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- 2021-05-10 发布
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2010数学中考相似三角形精选
(2010哈尔滨)1.已知:在△ABC中AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上,∠BAE=∠BDF,点M在线段DF上,∠ABE=∠DBM.
(1)如图1,当∠ABC=45°时,求证:AE=MD;
(2)如图2,当∠ABC=60°时,则线段AE、MD之间的数量关系为: 。
(3)在(2)的条件下延长BM到P,使MP=BM,连接CP,若AB=7,AE=,
求tan∠ACP的值.
(2010珠海)2.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,
连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1) 求证:△ADF∽△DEC
(2) 若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°
∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC CD=AB=4
又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中,DE=
∵△ADF∽△DEC
∴ ∴ AF=
26.(2010年长沙)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上, cm, OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)用t的式子表示△OPQ的面积S;
(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;
(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线经过B、P两点,过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.
解:(1) ∵CQ=t,OP=t,CO=8 ∴OQ=8-t
∴S△OPQ=(0<t<8) …………………3分
(2) ∵S四边形OPBQ=S矩形ABCD-S△PAB-S△CBQ
==32 ………… 5分
∴四边形OPBQ的面积为一个定值,且等于32 …………6分
(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形,依题意只能是∠QPB=90°
又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB,∠APB不可能等于∠PBQ
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP ………………7分
∴解得:t=4
经检验:t=4是方程的解且符合题意(从边长关系和速度)
此时P(,0)
∵B(,8)且抛物线经过B、P两点,
∴抛物线是,直线BP是: …………………8分
设M(m, )、N(m,)
∵M在BP上运动 ∴
∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P
∴当时, ………………………………9分
∴= ∴当时,MN有最大值是2
∴设MN与BQ交于H 点则、
∴S△BHM==
∴S△BHM :S五边形QOPMH==3:29
∴当MN取最大值时两部分面积之比是3:29. …………………10分
(2010湖北省荆门市)23.(本题满分10分)如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC∶CA=4∶3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合),过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点
(1)求证:AC·CD=PC·BC;
(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;
(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求这个最大面积S.
第23题图
答案23.解:(1)∵AB为直径,∴∠ACB=90°.又∵PC⊥CD,∴∠PCD=90°.
而∠CAB=∠CPD,∴△ABC∽△PCD.∴.
∴AC·CD=PC·BC;………………………………………………3分
第23题图
(2)当点P运动到AB弧中点时,过点B作BE⊥PC于点E.
∵P是AB中点,∴∠PCB=45°,CE=BE=BC=2.
又∠CAB=∠CPB,∴tan∠CPB=tan∠CAB=.∴PE===.
从而PC=PE+EC=.由(1)得CD=PC=…………………………………7分
(3)当点P在AB上运动时,S△PCD=PC·CD.由(1)可知,CD=PC.
∴S△PCD=PC2.故PC最大时,S△PCD取得最大值;
而PC为直径时最大,∴S△PCD的最大值S=×52=.………………………………10分
(2010年眉山)25.如图,Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连结CC ¢ 交斜边于点E,CC ¢ 的延长线交BB ¢ 于点F.
(1)证明:△ACE∽△FBE;
(2)设∠ABC=,∠CAC ¢ =,试探索、满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.
答案:25.(1)证明:∵Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,
∴AC=AC ¢,AB=AB ¢,∠CAB=∠C ¢AB ¢ ………………(1分)
∴∠CAC ¢=∠BAB ¢
∴∠ACC ¢=∠ABB ¢ ……………………………………(3分)
又∠AEC=∠FEB
∴△ACE∽△FBE ……………………………………(4分)
(2)解:当时,△ACE≌△FBE. …………………(5分)
在△ACC¢中,∵AC=AC ¢,
∴ ………(6分)
在Rt△ABC中,
∠ACC¢+∠BCE=90°,即,
∴∠BCE=.
∵∠ABC=,
∴∠ABC=∠BCE ……………………(8分)
∴CE=BE
由(1)知:△ACE∽△FBE,
∴△ACE≌△FBE.………………………(9分)
1、(2010年杭州市)如图,AB = 3AC,BD = 3AE,又BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上.
(1) 求证:△ABD∽△CAE;
(2) 如果AC =BD,AD =BD,设BD = a,求BC的长.
答案:
(1) ∵ BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上, ∴ ÐDBA = ÐCAE,
又∵ , ∴ △ABD∽△CAE.
(2) ∵AB = 3AC = 3BD,AD =2BD ,
(第22题)
∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2,
∴ÐD =90°,
由(1)得 ÐE =ÐD = 90°,
∵ AE=BD , EC =AD = BD , AB = 3BD ,
∴在Rt△BCE中,BC2 = (AB + AE )2 + EC2
第(17)题
D
C
A
F
B
E
G
= (3BD +BD )2 + (BD)2 = BD2 = 12a2 ,
∴ BC =a .
(2010年天津市)(17)如图,等边三角形中,、分别为、边上
的点,,与交于点,于点,
则的值为 .
(2010宁夏16.关于对位似图形的表述,下列命题正确的是 ②③ .(只填序号)
① 相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;
② 位似图形一定有位似中心;
③ 如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么,这两个图形是位似图形;
④ 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.
(2010山西26.在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA=90º,CB=3,OA=6,BA=3.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.
(1)求点B的坐标;
(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;
(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N.使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
A
B
D
E
(第26题 图1)
F
C
O
M
N
x
y
圖1
N
y
P
G
H
x
A
B
C
D
E
O
F
M
26. [解] (1) 如图1,作BH^x轴于点H,则四边形OHBC为矩形,
∴OH=CB=3,∴AH=OA-OH=6-3=3,
在Rt△ABH中,BH===6,
∴点B的坐标为(3,6)。
(2) 如图1,作EG^x轴于点G,则EG//BH,
∴△OEG~△OBH,∴== ,又∵OE=2EB,
∴=,∴==,∴OG=2,EG=4,∴点E的坐标为(2,4)。
又∵点D的坐标为(0,5),设直线DE的解析式为y=kx+b,则,解得k= -,
b=5。∴直线DE的解析式为:y= -x+5。
(3) 答:存在。
j 如图1,当OD=DM=MN=NO=5时,四边形ODMN为菱形。作MP^y轴于点P,
则MP//x轴,∴△MPD~△FOD,∴==。
又∵当y=0时,-x+5=0,解得x=10。∴F点的坐标为(10,0),∴OF=10。
在Rt△ODF中,FD===5,∴==,
∴MP=2,PD=。∴点M的坐标为(-2,5+)。
∴点N的坐标为(-2,)。
y
P
N
P
x
A
B
C
D
E
O
F
M
圖2
k 如图2,当OD=DN=NM=MO=5时,四边形ODNM
为菱形。延长NM交x轴于点P,则MP^x轴。
∵点M在直线y= -x+5上,∴设M点坐标为
(a,-a+5),在Rt△OPM中,OP 2+PM 2=OM 2,
∴a2+(-a+5)2=52,解得a1=4,a2=0(舍去),
y
P
N
x
A
B
C
D
E
O
F
M
圖3
∴点M的坐标为(4,3),∴点N的坐标为(4,8)。
l 如图3,当OM=MD=DN=NO时,四边形OMDN为
菱形。连接NM,交OD于点P,则NM与OD互相
垂直平分,∴yM=yN=OP=,∴-xM+5=,∴xM=5,
∴xN= -xM= -5,∴点N的坐标为(-5,)。
综上所述,x轴上方的点N有三个,分别为N1(-2,),
N2(4,8),N3(-5,)。
(2010河北省)24.(本小题满分10分)
图15-2
A
D
O
B
C
2
1
M
N
图15-1
A
D
B
M
N
1
2
图15-3
A
D
O
B
C
2
1
M
N
O
在图15-1至图15-3中,直线MN与线段AB相交于点O,∠1 = ∠2 = 45°.
(1)如图15-1,若AO = OB,请写出AO与BD 的数量关系和位置关系;
(2)将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2,其中AO = OB.求证:AC = BD,AC ⊥ BD;
(3)将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到
图15-3,求的值.
解:(1)AO = BD,AO⊥BD;
图4
A
D
O
B
C
2
1
M
N
E
F
(2)证明:如图4,过点B作BE∥CA交DO于E,∴∠ACO = ∠BEO.
又∵AO = OB,∠AOC = ∠BOE,
∴△AOC ≌ △BOE.∴AC = BE.
又∵∠1 = 45°, ∴∠ACO = ∠BEO = 135°.
∴∠DEB = 45°.
∵∠2 = 45°,∴BE = BD,∠EBD = 90°.∴AC = BD. 延长AC交DB的延长线于F,如图4.∵BE∥AC,∴∠AFD = 90°.∴AC⊥BD.
A
O
B
C
1
D
2
图5
M
N
E
(3)如图5,过点B作BE∥CA交DO于E,∴∠BEO = ∠ACO.
又∵∠BOE = ∠AOC ,
∴△BOE ∽ △AOC.
∴.
又∵OB = kAO,
由(2)的方法易得 BE = BD.∴.
(2010河南)4.如图,△ABC中,点DE分别是ABAC的中点,则下列结论:①BC=2DE;
(第4题)
②△ADE∽△ABC;③.其中正确的有( )
(A)3个 (B)2个
(C)1个 (D)0个
A
(苏州2010中考题28).(本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm;图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4 cm.图③是刘卫同学所做的一个实验:他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起,并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).
(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中,刘卫同学发现:F、C两点间的距离逐渐 ▲ .
(填“不变”、“变大”或“变小”)
(2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题:
问题①:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,F、C的连线与AB平行?
问题②:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?
问题③:在△DEF的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在,
求出AD的长度;如果不存在,请说明理由.
请你分别完成上述三个问题的解答过程.
答案:
28.(1)变小.
(2)问题①:
解:∵
∴
∵
∴
连结设
∴
∴在中,
∴
即时,
问题②:
解:设在中,
(Ⅰ)当为斜边时,
由得,
(Ⅱ)当为斜边时,
由得,(不符合题意,舍去).
(Ⅲ)当为斜边时,
由得,
∴方程无解.
另解:不能为斜边.
∵∴
∴中至少有一条线段的长度大于6.
∴不能为斜边.
∴由(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)得,当时,经线段的长度为三边长的三角形是直角三角形.
问题③:
解法一:不存在这样的位置,使得
理由如下:
假设
由得
作的平分线,交于点,
则
∴
∴
∴
∴不存在这样的位置,使得
解法二:不存在这样的位置,使得
假设
由得
作垂足为
∴
且
∵为公共角,
∴
∴
又
∴
即
整理后,得到方程
∴(不符合题意,舍去),
(不符合题意,舍去).
图2
∴不存在这样的位置,使得
16. (上海)如图2,△ABC中,点D在边AB上,满足∠ACD =∠ABC,若AC = 2,AD = 1,则DB = __3________.
B
F
G
H
A
D
E
C
1
(2010·绵阳)10.如图,梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O,G是BD的中点.
G
A
B
D
C
O
若AD = 3,BC = 9,则GO : BG =( A ).
A.1 : 2 B.1 : 3
C.2 : 3 D.11 : 20
(2010·绵阳)14.如图,AB∥CD,∠A = 60°,∠C = 25°,G、H分别为CF、CE的中点,则∠1 = .答案:145°
(2010·浙江湖州)15.如图,已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC与△A1B1C1是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是___________.答案:
第15题
x
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A1
B1
C1
A
B
C
y
2.(2010,安徽芜湖)如图,直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,AD∥BC,点E在BC上,点 F在AC上,
(1)求证:△ADF∽△CAF
(2)当AD=8,DC=6,点E、F分别是BC、AC的中点时,求直角梯形ABCD的面积
【答案】证明: (1)在梯形ABCD中,AD∥BC
∴∠DAF=∠ACE
∵∠D FC=∠AEB
∠DFC=∠DAF+∠ADF, ∠AEB= ∠A C E+∠CAE
∴∠ADF=∠CAE
∴△ADF∽△CAF
(2) ∵AD=8,DC=6,∠ADC=90°,
∴AC=10
又∵F是AC的中点,∴AF=5
∵△ADF∽△CAF
∴ ∴ ∴CE=
∵E是BC的中点 ∴BC=
∴直角梯形ABCD的面积=×(+8)×6=
3.(2010,安徽芜湖)如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧上一点,过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于点N。
(1)求证:PM=PN;
(2)若BD=4,PA=AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长.
【答案】(1)证明:连结OM,∵ MP是⊙O的切线,∴OM⊥MP
∴∠OMD +∠DMP=90°
∵OA⊥OB,∠OND +∠ODM=90°
∵∠MNP=∠OND, ∠ODN=∠OMD ∴∠DMP=∠MNP
∴PM=PN
(2)解:设BC交OM于E, ∵BD=4, ∴OA=OB=2, ∴PA=OA=3
∴PO=5
∵BC∥MP, OM⊥MP, ∴OM⊥BC, ∴BE=BC
∵∠BOM +∠MOP=90°,在Rt△OMP中,∠MPO +∠MOP=90°
∴∠BOM=∠MPO.又∵∠BEO=∠OMP=90°
∴△OMP∽△BEO ∴ ∴,∴BE= ∴BC=
4.(2010,浙江义乌)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P,点P在第一象限.PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D,
且S△PBD=4,.
(1)求点D的坐标;
(2)求一次函数与反比例函数的解析式;
(3)根据图象写出当时,一次函数的值大于反比例
函数的值的的取值范围.
y
x
P
B
D
A
O
C
【答案】(1)在中,令得 ∴点D的坐标为(0,2)
(2)∵ AP∥OD ∴Rt△PAC ∽ Rt△DOC
∵
∴
∴AP=6
又∵BD=
∴由S△PBD=4可得BP=2
∴P(2,6) 把P(2,6)分别代入与可得一次函数解析式为:y=2x+2 ,反比例函数解析式为:
(3)由图可得x>2
5.(2010,浙江义乌)如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示-,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
C
B
A
O
y
x
图1
D
M
图2
O1
A1
O
y
x
B1
C1
D
M
【分析】第(1)问,已知O、A两点的坐标点O(0,0)、A(2,0),发现对称轴为x=1;再设二次函数解析式y=a(x-0)(x-2)将B(6,3)代入即可.
第(2)问,注意到OA与CB两平行线之间的距离可由A(2,0)、B(6,3)看出是3,在平移梯形的过程中它保持不变.利用列出一个关于x1、x2的方程,再利用面积S=36关系再列出一个关于x1、x2的方程,解这两个方程组成的方程组,确定x1的值便可求出点A1的坐标.
第(3)问,如下图1-0本题先要找到当点P经过t秒时∥,进而分两种情况:当没有到达这一时刻之前,和过了这一时刻之后.
C
B
A
O
y
x
图1-2
D
M
E
F
P
Q
G
C
B
A
O
y
x
图1-1
D
M
E
P
Q
F
G
图1—0
情况1.如图1-1,寻求△DPQ∽△DEB,运用相似比来解答.
情况2. 如图1-2,也是寻求△DPQ∽△DEB,运用相似比来解答.
【答案】(1)对称轴:直线
解析式:或
顶点坐标:M(1,)
(2)由题意得
3
得:①
得: ②
把②代入①并整理得:(S>0) (事实上,更确切为S>6)
当时, 解得:(注:S>0或S>6不写不扣分)
把代入抛物线解析式得 ∴点A1(6,3)
(3)存在
解法一:易知直线AB的解析式为,可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为
∴BD=5,DE=,DP=5-t,DQ= t
当∥时,
得
下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G
① 当时,如图1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA=∠FEQ
∴∠DPQ=∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴
∴ 得 ∴(舍去)
② 当时,如图1-2
∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG=∠FQE
∵∠DQP=∠FQE ∠FAG=∠EBD
∴∠DQP=∠DBE 易得△DPQ∽△DEB
∴
∴, ∴
∴当秒时,使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似.
解法二:可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得
, ,
∴ , .