中考规律探索题训练含答案 15页

规律探索 一. 选择题 ‎1.（2015湖南邵阳第10题3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2015π B．‎ ‎3019.5π C．‎ ‎3018π D．‎ ‎3024π 考点： 旋转的性质；弧长的计算．.‎ 专题： 规律型．‎ 分析： 首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．‎ 解答： 解：转动一次A的路线长是：，‎ 转动第二次的路线长是：，‎ 转动第三次的路线长是：，‎ 转动第四次的路线长是：0，‎ 转动五次A的路线长是：，‎ 以此类推，每四次循环，‎ 故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π，‎ ‎2015÷4=503余3‎ 顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎2.（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（　　）‎ A． （31，50） B． （32，47） C． （33，46） D． （34，42）‎ 考点： 规律型：数字的变化类．‎ 分析： 先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．‎ 解答： 解：2015是第=1008个数，‎ 设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，‎ 即≥1008，‎ 解得：n≥，‎ 当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；‎ 当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；‎ 故第1008个数在第32组，‎ 第1024个数为：2×1024﹣1=2047，‎ 第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，‎ 则2015是（+1）=47个数．‎ 故A2015=（32，47）．‎ 故选B．‎ 点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．‎ ‎3.（2015湖北鄂州第10题3分）‎ 在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2 、A2B2C2D2 、D2E3E4B3 、A3B3C3D3 ……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D.‎ ‎ ‎ 考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．‎ ‎4. （2015•山东威海，第12 题3分）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 正多边形和圆．.‎ 专题： 规律型．‎ 分析： 连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2，然后化简即可．‎ 解答： 解：连结OE1，OD1，OD2，如图，‎ ‎∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，‎ ‎∴∠E1OD1=60°，‎ ‎∴△E1OD1为等边三角形，‎ ‎∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，‎ ‎∴OD2⊥E1D1，‎ ‎∴OD2=E1D1=×2，‎ ‎∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，‎ 同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，‎ 则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．‎ ‎5．（2015•山东日照 ，第11题3分）观察下列各式及其展开式：‎ ‎（a+b）2=a2+2ab+b2‎ ‎（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3‎ ‎（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4‎ ‎（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5‎ ‎…‎ 请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（　　）‎ ‎　 A． 36 B． 45 C． 55 D． 66‎ 考点： 完全平方公式．.‎ 专题： 规律型．‎ 分析： 归纳总结得到展开式中第三项系数即可．‎ 解答： 解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；‎ ‎（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；‎ ‎（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；‎ ‎（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；‎ ‎（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；‎ ‎（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；‎ 第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；‎ 第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；‎ 第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，‎ 则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．‎ 故选B．‎ 点：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键 ‎6 , （2015•山东临沂,第11题3分）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….‎ 按照上述规律，第2015个单项式是（ ）‎ ‎(A) 2015x2015. (B) 4029x2014. (C) 4029x2015. (D) 4031x2015.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n－1），而后面因式x的指数是连续自然数，因此关于x的单项式是，所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029，因此这个单项式为.‎ 故选C 考点：探索规律 ‎7．(2015·河南，第8题3分)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，… 组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ）‎ ‎ A.（2014,0） B.（2015，－1） ‎ ‎ C. （2015,1） D. （2016,0）‎ B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.‎ ‎∵半圆的半径r=1，∴半圆长度=π， ‎ ‎∴第2015秒点P运动的路径长为：×2015， ‎ ‎∵×2015÷π=1007…1，∴点P位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x轴的下方.‎ ‎∴此时点P的横坐标为：1008×2－1=2015，纵坐标为－1，∴点P(2015，－1) .‎ 图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（　　）‎ ‎　 A． 14 B． 15 C． 16 D． 17‎ 考点： 规律型：图形的变化类．.‎ 分析： 分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．‎ 解答： 解：第一个图形有：5个○，‎ 第二个图形有：2×1+5=7个○，‎ 第三个图形有：3×2+5=11个○，‎ 第四个图形有：4×3+5=17个○，‎ 由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，‎ 则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245‎ 解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）．‎ 故选：C．‎ 点评： 此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．‎ ‎8. （2015•四川省宜宾市，第7题，3分）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、20，阴影部分是由第l个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，……，第l9个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ B ）‎ A.231π 　　　 B.210π 　　　 C.190π 　　　 D.171π ‎9. （2015•浙江宁波，第10题4分）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为，若=1，则的值为【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理. ‎ ‎【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE是△ABC的中位线，D1E1是△A D1E1的中位线，D2E2是△A2D2E1的中位线，…‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎.‎ 故选B 二.填空题 ‎1．（2015•甘肃武威,第18题3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是 45 ，2016是第 63 个三角形数．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．‎ 分析：‎ 根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，由此代入分别求得答案即可．‎ 解答：‎ 解：第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，‎ ‎1+2+3+4+…+n=2016，‎ n（n+1）=4032，‎ 解得：n=63．‎ 故答案为：45，63．‎ 点评：‎ 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．‎ ‎4. （2015•四川省内江市，第16题，5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有　2n（n+1）　根火柴棒．（用含n的代数式表示）‎ 考点： 规律型：图形的变化类．.‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： 本题可分别写出n=1，2，3，…，所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．‎ 解答： 解：依题意得：n=1，根数为：4=2×1×（1+1）；‎ n=2，根数为：12=2×2×（2+1）；‎ n=3，根数为：24=2×3×（3+1）；‎ ‎…‎ n=n时，根数为：2n（n+1）．‎ 点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ ‎5．(2015·深圳，第15题 分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第56个图形有 个太阳。‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】第一行的规律是1，2，3，4，…，故第五个数是5；‎ 第二行的规律是1，2，4，8，…，故第五个数是16；故第五个图中共有21个太阳。‎ ‎7．(2015·贵州六盘水，第17题4分)在正方形A1B1C1O和A2B2C2C1，按如图9所示方式放置，在直线 ‎ 上，点C1，C2在x轴上，已知A1点的坐标是（0，1），则点B2的坐标为 ．‎ ‎ ‎ 考点：一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．.‎ 专题：规律型．‎ 分析：根据直线解析式先求出OA1‎ ‎=1，求得第一个正方形的边长，再求出第二个正方形的边长为2，即可求得B2的坐标．‎ 解答：解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，‎ ‎∴OA1=1，OD=1，‎ ‎∴∠ODA1=45°，‎ ‎∴∠A2A1B1=45°，‎ ‎∴A2B1=A1B1=1，‎ ‎∴A2C1=C1C2=2，‎ ‎∴OC2=OC1+C1C2=1+2=3，‎ ‎∴B2（3，2）．‎ 故答案为（3，2）．‎ ‎8. （2015•山东莱芜,第17题4分）已知：，，，…，‎ 观察上面的计算过程，寻找规律并计算 ‎ ‎【答案】210‎ 试题分析：对于（b＜a）来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始乘，乘到a－b+1，共b个数相乘．因此其规律是：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎…；‎ C106==210．‎ 考点：规律探索 ‎9．（2015·湖北省孝感市，第15题3分）观察下列等式：‎ ‎1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，‎ 则1+3+5+…+2015＝ ．‎ 考点：规律型：数字的变化类．.‎ 分析：根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n2，据此求出1+3+5+…+2015的值是多少即可．‎ 解答：解：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，‎ 所以1+3+5+…+2015‎ ‎=1+3+5+…+（2×1008﹣1）‎ ‎=10082‎ ‎=1016064‎ 故答案为：1016064．‎ 点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2．‎ ‎10 ．（2015·湖南省益阳市，第13题5分）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有　5n+1　根小棒．‎ 考点： 规律型：图形的变化类．‎ 分析： 由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒，…由此得出第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．‎ 解答： 解：∵第1个图案中有5+1=6根小棒，‎ 第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒，‎ 第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒，‎ ‎…‎ ‎∴第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．‎ 故答案为：5n+1．‎ 点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．‎ ‎14．(2015·黑龙江绥化，第20题 分)填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律 ，按此规律得出a+b+c=__________．‎ 考点：规律型：数字的变化类．．‎ 分析：观察不难发现，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，根据此规律列式进行计算即可得解．‎ 解答：解：根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，‎ 可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，‎ 可得：a=10，c=9，b=91，‎ 所以a+b+c=10+9+91=110，‎ 故答案为：110‎ ‎20. （2015山东济宁，15，3分）若, ‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎……‎ 则 ‎ ‎【答案】－n(n+1)(4n+3)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据各个式子的特点可知：‎ 第一个等式中，右边相乘的第一个数是－1，第二个数是1+1，第三个数是等号左边最后一个数3×2+1；‎ 第二个等式中，右边相乘的第一个数是－2，第二个数是2+1，第三个数是等号左边最后一个数5×2+1；‎ 第三个等式中，右边相乘的第一个数是－3，第二个数是3+1，第三个数是等号左边最后一个数7×2+1；‎ ‎……‎ 第n个等式中，右边相乘的第一个数是－n，第二个数是n+1，第三个数是等号左边最后一个数 ‎（2n+1）×2+1=4n+3；‎ 因此结果为－n(n+1)(4n+3).‎ 考点：规律探索 ‎22．（2015•安徽省,第13题，5分）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 ．‎ 考点：规律型：数字的变化类．.‎ 分析：首项判断出这列数中，2的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy=z，据此解答即可．‎ 解答：解：∵21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…，‎ ‎∴x、y、z满足的关系式是：xy=z．‎ 故答案为：xy=z．‎ 点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征．‎ ‎2、（2015•四川自贡,第22题12分）观察下表: ‎ 我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为.回答下列问题：‎ ‎⑴. 第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第格的“特征多项式”为 ；‎ ‎⑵.若第1格的“特征多项式”的值为 －10，第2格的“特征多项式”的值为 －16.‎ ‎①.求的值；‎ ‎②.在此条件下，第的特征是否有最小值？若有，求出最小值和相应的值.若没有，请说明理由.‎ 考点：找规律列多项式、解二元一次方程组、二次函数的性质、配方求值等.‎ 分析：‎ ⑴. 本问主要是抓住的排列规律；在第格是按排，每排是个来排列的；在第格是按 排，每排是个来排列的；根据这个规律第⑴问可获得解决.‎ ‎⑵.①.按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值，联立成二元一次方程组来解，可求出的值.‎ ‎ ②.求最小值可以通过建立一个二次函数来解决；前面我们写出了第格的“特征多项式”和求出了的值，所以可以建立最小值关于的二次函数，根据二次函数的性质最小值便可求得.‎ 略解：‎ ‎⑴. 第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为，第格的“特征多项式”为（为正整数）；‎