数学思想中考数学二轮考点复习专题9 9页

专题九 数学思想 一、 考点综述 考点内容：‎ 整体思想、数形结合思想、化归思想、换元思想、分类思想 考纲要求：‎ 要求学生会建立数学思想，掌握思想方法，在解题时可以使学生，寻求出已知和未知的联系，提高学生分析问题的能力，从而使学习的思维品质和能力有所提高。数学思想方法的渗透、展现是借助于数学知识、技能这些载体的，在每年的中考中都有考查学生数学思想的题目出现。‎ 考查方式及分值：‎ 思想方法的考查在填空、解答、选择题中都有出现，常常和各种知识综合起来作为压轴题目出现。‎ 备考策略：‎ 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，整体思想、数形结合思想、化归思想、换元思想、分类思想，在平时的学习中要注意发掘和运用这些数学思想方法。‎ 二、例题精析 ‎1、整体思想 整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.‎ 例1 解方程组 解题思路：如果选用代入法解答，比如由①得，x= ,再代入②，得 ‎2003×（）+2002y=2004‎ 解答起来十分麻烦. ‎ 如果选用加减法，比如，①×2003- ②×2002，可以消去x，得 ‎2003×2003y-2002×2002y=2001×2003- 2004×2002‎ 形式也很复杂，不易求解. ‎ 注意到两个方程的系数正好对调这一特征，先将两方程相加，①+②，得 ‎4005x + 4005y = 4005‎ 化简，得 x+y=1 ③‎ 再将两方程相减，① - ②，得 -x + y = - 3‎ 即 x-y=3 ④‎ 由③、④组成方程组，得 解这个方程组得 .‎ 规律总结：整体思想在数学解题中的应用，不仅仅局限于上述的类型，还涉及到其他的各种题型，只有通过不断地挖掘、归纳、提炼，才能更好地把握整体思想的本质和规律，从而使问题迎刃而解。‎ ‎2、数形结合思想 数和形是初中数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它通过形理解数，利用形的直观加深对数量关系的理解；通过数理解形，利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解，即图形位置问题的坐标化，数量关系图形化。‎ 例2、 已知正比例函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2．‎ ‎⑴求两个函数图象的交点坐标；‎ ‎⑵若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小．‎ 解题思路：（1）由由交点横坐标的含义可得方程组消去字母y，得，解得．所以正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为．要求两个函数图象的交点坐标，只须在得出的函数解析式基础上画出图象（反比例函数的图象分别在第一、三象限内的双曲线，正比例函数的图象是经过原点的一条直线）由题知交点的横坐标是2即可求出纵坐标也是2即为（2，2），由图象的关于原点成中心对称可得另一交点为．所以两函数图象交点的坐标为（2，2），．‎ ‎（2）利用上问中所画图形得反比例函数的图象的的值随值的增大而减小，所以当时，．当时，．当时，因为，，所以．‎ 规律总结：借助“形”的几何直观来阐明“数”之间的某种关系能使问题简单。这类问题常把函数、方程、不等式联系起来.‎ ‎3、 化归思想 所谓化归思想，就是指对于那些数学问题难以求解时，我们可以根据问题的性质、条件和关系，采取适当的方法把较困难的问题转化为较简单的或早已熟悉的问题来进行解答。‎ 例3、如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为 .‎ 解题思路： 设次小正方形边长为x，则其余正方形的边长依次为1+x,2+x,3+x,根据题意得：‎ ‎（2+x+3+x）（3+x+x）-【（3+x）+（2+x）+（1+x）+2x】=1，‎ 解得x=4.‎ 所以矩形色块图的面积为13×11=143.‎ 规律总结：如果对待这个问题时只考虑几何的面积求法，很容易陷入分别求边长的死胡同，从而一筹莫展，这里采用代数考虑，将问题用一个方程表达出来，进而求出次小正方形的边长，进而求得解。这里又包含了整体思想、方程思想.‎ ‎4、 换元思想 例4 分解因式（x2-3x+2）(x2-3x-4)-72‎ 解题思路：注意题目的形式特征，把某一部分（比如x2-3x+2）看作一个整体，运用整体换元，把原方程化为形如x2+px+q的二次三项式，进一步用十字相乘法，最后注意分解要彻底。‎ 设x2-3x+2=t 则 ‎（x2-3x+2）(x2-3x-4)-72‎ ‎=t（t-6）-72‎ ‎=t-6t-72‎ ‎=（t+6）（t-12）‎ ‎= (x2-3x+2+6)（x2-3x+2-12）‎ ‎=（x2-3x+8）（x2-3x-10）‎ ‎=（x2-3x+8）（x-5）（x+2）.‎ 规律总结： 如果把（x2-3x+2）与(x2-3x-4)相乘，将得到一个四次多项式，这时再分解就困难了，注意题目的形式特征，运用整体换元。‎ ‎5、分类思想 分类思想是根据所研究的对象相同点和不同点区分不同类型的数学思想方法.‎ 例5. 仔细阅读下列材料，然后解答问题：‎ 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：‎ 消费金额a（元）‎ 的范围 获得的奖金额（元）‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎130‎ ‎ 根据上述促销方法，顾客在商场内购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×80％=360元，获得的优惠额为450×（1－80％）+30=120元。设购买该商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品标价。‎ ‎ （1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？‎ ‎ （2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？‎ ‎ 解题思路：这道题较新颖，既考查学生的阅读理解能力，又考查学生分类解题能力和运用新知能力。第（2）问中由于标价在500元—800元之间，因此消费金额在400元—640元之间，第二次送奖券优惠情况不确定，有两种情况，所以应分类解答。‎ 解：（1）标价为1000元的商品的优惠率为：‎ ‎（2）设顾客购买标价为x元的商品，可以得到的优惠率 ‎∵‎ ‎∴‎ 分两种情况：‎ ‎①当时，有 据题意得：‎ 解之并检验得：。‎ 但 ‎∴x=450不合题意，应舍去。‎ ‎②当时，有 据题意得：‎ 解之并检验得：x=750。符合题意。‎ 综合①②可知：x=750。‎ 答：顾客购买标价为750元的商品时，可以得到的优惠率。‎ 规律总结：由以上三例可以看出，当解某些题的时候，应注意分类，分类讨论时要正确选择分类的标准，一是不能遗漏，二是不能重复。只有这样，才能比较严谨、规范地解决数学应用问题。‎ 三、综合训练 一、选择题 ‎1. 若抛物线y＝x2－6x＋c的顶点在x轴上，则c的值是（　　）‎ A．9        B．‎3 ‎‎ C．－9            D．0‎ ‎2.如果已知一次函数y＝kx＋b的图象不经过第三象限，也不经过原点，那么k、b的取值范围是（　　）‎ A．k＞0且b＞0                                             B．k＞0且b＜0‎ C．k＜0且b＞0                                             D．k＜0且b＜0‎ ‎3根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（ ）‎ ‎000‎ ‎110‎ ‎010‎ ‎111‎ ‎001‎ ‎101‎ A．100，011 B．011，‎100 ‎ C．011，101 D．101，110‎ ‎4.若△ABC的边长为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，则△ABC是（　　）‎ A．等边三角形                                               B．等腰直角三角形 C．钝角三角形                                               D．直角三角形 ‎5.关于x的二次方程x2－（‎2m＋1）x＋m－8＝0的两个实数根，一个根大于－1，另一个根小于－1，则m应满足（　　）‎ A．m＞－1                                                     B．m＞2‎ C．m＜2                                                       D．m＜－1‎ 一、 填空题 ‎1. 要用总长‎30m的篱笆沿墙的一边围一长方形的鸡舍，除墙这一边外，其他三边（除门外）都用篱笆围成，要求长方形的长是宽的2倍，并要求留‎2m宽的门，这一鸡舍的长与宽分别为________、_______‎ ‎2. 已知二次函数y＝－4x2－2mx＋m2与反比例函数y＝ 的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是－2，则m的值是_________．‎ ‎3. 已知：，，，，……，若 符合前面式子的规律， 则 a + b = ．‎ ‎4.如图，“回”字形的道路宽为‎1米，整个“回”字形的长为‎8米，宽为‎7米，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了 .‎ ‎8米 ‎7米 B A ‎5.甲、乙两人分别从相距‎30km的A、B两地同时相向而行，经过3h后相距‎3km，再经过2h，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，甲、乙两人的速度分别为_____、_____.‎ 三、解答题 ‎1.甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：‎ 购苹果数 不超过‎30kg ‎30kg以上但不超过‎50kg ‎50kg以上 每千克价格 ‎3元 ‎2.5元 ‎2元 甲班分两次共购苹果‎70kg（第二次多于第一次），共付189元，而乙班则一次购苹果‎70kg。‎ ‎（1）乙班比甲班少付多少元？‎ ‎（2）甲班两次分别购买苹果多少千克？‎ A B C D O ‎2. 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和为‎86cm ‎，一条对角线长是‎13cm，那么矩形的面积是多少？‎ ‎3．已知抛物线y＝（m－1）x2－2mx＋m＋3与x轴交于A、B两点，当m取什么实数时，‎ ‎（1）A、B两点都在y轴的右侧；‎ ‎（2）A、B两点分别在y轴的左、右两侧，且线段AO的长度大于线段OB的长度．‎ ‎ ‎ ‎4．已知一次函数y＝－x＋6和反比例函数y＝ （k≠0）．‎ ‎（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系 xOy中的图象有两个公共点？‎ ‎（2）设（1）中的两个公共点分别为A、B，∠AOB是锐角还是钝角？‎ 答 案 一、选择题 ‎ 1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 二、填空题 ‎ 1. ‎16m和‎8m或‎12.8m和‎6.4m 2.-7 3.109 4.56 5. 甲的速度为‎4Km/h，乙的速度为‎5Km/h或甲的速度为16/‎3Km/h，乙的速度为17/‎3Km/h。‎ 三、解答题 ‎ 1. 解：（1）乙班比甲班少付：（元）。‎ ‎（2）设甲班第一次购买苹果x千克，则第二次购买苹果千克。‎ ‎∵第二次多于第一次 ‎∴‎ ‎∴‎ 故 分三种情况：‎ ‎①当时，有，‎ 据题意得：，‎ x=49。‎ 但不合题意，应舍去。‎ ‎②当时，有，‎ 据题意得：，‎ x=28，‎ ‎。‎ ‎③当时，有 据题意得：‎ 但左边不合题意，舍去；‎ 综合①②③，只有②符合题意。‎ 答：甲班第一次购买‎28千克苹果，第二次购买‎42千克。‎ ‎ 2. 解 根据题意，有 AB+BC+CD+DA ‎=86-2（AC+BD）‎ ‎=86-4×13‎ ‎=34.‎ ‎∴AB+BC=17.‎ 两边平方，得：AB+2AB·BC+BC=289,‎ 又AB+BC=AC=169,‎ 两式相减，得2AB·BC=120,‎ ‎∴AB·BC=60（㎝）.‎ ‎3.（1）m＜－3或1＜m＜   （2）0＜m＜1‎ ‎4．（1）k＜9且k≠0．‎ ‎（2）当0＜k＜9时，∠AOB是锐角；当k＜0时，∠AOB是钝角．‎