中考三角形总复习解析 24页

‎2016年中考数学考点总动员系列 考点十四：三角形 ‎ 聚焦考点☆温习理解 一、三角形 ‎ ‎1、三角形中的主要线段 ‎（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。‎ ‎（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。‎ ‎（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。‎ ‎2、三角形的三边关系定理及推论 ‎（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。‎ 推论：三角形的两边之差小于第三边。‎ ‎（2）三角形三边关系定理及推论的作用：‎ ‎①判断三条已知线段能否组成三角形 ‎②当已知两边时，可确定第三边的范围。‎ ‎③证明线段不等关系。‎ ‎3、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。‎ 推论：‎ ‎①直角三角形的两个锐角互余。‎ ‎②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。‎ ‎③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。‎ 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。‎ 二、全等三角形 ‎ ‎1、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：‎ ‎（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）‎ ‎（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）‎ ‎（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。‎ 直角三角形全等的判定：‎ 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）‎ ‎2.全等三角形的性质：‎ 三、等腰三角形 ‎1、等腰三角形的性质定理及推论：‎ 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）‎ 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。[来源:学科网ZXXK]‎ 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。‎ ‎2、等腰三角形的判定定理及推论：‎ 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。‎ 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。‎ 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。‎ ‎3、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。‎ 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。‎ 名师点睛☆典例分类 考点典例一、三角形中位线 ‎【例2】（2014·河北）如图，△ABC中，D，E分别上边AB，AC的中点，若DE=2，则BC=（ ）‎ A、2 B、3 C、4 D、5‎ ‎【答案】C.‎ 考点：三角形中位线定理.‎ ‎【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．‎ ‎【举一反三】‎ ‎1．(2015·湖北衡阳，18题，3分)如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O 处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN＝20m，则池塘的宽度AB为 m．‎ ‎【答案】40‎ 考点： 三角形中位线定理 考点典例二、等腰三角形 ‎【例2】(2015·湖北衡阳，7题，3分)已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）．‎ A．11 B．16 C．17 D．16或17‎ ‎【答案】D 考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想 ‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2015·湖北荆门，5题，3分)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　　）‎ A．8或10 B．8 C．10 D．6或12‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，‎ ‎②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，‎ 综上所述，它的周长是10．故选C．‎ 考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．‎ 考点典例三、全等三角形 ‎【例3】如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）‎ A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出：‎ ‎∵AB=DE，∠B=∠DEF，‎ ‎∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；‎ 添加∠A=∠D，根据ASA，可证明△ABC≌△DEF，故B都正确；‎ 添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．‎ ‎【举一反三】‎ ‎（2015.重庆市A卷，第20题，7分）如图，在△ABD和△FEC中，点B,C,D,E在同一直线上，且AB=FE,BC=DE,B=E。‎ 求证：ADB=FCE.‎ ‎20题图 ‎【答案】证明见解析.‎ 考点：全等三角形的证明.‎ 考点典例四、相似三角形 ‎【例4】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD ‎=（　　）‎ ‎　 A． 1：16 B． 1：18 C． 1：20 D． 1：24‎ ‎【答案】C．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质．‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．‎ ‎【举一反三】‎ ‎1. (2015.天津市，第16题，3分)如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 若AD =3，DB =2，BC =6，则DE的长为　　　　　　.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由DE∥BC可得△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质可得,解得.‎ 考点:相似三角形的判定与性质.‎ ‎2.(2015·黑龙江哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】C 考点：三角形相似的应用.‎ 考点典例五、位似三角形 ‎【例5】△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 考点：位似变换的性质．‎ ‎【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．‎ ‎【举一反三】‎ ‎1.（2015·辽宁营口）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是( ).‎ ‎ ‎ ‎ A．（4，2） B．（4，1） C．（5，2） D．（5，1）‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：分别过C,D,A,B,做x轴的垂线，垂足分别是F,H,K；因为A,D的横坐标相同，所以D在AH上，∵E（1,0），C（2，2），A（3，4），D（3，1），∴EF=1，FH=1；∵CF∥AH∥BK,∴,∵CD∥AB,∴,∵DH∥BK,∴,∵EH=2，DH=1，∴EK=4，BK=2，∴OK=5，∴B(5，2),故选C.‎ 考点：1.位似性质；2.平行线分线段成比例定理.‎ ‎2.（2015宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（　　）‎ A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质．‎ 考点典例六：直角三角形 ‎【例6】（2015·湖南长沙）如图，为测量一颗与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意可得BO=30，tan∠ABO=，则AO=BO·tan∠ABO=30tanα.‎ 考点：三角函数的应用.‎ ‎【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边．‎ ‎【举一反三】‎ ‎1.（2015·辽宁大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（ ）‎ A.-1 B.+1 C.-1 D.+1‎ ‎【答案】D 考点：解直角三角形.‎ ‎2.(2015·湖北荆门，11题，3分)如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（　　）[来源:Z。xx。k.Com]‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．‎ 课时作业☆能力提升 一、 选择题 ‎1.（2015·湖南长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高.根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.‎ 考点：三角形高线的作法 ‎2.（2015.山东济宁，第5题,3分）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为( )‎ A.13 B.15 C.18 D.13或18‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：解一元二次方程可求得方程的两根为，那么根据三角形的三边关系，可知3＜第三边＜9，得到合题意的边为4，进而求得三角形周长为3+4+6=13．‎ 故选A 考点：解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长 ‎3.（2015.济宁，第9题,3分）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1:2，AC=米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为( )‎ A.5米 B.6米 C. 8米 D. 米 ‎【答案】A 考点：解直角三角形 ‎4.(2015.山东日照，第10题，3分)如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，‎ ‎∵tanB=，即=，‎ ‎∴设AD=5x，则AB=3x，‎ ‎∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，‎ ‎∴△CDE∽△BDA，‎ ‎∴，‎ ‎∴CE=x，DE=，‎ ‎∴AE=，‎ ‎∴tan∠CAD==．‎ 故选D．‎ 考点：解直角三角形．‎ ‎5.（2015成都）如图，在△ABC中，DE//BC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析： 根据平行线段的比例关系，，即，，故选B．‎ 考点：平行线分线段成比例．‎ ‎6.(2015·‎ 黑龙江哈尔滨）如图：某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角＝，则飞机A与指挥台B的距离为（ ）‎ ‎（A）1200m (B) 1200m (C)1200m (D)2400m ‎【答案】D 考点：三角函数的应用.‎ ‎7.（2015内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（　　）‎ A．40° B．45° C．60° D．70°‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选A．‎ 考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质．‎ ‎8.(2015.北京市，第6题，3分)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为( )‎ A0.5km　　　　B.0.6km C.0.9km　　　　D.1.2km ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=1.2km．故选D．‎ 考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 二、填空题 ‎9.（2015·辽宁沈阳）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB：DE= ．‎ ‎【答案】2：3．‎ 考点：位似变换．‎ ‎10.如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为　 　．‎ ‎【答案】60°.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°‎ 试题解析：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，‎ ‎∴∠ACO=∠BCO，‎ 在△COD和△COB中，‎ ‎，‎ ‎∴△COD≌△COB，‎ ‎∴∠D=∠CBO，‎ ‎∵∠BAC=80°，‎ ‎∴∠BAD=100°，‎ ‎∴∠BAO=40°，‎ ‎∴∠DAO=140°，‎ ‎∵AD=AO，∴∠D=20°，‎ ‎∴∠CBO=20°，‎ ‎∴∠ABC=40°，‎ ‎∴∠BCA=60°.‎ 考点:1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质．‎ ‎11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC..若AB=10，则EF的长是 ▲ ． ‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，AB=10，[来源:学科网]‎ ‎∴AD=5，AE=EC，DE=BC，∠AED=90°.‎ ‎∵CF=BC，∴DE=FC.‎ 在Rt△ADE和Rt△EFC中，∵AE=EC，DE=FC，∴Rt△ADE≌Rt△EFC（SAS）.∴EF=AD=5.‎ 考点：1.三角形中位线定理；2.全等三角形的判定和性质.‎ ‎12.（2015山东枣庄，第15题，4分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD=________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】因为CD⊥AB，所以△ADC是直角三角形，E为AC的中点，所以AC=2DE=10，由勾股定理可得AD=8.‎ 考点：直角三角形的性质 ‎13.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）‎ ‎【答案】BC=EF或∠BAC=∠EDF．‎ 考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．‎ ‎14.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=，则CD的长为 ．‎ ‎【答案】或或．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：分三种情况：①如图1，∠A为钝角，AB=AC，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=，∴AD=，AB=2，∴AC=2，∴CD=，‎ ‎②如图2，∠A为锐角，AB=AC，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=，∴AD=，AB=2，∴AC=2，∴CD=，‎ ‎③如图3，BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=CD，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=，∴AD=，∴CD=，‎ 综上所述；CD的长为：或或，故答案为：或或．‎ 考点：1．解直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．勾股定理．‎ 三．解答题 ‎15.如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点.‎ ‎（1）作图：‎ ①过B作AC的平行线BH；‎ ②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G.‎ ‎（2）在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）作图见解析；（2）△DEC≌△DFB（答案不唯一），证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据平行线和垂线的作图方法作图.‎ ‎（2）根据作图方法，由ASA可判定△DEC≌△DFB（答案不唯一）.‎ 试题解析：解：（1）作图如下：①如答图1；②如答图2.‎ ‎（2）△DEC≌△DFB（答案不唯一），证明如下：‎ ‎∵BH∥AC，∴∠DCE=∠DBF.‎ 又∵D是BC中点，∴DC=DB.‎ 在△DEC与△DFB中，∵，∴△DEC≌△DFB（ASA）.‎ 考点：1. 作图（复杂作图）；2.开放型问题；3. 全等三角形的判定；4.平行的性质.‎ ‎16.在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：可证明△ABF≌△ACE，则BF=CE，再证明△BEP≌△CFP，则PB=PC，从而可得出PE=PF，BE=CF．‎ 试题解析：在△ABF和△ACE中，‎ ‎ AB=AC ∠BAF=∠CAE AF=AE ，‎ ‎∴△ABF≌△ACE（SAS），‎ ‎∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的对应角相等），‎ ‎∴BF=CE（全等三角形的对应边相等），‎ ‎∵AB=AC，AE=AF，‎ ‎∴BE=CF，‎ 在△BEP和△CFP中，‎ ‎ ∠BPE=∠CPF ∠PBE=∠PCF BE=CF ，‎ ‎∴△BEP≌△CFP（AAS），‎ ‎∴PB=PC，‎ ‎∵BF=CE，‎ ‎∴PE=PF，‎ ‎∴图中相等的线段为PE=PF，BE=CF，BF=CE．‎ 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．‎ ‎17.．(2015·湖北孝感）（本题满分8分）‎ 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．对角线，相交于点，，，垂足分别是，．求证．‎ ‎【答案】OE=OF.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由根据SSS得出全等，根据全等性质得出BD为∠ABC的角平分线，再由角平分线上的点到角两边的距离相等，得出OE=OF 考点：全等三角形 ‎18.（2015·辽宁沈阳）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE=DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：（1）△EAB≌△EDC；‎ ‎（2）∠EFG=∠EGF．‎ ‎【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据四边形ABCD是矩形，得到AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．再根据EA=ED，得到∠EAD=∠EDA，由等式的性质得到∠EAB=∠EDC．利用SAS即可证明△EAB≌△EDC；‎ ‎（2）由△EAB≌△EDC，得到∠AEF=∠DEG，由三角形外角的性质得出∠EFG=∠EAF+∠AEF，∠EGF=∠EDG+∠DEG，即可证明∠EFG=∠EGF．‎ 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°．∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠EAB=∠EDC．在△EAB与△EDC中，∵EA=ED，∠EAB=∠EDC，AB=DC，∴△EAB≌△EDC（SAS）；‎ ‎（2）∵△EAB≌△EDC，∴∠AEF=∠DEG，∵∠EFG=∠EAF+∠AEF，∠EGF=∠EDG+∠DEG，∴∠EFG=∠EGF．‎ 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．矩形的性质．‎ ‎19.(2015·湖北襄阳,22题)如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：‎ ‎（1）BC的长；‎ ‎（2）sin∠ADC的值．‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】（1）4；（2）．‎ ‎（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．‎ 考点：解直角三角形．‎ ‎20.（2015.山东泰安，第27题）（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．‎ ‎（1）求证：AC•CD=CP•BP；‎ ‎（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．‎ ‎【答案】（1）证明见试题解析；（2）．‎ 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．综合题．‎ ‎ ‎