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- 2021-05-10 发布
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一、选择题
1．（2010安徽，9，4分）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是……………（ ）
A．495 B．497 C．501 D．503
【分析】按上述规律，以3开头的多位数是：362486248……，前100位数字中第一个数字是3，依次为62486248…，共24个6248，最后三位数字是624，所以前100位数字之和是3＋24×20＋12=495
【答案】A
【涉及知识点】规律探究、自主学习
【点评】规律探究题是近几年中考的热点，本题还带有自主学习的成分，培养学生的自主学习能力应成为今后教学的重点，属于中档题．
【推荐指数】★★★
【典型错误】选其他答案比较多，如选D
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2．精（2010重庆，8，4分）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）
A． 图① B． 图② C． 图③ D． 图④
【分析】规律的归纳：通过观察图形可以看到每转动4次后便可重合，即4次以循环，10÷4＝2…2，所以应和图②相同．
【答案】B
【涉及知识点】规律的归纳
【点评】本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清题归纳出规律，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．
【推荐指数】★★★★
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3．精（2010山东威海市，12，3分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为 （ ）
A． B． C． D．
O
A
B
C
D
A1
B1
C1
A2
C2
B2
x
y
【分析】由题意知，OA＝1，OD＝2,DA＝,∴AB＝AD＝,利用互余关系证得△DOA∽△ABA1,∴,∴BA1＝＝，∴A1B1＝A1C＝＝,同理．A2B2＝ A1B1＝，一般地AnBn＝，第2010个正方形的面积为＝，故选D．
【答案】D
【涉及知识点】勾股定理 相似三角形 正方形
【点评】本题是正方形面积的规律探究题，实质就是正方形边长的规律探究．本题可先应用了勾股定理及相似三角形知识求出几种特殊正方形的边长，然后归纳出一般正方形的边长规律，最后得出正方形的面积规律使问题得以解决．
【推荐指数】★★★★
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4．精（2010山东烟台，8，4分）如图3，一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，按此规律第2010个图案是（ ）
图3
A B C D
【分析】观察图案容易发现每4个图案1次循环，由于2010÷4=502……2，因此可判断第2010个图案为B.
【答案】B
【涉及知识点】规律探索.
【点评】此题考查探索规律的能力及有理数的简单运算. 解题关键是发现图案中的变化规律.
【推荐指数】★★
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5．（2010年江苏盐城，8，3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是
0
2
8
4
2
4
6
22
4
6
8
44
m
6
A．38 B．52 C．66 D．74
【分析】根据图形所填数字可以看出：2×4-0=8；4×6-2=22；6×8-4=44；8×10-6=74.
【答案】D
【涉及知识点】有理数运算 找规律
【点评】本题属于探究类试题，解答此类试题时，要充分分析试题的特点，各个量之间的关系，然后得到一般的结论.
【推荐指数】★★★★
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6．（2010江苏淮安，8，3分）观察下列各式：
……
计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=
A．97×98×99 B．98×99×100 C．99×100×101 D．100×101×102
【分析】从材料可以得出1×2，2×3，3×4，……可以用式子表示，即原式=．
=
=99×100×101，所以选择C.
【答案】C
【涉及知识点】材料阅读题
【点评】对于材料阅读的问题是中考问题中的常见问题，也属于难度较大的问题，这种问题的规律性比较强，所以找出材料中的规律是解决此类问题的关键．
【推荐指数】★★★★
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7．（ 2010武汉市中考，9,3）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用…表示为，则顶点的坐标为（ ）
A、（13，13） B、（－13，－13） C、（14，14） D、（－14，－14）
【分析】用图中可得，的坐标分别是（1，1），（－1，1），（－1，－1），（1，－1）；，，，的坐标分别为：（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2）；，，，的坐标分别是：（3，3），（－3，3），（－3，－3），（3，－3）；通过这些数可得出规律：每4个数一循环，余数是几就与第几个数的坐标符号是一样的，55÷4=13……3，所以符号应该与第3个一样，即横、纵坐标都为负数，坐标是13是最后一个数应该为52，坐标是14的最后一个数应该为56，所以的横、纵坐标都应该是14。
【答案】C
【涉及知识点】寻找规律问题
【点评】此类问题可在观察图形的基础上，在通过结果总结规律。本题不是很难。
【推荐指数】★★
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8．精（2010山东日照，12，3分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．15 B．25 C．55 D．1225
【分析】用最简单的思路：，由于正方形数是平方数，所以既是三角形数又是正方形数的数必定是个平方数，可排除选项A、C，再分析出25不是三角形数（第n个三角形数可表示为n(n+1)，n为正整数），所以选择D。
【答案】D
【涉及知识点】阅读理解、探索规律
【点评】本题既考查学生阅读理解能力，又考查学生探索规律并根据规律进行判断的能力。难度高，对学生的思维水平是个挑战。还可以考查学生随机应变的能力，选择题解法较多，本题适用排除法，如果逐个进行检验，将耗费过多时间，影响整体答卷时间。
【推荐指数】★★★★
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9．（2010山东淄博，11，4分）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2010次输出的结果为
输出
输入x
x＋3
x为偶数
x为奇数
(第11题)
（A）6 （B）3
（C） （D）
【分析】根据如图所示的运算程序，分情况列出算式，当x为偶数时，结果为；当x为奇数时，结果为，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为3，以后每次输出的结果都是3．
【答案】B
【涉及知识点】有理数的运算、探索规律
【点评】解决这样的题目关键是要观察运算程序所蕴含的规律，并根据规律猜想出问题的答案，这样的题目一般是体现由特殊到一般，再由一般验证特殊的思想．
【推荐指数】★★★★
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10．（2010广东深圳，8，3分）观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是（ ）
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】观察可知，末位数字每4个算式是一个周期，末位分别为2、4、8、6．把2010除以4余数为2，所以22010的末位数字同22的末位数字4．
【答案】B
【涉及知识点】乘方，找规律．
【点评】找规律是中考中常见的考察观察力和思维能力的题目，做这类题的思路通常是“特殊—一般—特殊”，要先从前面几个特殊情形中找出规律，并拓展到一般情况，再解决它要回答的问题．
【推荐指数】★★
11．（2010绵阳市，11,3）如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n =（ ）．
● ●
● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
………
A．29 B．30 C．31 D．32
【分析】n行的点数和可以表示成2+4+6+……+2n=2(1+2+3+……+n)=
=n(n+1)从而得到一元二次方程n(n+1)=930，可以求出n=30
【答案】B
【涉及知识点】规律探究题
【点评】本题是一道规律探究题，近几年的中考题中经常出现这样题型，通常有两种题型，一种是代数规律探究，另一种是几何规律探究题。
【推荐指数】★★★★
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12．（2010茂名市，9,3）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子
第2个“口”
第1个“口”
第3个“口”
第n个“口”
………………
？
A．4n枚 B．(4n-4)枚 C．(4n+4)枚 D． n2枚
【分析】由第一个口可以看出有4个棋子，第二个有8个棋子，第三个有12个棋子，……所以以此类推第n个有4n个棋子.
【答案】A
【点评】主
要考查学生的列代数式能力，对于此类题，可以先把前面几个图形中得到的数据表示出来，然后再找规律；而对于选择题，也可先通过表示出前几个后，直接代入答案中去检验。
【涉及知识点】规律探索如何列代数式
【推荐指数】★★
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13．（2010贵州铜仁，10，4分）如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第8个正△A8B8C8的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】正△A1B1C1的面积，第二个正三角形的面积是前一个正三角形面积的四分之一，第8个正△A8B8C8的面积是第一个正方形面积的
【答案】C
【涉及知识点】三角形的面积，中位线，相似
【点评】对于找规律的题目主要是找出按照什么规律变化的．考查学生的观察、分析、比较、概括的能力和发散思维的能力.
【推荐指数】★★★
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14． (2010呼和浩特,10,3)在计算机程序中,二叉树是一种表示数据结构的方法.如图,一层二叉树的结点总数为1,二层二叉树的结点总数为3，三层二叉树的结点总数为7……照此规律,七层二叉树的结点总数为 ( C )
A.63 B.64 C.127 D.128
【分析】一层二叉树的结点总数为1＝21－1,二层二叉树的结点总数为3＝22－1
，三层二叉树的结点总数为7＝23－1……七层二叉树的结点总数为27－1＝127
【答案】C
【涉及知识点】不完全归纳法
【点评】本题从简单推向复杂，由少数得到多数，是一道典型的图形与数字相结合的推理题，这类题目在中考里经常出现，解决这类问题的方法主要有列表法和分析法．
【推荐指数】★★★
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15．（2010江苏扬州，8，3分）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8.如果跳蚤开始时在BC边的P0处,BP0=2.跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处,且CP1= CP0;第二步从P1跳到P2(第2次落点)处,且AP2= AP1;第三步从P2 跳到BC边的P3(第3次落点)处,且AP3= AP2;……;跳蚤按上述规则一直跳下去,第n次落点为Pn(n为正整数)，则点P2007与P2010之间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】．
【答案】C
【涉及知识点】规律探索
【点评】本题主要考查规律探索,通过给出的已知点来归纳出解决问题的方法,难度比较大．
【推荐指数】★★★★
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16．（2010·广东·湛江市，15，3分）观察下载算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，….通过观察，用你所发现的规律确定32000的个位数字是 ( )
A．3 B．9 C．7 D．1
【分析】认真研究题中3n（n为正整数）的末位数字的变化情况，不难发现，3n的末位数字呈现以3，9，7，1这四个数字为周期的循环规律. 因为2000能被4整除，所以32000的个位数字就是34的个位数字1.
【答案】D
【涉及知识点】正整数幂的末位数字规律
【点评】近年的中考试卷或数学竞赛中经常出现此类求正整数幂的末位数字问题，把这个问题一般化，就是探索mn（m，n都为正整数）的末位数字的变化规律.事实上，任何一个正整数的n次幂的末位数字都呈现以4个数字为周期的循环规律（其中有的是以2个数字为周期，例如4n；有的则完全相同，如1n，5n，6n，但仍可以统一认为是以4个数字为周期）.由于任何一个整数的n次幂的末位数的变化情况与这个整数的末位数有关，而任意一个整数的末位数只有这十种情况，所以我们可一一验证这个规律.
【推荐指数】★★★
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17．(2010广西百色，13，3分)如图，在直角坐标系中，射线OA与x轴正半轴重合，以O为旋转中心，将OA逆时针旋转:OAOA1OA2…OAn…，旋转角AOA1＝2°， A1OA2＝4°， A2OA3＝8°，… 要求下一个旋转角(不超过360°)是前一个旋转角的2倍.当旋转角大于360°时，又从2°开始旋转，即A8OA9＝2°， A9OA10＝4°，… 周而复始.则当OAn与轴正半轴重合时，n的最小值为 （ ） （提示：2+22+23+24+25+26+27＋28＝510）
A．16 B．24 C．27 D．32
(第14题)
【分析】当OAn与轴正半轴重合时，度数为360m＋90是10的倍数，从2+22+23＋…，只有2+22+23+24＝30和2+22+23+24+25+26+27＋28＝510，所以n必须是8的倍数或是8的倍数多4，当m为1，2，3时，无解，当m为4时，360m＋90＝1530，符合题意。故答案选B
【答案】B
【涉及知识点】图形的旋转
【点评】本题属于填空题的压轴题，有一定的难度，重点考查了同学们对问题的分析和探究能力，应该以静制动，动静结合，从特殊到一般来探究．对于本题，可以用排除法选出正确答案。
【推荐指数】★★
精品分类 拒绝共享
18．精品分类 拒绝共享
19．精品分类 拒绝共享
20．精品分类 拒绝共享
21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．
31．32．33．34．35．36．37．28．39．40．
二、填空题
1．（2010福建福州，15，4分）如图，直线y＝x，点A1坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为(_______，_______)．
(第15题)
【分析】由于A1B1⊥x轴，可得B1的坐标为（1，），因此OB1＝2；因为OA2＝OB1＝2，A2B2⊥x轴，可得B2的坐标为（2，2），因此OB2＝4；因为OA3＝OB2＝4；…，以此类推，OA5＝16，所以A5（16，0）．
【答案】（16，0）
【涉及知识点】正比例函数 规律探究
【点评】本题属于规律探究问题．解答这类问题首先根据点在图像上求出前几个点的坐标，然后根据所出现的规律找到相应的公式，然后对公式进行验证．
【推荐指数】★★★★★
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2．（2010重庆綦江县，16，4分）观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2010这个数在第_______个三角形的_________顶点处（第二空填：上、左下、右下）．
【分析】发现每个图形上有3个数字，顺次排列下去，2010÷3＝670，余数为零，可见2010这个数恰好在第670个图形的最后一个顶点上．发现数字的排列规律是解本题的关键．
【答案】670；右下
【涉及知识点】数字推理、图形推理
【点评】要想得到结果，不可能一个一个地排列下去，必须从给出的图形中去探索规律．本题在同类中考题型中，属于偏易，容易得分．
【推荐指数】★★★
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3．（2010江苏泰州，17，3分）观察等式：①，②，③…按照这种规律写出第n个等式： ．
【分析】先看等式左边，①式是32-1，②式是52-1，③式是72-1…所以第n个等式左边应是；再看等式右边，①式是，②式是，③式是，所以第n个等式右边应是．
【答案】
【涉及知识点】规律归纳猜想
【点评】规律性猜想题，提供的信息是一种规律，但它隐含在题目中，有待挖掘和开发，一般只要注重观察数字（式）变化规律，经归纳便可猜想出结论．如果实在有困难，还可在平面直角坐标系中描点，根据图像猜测其蕴含的规律．
【推荐指数】★★★★
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4．（2010巴中，20，3分）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）=0，f(2) = 1，f（3）=2，f（4）= 3，……
（2）……
利用以上规律计算：
【分析】根据问题中提供的信息可以发现它们的规律求得，，从而求出结果
【答案】1
【涉及知识点】新定义运算
【点评】本题中把规律探索与新定义运算相结合，考查了学生的综合能力。解决新定义运算类的问题，要理清新定义运算与普通运算之间的联系，此题中还要找出它们的变化规律。
【推荐指数】★
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5．精（2010湖南衡阳，15，3分）如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n(n是正整数)个图案中由 个基础图形组成．
(1)
(2)
(3)
……
-
【分析】根据图形可以看出后面的图形比前一个图形多了三个小菱形.
【答案】3n+1
【涉及知识点】探索规律
【点评】“归纳与猜想”型试题属于探索性问题．此类问题的设置有利于考查学生的创新意识和独立解决问题的能力，有助于引导学生在平时的学习过程中进行自觉的探索，是必考内容之一，这类问题形式多种多样，可以是数形结合的，也可以是探究一组数的变化规律的，或单纯图形的变化趋势，有助于发展学生的合情推理能力，有助于学生“符号感”的形成．
【推荐指数】★★
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6．（2010山东济南，16，3分）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由
点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．
C
A
F
D
E
B
G
【分析】由点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动一次，行走的路程是8cm，又2010÷8=251……2，故停留在C点
【答案】C
【涉及知识点】规律探索
【点评】求解规律探索题的关键是反现其中的规律．
【推荐指数】★
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7．（2010山东青岛，14，3分）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．
…
第14题图
【分析】图案是一圈一圈的。可以根据每圈中棋子的个数得出规律。第1个图案需要7＝1＋6枚棋子，第2个图案需要19＝1＋6＋12枚棋子，第3个图案需要37＝1＋6＋12＋18枚棋子，由此规律可得第6个图案需要1＋6＋12＋…＋3×（6＋1）枚棋子，第n个图案需要1＋6＋12＋…＋3×（n＋1）＝1＋3×[2＋3＋…＋（n＋1）]＝
枚棋子
【答案】127，
【涉及知识点】规律探索
【点评】探索规律题一般是从各个数与次序之间建立一定的函数关系式，也就是说每个数与正整数1、2、3、4…、之间的对应关系。有要用到有数列求和的知识。
【推荐指数】★★★★
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8．精（2010江苏宿迁，15，3分）直线上有2010个点,
我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有_______个点．
【分析】直线上的2010个点中间有2009个空，这样中间可以插入2009个点，第一次操作后变为4019个点，然后4019个点中间有4018个空，再插入4018个点，以此类推，最后点的个数变为16073个．
【答案】16073
【涉及知识点】规律探究
【点评】这是规律探究问题．属于中考高频题，解答此类问题要学会寻找规律，一般情况下，要计算前3次，才能摸索出一般规律，然后验证．
【推荐指数】★★★
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9．精（2010广东中山，10，4分）．如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图（2））；以此下去，则正方形的面积为 ．
【分析】首先由勾股定理求出正方形的边长，接着求出其面积为5，用同样的方法求出正方形的面积为25，并且发现面积成5倍速增长，所以正方形的面积为625；或者由三角形相似求面积．
【答案】625
【涉及知识点】勾股定理，正方形的面积计，找规律的思想和方法
【点评】本题属于阅读理解题，主要考查了勾股定理，正方形的面积计算，以及找规律的思想和方法，具有一定的区分度．
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10．（2010年贵州省毕节，19,5）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管．
【分析】根据图形可知：图①所需钢管17=6+11；
图②所需钢管28=6+11+11；
图③所需钢管39=6+11+11+11；
…
图n所需钢管6+11n.
所以串7顶这样的帐篷需要钢管6+11×7=83（根）．
【答案】83.
【涉及知识点】图形（数字）规律探究.
【点评】寻找结论与序号之间的统一规律，把结论用含有序号的式子表示出来是解决规律探究问题的关键．
【推荐指数】★★★★★
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11．（2010云南楚雄，15，3分）如图，用火柴摆出一列正方形图案，若按这种方式摆下去，摆出第n个图案用 根火柴棍（用含n的代数式表示）
① ② ③
【分析】观察、猜想探索后，可列下表：
第1个
第2个
第3个
第4个
…
第n个图案
火柴棍根数
4＝2×1×2
12＝2×2×3
24＝2×3×4
40＝2×4×5
…
2n(n＋1)
【答案】2n(n＋1)
【涉及知识点】代数式探索规律能力的考查．
【点评】1、探索规律的关键：注意观察已知的对应数值的变化，从中发现数量关系，即得到规律．
2、探索规律的方法：（1）从具体的实际问题出发，常用列表的方式，展现各数量的特点及其之间的变化规律；（2）由此及彼，合理联想，大胆猜想；（3）总结归纳，得出结论；（4）验证结论．
【推荐指数】★★★★
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12．（2010湖北荆门，17，3分）观察下列计算：
… … 从计算结果中找规律，利用规律计算… 。
【分析】=
【答案】
【涉及知识点】分式裂项，错位相消可以获得答案。
【点评】本题是对基本运算能力的考查，分式的加减法和分式裂项是分式部分的重要内容．
【推荐指数】★★★
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13．精 （2010江苏连云港，17，3分）如图6，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出＋＋＋…＋＝________．
AD
BAD
CFEBAD
A1
A2
A3
B1
B2
B3
图6
【分析】观察图形分析：第1次截取后所得梯形面积为＝1－；第2次截取后所得梯形面积为＋＝＝1－；…，所以＋＋＋…＋＝1－．
【答案】1－或1－()n或．
【涉及知识点】三角形中位线 规律探究问题 相似三角形的性质
【点评】规律探究类问题一直以来都是中考的必考热点问题．本题与三角形中位线、相似三角形的性质结合考查．试题看似已经帮助学生总结出结论，降低难度．实质上，学生必须从新回头经历问题中算式的形成过程．若直接从所求算式入手探究规律，则难度很大．解题中，学生必须结合图形利用中位线及相似三角形的面积之比等于相似比的平方等知识综合分析，才可正确快捷的解答出问题．
【推荐指数】★★★
品分类 拒绝共享
14．（2010年，四川眉山，16，3分）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．
【分析】根据图形所揭示的规律可以发现：第1个图形有1个正三角形，第2个图形有5个正三角形，第3个图形有9个正三角形，第4个图形有14个正三角形，第5个图形有17个正三角形，…，依次类推可知第个图形有个正三角形.
【答案】17
【点评】规律性探究问题通常指根据给出的材料，观察其中的规律，再运用这种规律解决问题的一类题型. 观察的三种主要途径：（1）、式与数的特征观察；（2）、图形的结构观察；（3）、通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况。规律探究的基本原则：（1）、遵循类推原则，项找项的规律，和找和的规律，差找差的规律，积找积的规律。（2）、遵循有序原则，从特殊开始，从简单开始，先找3个，发现规律，再验证运用规律.
【推荐指数】★★★
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15．（2010浙江台州，16，5分）如图，菱形ABCD中，AB=2 ，∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为(结果保留π) ▲ ．
O
A
B
C
(第16题)
l
D
【分析】如右图所示，是圆心O的运动轨迹，易得，大圆弧的半径为，小圆弧半径为1，翻滚3次的弧长为π，所以翻滚36次，菱形中心O所经过的路径总长为（8+4）π．
【答案】（8+4）π
【涉及知识点】弧长公式
【点评】扇形弧长可用公式：，与圆有关的计算一直是中考考查的重要内容．与之类似的一道题曾经在以前的中考题中出现过．
【推荐指数】★★★★★
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16．（2010北京，12，4分）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）．
【分析】分析一下“循环组”为“A→B→C→D→C→B”．即6次为一个循环，当数到第12时对应字母是整除状态，即第6个B；当字母C第201次出现时，已出现了100个循环组，在第101组的第1个C时，字母C第201次出现，此时是第数到603；显然当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是6n+3．
【答案】B，603，6n＋3
【涉及知识点】规律探究
【点评】作为选择题最后一问，以规律探究问题把关，显得命题组良苦用心，并不是靠题海战术所能凑效的；处理此类规律性问题其关键是“循环组”的发现，当然说得轻松，“循环组”的发现往往要靠深入而细致的分析才可从看似零乱的一组字符或数字中探寻得到．
【推荐指数】★★★★★
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17．（2010江苏常州，17，2分）如图，圆圈内分别有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 。
【分析】2010÷12＝167余6
【答案】6
【涉及知识点】推断规律
【点评】可以把2010个数据分成每12个数据一组，即2010÷12。
【推荐指数】★★★★
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18．（2010湖南怀化，19，3分）有一组数列：2，，2，，2，，2，，…… ，根据这个规律，那么第2010个数是_______．
【分析】第奇数个数字是2，第偶数个数字是，故第2010个数是
【答案】
【涉及知识点】阅读理解
【点评】本题主要考察数据规律。
【推荐指数】★★★
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19．（2010龙岩，17，3分）我们知道：1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，…
-1
2 -3 4
-5 6 -7 8 -9
10 -11 12 -13 14 -15 16
……
观察下面的一列数：-1，2，-3，4，-5，6…，
将这些数排成如右形式，根据其规律猜想：
第20行第3个数是 .
【分析】观察所给数阵可知，每行最右侧的数是该行序号的平方的绝对值，若是奇数行时为负，偶数行时为正，所以第20行第3个数应该是192+3=364.
【答案】364
【涉及知识点】规律探究
【点评】本题是规律探索题，解答本题的关键是从所给的数阵中找出一般的规律，然后套用规律解决问题，具有一定的区分度.
【推荐指数】★★★★★
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20．（2010福建宁德，18，3分）用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得y＝_______．
第18题图
…
…
…
图1
图2
【分析】在图1中m＝4＋3(x－1)＝3x＋1，在图2中m＝7＋5(y－1)＝5y＋2，所以3x＋1＝5y＋2，y＝x－．
【答案】y＝x－
【涉及知识点】阅读理解
【点评】本题实际上是数形规律探究题，研究图形结构，分析出火柴总数m与两图中正方形的个数之间的函数关系式，再利用火柴总数m不变建立等式移项变形即可得解．
【推荐指数】★★★★★
精品分类 拒绝共享
21．（2010湖南常德，8，3分）如图3，一个数表有7行7列，设表示第i行第j列上的数（其中i＝1,2,3,...,j＝1,2,3,...,）. 例如：第5行第3列上的数.
则（1）．
(2) 此数表中的四个数满足．
【分析】（1）根据的定义规则，可知，，，．则有．
（2） 观察数表可知，第1问中的恰是的具体形式，若将赋值于不同的行与列，我们不难发现．
【答案】（1）0
（2）0
【涉及知识点】规律探究
【点评】本题属于典型的开放性探究题，问题设置层次感较强，遵循了从特殊到一般的认识规律．从培养学生不完全归纳能力的角度看，此题不失为一道训练思维的好题．
【推荐指数】★★★★★
22．（2010广东汕头，13，4分）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1
，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；以此下去···，则正方形A4B4C4D4的面积为__________．
图形
边长
面积
正方形ABCD
1
1
正方形A1B1C1D1
5
正方形A2B2C2D2
5
25
正方形A3B3C3D3
125
正方形A4B4C4D4
25
625
【分析】
【答案】625
【涉及知识点】图形的面积或勾股定理知识
【点评】本题系探究规律题，构图新颖，解题的方法也很多，除了分析中的方法外，还可以用下面的探究方法：图（1）中每个小直角三角形的面积都与原正方形的面积相等，这样外面就多了四个小直角三角形，从而新的正方形的面积就等于原正方形面积的5倍，依此类推，第四个新正方形的面积就等于．另外，本题能从不同角度来考查学生的探索能力、归纳能力及创新能力，是今年中考题中的精品．
【推荐指数】★★★★★
23．（2010云南红河州，15，3分）如图4，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1 A1、 A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个．
…
图4
【分析】本题的解题方法是，在图（1）中，有3个平行四边形；在在图（2）中，有6个平行四边形；在图（3）中，有9个平行四边形．
【答案】3n
【涉及知识点】找规律、三角形中位线
【点评】三角形的中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；一个三角形的三条中位线把这个三角形分成了4个三角形，它们可以组合成3个平行四边形．
【推荐指数】★★★
24．2010年甘肃，12，4）观察：，…，则 (n=1，2，3，…).
【分析】根据分母呈现的规律：分母之间相差2，且均为偶数，得到答案．
【答案】
【涉及知识点】规律探究
【点评】本题属于规律探索题，主要考查学生对数字的规律探究能力，较好体现不同学生活学数学的要求，信度与效度指标设置合理．
【推荐指数】★★
25．（2010莱芜，17，4分）已知：，，，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算 ．
【分析】观察运算式子会发现分子分母中因数的个数相同且等于等式左边符号中的上标，分子中最大的因数是左边符号中的下标，且每个因数逐次减1；分母中最小的因数是1，且每个因数逐次加1，所以．
【答案】210
【涉及知识点】有理数的运算，探索规律
【点评】本题是一个材料阅读题，涉及到高中的排列组合，注重初中知识与高中知识的衔接，重点考查了学生基本运算能力和材料分析能力．
【推荐指数】★★★★
26．（2010浙江省舟三，15,4）已知a≠0，，，，…，
，则 ▲ (用含a的代数式表示)．
【分析】，,， ……
经过观察发现这些值存在着一些关系，即存在着以2为循环，那么20102=1005，正好能除尽，所以。
【答案】
【涉及知识点】列举法及找规律
【点评】本题如果不把已知的式子化简下，就不可能观察出题目中式子存在的规律，所以此题对于学生来说也有点难度，看问题不能尽看问题的表面，我们要发掘更深一步的信息。
【推荐指数】★★★★★
27．（2010湖北十堰，16，3分）如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，……，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn= .
（第16题）
A
N1
N2
N3
N4
N5
P4
P1
P2
P3
M1
M2
M3
M4
…
【分析】这个上底、两腰长皆为1，下底长为2的特殊等腰梯形通过平移腰或作高可求得梯形高为，梯形面积为．由题意可知△AN1M1与第二个等腰梯形空白处三角形相似，相似比为2:1，对应高的比也为2:1，故第二个梯形中空白处三角形高为梯形高的，同理△AN2M2与第三个梯形中空白处三角形相似，相似比为1:4，其高为梯形高的；第四个梯形空白处三角形高为梯形高的，….故S1==，
S2==，以此类推可得Sn= .
【答案】
【涉及知识点】等腰梯形，相似三角形的性质，特殊三角形性质．
【点评】本题以等腰梯形为试题背景，通过连续平移并以图形呈现方式考查学生探究规律，猜想结论的能力，有较好的区分度．
【推荐指数】★★★★
28．（2010年玉林市、防城港市，18,3）有四个命题：①若45＜＜90，则sin＞cos；②已知两边及其中一连接对角能作出唯一一个三角形；③已知x、x中关于x的方程2x＋px＋P＋1＝0的两根，则x＋x＋xx的值是负数；④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂两个），则经过2小时它由1个分裂为16个。其中正确命题的序号是 （注：把所有正确命题的序号都填上）。
【分析】①正弦是角大值大，余弦是角大值小，45时正弦和余弦值相等，角度增大，正弦值也增大，故①正确；②已知两边及其中一边的对角不能唯一确定一个三角形，故不能作出唯一一个三角形③x＋x＋xx＝④1分2，2分4，4分8，8分16，是正确的．
【答案】①④
【涉及知识点】正弦、余弦的性质，三角形全等的判定，根与系数之间的关系，变化规律
【点评】本题主要考查学生对概念的掌握是否全面，考查知识点有四个，但都是比较常见且重要的知识点．
【推荐指数】★★★
29．（2010贵阳，15，4分）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，……按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数是_______粒
【分析】列代数式．
【答案】2n+1
【涉及知识点】规律、列代数式
【点评】主要考查学生的列代数式能力，对于此类题，根据告诉的数据找规律；而对于选择题，也可先通过表示出前几个后，直接代入答案中去检验。
【推荐指数】★★★
30．（2010湖北荆州，13，4分）用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是 ．
【分析】观察图形，第1个图形中围棋子的枚数为5=3×1+2；第2个图形中围棋子的枚数为8=3×2+2；第3个图形中围棋子的枚数为11=3×3+2，…，因此可知，第n个图形中围棋子的枚数为3n+2.
【答案】3n+2
【涉及知识点】图形规律题
【点评】解决这类问题，首先从简单的图形入手，随着“序号”增加，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性结论.
【推荐指数】★★★★
31．（2010山东泰安，17，3分）1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有 个．
【分析】在这100个自然数的算术平方根和立方根中共有200个数，这200个数除去有理数就是无理数，因此不妨找出这200个数中有多少个有理数，从1到10这10个数的平方全部小于等于100，因此在从1到100这100个自然数的算术平方根中有10个有理数；从1到4这4个数的三次方全部小于100，因此在从1到100这100个自然数的立方根中有4个有理数，因此还剩余无理数186个．
【答案】186
【涉及知识点】实数 数的运算规律
【点评】本题以100个自然数为问题背景，考查了数的运算规律，问题设计巧妙．
【推荐指数】★★★★★
32．（2010山东东营，17，5分）观察下表，可以发现: 第_________个图形中的“△”的个数是“○”的个数的5倍.
序号
1
2
3
…
图形
○
○
△
○
○
○
○
○
○
△
△
○
△
△
○
○
○
○
○
○
○
○
△
△
△
○
△
△
△
○
○
△
△
△
○
○
○
○
…
【分析】观察图形可发现第1、2、3、…、n个图形：“△”的个数规律为1、4、9、…、n2；“○”的个数规律是4、8、12、…、4n.由题意可得，解之得，（不合题意，舍去）.
【答案】20
【涉及知识点】找规律、解二元一次方程.
【点评】本题由给出的图形找出规律，并能够用代数式表示这些规律，最后根据题意列出二元一次方程并解之，解决本题的关键是正确地用代数式表示图形规律.
【推荐指数】★★★★
33．（2010湖北恩施，8，3分）如图3，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果层六边形点阵的总点数为331，则等于 ．
图3
【分析】图层是一圈一圈的点阵组成，可以根据每层中点的个数得出规律．第2个图层共有7＝1＋6个点，第3个图层共有19＝1＋6＋12个点，第4个图层共有37＝1＋6＋12＋18个点，由此规律可得第7个图层共有1＋6＋12＋…＋3×（6＋1）个点，第n个图层共有1＋6＋12＋…＋3×（n＋1）＝1＋3×[2＋3＋…＋（n＋1）]＝，所以如果层六边形点阵的总点数为331，则得＝331，解得n＝11
【答案】11
【涉及知识点】规律探索
【点评】探索规律题一般是从各个数与次序之间建立一定的函数关系式，也就是说每个数与正整数1、2、3、4…、之间的对应关系。有时要用到数列求和的知识．
【推荐指数】★★★★
34．（2010钦州市，10,2）如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0．过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，……，则线段Dn-1Dn的长为_ ▲ _（n为正整数）．
第10题
D1
D5
D2
D3
D4
D0
【分析】要求D0D1,在Rt⊿AD0D1中，∠D0AD1=30°，则D0D1=sin30°·D0A=.在Rt⊿D2D0D1中，D2D0=·；D1D2= D2D0·=（）2；D2D3=（）3；……，Dn-1Dn=.
【答案】
【涉及知识点】等边三角形 三线合一
【点评】本题属于找规律的问题，属于中等题目，在解答本题时，需要先进行归纳推理，由特殊到一般的推理，然后得出一般性的结论即可.
【推荐指数】★★★★
35．（2010鄂尔多斯，15，3分）如图，用小棒摆下面的图形，图形（1）需要3根小棒，图形（2）需要7根小棒……
照这样继续摆下去，第n个图形需要 根小棒（用含n的代数式表示）．
【分析】由图形规律可知，每一个图形比后面的图形少4根小棒，而第一个图形有3根小棒，故第n个图形有（4n－1）根小棒．
【答案】（4n－1）
【涉及知识点】规律探索
【点评】规律探索一般有两种，一是图形的规律探索，二是数字规律的探索，而常常是通过图形的规律来得到数的规律，本题通过图形不难看出后面的图形比前面的图形依次多4根小棒，所以是以4的倍数增加的，而第一个图形有三根小棒，所以可得第n个图形中小棒的根数．
【推荐指数】★
36．（2010重庆市江津区，13，6分）先观察下列等式：
……
则计算 ．
【分析】观察题目中所给出的式子，不难发现所有式子符合一个规律：（n为正整数），根据这个规律求和即可。
【答案】
【涉及知识点】有理数的四则运算、规律相关
【点评】此题涉及的知识点主要是有理数的运输和找规律，题目中涉及都的数据是我们平常最常见类型，因此对于学生来说，这是一个比较容易得分的题目。
【推荐指数】★
37．（2010厦门，16，4分）如图,以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为 _________厘米.
【分析】设第①个等腰直角三角形的斜边长为x,第②个等腰直角三角形的斜边是第①个倍,第③个等腰直角三角形的斜边是第①个2倍,第④个等腰直角三角形的斜边是第①个2倍,依次类推,第⑨个是等腰直角三角形斜边是第①个的16倍．
【答案】
【涉及知识点】勾股定理,探索规律
【点评】本题虽然是考查勾股定理知识,但是直接运用勾股定理计算,会带来非常大的运算量,所以通过每个等腰三角形的斜边与第①个等腰三角形的斜边的关系,得出结论．
【推荐指数】★★★★★
28．（2010广安市，20，4分）小敏将一张直角边为l的等腰直角三角形纸片(如图1)，沿它的对称轴折叠1次后得 到一个等腰直角三角形(如图2)，再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得 到一个等腰直角三角形(如图3)，则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为 ；同上操作，若小敏连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到 的等腰直角三角形(如图n+1)的一条腰长为 ．
【分析】第一次折叠后的结果：腰长=；第二次折叠后的结果：腰长=；第三次折叠后的结果：腰长=；第n次折叠后的结果：腰长=。
【答案】
【涉及知识点】折叠、规律探索
【点评】本题先从简单情形入手，等腰直角三角形纸片折叠仍然得到等腰直角三角形，找出折叠后的腰长与折叠前的腰长之间的内在关系，从而找出规律，体现了从特殊到一般的思想。
【推荐指数】★★
39．（2010湖南衡阳，16，3分）下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成……则第5个图案由______基础图形组成.
【分析】从前三个图形可找出规律，第1个图案基本图形的个数为：4=1×3+1；第2个图案基本图形的个数为：7=2×3+1；第3个图案基本图形的个数为：10=3×3+1；… …，所以第5个图案基本图形的个数为：5×3+1=16.
【答案】16
【涉及知识点】规律探究
【点评】解决探究规律方面题目的关键是根据前几个已知的数或图形找出其中的规律，然后再用找出的规律判断其它的数或图形所包含的数学知识.
【推荐指数】★★★★
40．（2010曲靖市16．3）把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正方形再重复以上做法……一直到第n次挖去后剩下的三角形有_____个．
【分析】第一次剩下3个小三角形，第二次剩下9个小三角形，第3次剩下27个小三角形发现3，9，27均与次数有关系依次是3的一次幂，3的2次幂，3的3次幂，依此类推第n次是3的n次幂
【答案】3n
【知识点】从具体图形中抽象出一般规律
【点评】考查学生观察、分析、推理、归纳、猜想的能力，要求学生具有初步的形象思维到抽象思维的能力，学会从特殊到一般考虑问题的方法．
【推荐指数】★★★★
41（2010湖北孝感，18，3分）用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”.
【分析】第1个图案需要1个“O”， 第2个图案需要5个“O”， 第3个图案需要13个“O”， 第4个图案需要25个“O”， 第n个图案需要［n2+(n-1)2］个 “O”.
【答案】181
【涉及知识点】列代数式
【点评】主要考查学生的列代数式能力，对于此类题，可以先把前面几个图形中得到的数据表示出来，然后再找规律.
【推荐指数】★★★
42．（2010江苏徐州，16，3分）用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n-1)个图形多 ▲ 枚棋子．
【分析】观察所给图形，可知第2个图形比第1个图形多（3×2-2）个棋子，第3个图形比第2个图形多（3×3-2）个棋子，所以第n个图形比第(n-1)个图形多（3n-2）枚棋子．
【答案】3n-2
【涉及知识点】图形的规律
【点评】解决此类问题时，要认真光查图形，找出图形变化的规律，从而正确求解．
【推荐指数】★★★★
43．（2010福建三明，16，4分）观察下列有序整数对：
（1，1）。
（1，2），（2，1）。
（1，3），（2，2），（3，1）
（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）。
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）。
…
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是___________。
【分析】有序数对的第一个是列数，第二个用行数减去列数加1。
【答案】（5，6）
【涉及知识点】寻找规律
【点评】本题是一道寻找规律问题，不算太难．
【推荐指数】★
44．（2010本溪，16，3分）观察下列图形
第1个图形
第2个图形
第3个图形
……
图6
它们是按一定规律构造的，依照此规律，第100个图形中共有 个三角形.
【分析】第一个中有2个三角形，第二个中有5个，第三个中有8个，…依次类推，第100个图形中共有2+3(n－1)个三角形．
【答案】3n－1
【涉及知识点】规律探究
【点评】只要将前三个图形中的三角形个数找出来，不难发现其中的规律是相差3.
【推荐指数】★★★
45．（2010沈阳市,15,4）在平面直角坐标系中，点A1（1,1），A2（2,4），A3（3,9），A4（4,16），…,用你发现的规律确定点A9的坐标为 。
【分析】由给出的已知观察，点的坐标特点是.
【答案】（9,81）
【涉及知识点】点的坐标、数的规律的探索
【点评】本题重点考查观察能力和简单的探索规律问题能力.
【推荐指数】★★
46．（2010山东德州15，4分） 电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB＝AC＝BC＝6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1= CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2= AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3＝ BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为_________．
图 8
【分析】因为电子跳蚤每跳6次就形成一个循环，而2009÷6＝384余5，所以P2009和P5重合（P5在边AB上且距点B为2处），同理P2010与P0重合.所以P2009与点P2010之间的距离＝P0P5＝2.
【答案】2.
【涉及知识点】等边三角形的判定.
【点评】发现电子跳蚤每跳6次就形成一个循环的规律是解题的关键.
【推荐指数】★★★★★
47．（2010年肇庆市，15,3）15．观察下列单项式：a，－2a2，4a3，－8a4，16a5，…，按此规律第n个单项式是______．(n是正整数)
【分析】易发现式子中的第奇数个符号为正，偶数个符号为负，在不看符号的前提下可知数字都是完全平方数，a的次数依次增大.由此很容易找到规律是(－1)n+1nan .
【答案】(－1)n+1nan
【涉及知识点】整式及规律探究.
【点评】类似这种找规律的问题是中考常见的题型，在找规律时要注意到其系数符号的变化．
【推荐指数】★★★
48．（2010赤峰，16，3分）观察式子：……．由此计算：…_____________.
【分析】根据题目提供的方法得…
=。
【答案】
【涉及知识点】有理数的计算
【点评】本题主要考查阅读能力和对规律的探求能力,这类问题主要通过对所给条件进行阅读、分析,在模仿的基础上，适当的变化与创新，从中找到一般性的规律后加以解决，从而有效的培养了思维能力和探究能力。
【推荐指数】★★
49．（2010黑龙江哈尔滨，18，3分）观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个★．
【分析】通过观察图形的变化规律，发现横过来看除了最下面1个★，上面第n个正好是3n，因此一共有（3n+1）个★；也可竖过来看．
【答案】28
【涉及知识点】规律探索
【点评】本题通过观察图形的变化规律，探究其中所存在的数量关系，考查学生通过观察、探究、归纳、猜想发现代数规律及利用代数式表示这一规律的能力.
【推荐指数】★★★
50．（2010辽宁抚顺，16，3分）观察下列数据：，，， ， ，…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个数据是________ ．
【分析】观察数据发现：这一列数据的分母分别是22-1、42-1、62-1、82-1、102-1、…而分子则指数依次增加1，因此第n个数据是为．
【答案】或或
【涉及知识点】规律探索（归纳的数学思想）
【点评】本题属于规律探索题，主要考查学生对归纳的数学思想的了解与掌握，此类问题在近年各地中考试题高频出现，解决的关键是仔细观察，大胆猜想，从第1、第2、第3个数据中猜想出一般规律，并通过第4、第5进行验证，从而获得答案．
【推荐指数】★★★★
51．（2010四川攀枝花，15，4分）如图7，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2010次，依次得到点P,P,P…P．则点P的坐标是 ．
P1
P3
P2
O
图7
Y
X
【分析】根据题意先逐个求出P,P,P…的坐标依次为、、…，由此可以判断横坐标为2×2010-1=4019，纵坐标为。
【答案】(4019, )
【涉及知识点】归纳猜想
【点评】归纳猜想型问题，通常从第一个数据或第一个图形开始逐个写出几个数据或画出几个图形，由此观察数据或图形的规律，从而判断第n个数据或图形。
【推荐指数】★★★★
52．（2010青海，12, 4分） 将一些小圆点按如图3所示的规律摆放，第1个图形中有6个小圆点，第2个图形中有10个小圆点，第3个图形中有16个小圆点，第4个图形中有24个小圆点，……，依次规律，第6个图形有 个小圆点，第个图形有 个小圆点．
图3
【分析】先观察每个图形的最外侧都有4个小圆点，再观察每个图形内部圆点的行数和列数，则有第1个图形中有个4+1×2=6小圆点，第2个图形中有4+2×3=10个小圆点，第3个图形中有4+3×4=16个小圆点，第4个图形中有4+4×5=24个小圆点，依次规律，第6个图形有4+6×7=46个小圆点，第个图形有4+n（n+1）个小圆点．
【答案】46；
【涉及知识点】规律探索问题
【点评】规律探索问题在中考试卷中频频出现,成为中考试卷中的一个亮点.解决这类问题,往往需要我们展开观察、试验、类比、归纳、猜想等一系列的探索活动.
【推荐指数】★★★
53．（2010年广西柳州，16，3）2010年广州亚运会吉祥物取名“乐羊羊”．图7中各图是按照一定规律排列的羊的组图，图①有1只羊，图②有3只羊，……，则图⑩有 只羊．
【分析】图①有1只羊，图②有1＋2只羊，图③有1＋2＋3只羊，图④有1＋2＋3＋4只羊，则图⑩有1＋2＋3＋4＋…＋10＝55只羊．
【答案】55
【涉及知识点】数列、不完全归纳法
【点评】本题是一道有关数列和不完全归纳法的问题，从实际问题中抽象出数字规律，由少到多，由简单到复杂，从而得到所求结果．另外，本题涉及到的数列也称作三角形数，即：1，3，6，10，15，…．
【推荐指数】★★★
54．（2010年梅州）平面内不过同一点的条直线两两相交,它们的交点个数记作,并且规定.那么:①_____;②_______;③______.(≥2,用含的代数式表示)
【分析】由题意得出规律，=0，=1，=1+2，…,=1+2+3+……+（n-2）,=1+2+3+……+（n-2）+(n-1),所以-=2；-=1+2+3+……+(n-2)+(n-1)-[ 1+2+3+……+（n-2）]=n-1
【答案】1,2，n-1
【涉及知识点】探索规律
【点评】平面内不过同一点的条直线两两相交，它们的交点个数记作，当增加一条直线时，交点个数就会增加n．
【推荐指数】★★★★★
55
（2010辽宁锦州，16，3分）图7-1中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为S1；图7-2中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为S2；图7-3中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为S3，……依此规律，当正方形边长为2时，第n个图中所有圆的面积之和Sn=________.
7-1
7-2
7-3
【分析】由圆的个数的规律可得第n个图中有n2个圆，而每个圆的半径是，所以第n个图中所有圆的面积之和Sn= n2×π×（）2＝π
【答案】π
【涉及知识点】圆与圆的位置关系、圆的面积、规律探索
【点评】本题以规律探索作基础，进一步求图形的面积，考查了圆与圆的位置关系、规律探索、圆的面积等知识，要求学生具有较强的寻求规律和识图的能力．
【推荐指数】★★★★
56.（2010铁岭，16，3分）有一组数：，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n（n为正整数）个数为________________.
【分析】先看分子，可以看到分子都是奇数，奇数一般用2n＋1或2n－1来表示，再看分母，分母变化比较大，因此可以考虑
【答案】
【涉及知识点】实数的运算
【点评】本题主要考查考生对于实数的有关运算的综合运用能力，要在一组数据中找出相应的规律，从而出一个最具一般性的式子，有一定的难度．
【推荐指数】★★★
57．（2010遵义市，17,4）小明玩一种挪动珠子的游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：
当对应所得分数为132分时，则挪动的珠子数 颗。
【分析】观察表格可发现规律，挪动珠子数n+1颗，则对应所得分数为n(n+1)分。由此可建立方程得n(n+1)=132，解得n=11
【答案】11
【涉及知识点】规律探究
【点评】这类以表格为载体，需要从中获取解题信息，发现规律是解题的关键。
【推荐指数】★★
58, (2010辽宁省丹东市,15,3)已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．
第15题图
【分析】由勾股定理得第一个直角三角形的斜边长为,第二个直角三角形的斜边长为;第三个直角三角形的斜边长为;第n个直角三角形的斜边长为.
【答案】
【涉及知识点】勾股定理,推理、归纳
【点评】先找出几个简单的实际数值,然后通过观察、比较得出结果.
【推荐指数】★★★★
。
59．(2010吉林省,10,2)用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每
个图案中正三角形的个数都比前一个图案中正三角形的个数多4个．则第个图案中正三角形的个数为_________（用含的代数式表示）．
第10题
【分析】第1个图形6个，第2个为6+4（个），第3个有6+2×4（个），……，所以第n个有6+4（n-1）=6+4n-4=（个）．
【答案】
【涉及知识点】探索规律列代数式．
【点评】本题为探索规律题目，要求找出图形个数的变化规律与序号之间的关系，根据这个关系列代数式，并进行化简．
【推荐指数】★★★★
60．
三、解答题
1．（2010浙江杭州，19，6分）
给出下列命题：
命题1． 点(1,1)是直线y ＝ x与双曲线y ＝ 的一个交点;
命题2． 点(2,4)是直线y ＝ 2x与双曲线y ＝ 的一个交点;
命题3． 点(3,9)是直线y ＝ 3x与双曲线y ＝ 的一个交点;
… … ．
（1）请观察上面命题，猜想出命题(是正整数);
（2）证明你猜想的命题n是正确的．
【分析】分析命题2和命题3中两个点的坐标，可以猜想纵坐标是横坐标的平方，即第n个命题的点为(n，n2)；然后得出直线的解析式为y＝nx，反比例函数的解析式为y＝．然后把点的坐标代入两个解析式验证，可得出命题是正确的．
【答案】(1)命题n；点(n , n2) 是直线y = nx与双曲线y =的一个交点(是正整数)．
(2)把 代入y = nx，左边= n2，右边= n·n = n2，
∵左边=右边，∴点(n，n2)在直线上．
同理可证：点(n，n2)在双曲线上，
∴点(n，n2)是直线y = nx与双曲线y = 的一个交点，命题正确．
【涉及知识点】一次函数、反比例函数、猜想
【点评】一次函数和反比例函数结合的题目多以求交点坐标或已知交点坐标求函数解析式为主．本题以猜想归纳的形式将一次函数和反比例函数结合起来，是一个新颖的题目．解答本题的关键是发现变化的点的坐标的横坐标和纵坐标之间的关系，同时找出两个函数的系数和横坐标的关系．
【推荐指数】★★★★★
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2．（2010浙江宁波，25，10分）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
7
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______________．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
【分析】由实际图形中数出相应的顶点数，面数及棱数，然后通过加减比较得出规律E＝V+F－2．
【答案】(1)两空格填写6，6;
(2)E＝V+F－2
(3) V＝24，E＝(24×3)÷2＝36， F＝x+y，由E＝V+F－2得36＝24+ x+y-2，所以x+y＝14
【涉及知识点】立体图形，探索规律，代数式的值
【点评】这是一道较好的图表信息给予题，要求学生在已知的表格和图形中找到相应的规律，找到规律还要善于应用规律．
【推荐指数】★★★★
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3．（2010山东济宁，18，6分）观察下面的变形规律：
＝1－； ＝－；＝－；……
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想＝ ；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：＋＋＋…＋ ．
【分析】（1）观察式子可以看出，第n个式子等于；（2）将通分化简即可；（3）从（2）中可知＝，因此＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋…＋－．
（2）计算出这10天的平均人数，计算184天的人数，与预测参观人数作差即可．
【答案】（1）；
（2）证明：－＝－＝＝；
（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－
＝．
【涉及知识点】探索规律
【点评】归纳猜想型问题就是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），认真分析，仔细观察、归纳，发现共同特征，或者发展变化的趋势，大胆猜想，据此去预测估计它的变化规律或者与其变化趋势一致的相关结论，并能够应用此结论．由于归纳猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养学生的创造性思维，所以备受命题专家的青睐．而且此类问题能够较全面地考查学生的探索研究、归纳猜想能力，所以在近几年各地中考中此类型题目逐步成为中考试卷中的必考内容之一．其解题的具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或说明结论是否正确．本题对数式类归纳猜想，题目难度适中．
【推荐指数】★★★★★
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4．（2010江西，25，10分）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。
实验与论证
设旋转角∠A1A0B1=α（α< A1A0A2）, θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如图所示。
（1） 用含α的式子表示角的度数：θ3=___________θ4=_____________θ5=____________
（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正n边形A0A1A2…An－1与正n边形A0B1B2…Bn－1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn－1绕顶点A0逆时针旋转α（）．
（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；
（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）要求的度数，应从旋转中有关角度的变与不变上突破；（２）结合图形比较容易得到被垂直平分的线段，在证明时要充分利用背景中正多边形及旋转中的角度；（３）要探究的度数，要注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与求解度数的表达式；（４）要探究正ｎ边形中被垂直平分的线段，也应注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与突破；
【答案】解：（１）．
（２）答案不唯一，选图１，图１中有直线垂直平分．
证明：∵与是全等的等边三角形，∴，∴，∴，∴点在线段的垂直平分线上，所以直线垂直平分．
（３）当为奇数时，
当为偶数时，．
（４）存在，当为奇数时，直线垂直平分．
当为偶数时，直线垂直平分．
【涉及知识点】正多边形、旋转、规律探究题
【点评】本题是以旋转操作为背景的课题学习题，尤其是在这道题中，先探讨简单情景下存在的某个结论，然后进一步推广到一般情况下，原来结论是否成立，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．
【推荐指数】★★★★★
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5．(2010浙江衢州，15，4分)已知a≠0，，…，，则 （用含a的代数式表示）．
【分析】对…，进行变形，有S1·S2＝2，S2·S3＝2，…，S2009·S2010＝2，又∵a≠0，S1＝2a，∴S1≠0， S2＝≠0， S3≠0，… S2010≠0，∴S1＝ S3＝ S5＝…＝ S2009，S2＝ S4＝ S6＝…＝ S2010＝
【答案】
【涉及知识点】整式运算
【点评】本题是对整式运算的考查，也是对计算技巧的检验，属中等偏上题
【推荐指数】★★★
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6．（2010广东中山，21，9分）阅读下列材料：
，
，
，
由以上三个等式相加，可得
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）（写出过程）；
（2）= ；
（3）= ．
【分析】第（1），（2）题，由阅读材料发现规律，进行模仿即可求得，对于第（3），可对阅读材料进行创新迁移，得到，进而通过计算可得答案．
【答案】解：（1）
=++…+
=
=440．
（2）
（3）
=+
+…+
=
=1260
【涉及知识点】找规律，数的计算
【点评】．
【推荐指数】★★★★★
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7．精（2010四川内江，加5，12分）阅读理解：
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中,任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)的对称中心的坐标为（，）.
观察应用：
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0，－1)、P2(2，3)的对称中心是点A，则点A的坐标为 ；
（2）另取两点B(－1.6，2.1)、C(－1，0).有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、
B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…．则P3、P8的坐标分别为 ， ;
拓展延伸：
（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标.
x
y
O
C
P2
B
P1
【分析】直接利用对称中心的坐标公式即可求出A的坐标，P3、P4、…的坐标，通过对坐标P1(0，－1)→P2(2，3)→P3(－5.2，1.2).→P4(3.2，－1.2)→P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8 (2, 3) …的观察可得出坐标的变化规律：以6为周期循环，进而可求出P2012点的坐标，在已知两点的情况下，构造等腰三角形，要注意分清底边和腰.
【答案】解：设A、P3、P4、…、Pn点的坐标依次为(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、…、(xn，yn)(n≥3，且为正整数).
（1）P1(0，－1)、P2(2，3)，
∴x＝＝1，y＝＝1，
∴A（1，1）. 2分
（2）∵点P3与P2关于点B成中心对称，且B(－1.6，2.1),
∴＝－1.6，＝2.1，
解得x3＝－5.2，y3＝1.2，
∴P3(－5.2，1.2). 4分
∵点P4与P3关于点C成中心对称，且C(－1，0),
∴＝－1，＝0，
解得x4＝3.2，y4＝－1.2，
∴P4(3.2，－1.2) .
同理可得P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8 (2, 3). 6分
（3）∵P1(0，－1)→P2(2，3)→P3(－5.2，1.2).→P4(3.2，－1.2)→P5(－1.2，3.2)→P6(－2，1)→P7(0，－1)→P8 (2, 3) …
∴P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环，
∵2012÷6＝335……2，
∴P2012的坐标与P2的坐标相同，为P2012 (2，3); 8分
在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标为
（－3－1,0），（2,0），（3－1,0），（5,0）. 12分
【涉及知识点】平面直角坐标系 图形变换与点的坐标 勾股定理 阅读理解 规律探索
【点评】本题是一道以图形变换为架的阅读理解题，由于所给已知点并非全是格点，因此很难通过画图直接找出待求点的坐标，为了揭示坐标的变化规律，题目给出了解决问题的工具：高中的中点坐标公式，这就使得问题的难度一下子就降低了，让不同层次的考生都能上手，但要观察出坐标的变化规律还是有一定难度的，需要有敏锐的观察力和一定的数学功底.与等腰三角形有关问题应分类讨论，这是常识性问题，就看是否能按一定规律所有的情况考虑完整了.
【推荐指数】★★★★★
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8．（2010年浙江省绍兴，23,12） (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,
CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.
求证：BE＝CF.
第23题图1
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,
BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF
＝4.求GH的长.
第23题图2
(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,
∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
第23题图4
第23题图3
第23题图1
【答案】(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，
∴ ∠EAB+∠AEB=90°.
∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,
∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC，
∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF．
第23题图2
O′
N
M
(2) 如图2,过点A作AM//GH交BC于M，
过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴ EF=BN,GH=AM，
∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,
故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN，
∴ GH=EF=4．
(3)① 8．② 4n。
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9．精2010四川乐山，25，12分）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O．过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3．
（1）如图（12．1），当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）．求证：h2+h3= 2h1；
（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直．
①如图（12.2），当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；
②如图（12.3），当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由）
h2
h1
E
F
G
O
C
A
B
D
h3
l
h3
h1
h2
E
F
l
C
A
B
D
O
(G)
O
h2
h1
h3
F
E
G
l
C
A
B
D
图（12.3）
图（12.2）
图（12.1）
【分析】（1）要证：h2+h3= 2h1，结合图形需证OD是梯形BCFE的中位线，利用梯形中位线得证结论；（2）①结合（1）要证结论，需把h1转移，从而考虑构建全等三角形，证AG=DH，在证结论就比较容易了；②类推可知，成立.
【答案】（1）证明：∵BE⊥l，GF⊥l，
∴四边形BCFE是梯形．
又∵GD⊥l，D是BC的中点，
∴DG是梯形的中位线，
∴BE+CF=2DG．
又O为AD的中点，∴AG=DG，
∴BE+CF=2AG．
即h2+h3= 2h1．
（2）成立．
证明：过点D作DH⊥l，垂足为H，
∴∠AGO=∠DHO=Rt∠，∠AOG=∠DOH，OA=OD，
∴△AGO≌△DHO，
∴DH=AG．
又∵D为BC的中点，由梯形的中位线性质，
得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF，
∴h2+h3= 2h1成立．
（3）h1、h2、h3满足关系：h2－h3= 2h1．
（说明：（3）问中，只要是正确的等价关系都得分）
【涉及知识点】梯形中位线、全等
【点评】本题结合旋转运动考查了梯形的中位线，实质后面几问，都是在第一问的基础上的拓展．
【推荐指数】★★★
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10．（2010浙江嘉兴，23，12分）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个
△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
（3）如题图，求正三角形的边长an （用含n的代数式表示）．
【分析】(1)连接三角形一个顶点与圆心，结合垂径定理作出直角三角形，由勾股定理构建方程从而求出正三角形的边长；(2)依然连接第二个三角形的顶点与圆心，构建直角三角形由勾股定理列出方程求出三角形的边长；(3)依然连接第n个三角形的顶点与圆心，构建直角三角形由勾股定理列出方程求出三角形的边长．
【答案】（1）设PQ与B1C1交于点D，连结OB1，
则OD＝，
在Rt△OB1D中，，
即，
解得．
（2）设PQ与B2C2交于点E，连结OB2，
则OE＝，
在中，
即，
解得．
（3）设PQ与BnCn交于点F，连结OBn，
则，
在中，
即，
解得．
【涉及知识点】垂径定理、勾股定理
【点评】本题综合考查圆的基本性质和勾股定理等知识点，解决本题的关健是通过作出辅助线，利用垂径定理构建直角三角形，并分别把直角三角形的三边表示出来，由勾股定理得出方程求出边长．
【推荐指数】★★★
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11．（2010广东汕头，23，12分）阅读下列材料：
1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，
2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，
3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，
由以上三个等式相加，可得
1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5 ＝ 20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；
(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) ＝ _________；
(3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ _________．
【分析】仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) ＝
；照此方法，同样有公式：
1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋n×(n+1)×(n+2)＝×
．
【答案】解：（1）∵1×2 ＝ (1×2×3－0×1×2)，
2×3 ＝ (2×3×4－1×2×3)，
3×4 ＝ (3×4×5－2×3×4)，
…
10×11 ＝ (10×11×12－9×10×11)，
∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝×10×11×12＝440．
（2）．
（3）1260．
【涉及知识点】探究规律问题及整式运算
【点评】
本题系阅读理解题，通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．
【推荐指数】★★★★★
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12．（2010贵阳，25，12分）如图12，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，，…，．
（1）写出点M5的坐标；（4分）
（2）求的周长；（4分）
（3）我们规定：把点（0,1,2,3…）
的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标
称之为点的“绝对坐标”．根据图中点
的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来
图12
【分析】利用旋转的性质.
【答案】（1）M5（―4，―4）；
（2）由规律可知，,，， ∴的周长是.
（3）解法一：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：
令旋转次数为，
① 当点M在x轴上时: M0（），M4（），M8（），M12（）,…，
即：点的“绝对坐标”为（）。当点M在y轴上时: M2，M6，M10，M14,即：点的“绝对坐标”为。当点M在各象限的分角线上时：M1，M3，M5，M7,即：的“绝对坐标”为。
解法二：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：
①当时（其中=0，1，2，3，…），点在轴上，则（）；
②当时（其中=1，2，3，…），点在轴上，点（）；
③当=1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点（）
【涉及知识点】旋转、坐标
【点评】旋转相关问题，通常都通过旋转的性质来加以解决。
【推荐指数】★★★★
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13．（2010贵州贵阳，25，12分）如图12，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，，…，．
（1）写出点M5的坐标；（4分）
（图12）
（2）求的周长；（4分）
（3）我们规定：把点（0,1,2,3…）
的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标
称之为点的“绝对坐标”．根据图中点
的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来．（4分）
【分析】（1）求M5的坐标可先计算M1、M2、M3 的值，观察这些点的坐标特征来求得；（2）求的周长可分别计算OM5、M5M6、OM6的值从而可求得周长；（3）需分类讨论求得。
【答案】（1）M5（―4，―4）
（2）由规律可知，,，
∴的周长是
（3）解法一：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：
令旋转次数为
① 当点M在x轴上时: M0（），M4（），M8（），M12（）,…，
即：点的“绝对坐标”为（）。
② 当点M在y轴上时: M2，M6，M10，M14,……，
即：点的“绝对坐标”为。
③ 当点M在各象限的分角线上时：M1，M3，M5，M7,……，即：的“绝对坐标”为。
解法二：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：
①当时（其中=0，1，2，3，…），点在轴上，则（）
②当时（其中=1，2，3，…），点在轴上，点（）
③当=1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点（）
【涉及知识点】勾股定理、旋转性质、规律探索
【点评】本题是一道运动型问题，解答这类问题时，一般要借助几何图形的三大变换（平移、旋转、翻折）来解决，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”
的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径.
【推荐指数】★★★★★
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14．（2010湖北恩施，23，10分） (1)计算:如图10①,直径为的三等圆⊙O、⊙O、⊙O两两外切，切点分别为A、B、C ，求OA的长（用含的代数式表示）.
②
③
①
图10
（2）探索:若干个直径为的圆圈分别按如图10②所示的方案一和如图10③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中层圆圈的高度和（用含、的代数式表示）.
（3）应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（≈1.73）
【分析】(1)
三个两两外切的圆的圆心构成一个边长为圆的直径的正三角形，因此可由勾股定理求解；（2）按如图10②所示的方案一的方式排放，层圆圈的高度就是n个圆的直径，按如图10③所示的方案二的方式排放，层圆圈的高度可由（1）证得来；（3）方案一：即按图10②的方式排放钢管，放置根数为每层排放31根，可放31层，则共放31×31＝941根钢管，而方案二：即：按图10③的方式排放钢管，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n,可得解得 得可放35层，则共放31×18+30×17=1068根钢管．由此可得方案二装运钢管最多．
【答案】解(1)∵⊙O、⊙O、⊙O两两外切，
∴OO=OO=OO=a
又∵OA= OA
∴OA⊥OO
∴OA=
=
（2） =
=
(3) 方案二装运钢管最多．即：按图10③的方式排放钢管，放置根数最多.
根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，
设钢管的放置层数为n,可得
解得
∵ 为正整数 ∴=35
钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）
【涉及知识点】圆与圆的位置关系、勾股定理、不等式．
【点评】本题是以圆与圆的位置关系为背景，结合生活实际，用数学知识解决实际问题的一道好题，能充分的考查学生对知识的实际应用能力，由简易的数学知识，通过计算、探索、应用等环节一步一步的应用于复杂的生活情景中，这也是探索发现规律的一般性过程．
【推荐指数】★★★★★
精品分类 拒绝共享
15．2010嵊州，11，10分）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。
（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；
（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；
（3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明。
【分析】在（1）中由AB＝BC＝AC，所以△ABC为等边三角形，又因为AD∥BC，∠BAC＝∠D，所以可以得到四边形ABCD为菱形，所以四条边相等，连接AF证明三角形全等即可证明AE=EF；（2）可以过点E作EH∥AB，可证△AEH≌△FEC．
【答案】（1）AE＝EF
（2）猜想：（1）中结论没有发生变化，即仍然为AE＝EF（过点E作EH∥AB，可证
△AEH≌△FEC）
（3）猜想：（1）中的结论发生变化，为AE＝kEF
【涉及知识点】菱形、三角形全等、平行线
【点评】本题属于难度比较大的问题，需要添加辅助线构造全等三角形，证明三角形全等．
【推荐指数】★★
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