中考数学反比例函数押轴题专练 32页

反比例函数的押轴题解析汇编一 反比例函数 一、选择题 ‎1. （2011贵州毕节,9,3分）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是( )‎ x x x x y y y y O O O O A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】由一次函数、反比例函数的图象和性质，可知C答案正确，解本题的关键就是一次函数与反比例函数解析式中k的取值符号相同。A答案中一次函数与反比例函数解析式中k的取值符号不相同,同时一次函数解析式中k的取值符号本身就不相同。B答案中，乍一看一次函数与反比例函数解析式中k的取值符号相同,但仔细一看，一次函数解析式中k的取值符号本身就不相同。D答案与A答案一样。‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的图象和性质，在解题时注意一次函数、反比例函数的图象位置与k的关系。二者结合在一起，增加了难度。难度中等。‎ ‎2. （2011甘肃兰州，2，4分）如图，某反比例函数的图象过（-2,1），则此反比例函数表达式为（ ）‎ x y ‎-2‎ ‎1‎ O A. B. C. D. ‎ ‎【解题思路】设反比例函数的解析式为，因为图象过（-2,1），代入解析式得k=-2，所以解析式是，故B正确，其余选项不正确.‎ ‎【答案】B．‎ ‎【点评】本题考查了求反比例函数解析式的方法，关键是设出反比例函数的解析式，并将已知点的坐标代入解析式求出k的值即可．难度较小．‎ ‎3. （2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图像上.若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为 A. 1 B. ‎-3 C. 4 D. 1或-3‎ x y O A B C D ‎【解题思路】可以设点C的坐标是（m，n），设AB与x轴交于点M，则△BMO∽△BAD，则，因为AD=2+m，AB=2+n，OM=2，BM=n，因而得到，即mn=4，点（m，n）在反比例函数的图像上，代入得到，解得，.故选D，显然其它选项不正确.‎ ‎【答案】D．‎ ‎【点评】本题涉及的知识点是用待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的性质相似三角形的性质与判定.本题的难点是借助矩形的性质，转化为相似的性质解决.难度较大.‎ ‎3.(2011广东广州，5，3分)下列函数中，当x>0时，y值随x值增大而减小的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题思路】根据二次函数的性质，当x>0时，y值随x值增大而增大；根据一次函数的性质，当x>0时，y值随x值增大而增大，当x>0时，y值随x值增 大而增大；根据反比例函数的性质，当x>0时，y值随x值增大而减小的，A、B、C项均错，D项为正确选项。.‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题主要考查初中学段学习的几种基本函数的增减性，知识基础性强，难度较小。‎ ‎1. （2011年怀化5，3分）函数与函数在同一坐标系中的大致图像是 ‎【解题思路】由函数可知，图像在第一、三象限，反比例函数中，-1<0，图像在第二、四象限，可得正确答案D.‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题考察了正、反比例函数的性质，并且考虑了k为正数、负数两种情况下的函数图像，难度较小.‎ ‎1. （2011江苏盐城，6，3分）对于反比例函数y = ，下列说法正确的是 ‎ A．图象经过点（1，-1） B．图象位于第二、四象限 C．图象是中心对称图形 D．当x＜0时，y随x的增大而增大 ‎【解题思路】将（1，-1）代入解析式验证可知A选项不成立；当k＞0时，反比例函数图象位于一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，故B、D选项不成立；反比例函数既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以C选项正确．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的相关性质．反比例函数的对称性和增减性时考试的热点，也是学生容易丢分的地方，特别是没有范围限定，直接说函数随自变量怎么变化，学生极易将其判断为正确．难度较小．‎ ‎（2011江苏连云港，4，3分）关于反比例函数y＝图象，下列说法正确的是 A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限 ‎ C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称 ‎【解题思路】画出草图结合用排除法可以排除A、B、C。‎ ‎【答案】D ‎【点评】考察反比例函数图象的性质。难度较小。‎ ‎（2011江苏省淮安市，8， 3分）如图，反比例函数y=的图象经过点A(-1，-2)．则当x>1时,函数值y的取值范围是 ‎ A．y>l B．02 D．0 0 ）的图象如图所示，则结论：① 两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 )， ② 当 x > 3 时， ③ 当 x ＝1时， BC = 8，④ 当 x 逐渐增大时， yl 随着 x 的增大而增大，y2随着 x 的增大而减小．其中正确结论的序号是____________________＿ .‎ ‎【解题思路】由函数 yl= x ( x ≥0 ) , （ x > 0 ）构造出的方程组得出A点坐标故①正确；由于当x>3时，的图像在的下面故应＜；当时，故③正确；当 x 逐渐增大时，yl 图像的上升，y2图像的下降得④正确.‎ ‎【答案】①③④．‎ ‎【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像交点、函数值的求法及利用图像升降判断其增减性的数形结合思想，解决本题的关键是熟练一次函数与反比例函数的图像与性质，难度中等. ‎ ‎4. （2011湖北孝感，15，3分）如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为＿＿＿.‎ ‎ ‎ ‎ 15题图 ‎ ‎【解题思路】可设D(a,0),则A(a,),B(3a, ),C(3a,0).故矩形ABCD的面积为BC·CD=·(3a-a)=2.‎ ‎【答案】2‎ ‎【点评】主要考查反比例函数的图象上点的表示特征，以及平行于坐标轴的点的特征.对于特殊平行四边形与反比例函数结合在一起的试题，可以采用逐步设未知数的方法，得到各边的长，再求面积即可．难度中等．‎ 三、解答题 ‎8. （2011江西南昌，20，6分）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）．‎ ‎⑴求点D的坐标；‎ ‎⑵求经过点C的反比例函数解析式．‎ ‎【解题思路】（1）已知A（0，4），B（-3，0）可以求出AB=5，因为四边形ABCD为菱形，所以AD=BC=5，点A、D在y轴上所以点D的坐标为（0，-1）；（2）要求经过点C的反比例函 数解析式，首先要求出点C的坐标．结合已知和图形，可很容易求出，利用待定系数法，即可求出反比例函数的解析式．‎ ‎【答案】(1)根据题意得AO=4，BO=3，∠AOB=90°，‎ 所以AB===5.‎ 因为四边形ABCD为菱形，所以AD=AB=5，‎ 所以OD=AD-AO=1,‎ 因为点D在y轴负半轴，所以点D的坐标为（-1,0）.‎ ‎(2)设反比例函数解析式为.‎ 因为BC=AB=5，OB=3,‎ 所以点C的坐标为（-3，-5）.‎ 因为反比例函数解析式经过点C,‎ 所以反比例函数解析式为.‎ ‎【点评】本题将两个简易的知识点，反例函数的图象和菱形组合在一起，是一个简单的综合问题，其中涉及的菱形性质要求学生能熟练，并能运用，难度中等．‎ ‎21．（2011四川绵阳，21，12）（本题满分12分）‎ 右图中曲线是反比例函数y＝的图象的一支．‎ ‎（1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？‎ ‎（2）若一次函数y＝的图象与反比例函数图象交于点A，与x轴交于B，△AOB的面积为2，求n的值．‎ ‎【解题思路】(1)当k＞0，反比例函数的图象在第一、三象限；当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限；反之同样成立，所以，由图象的一个分支在第二象限，则另一个分支在第四象限，n+7＜0，则n＜－7．(2)点B在x轴上，纵坐标为0，把y＝0代入直线解析式，即可求出点B的横坐标，求出OB的长．以OB为△AOB的底，点A的纵坐标的绝对值为△AOB的高，由△AOB的面积是2，OB＝2，求出A的纵坐标，代入直线解析式求出横坐标．把点A的横纵坐标代入反比例函数的解析式求出n的值．‎ ‎【答案】（1）第四象限，n＜－7‎ ‎（2）∵点B是直线y＝与x轴的交点，纵坐标为0，‎ ‎∴把y＝0代入y＝，得＝0，解得x＝2，‎ ‎∴B的坐标为（2，0）．‎ 设点A的坐标为(x，y)，∵B的坐标为（2，0），∴OB＝2．‎ ‎∵△AOB面积是2，‎ ‎∴×2×＝2，∴b＝±2．‎ 又∵点A在第二象限，则y＞0，∴y＝2．‎ 把y＝2代入y＝，解得x＝－1．‎ ‎∴点A的坐标是(－1，2)．‎ ‎∴n+7＝－1×2，n＝－9．‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数，由反比例函数的性质确定图象所在的象限和k的范围；直线与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0，代入直线解析式可以求出交点的坐标；由三角形的面积求出三角形某个顶点的某个坐标的绝对值，根据所在象限确定具体值；把反比例函数上的点的坐标代入反比例函数的解析式，求出未知系数的值，即求出解析式．‎ ‎21． （2011四川内江，21，10分）如图，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=交与A、B两点，已知点A的坐标为（4，n）,BD⊥x轴于D，且S△BDO=4．过点A的一次函数y3=k3x+b与反比例函数交与另一点C，且与x轴交与点E（5,0）．‎ ‎（1）求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式；‎ ‎（2）结合图像，求出当k3x+b＞＞k1x时x的取值范围．‎ x B A C E D O y ‎【思路分析】（1）有三角形面积可确定反比例函数解析式，将A（4，n）代入反比例函数表达式可求点A坐标，将点A坐标代入y1=k1x可求正比例函数解析式，由点A、E可确定一次函数y3=k3x+b的解析式；（2）由反比例函数和正比例函数解析式组成方程组可解得点C的坐标，根据双曲线和正比例函数交点特点可确定点B的坐标，结合图像从x＜-2、-2＜x＜0、0＜x＜1、1＜x＜4和x＞4‎ 五个范围来确定k3x+b＞＞k1x时x的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）∵S△BDO=4，∴k2=8，∴y2=，将A（4，n）代入y2=，得n=2．把A（4，2）代入y1=k1x得k1=，∴y1=x ．又∵点A、B关于原点对称，∴B（-4，-2）．把A（4，2）、点E（5,0）分别代入y3=k3x+b得，解得k3= -2，b=10,∴y3=-2x+10；‎ ‎（2）解得或，即C（1,8）‎ 由图像知当k3x+b＞＞k1x时x＜-2或1＜x＜4．‎ ‎【点评】本题主要考查双函数的图象问题，又与几何图形产生联系.直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意： (1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲线的解析式． (2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标．‎ ‎20．（2011年河南，20，9分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C.‎ ‎（1）＝ ，＝ ；‎ ‎（2）根据函数图象可知，当＞时，x的取值范围是 ；‎ ‎（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E，当：＝3：1时，求点P的坐标.‎ ‎【解题思路】（1）本题须把B点的坐标分别代入一次函数y1=k1x+2与反比例函数 的解析式即可求出K2、k1的值．‎ ‎（2）本题须先求出一次函数y1=k1x+2与反比例函数 的图象的交点坐标，即可求出当y1＞y2时，x的取值范围．‎ ‎（3）本题须先求出四边形OADC的面积，从而求出DE的长，然后得出点E的坐标，最后求出直线OP的解析式即可得出点P的坐标．‎ ‎【解】（1），16；‎ ‎（2）－8＜x＜0或x＞4；‎ ‎（3）由（1）知，‎ ‎∴m＝4，点C的坐标是（0，2）点A的坐标是（4，4）.‎ ‎∴CO＝2，AD＝OD＝4.‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 即OD·DE＝4，∴DE＝2.‎ ‎∴点E的坐标为（4，2）.‎ 又点E在直线OP上，∴直线OP的解析式是.‎ ‎∴直线OP与的图象在第一象限内的交点P的坐标为（）.‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数的综合问题，在解题时要综合应用反比例函数的图象和性质以及求一次函数与反比例函数交点坐标是本题的关键．‎ 解决本题一类的问题，要深刻理解函数解析式与图象之间的关系，根据点的意义求出点的坐标，确定解析式.‎ ‎21．（2011年内蒙古呼和浩特，21，8）在同一直角坐标系中反比例函数的图象与一次函数的图象相交,且其中一个交点A的坐标为(–2,3),若一次函数的图象又与x轴相交于点B,且△AOB的面积为6(点O为坐标原点).‎ 求一次函数与反比例函数的解析式.‎ ‎【解题思路】根据反比例函数图象过A点,将A点坐标代入,即可得到反比例函数的解析式.一次函数解析式中含有2个待定系数,需找到一次函数图象上的两个点A、B,将它们的坐标代入一次函数解析式,联立组成方程组进行求解.在用△AOB的面积求B点坐标时,要注意分类讨论.‎ ‎【答案】解:将点A(-2,3)代入中得 ‎∴‎ ‎∴ ………………………………………………………(2分)‎ 又∵△AOB的面积为6‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴|OB|=4‎ ‎∴B点坐标为(4,0)或(-4,0) ………………(4分)‎ ‎①当B(4,0)时,‎ 又∵点A(-2,3)是两函数的交点 ‎∴代入中得 ‎∴‎ ‎∴ …………………………………(6分)‎ ‎②当B(-4,0)时,又∵点A(-2,3)是两函数的交点 ‎∴代入中得 ‎∴‎ ‎∴ …………………………………………………(8分)‎ ‎【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形面积公式、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识,考查了函数与方程、分类讨论等数学思想方法.用待定系数法求解析式贯穿本题始终,在用面积公式求B点坐标时,因涉及到分类讨论,这是学生易疏忽的地方,考查了数学思维的严谨性.难度中等.‎ ‎24． （2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l1的方程为y=－x+l，直线l2的方程为y=x+5，且两直线相交于点P，过点P的双曲线与直线l1的另一交点为Q（3．M）.‎ ‎ （1）求双曲线的解析式．‎ ‎ （2）根据图象直接写出不等式＞－x+l的解集．‎ ‎_‎ x ‎_‎ y ‎_‎ Q ‎_‎ p ‎_‎ o ‎_‎ l2‎ ‎_‎ l1‎ 图6‎ ‎【解题思路】先由直线11和直线l2解析式组成的二元一次方程组解得点P的坐标，在将点P的坐标代入双曲线解析式得到k的值即可得双曲线的解析式．‎ 再把点Q的坐标代入双曲线的解析式，求出m的值．‎ 从而可以根据图像得到不等式＞－x+l的解集 ‎【答案】解：（1）依题意： ‎ ‎ 解得：‎ ‎ ∴双曲线的解析式为：y=‎ ‎ （2）－2＜x＜0或x>3‎ ‎【点评】本题为典型双曲线考题，考察待定系数法求解析式和通过图像确定不等式的取值范围．‎ ‎1．（2011年湖南衡阳25，8分）（本小题满分8分）如图13，已知A，B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0），直线AB与反比例函数的图象交于点C和点D（-1，a）．‎ ‎（1）求直线AB和反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求∠ACO的度数；‎ ‎（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转a角（a为锐角），得到△OB′C′，当a为多少度时，OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．‎ ‎【解题思路】第（1）问设直线AB的解析式为y=kx+b，直接代入点A、B的坐标到解析式即可求出直线的解析式；因为直线与双曲线交于点D，所以D点的坐标既满足一次函数的解析式，也满足反比例函数的解析式，所以将点D（-1，a）代入直线解析式可求出a 的值，然后将D点坐标代入反比例函数，便可得反比例函数的解析式．（2）在直角△AOB中，因为tan∠OAB=，所以∠OAB=300．因为C是直线与双曲线的交点，所以将两个函数的解析式的右边相等可得C（3，），过C作CM⊥X轴于点M，则OM=3，CM=，所以OC=2，∴OC=AO=2，∴∠ACO=∠OAB=300．（3）设OC′与AB交于点N，由OC′⊥AB可得∠ONC=900，根据三角形内角和定理可得旋转角a=600．在Rt△BCM中，因∠CBM=∠ABO=600，CM=，所以BC=2．由△OB′C′是△OBC绕点O逆时针方向旋转600角得到的，所以可得△AB′O≌△CBO，故AB′=BC=2．‎ ‎【答案】解（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有，解得，‎ ‎∴直线AB的解析式为．‎ 把点D（-1，a）代入得a =，‎ ‎∴点D（-1， ）‎ 把点D（-1， ）代入中得m=－，‎ ‎∴反比例函数的解析式为：．‎ ‎（2）由得，，‎ ‎∴C的坐标为（3，），‎ 过C作CM⊥x轴于点M，则OM=3，CM=，所以OC=2，‎ ‎∵A（0，）‎ ‎∴OA= OC=，‎ ‎∴∠ACO=∠OAB．‎ 在Rt△AOB中，∵tan∠OAB=，‎ ‎∴∠OAB=300．‎ ‎∴∠ACO=∠OAB=300．‎ ‎（3）设OC′与AB相交于点N，∵OC′⊥AB，∴∠ONC=900，‎ ‎∵∠ACO=300，∴∠COC′=600．‎ 故当a为60度时，OC′⊥AB．‎ 在Rt△AOB中，∵∠OAB=300，∴∠CBM=∠ABO=600．‎ 在Rt△BCM中，∵CM=，∠CBM=600，∴BC=2．‎ ‎∵OB=2 ∴OB=BC ∴∠BOC=300，‎ ‎∵∠AOB=900，∠BOB′=600，∴∠AOB′=300，‎ 在△AO B′和△COB中，‎ ‎∴△AO B′≌△COB ‎∴AB′=BC=2．‎ ‎【点评】确定解析式，一般采用待定系数法，本题第（1）问是常见的用待定系数法求函数解析式的问题，题目问题的设置有坡度，让不同层次的学生有不同的提高；第（2）问是直角三角形边角关系及等边对等角定理的灵活应用，主要考查同学们分析及解决问题的能力．第（3）问将函数解析式、全等三角形、图形的旋转融为一体，题型新颖，内容丰富，主要考查了动手操作能力、分析与解决问题的能力，知识的综合性强，取材较独特，有一定的难度．‎ ‎1. （2011安徽，21，12分）如图，函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝(x＞0)的图象交于点A、B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为(2，1)，点C坐标为(0，3)．‎ 第21题图 ‎（1）求函数的表达式和B点坐标； ‎ ‎（2）观察图象，比较当x＞0时，和的大小.‎ ‎【解题思路】（1）由待定系数法,将A、C两点坐标代入y1＝k1x＋b便可求出函数的表达式， 将点C坐标代入y2＝便可求出y2的解析式，解由两个解析式构成的方程组便可得点B的坐标. （2）直接看图像位置高低就能比较和的大小.‎ ‎【答案】解：(1)由题意，得 解得 ∴ ‎ ‎ 又A点在函数上，所以 ，解得 所以 解方程组 得 ‎ 所以点B的坐标为（1, 2）‎ ‎（2）当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2;‎ 当1＜x＜2时，y1＞y2; ‎ 当x=1或x=2时，y1=y2.‎ ‎【点评】本题主要从数形结合的角度考查用待定系数法求函数解析式的能力，而利用两个函数图象的位置高低来比较函数值的大小则是用“形”的特点解决“数”的问题极致方式，也是难点所在.难度中等.‎ ‎2. （2011甘肃兰州，24，7分）如图，一次函数的图像与反比例函数（＞0）的图像交与点P，PA⊥轴于点A，PB⊥轴于点B.一次函数的图像分别交轴、轴于点C、点D，且=27，=.‎ ‎(1)求点D的坐标；‎ ‎（2）求一次函数与反比例函数的表达式；‎ ‎（3）根据图像写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？‎ x y A O P B C D ‎【解题思路】（1）本题需先根据题意一次函数与y轴的交点，从而得出D点的坐标．（2）本题需先根据在Rt△COD和Rt△CAP中， ，OD=3，再根据S△DBP=27，从而得出BP得长和P点的坐标，即可求出结果．（3）根据图形从而得出x的取值范围即可．‎ ‎【答案】：（1）∵一次函数y=kx+3与y轴相交，∴根据题意，得：D（0，3）.‎ ‎（2）在Rt△COD和Rt△CAP中， ，OD=3，∴AP=6，OB=6∴DB=9Rt△DBP中，∴ ，∴BP=6，P（6，-6），一次函数的解析式为： ，反比例函数解析式为： ‎ ‎（3）根据图象可得：当x＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值．‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键．难度中等.‎ ‎3. (2011广东河源，18，7分.)如图7,反比例函数的图像与一次函数的图象交于点A、B,其中A(1,2)．‎ ‎ (1)求m，b的值；‎ ‎ (2)求点B的坐标,并写出＞时，的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】（1）将点A的坐标分别代入反比例函数和一次函数解析式，求得m，b的值；联列方程组求得点B的坐标，（2）由一次函数的图象在反比例函数图象上方，即在A、B两点之间，可得＞时，的取值范围.‎ ‎【答案】（1）∵反比例函数的图像过点A(1,2)，∴2=，m=2;‎ ‎∵一次函数的图象过点A(1,2)，∴2=-1+b,b=3.‎ ‎（2）∵，解得，，∴点B（2,1），‎ 根据图像可得，当1＜x＜2时，＞‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、函数图象交点的求法及图象法解不等式.解题关键是待定系数法及交点求法.确定的取值范围是易错点，难度中等．‎ ‎4. （2011贵州安顺，23，10分）如图，已知反比例函数的图像经过第二象限内的点A（－1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，一2）．‎ ‎ ⑴求直线y=ax+b的解析式；‎ ‎⑵设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长．‎ ‎ ‎ ‎【解题思路】根据题意，结合图形，由△AOB的面积为2，可求出k=﹣4，进而求出点A（－1，4），点C（2，一2），直线y=ax+b经过A、C，可求出求直线y=ax+b的解析式为，容易求出点M（1，0），所以AM=。‎ ‎【答案】（1）∵点A（-1，m）在第二象限内，∴AB = m，OB = 1，∴‎ 即：，解得，∴A (-1,4)，‎ ‎∵点A (-1,4)，在反比例函数的图像上，∴4 =，解得，‎ ‎∵反比例函数为，又∵反比例函数的图像经过C（n，）‎ ‎∴，解得，∴C (2,-2)，‎ ‎∵直线过点A (-1,4)，C (2,-2)‎ ‎∴ 解方程组得 ‎ ‎∴直线的解析式为 ；‎ ‎（2）当y = 0时，即解得，即点M（1，0）‎ 在中，∵AB = 4，BM = BO +OM = 1+1 = 2，‎ 由勾股定理得AM=．‎ ‎【点评】本题主要考查反比例函数、一次函数的知识，求函数的解析式通常采用“待定系数法”，此题的关键在于分清顺序逐步求解，做题过程中要特别注意线段长度与坐标之间的转换，尤其是符号的变化。难度较小。‎ ‎5. （2011福建泉州，23. 9分）如图，在方格纸中建立直角坐标系，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（5，1）和.‎ ‎（1）求这两个函数的关系式；（2）由反比例函数的图象的特征可知：点A和关于直线对称.请你根据图象，填写点的坐标及时的取值范围.‎ ‎【解题思路】（1）由于点A（5，1）是一次函数图象与反比例函数图象的交点，所以A点即在一次函数图象上，也在反比例函数 图象上，代入即可求出一次函数与反比例函数的解析式。（2）由图象可知当时，的取值范围是：或 ‎【答案】解：（1）点A（5，1）是一次函数图象与反比例函数图象的交点，∴∴，∴，.‎ ‎（2）由函数图象可知：（1，5）；当或时，.‎ ‎【点评】从代数的角度讲，本题应该是一个含有分式的不等式，对于初中学生来讲有些超纲，但从几何角度来讲，本题可以通过图象清晰地判定当或时，.体现了数形结合的思想。难度中等。‎ ‎6.‎ ‎2. （2011年怀化24，10分）‎ ‎ 在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图像与AC边交于点E.‎ （1） 求证：AE×AO=BF×BO；‎ （2） 若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；‎ （3） 是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF长；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解题思路】(1)本题主要考查的是反比例函数系数k的几何意义,由点E、F都在反比例函数图像上可求解.‎ ‎(2)给点E的坐标后能够求出反比例函数的表达式，从而求出点F的坐标，得到抛物线的解析式.‎ ‎(3)由（1）得到CE=1.5CF，在利用轴对称的性质可以得到CF=C′F，CE=C′E，∠EC′F=∠C=90°，过点E作EH⊥OB于点H，构造相似三角形，利用相似三角形的性质得出边BC′的长度，在Rt△BC′F中，结合勾股定理求出BF的长，从而可求出OF的长度.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图像上，且在第一象限，所以AE×AO=k，BF×BO=k，从而AE×AO=BF×BO.‎ ‎(2)将点E的坐标为（2，4）代入反比例函数得k=8，‎ 所以反比例函数的解析式为.‎ ‎∵OB=6，∴当x=6时，y=，点F的坐标为（6，）.‎ 设过点O、E、F三点的二次函数表达式为，将点O（0，0），E（2、4），F（6，）三点的坐标代入表达式得：‎ ‎ 解得 ‎∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为：.‎ ‎ (3) 如图11，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边于点C′.过点E作EH⊥OB于点H.‎ 设CE=n，CF=m，则AE=6-n，BF=4-m 由（1）得AE×AO=BF×BO ∴(6-n)×4=(4-m)×6 ,解得n=‎1.5m.‎ 由折叠可知，CF=C′F=m，CE=C′E=‎1.5m，∠EC′F=∠C=90°‎ 在Rt△EHC′中，∠EC′H+∠C′EH=90°，‎ 又∵∠EC′H+∠EC′F+FC′B=180°，∠EC′F=90° ‎ ‎∴∠C′EH=FC′B ‎ ‎∵∠EHC′=C′BF=90°‎ ‎∴△EC′H∽△C′FB，∴‎ ‎∴，‎ ‎∵由四边形AEHO为矩形可得EH=AO=4 ∴C′B=.‎ 在Rt△BC′F中，由勾股定理得，C′F2=BF2+C′B2，即m2=(4-m)2+‎ 解得：m=‎ BF=4-=,‎ 在Rt△BOF中，由勾股定理得，OF2=BF2+OB2，即OF2=62+=.‎ ‎∴OF=‎ ‎∴存在这样的点F，OF=,使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上.‎ ‎ 【点评】‎ 本题是关于代数与几何的综合性问题，第一问考察了反比例函数的k的几何意义，由于用字母代替了数字增加了一定的难度；第二问是用三点求二次的表达式，系数中有分数增加了计算的难度，学生要细心；第三问综合运用轴对称的性质、相似三角形、勾股定理、等知识求OF的长，难度在于要通过两个等量关系求解，学生在此问有难度，加上计算量加大，易出错，难度较大.‎