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- 2021-05-10 发布
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专题23 圆的有关位置关系
☞解读考点
知 识 点
名师点晴
点和圆的位置关系
理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 d>r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 dr 点P在⊙O外．
基本方法归纳：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
注意问题归纳：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【例1】在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙ A的半径为2，下列说
法中不正确的是（ ）
A．当a＜5时，点B在⊙A内
B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外
D．当a＞5时，点B在⊙A外
【答案】A．
考点：点与圆的位置关系．
归纳 2：直线与圆的位置关系
基础知识归纳：
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
直线l与⊙O相交 dr；
注意问题归纳：直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系．
【例2】已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4．
其中正确命题的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 5
【答案】C．
考点：直线与圆的位置关系．
归纳 3：圆和圆的位置关系
基础知识归纳：
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种．
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种．
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．
基本方法归纳：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离 d>R+r
两圆外切 d=R+r
两圆相交 R-rr）
两圆内含 dr）
【例3】如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（ ）
A． 12 B． 8 C． 5 D． 3
【答案】D．
【解析】
试题分析：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8-5=3．
故选D．
考点：圆与圆的位置关系．
☞1年模拟
1．（2015届广东省湛江第二中学校级模拟）已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离PO=1，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断
【答案】C．
考点：直线与圆的位置关系．
2．（2015届江苏省盐城校级模拟）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙ A的半径为2，下列说
法中不正确的是（ ）
A．当a＜5时，点B在⊙A内
B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外
D．当a＞5时，点B在⊙A外
【答案】A．
【解析】
试题分析：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．
故选A．
考点：点与圆的位置关系．
3．（2015届四川省广安市校级模拟）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=52°，则∠A的度数是
【答案】76°．
考点：1三角形的内切圆与内心；2．圆周角定理；3．切线的性质．
4．（2015届湖南省长沙麓山国际等四校联考）中，．则的内切圆半径______．
【答案】2．
【解析】
试题分析：利用面积分割法可得出直角三角形内切圆的半径r与三角形的三边之间的关系为：
其中：a，b是直角三角形的两条直角边，c是直角三角形的斜边
由勾股定理可求出斜边AB=10
所以内切圆半径
考点：直角三角形的内切圆和内心．
5．（2015届北京市怀柔区一模）已知两圆的半径分别为2cm和4cm，它们的圆心距为6cm，则这两个圆的位置关系是 ．
【答案】外切．
【解析】
试题分析：圆心距6=两个半径之和，所以这两个圆相外切．
考点：圆有关的位置关系．
6．（2015届河南省三门峡市一模）两圆的圆心距d=6，两圆的半径长分别是方程的两根，则这两个圆的位置关系是 ．
【答案】内切．
考点：1．圆与圆的位置关系；2．解一元二次方程-因式分解法．
7．（2015届江西省南昌市一模）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=2n，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A．n2π B.2n2π C.4n2π D.8n2π
【答案】A．
【解析】
试题分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．
∵AB于小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC=AC=AB=×2n=n
∵圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）
又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2
∴圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）=π•BC2=n2π．
故选A．
考点：1．垂径定理的应用；2．切线的性质．
8．（2015届四川中江县校级模拟）如图所示，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为；图②
中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长为；…．依此规律，当正方形边长为2时，= ____________．
【答案】10100π．
考点：1．相切两圆的性质；2．规律型：图形的变化类．
9．（2015届山东省滕州市校级模拟）已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA＝6，则PB＝ ．
【答案】6．
【解析】
试题分析：∵PA、PB都是⊙O的切线，且A、B是切点，∴PA=PB，即PB=6．
考点：切线长定理．
10．（2015届江苏省如皋市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= 度．
【答案】40°．
考点：1．切线的性质；2．圆周角定理．
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