎∴∠BCE=∠DCE，‎ 由（1）知BC=CD，‎ ‎∵CE=CE，‎ ‎∴△BCE≌△DCE，‎ ‎∴BE=DE，‎ 由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG，‎ ‎∴DE=DG，‎ ‎∴C，D都在EG的垂直平分线上，‎ ‎∴CD垂直平分EG．‎ ‎（3）连接BD，‎ 由（2）知BE=DE，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎∵AB∥DE，‎ ‎∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．‎ ‎∵AD∥BC，∴∠4=∠DBC．由（1）知BC=CD，∴∠DBC=∠BDC，∴∠4=∠BDP．‎ 又∵BD=BD，∴△BAD≌△BPD(ASA)∴DP=AD．‎ ‎∵AD=CD，∴DP=CD．∴P是CD的中点．‎ ‎9．(2011南岸二诊)如图，已知点是正方形的对角线上一点，过点作⊥，交 于点，交于点，交的延长线于点，连接DF．‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎10．如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N．‎ ‎（1）线段AD与NE相等吗？请说明理由；‎ ‎（2）探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．‎ ‎11、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．‎ ‎（1）求证：△AGD为正三角形；‎ ‎（2）求EF的长度．‎ 解答：（1）证明：连接BE，‎ ‎∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，‎ 又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，‎ ‎（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，‎ ‎∴EF=AB=5cm．‎ ‎12、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．‎ ‎（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；‎ ‎（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；‎ ‎（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．‎ 解答：解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，‎ ‎∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；‎ ‎（2）△DCF是等腰直角三角形，‎ 证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，‎ ‎∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，‎ ‎∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；‎ ‎（3）共四种情况：‎ ‎∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；‎ 当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；‎ 当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；‎ 当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．‎ 故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）‎ ‎13．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE,∠ECB=45°．‎ ‎⑴求证：AB=BE；‎ ‎⑵延长BE，交CD于F．若CE=，tan∠CDE=，求BF的长．‎ ‎13．⑴证明：延长DE，交BC于G．‎ ‎∵DE⊥AD于D，∴∠ADE=90°‎ 又AD∥BC， ∴∠DGC=∠BGE=∠ADE=90°，‎ 而∠ECB=45°, ∴△EGC是等腰直角三角形，‎ ‎∴EG=CG ‎ 在△BEG和△DCG中，‎ ‎∴△BEG≌△DCG(AAS) ‎ ‎∴BE=CD=AB ‎⑵连结BD．‎ ‎∵∠EBC=∠CDE∴∠EBC+∠BCD =∠CDE+∠BCD=90°，即∠BFC=90°‎ ‎∵CE=，∴EG=CG=1又tan∠CDE=，∴，∴DG=3‎ ‎∵△BEG≌△DCG，∴BG=DG=3∴‎ ‎∴CD=BE=‎ 法一：∵，∴‎ 法二：经探索得，△BEG∽△BFC，∴，∴ ∴‎ A B C D E F G ‎14．如图，直角梯形中，的垂直平分线交于，交的延长线于 求证：(1)；(2)‎ 证明：(1) ‎ ‎ ‎ ‎(2)连接AF，EF是AB的中垂线 由(1)知 即：‎ 二、有关“截长补短”题型 ‎1、在中，对角线延长线上一点且为等边三角形，、的平分线相交于点，连接，连接。‎ ‎（1）若的面积为，求的长；‎ ‎（2）求证：。‎ ‎2.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE ‎(1)若正方形ABCD的边长为4,BE=3,求EF的长？‎ A B C D F E ‎(2)求证：AE=EC+CD．‎ ‎2：解：‎ ‎（1）…………4分 ‎（2）证明：过F作FH⊥AE于H ‎∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FH⊥AE， ‎ ‎ ∴∠DAF=∠EAF，FH=FD，‎ 在△AHF与△ADF中，‎ ‎∵AF为公共边，∠DAF=∠EAF，FH=FD ‎∴△AHF≌△ADF（HL）．‎ ‎∴AH=AD，HF=DF． 又∵DF=FC=FH，FE为公共边，‎ ‎∴△FHE≌△FCE．‎ ‎∴HE=CE．‎ ‎∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，‎ ‎3．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．‎ ‎（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；‎ ‎（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．‎ 分析：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，在Rt△ABC中，利用三角函数求出BC，在Rt△CDM中，∠D=45°，利用等腰直角三角形的性质得到DM=CM=AB=6，则AD=6+8=14，然后根据梯形的面积公式计算即可；‎ ‎（2）过G作GN⊥AD，则DN=GN，由AD∥BC，得∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，得到∠BFE=∠GHN，易证Rt△BEF≌Rt△NGH，则BE=GN，BF=HN，经过代换即可得到结论．‎ 解答：解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图，‎ 在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，‎ ‎∴AC=10，‎ ‎∴BC=8，‎ 在Rt△CDM中，∠D=45°，‎ ‎∴DM=CM=AB=6，‎ ‎∴AD=6+8=14，‎ ‎∴梯形ABCD的面积=•（8+14）•6=66（cm2）；‎ ‎（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，‎ ‎∵∠D=45°，‎ ‎∴△DNG为等腰直角三角形，‎ ‎∴DN=GN，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠BFH=∠FHN，‎ 而∠EFH=∠FHG，‎ ‎∴∠BFE=∠GHN，‎ ‎∵EF=GH，‎ ‎∴Rt△BEF≌Rt△NGH，‎ ‎∴BE=GN，BF=HN，‎ ‎∴DH=HN+DN=HN+NG=BF+BE．‎ ‎4、如上图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．‎ ‎（1）当CE=1时，求△BCE的面积；‎ ‎（2）求证：BD=EF+CE．‎ 考点：梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）先证明∠BCE=90°，∠CBE=30°，△BCE为直角三角形，又CE=1，继而求出BE的长，再根据三角形的面积公式求解即可；‎ ‎（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．‎ 解答：（1）解：∵AD=CD，‎ ‎∴∠DAC=∠DCA，‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴∠DCA=∠CAB，‎ ‎∴，‎ ‎∵DC∥AB，AD=BC，‎ ‎∴∠DAB=∠CBA=60°，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，‎ ‎∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，‎ ‎∵BE⊥AB，‎ ‎∴∠ABE=90°，‎ ‎∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，‎ 在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，‎ ‎∴…（5分）‎ ‎（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，‎ ‎∴四边形FDME是矩形，‎ ‎∴FE=DM，‎ ‎∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，‎ ‎∴△BME≌△ECB，‎ ‎∴BM=CE，‎ ‎∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）‎ ‎5．已知，如图，，点E是AB上的点，，连接ED，过D作于F.‎ ‎ (1)若，求梯形ABCD的周长.‎ ‎(2)求证：；‎ ‎5．解：①‎ ‎ ‎ ‎ 在中：‎ ‎ ‎ ‎ 由题得，四边形ABFD是矩形 ‎ ‎ ‎ 延长EB至G，使BG=CF，连接CG ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连结CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．‎ A B D C O E F G M ‎24题图 ‎（1）若OF=4，求FG的长；‎ ‎（2）求证：BF=OG+CF．‎ ‎6．（1）解：∵CF平分∠OCE，‎ ‎∴∠OCF=∠ECF．………………………………………………………（1分）‎ 又∵OC=CG，CF=CF，‎ ‎∴△OCF≌△GCF．…………………………………………………（3分）‎ ‎∴FG=OF=4，‎ 即FG的长为4．……………………………（4分）‎ ‎（2）证明：在BF上截取BH=CF，连结OH．…………………………………（5分）‎ A B C D E G F M O H ‎24题答图 ‎∵正方形ABCD已知，‎ ‎∴AC⊥BD，∠DBC=45°，‎ ‎∴∠BOC=90°，‎ ‎∴∠OCB=180°—∠BOC—∠DBC=45°．‎ ‎∴∠OCB=∠DBC．‎ ‎∴OB=OC．…………………………………………（6分）‎ ‎∵BF⊥CF，‎ ‎∴∠BFC=90°．‎ ‎∵∠OBH=180°—∠BOC—∠OMB=90°—∠OMB，‎ ‎∠OCF=180°—∠BFC—∠FMC=90°—∠FMC，‎ 且∠OMB=∠FMC，‎ ‎∴∠OBH=∠OCF．………………（7分）‎ ‎∴△OBH≌△OCF．‎ ‎∴OH=OF，∠BOH=∠COF．………………（8分）‎ ‎∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，‎ ‎∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°．‎ ‎∴∠OHF=∠OFH=（180°—∠HOF）=45°．‎ ‎∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．‎ ‎∵△OCF≌△GCF，‎ ‎∴∠GFC=∠OFC=135°，‎ ‎∴∠OFG=360°—∠GFC—∠OFC=90°．‎ ‎∴∠FGO=∠FOG=（180°—∠OFG）=45°．‎ ‎∴∠GOF=∠OFH，∠HOF=∠OFG．‎ ‎∴OG∥FH，OH∥FG，‎ ‎∴四边形OHFG是平行四边形．‎ ‎∴OG=FH．……………………（9分）‎ ‎∵BF=FH+BH，‎ ‎∴BF=OG+CF．‎ ‎7、如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作 交的延长线于点，连接，过点作交 于点，连接。‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）求证：。‎ ‎ ‎ ‎8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC于G,BH⊥DC于H，CH=DH，点E在AB上，点F在BC上，并且EF∥DC。‎ ‎(1)若AD=3，CG=2，求CD;‎ ‎(2)若CF=AD+BF，求证：EF=CD.‎ ‎8. (1)解：连接BD ………… 1分 ‎ ∵AD∥BC, ∠ABC=90°, DG⊥BC∴四边形ABGD是矩形 ‎∴AB=DG BG=AD=3∴BC=3+2=5∵BH⊥DC，CH=DH，∴BD=BC=5‎ 在Rt△ABD中，AB=∴DG=4‎ 在Rt△CDG中,CD= ………… 5分 ‎ (2)证明：延长FE、DA相交于M ………… 6分 ‎∵ EF∥DC, AD∥CF∴四边形CDMF是平行四边形∴CF=MD ‎∵ CF=AD+BF, MD=AD+AM∴ AM=BF∵ AM∥BF ‎∴ ∠M=∠BFE又∵ ∠AEM=∠BEF ‎ ∴ △AEM≌△BEF ………… 8分∴ ME=EF=MF ‎ ∵ 四边形CDMF是平行四边形 ∴ MF=CD∴ EF=CD ‎9、正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45。‎ 请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？‎ 变形a解：（简单思路）‎ 解：数量关系为：EF= BF-DE.理由如下：‎ 在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。‎ 由四边形ABCD是正方形得 ADE=ABG=90，AD=AB 又DE=BG∴ADEABG（SAS）‎ ‎∴EAD=GAB， AE=AG，由四边形ABCD是正方形得 DAB=90=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE ‎∴GAF=GAE-EAF=90-45=45‎ GAF=EAF=45又AG=AE AF=AF ‎∴EAFGAF（SAS） ∴ EF=GF=BF-BG=BF-DE ‎10、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BG⊥CD于点G．‎ ‎（1）若点P在BC上，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，求证：PE+PF=BG．‎ ‎（2）若AD=4，BC=6，AB=2，求BG的长．‎ 解：（1）作PM⊥BG于M．∵BG⊥CD，PF⊥CD，PM⊥BG，∴四边形PMGF为矩形，PF=MG．‎ ‎∵ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠C．∵PM⊥BG，CD⊥BG，∴PM∥CD．∴∠MPB=∠C=∠EBP．‎ 又∵∠BEP=∠PMB=90°，BP=PB，∴△BEP≌△PMB，∴PE=BM．∴PE+PF=BM+MG=BG； （2）过点D作DN∥AB交BC于点N．则ABND是平行四边形，DN=AB=DC=4．∵BC=6，AD=4，‎ ‎∴NC=4．∴△DNC是等边三角形，∠C=60°．∴BG=BC•sin60°=6×32=33．‎ ‎11、正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45。‎ 请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？‎ ‎12、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠FCE=1/2∠BCD．‎ ‎（1）求证：BF=EF-ED；‎ ‎（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，‎ ‎∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；‎ ‎（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，‎ 而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．‎ ‎13.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE． （1）求证：BE=BC； （2）∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证： ； （3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为 ‎ ‎（1）证明：∵BG⊥AP，AG=GE，∴BG垂直平分线段AE，∴AB=BE，在正方形ABCD中，AB=BC，∴BE=BC； （2）证明：∵AB=BE，∴∠BAG=∠BEG，∵BG⊥AP，∠ABC=90°，∴∠BAG=∠PBG=∠BEG，∵BN为∠CBE的平分线，∴∠EBN=∠CBN，∴∠PBG+∠CBN=∠EBN+∠BEG，即∠BNG=∠NGB=45°，∴△BNG是等腰直角三角形，BN= GN， 连接CN、AC，则∠CNE=2（∠EBN+∠BEG）=90°，又∠ADC=90°，∴A、D、C、N四点共圆，∴∠CND=∠CAD=45°，∴∠AND=45°，过D作DM⊥AE于点M，则△DNM为等腰直角三角形，∴DN= DM，∵∠DAM+∠ADM=90°，∠DAM+∠BAG=90°，∴∠ADM=∠BAG，在△ABG和△DAM中， ，∴△ABG≌△DAM（AAS），∴AG=DM， ∴BN+DN= GN+ AG= （GN+AG）= AN； （3）根据勾股定理，AP= = = ，∴BG= = ， ∵BP=PC，∠BGP=∠CNP=90°，∴△BPG≌△CNP（AAS），∴CN=BG，∴CE= CN= × = ‎ ‎14、正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。‎ 求证：AC/2=AD-EO ‎（2）解：（简单思路）‎ 过E作EGAD于G∵四边形ABCD是正方形 ADC=90，BD平分ADC，ACBD∴ADB=ADC/2=45‎ ‎∵AE平分DAC，EOAC，EGAD∴EAO=EAG，‎ DGE=AOE=AGE=90又AE=AE，∴AEOAEG（AAS）∴AG=AO，EO=EG 又ADB=45，DGE=90∴DGE为等腰直角三角形 DG=EG=EO AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2‎ ‎15．如图，正方形ABCD中，点M是边BC上一点（异于点B、C），AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，连AK、MK．‎ ‎（1）若M是BC的中点，且BC=4，求EF的长；（2）求证：AE=DF+BM．‎ ‎16、正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。‎ 请问MN、AD、EF有什么数量关系？‎ ‎ ‎ ‎（2）加强版解：（简单思路）‎ MN/2=AD-EF 过E作EGAD于G，作EQAB于Q， 过B做BPMN于P 按照（2）的解法，可求证，‎ GNEFNE（AAS） DGE为等腰直角三角形 AG=AD-DG=AD-EF，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形， ABC=GAQ=BCM=90 BD平分ABC，BC=BA ABD=ABC/2=45，又EQB=90 EQB为等腰Rt三角形，BEQ=45‎ ‎∵GAQ=EGA=EQA=90 ∴四边形AGEQ为矩形， EQ=AG=AD-EF，EQ//AG QEN=ENG 又ENG=ENF，∴QEN=ENF 由BC=BA，BCM=BAN=90，CM=AN，‎ ‎∴BCMBAN（SAS） BM=BN，CBM=ABN ABC=90=ABM+CBM=ABM+ABN=MBN，又BM=BN ‎∴MBN为等腰Rt三角形， 又BP斜边MN于P，∴NPB为等腰Rt三角形。‎ BP=MN/2，PNB=45。BNE=ENF+PNB BEN=QEN+QEB 又QEN=ENF，PNB=QEB=45 ∴BNE=BEN BN=BE，‎ 又PNB=QEB=45=NBP=EBQ ∴BEQBNP（SAS） EQ=BP ‎∵EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2 ∴AD-EF=MN/2。‎ ‎17、正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15，FAB=30。AD=，求AEF的面积 变形d解：（简单思路）‎ 延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。过E作EHAG.前面如（1）所证，‎ ADGABF，EAGEAF GAD=FAB=30，SEAG=SEAF 在RtADG中，GAD=30，AD= AGD=60，AG=2‎ 设EH=x 在RtEGH中和RtEHA中 AGD=60，HAE=45 HG=x，AH=x AG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3- SEAF=SEAG=EHAG2=3-.‎